先把教科书读厚，再把教科书读薄

——例谈基于教科研读的教学设计（二）

通过这种通分的方法，像上面那种就是分步计算的方法，如果你列成下面这种方式，那它其实就是综合算式。如果说是a/12和b/15相加，只能列成这样一个综合算式，这样的情况我们在通分的时候需要加上小括号。那为什么要加上小括号呢？就是为了要保证先算a+b，为了保证先算的层次，如果是这样一种情况，又涉及到了运算定律，提公因式其实就是运算定律乘法分配律的应用。所以我们在分式运算的时候会大量地用到字母运算，如果你在小学，对这种先算什么后算什么搞不清楚的话，将来到中学的分式运算一定会跌跟斗。所以我想，这个混合运算的主要目的不是为了解决实际问题，但是它对于将来中学的学习有这么重要的作用，所以我们在小学时一定要让孩子学会用一个综合算式的方法，一个正确的综合算式把你解决问题的多个步骤同时表示出来。在一个混合算式中间，先算什么再算什么，和你解决问题的时候先求什么再求什么统一起来，所以这是非常重要的。

第三点，把书读厚的想法，尽量去挖掘数学知识背后的数学思想。实际上我看小学数学很多地方到处都充满了数学思想，而且这种数学思想不是孤立的，往往是融合在一起的。比如六年级下册的例题，关于数学思考方面的整理和复习。6个点可以连多少条线段？8个点呢？孩子在解决问题的时候，就画6个点、8个点，然后一片混乱。我们先不解决这个问题，先看看这个问题有没有碰到过，在前面学排列组合的时候就碰到过这样的问题。“4个队踢球，每两个队踢一场，一共要踢多少场？”我们可以用这种方法（PPT呈现），实际上右边这种方法是更加有序的一种方式，而左边的方法如果对它进行抽象化、数学化，我们往往不是从一个点出发画两三条线段，而是每两个点之间先连起来，最后看看哪两个点之间还没有连，再连起来。这两种模型实际上孩子的思路，不太一样，如果要保证不重不漏应该是右边的更加一般化的方法。前不久在微信上看到的一篇文章里面的一个图（PPT呈现），25个点之间互相连接，图形很美，80个点连出来更美。那么这里面到底有多少条线呢？用你们的模型解释一下为什么是这么多。80个点之间可以连多少条线段？怎么解决这个问题？其实这个方法，不管点是在圆上均匀的还是随意散乱的，都跟解决这个问题是没有关系。当你在解决6个点、8个点的时候，觉得太乱数不过来怎么办？我们从简单的出发，就是化繁为简。最简单的方法就是从两个点开始，逐渐增加点数，随着点的增加，它的条数有什么变化呢？我们的教学过程，其实跟我做的PPT一样，把这个过程展现出来。从第一个数到第二个数，从第二个数到第三个数、第四个数，有这样的一个变化，那我为什么要加2、加3、加4？这只是从现象上看到这样一个数的变化规律。为什么加2？我记得教材上是用虚线的方式来呈现的，每增加的那个点的前面的所有各点要连起来，那么这是多少条呢？如果是N个点，就是N-1条，从这种特殊的事例得到一般化的一个公式，所以如果是80个点的话，应该是从1加到79，那这个数到底是多少，我们不要求孩子用一个公式计算。如果是N个点就是N-1，那么N-1个数的连续自然数相加是（n-1）* n/2。这个公式还可以怎么解释？有一次培训，我问老师有多少个点，有的老师就回答（n-1）* n。为什么？减一个点，连接的线段会有会重复，所以要除以2。（n-1）* n/2 不是n-1的连续自然数之和公式的推导，而是另外一种解释的模型，所以这里有数形结合，有推理。我们从若干具体的规律得到一般性的规律，然后再去解决，那就是一般性的规律应用到具体的情景，因此这里也有归纳推理，有演绎推理。再来看另外一个问题，从北京到杭州坐高铁，这趟列车七个站，所有车站一共要卖多少种不同的车票？看起来跟前面这些问题都没有关系，刚才我们解决的是排列组合问题，这是一个卖车票问题，看上去没有关系，实际上模型就是这个模型，只不过把线变成了双方向的线。这就是数学的模型的思想。

  第四个方面，就是关注过程性，帮助学生积累数学活动经验。我们的教学，一定是动态生成的，关注孩子的数学素养方面的变化的过程，所以我们现在非常强调让学生去积累数学活动经验。那怎么样积累学生的数学活动经验？不是说设计一个活动，今天就要培养这些经验，而是通过各种细节的地方，一点一点地试图渗透。比如我们教“圆”时，就是利用圆来创造、设计美丽的图案。很多老师就觉得用圆可以创造出很多漂亮的图案，只是美观。从这样一个角度去认识这个内容，实际上是远远不够的。我们应该去挖掘，在这样一个设计图案的过程中有关数学的东西，大家都知道现在关于圆的特性增加了一条，就是圆心决定圆的位置、圆的半径决定圆的大小这两种特性。这两种特性在哪里用呢？平时在我们的教学中好像不太容易使用。我们要了解这个图案是怎样形成的，而不是给出一个最终的结果。在这个过程中，让学生深刻体会圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小这一特性。怎么样画出这个图案？首先要想到这个图案是怎么组成的，分哪些部分。所以当你面对结果性的东西时，第一步就是要去分解，是由一个圆，有四个这样的半圆。分解完之后，这四个半圆画的时候要找圆心、半径。半径是多少，我们就看这个半圆，它是由这样的四条直径决定的，那么这四条直径怎么来的？圆通过两条互相垂直的直径，得到这样四个点，所以我们整个过程是回溯，不是一开始就能画的。有了这样一个分解过程，我们再去画这个图的时候思路就清晰了。先画一个圆，然后再画一条垂直的直径，找到了四个点，把这四个点连接起来，所以这一定不仅仅是美的过程，更多的是去体会数学的这些东西。同样的教材可以用不同的方式去呈现这个过程。比如说我们可以从数出发，从数数出发有不同的方法，第一种完全按教材，先出现这样三个算式1=(1)² ，1+3=（2）²，1+3+5=（3）²，这些学生都能算。那么上面的算式有什么规律？学生能不能说出来，左边是1开始的连续奇数之和，右边是一个数的平方。这个规律是比较容易发现的，然后按照规律填出接下来的数。这节课五分钟可能就上完了，学生对这个规律的掌握也没有问题。可以这样，不出算式，直接出一个数列：1、4、9、（ ）、（ ）……接下来是什么数呢？学生就会想到1是1的平方，4是2的平方，9是3的平方。还有学生从数与数的之间的关系发现1+3=4，4+5=9，后面一个数是前面一个数加上每相邻两个数之间的差。同样一列数，可以从不同的角度去看。那么形的作用到底是什么？在上一题的基础上，如果设计成1、4、9、16、（ ）、（ ）……这样的数字，那么可以表示成一个数的平方，这样的数叫正方形数。为什么叫正方形数呢？因为这些数量的物体可以排列成一个正方形。你们可以用正方形和圆片摆出这样的数，让学生去发现，“你能在正方形中发现上面叙述的式子吗？”这个时候2的平方是怎么解读的，1+3是怎么解读的，1+3+5是怎么解读的。从不同的角度去解读这个形，所以形在这里的作用非常直观，也给学生留下了深刻的印象。可能过了一段时间会忘记这个算式，但是这个形可能在他的头脑里。每次想到一个正方形数时，就想到了正方形，然后根据头脑中的正方形去写出那些算式。如果利用圆片摆，我们可以看到的效果和正方形是完全一样的。同样的，16个圆片，可以用不同的角度去解读，可以1、3、5、7，也可以4个、4个，还可以是连续自然数1+2+3+4+3+2+1，这是超越了教材，我们不要去死抠着教材，可以创造性地在教材的基础上发展。同样一个模型我们可以从不同的角度去解读，得到不同的算式。这些都是从数出发，那么还可以从形出发。先出形，给出一个正方形，接下来要问一个问题，“要想拼一个更大的正方形，至少还要多少个正方形？”需要三个。拼一个更大的正方形呢？再增加五个。能发现图形中间隐藏着的数的规律吗？拼出来的总数是多少？让孩子自发地去寻找图中间隐藏的算式。这是相同教材的内容，可以设计得很单薄，也可以很丰厚，不同的教学设计反映了不同的设计能力。再举一个例子，一年级下学期有这样一个活动，前不久《小学数学教育》也正好刊登了这篇文章。一个简单的活动，它包含了丰富的数学思想、数学方法以及培养孩子数学技能方面的东西，能不能挖掘出来，就体现于老师在利用这样一种知识时教科书读得厚不厚。活动就是让孩子在数位表上摆珠子，看看摆出来的是哪些数。先让孩子动手摆，摆的过程当中思考如何做到不重复、不遗漏，培养有序思考的能力。然后慢慢从摆过渡到不摆，这就是一个抽象的过程。如果不摆，能不能写出某个数量的珠子能摆出的数，实现从直观到抽象的过程？实际上，这个时候你已经在应用这些规律。珠子的变化摆出的数有什么变化，发现了什么规律。老师把孩子写的过程一步一步写下来，孩子会发现横向的、纵向的、斜向的都是有一些数的规律，一直到九个数。我们的教材就到九个数，但是我觉得真正有意思的还在后面。所以我建议老师在上课的时候再往后延伸一点，实际上从一到九摆出的数字有什么规律，规律已经很明显了，到此为止还是继续深入？我觉得还可以再往下深入，11颗珠子呢？12颗珠子呢？我在培训的时候经常问老师，11颗珠子12个数，12颗珠子13个数，这很正常！因为前面我们总结了这样的规律，那么我们写一写看12颗珠子可以摆出哪13个数字？这才发现写不出13个数字，为什么？有的老师说十个要进位了，在这样一个简单活动让孩子体会了十进制甚至一般进制的实质。十进制是满十进位，六进制就是满六进位，这就是一般进制的实质。随着数越来越多，到最后18颗只能摆出一个数。大家看一看这是一个什么图形？是平行四边形吗？上面缺了一个角，这就是美中不足。那这个角能不能补上呢？这个角我们是去摆的吗？连我们不用摆，也不会去想到摆，但是当我们发现这个地方缺一个角时我们一定想去补完整，这是为什么？因为数学是完美的，让学生去体会数学这种美，那么如果我们把每一列数往上一推，就是我们小学所学的百数表。在这个百数表上面，哪些是一颗摆出来的，两颗摆出来的，清清楚楚。用这样简单的活动展示数学丰厚的组成，包含了多维度教学目标的有机整合。一颗同样的珠子放在不同的数位为代表的大小数是不一样的，进位制的体会，用这样的一种方式去呈现的话，孩子对进位的实质应该会更加深刻。数学思考方面有序思考，发现模式，进行抽象，问题解决方面，让孩子听一个无序到有序的过程、动手到动脑的过程、猜想和验证的过程，这些在活动过程中都应有机结合。我们的情感态度一定要渗透在活动中，决定着孩子在上课过程中越来越蔫头耷耳还是越来越觉得数学真有意思。如果能激发起孩子学习的兴趣态度、探究的欲望，我觉得这是数学教育最大的成功。

第五个方面，把书读厚，就是适度延展。比如说我们用量角器量角的时候，有时看的是里面的刻度，有时又要看外面的刻度。那孩子怎么知道什么时候看里面，什么时候看外面呢？量角器为什么要有两圈刻度，因为角有不同的方向。我去找量角器的时候发现，有各种各样的量角器。低年级认识钟面时，钟面为什么要设计成12个大格而不是24个大格，这其实是公倍数的问题。再比如怎么延展三角形内角和是180度的问题，其中设计的一个环节是先出一个长方形，然后把这个长方形分成两半，得到一个直角三角形的内角和是180度，其实这是一个循环论证。你怎么知道两个直角三角形拼在一块的时候就是180度呢，其实是你已经默认了这个，所以在教材上是没有这种方法的，不是没编写上去，而是它在逻辑上有问题。我们的教材都是从实验的方式来论证的。

让孩子探索四边形、六边形的内角和，及对邻角相等这些内容，不是说直接得到四边形内角和是多少度、五边形内角和是多少度、对顶角相等，而是要知道老师想传达的是什么，是一个逻辑推理的思维问题。比如说要证明角1等于角3，可以有不同的方法去证明，让孩子说出他自己的理由。有时候是利用等式的传递性，有时候是利用等式的性质，两边同时减去同一个数，等式保持。从不同的角度去证明，你可以利用角1、角2、角3的关系去证明，也可以利用角1、角4、角3的关系去证明。有这么一道题“三角形的内角等于和它不相邻的两个内角之和”，这个结论本身在小学是不作要求的，我们只是想让孩子通过逻辑推理得到一个结论，在这个基础上我们可以进一步延展。我们教材上有这样一个问题问题：“利用三颗珠子寻求移动的方法，一次只能一个，一次只能移动一颗，不能把大的落到小的上面”。学生通过七个步骤，将珠子从一移到了三的位置。第二个环节就是增加一颗珠子，大家都知道，从三颗增加到四颗，虽然说只增加了一颗珠子，但是挪动的情形变得非常复杂了。学生如果能想出来，那最好让学生来展示；如果真的挪不出来，老师可以带着学生来试一下，最后用了十五次把它挪出来。这个时候只出现了两种数据，能看出这个模式吗？不太容易看出来。研究复杂问题的时候要从最简单的问题研究起，猜想珠子颗数与移动次数之间的关系。发现规律的时候，不同的孩子发现的角度是完全不一样的，有的孩子从1、3、7、15发现，是1、4、8、16，就是2ⁿ-1；有的从数与数的关系，从1到3，就是1*2+1=3，3到7就是3*2+1=7，7到15就是7*2+1=15，每一次都是前面数的两倍加上一就得到后面那个数；还有的孩子从数与数之间的差，1到3之间是2，3到7之间是4，7到15之间是8。孩子发现了不同的规律，这些规律实际上在小学阶段是不完全归纳，这就是一个归纳推理的思想，从特殊的数去形成一个一般性的猜想、一个规律。有了这个规律，64片怎么做呢？64片就是64个2相乘减1。其实这就是一道思考题，涉及了多维目标的实现化繁为简的模式的思想。模式有多样化的，推理有从特殊到一般、从一般到特殊。数感的建立，数学的美感，不是形式的美，更多的是内在的美。数学很有力量，能物理操作吗？操作是不可能的事情，只能用数学的工具来解决这个问题，正是体现了数学的内在力量，探究过程的经历，探究数学兴趣的培养。张景中教授前两天微信上的一篇文章，提到好的文章、好的读物让学生展开数学思维的美妙，引导学生体验几样东西。第一，震憾感。刚才这个例子中有震憾感，也有力量感、解放感和科学之美（图形的美、规律的美、和谐的美）。所以我们要深入浅出地让孩子去感受到这些数学的美妙。

第三个问题，怎么样把教科书读薄。一说到读薄，首先想到的是融会贯通这四个字，我们教了那么多数学知识以后，希望孩子对一些知识、一些方法有融会贯通的地步。数学中有很多概念、很多方法、很多技能，但是有一些是非常核心的。就像我们从事教育一样，可能到最后也浓缩成教育是什么这样的问题了。我们到底给学生留下什么东西呢？这是作为老师应该思考的。我们经常讲理解数学的本质，那它内在的本质是什么？追根溯源，找到本源在哪，在这样的情况下融会贯通。我经常引用这些名家如朱熹的话，后来又抄了梁漱溟的《思考问题的八层境界》。他的“以简御繁”里讲过一段话，我觉得对我们学数很有启发，“你见到的意见越多，专研地愈深，这个时候零碎的知识、片断的见解都没有了，心里便是一贯的系统，整个的组织。如此，就可以算成功了，到了这时候，才能以简御繁，才可以学问多而不觉得多。凡有系统的思想，在心里都很简单，仿佛只有一两句话。凡是大哲学家皆没有许多话说，总不过一两句。”很复杂很沉重的宇宙，在他手心里是异常轻松的——所谓举重着轻。虽然达不到这样一种境界，但是我们能往这个方向去努力，希望留下来的是系统性，是整个的组织而不是零零碎碎的知识。又引了张恭庆老师的一段话，“数学是一个有机的整体，它像一个庞大的、多层次的、不断生长的、无限延伸的网络。高层次网络是由低层次网络和结点组成的，后者是各种概念、命题和定理。各层次的网络和结点之间是用严密的逻辑连接起来的。这种连接是客观事物内在逻辑的反映。”大家可以好好琢磨这篇话，我们的孩子从低年级到高年级，从小学、中学到大学就是一层一层不断伸展的。每个节点连起来是可以形成这样一个网络的。

接下去讲三个方面。第一，数学知识的一致性。我们大家都知道在学平面图形时，首先学的是长方形的面积，然后是正方形，当然这是一个类推而已。从长方形把一个平行四边形转化成长方形，得到平行四边形的面积，然后要求三角面积的时候，把三角形拼接成一个平行四边形来求。梯形也是经过分割或拼接，转化成已知的图形来求的。圆的面积呢？我们把它分割完后，转化成平行四边形的面积来求。如果我们整个认知是这样的一个过程，那学完这些东西后应该是反过来的。我们从一个梯形出来，如果这个梯形的扇形是0，这个梯形就转化为一个三角形，前面我们为什么能通过这种转换的方式来推导，就是因为它们内在是一致的。现在我们看看这些东西有没有本质的区别，显然没有，包括圆。我们把圆分成若干等份，每一份都是扇形，这个扇形可以看成是一个三角形。这个三角形底面就是一条弧，然后高是一条半径的三角形，这些三角形拼起来其实就是一个大的三角形，这个大三角形的底是什么？圆的周长。高是什么？高是半径，就是1/2乘以上底再乘以高。所以这样的情况下，我们可以看到平面图形其实都是一致的。立体图形也是这样，学的时候我们先学长方体，再学正方体、圆柱、圆锥，学完以后发现这些东西都是一回事情。上下一致的都叫柱体。再说一件事情，关于单位“1”与单位“1”的个数，我们经常一提到单位“1”就想到是分数。我们把一个月饼平均分成四份，每份是这个月饼的1/4，是1/4个。5个月饼平均分成四份，每份是这些月饼的1/4，是5/4个。在这两句话里，我们可以看到两个1/4，为什么都可以表示成1/4？这个跟分的多少有没有关系？没有关系。我们学完分数以后就知道有一个统一的单位“1”的概念，就是整体“1”。有了这整体“1”的概念，只要我们平均分了四份，每一份就是这个整体“1”的1/4，所以这个1/4是不会变的。那为什么左边的是1/4个，右边的是5/4个呢？就是因为单位“1”的个数变了，所以当你都用个来表示的时候，它的数就发生了变化。我们回过头考虑一下数学的定义，数学是研究数量关系和空间形式的科学。我们就研究数量关系，数量关系里有很多东西，数量这个词，数是从数量来的。我们在研究数的时候，包括将来度量的时候，会有各种单位，常见的量、时间的量、质量的量还有长度、面积、体积。我们都是拿一个单位去比较。单位换算的时候，运算的意义、算理、算法都离不开单位“1”和单位“1”的个数，华罗庚说：“数起源于数，量起源于量。”

所以怎么数？数的就是有“多少个”“计数单位”。“计数单位”变化时，“多少个”也随之变化。比如100这个数，是100个1，是10个十，是1个百……0.1，是1个十分之一，10个百分之一（0.10），0.1个1……这就是在讲小数的性质。小数后面加上多少个0，它的大小是不变的，但它的计算单位在发生变化。分数也是一样，1/4是1/4个单位“1”，是1个1/4，是2个1/8（2/8）……这是分数的基本性质。所以我们在认识数的时候都是从计数单位这样的角度。我们在度量的时候有了数量，2年、2天、2吨、2千米、2米……我们在单位换算的时候，变成了730天、48时、120分、2000千克、2000米、200厘米……这里有进率、平均分、乘法、除法、分数这些知识。我们在进行数量之间的关系的时候，对它的大小进行比较，这些算法其实就是在讲单位。我们为什么要计算整数、小数？加、减运算的时候要相同数位对齐？就是为了保证相同数位的相同计算单位的累加或者累减。小数也是一样，为什么要小数点对齐呢？比如6.4和4.2，末位对齐、小数点对齐是决定了左边右边的计数单位都是一致的。我们在进行分数大小比较时，3/10是3个1/10，7/10是7个1/10，我们在比较大小的时候其实就是在比较计数单位的个数的多少。在进行计算的时候为什么要通分？通分就是为了保证相同的计数单位，计数单位一致了以后才可以进行累加。除法也是一样的，“每组4个，有5组，共有多少人？”其实就是在讲以4人为一个单位，单位有另外一个名称叫组，有5个这样的单位，那么求出来的是20人，以1人为一个单位。所有的数量里都包含两个参数，一个是单位名称，一个是前面的数，单位名称就是计数单位。“80朵花，每束花20朵，可扎几束？”20朵为一个单位，这个单位叫束，看80里面有几个这样的单位。讲分数乘法计算的时候，在进行单位之间不断的转化，我们要求1/2公顷的1/5是多少公顷？那么什么叫1/2公顷？1/2公顷是以公顷为单位，把它平均分成两份，其中的一份叫1/2。首先我们从1/2公顷这个单位入手得到这样一个模型，那么它的1/5是多少？就是以1/2公顷为单位，把它平均分成5份，取其中的一份。这时候要求的是以公顷为单位，那这一部分它占到了1公顷的多少？占到了1公顷的1/10。所以在乘法的过程中就是单位在不断地变化，前面的数量也在不断地变化。

第二，数学方法的一般性。成人的第一反应：这是一道典型的有余数除法的题目。这道题出现在一年级是不是超纲了，我们对于解决问题来讲往往开成这样固化的一些东西。实际上我们在有余数除法里有，在前面一年组就有，用减法、用圈圈的方法都可以解决这个问题。

第三，数学思想的一统性。很多问题的情境变化了，但是所包含的思想其实是一致的。在小学数学中，常见的数量关系非常多，购物问题、行程问题……其实都是要回到本源，都是表示了乘法的几个几相加。加、减、乘、除四则运算，其实它的模型都是一样。那模型思想比如追及问题、储蓄问题，实际上讲的是一个水槽的问题。最后和大家分享几句话，以此共勉。把书先读厚、再读薄是一个永无止境的过程。我们每个人都行走在路上，行走在这个过程中，所有人都应该努力去追求的目标。厚积才能薄发，深入方可浅出。

作者：丁国忠（人民教育出版社小学数学室编辑，副编审）