11月22日互动专刊
让学生发现和感悟数学之美
——观唐彩斌老师《生活中的螺旋线》一课有感
每一次观摩唐彩斌老师的课，都能发现更新鲜的教学创意，仿佛新打开了一扇窗户，让我们发现新的风景，收获新的感悟。这一次，在唐老师的课堂上我发现了螺旋线的无所不在，感受到了螺旋线蕴含的奇异之美，更为数学构筑起的美的深邃深深震撼。
2011年，唐老师在英国访学期间听到了一节数学欣赏课，一位小学老师给学生们介绍生活中各种各样的螺旋线。课堂上呈现出来的美触动了唐老师的心弦，让他产生了推介给国内孩子们的想法。唐老师不愧是编教材的专家，有着敏锐的课程资源意识和出色的开发课程资源的能力，这才有了我们看到的这节别出心裁的数学课。
唐老师的课，让我想到了四个关键词。
第一个，神秘。课伊始，著名电影《达•芬奇密码》里那串令人难以捉摸的密码：13-3-2-21-1-1-8-5，让不明就里的学生感到了困惑，也唤起了潜藏心底的那份神秘感。是啊，这里边到底隐藏着什么规律呢？经过一番大胆的推想，有位男生提到“把这串数按从小到大排列，呈现出的‘1-1-2-3-5-8-13-21’就是斐波那契数列开始的一部分”。谜团被揭开，唐老师顺势介绍了斐波那契数列的基本规律，并指明“为什么它在文学作品经常出现，是因为它在数学和生活中有着极其广泛的应用”，他还提醒学生用数学的眼光去发现这样的数列藏在了哪里。
第二个，美妙。斐波那契数列果然藏得很深。它藏在除法算式的得数里，也躲在我们身边的实物里。为了帮助学生透过现象看到数学的踪迹，唐老师播放了一段1分钟微视频，形象生动地展示了“数列如何变成美妙的图形”，动态的画面，飞行的线条，充满了奇异的魔力。在优美的音乐背景下，生活中美妙的螺旋线纷至沓来：奇特的花、仙人掌、身边的松果、芦荟、听说很好吃的花菜、可怕的飓风、恒大的银河系、宏伟的建筑、甩出的水花、我们的耳朵、苹果的标志、妈妈的座椅……形的背后是数，数与形彼此呼应，原来斐波那契数列无处不在呀！
第三个，深邃。“螺旋线为什么那么美？”在这个问题引领下，学生看图、看数，计算斐波那契数列中前一个数除以后一个数所得的商，继续发现规律。在交流中，老师极有耐心地板书了0.5、0.666、0.6、0.625、0.6153、0.6190、0.6176、0.61818、0.61779、0.61805、0.61802575、……，越来越接近哪个数？对，是0.618！正是黄金比的比值。原来如此！这层层逼近的过程，积聚起了一股深邃的力量，积淀为一种深邃的美。
第四个，时尚。课即将结束，唐老师推介了“应用螺旋的美妙”，比如用在拍照上，用在热播电视《琅琊榜》的取景构图上。唐老师，够时尚！好似顺手拈来，实则智慧经营的美妙创意。
我还有几点困惑，思之不得，向大家求教：
1.这节课里出现的画螺旋线、计算螺旋线有多长两个环节，难度较大，学生完成不易，导致费时较长，让课堂气氛变得有些拖沓，影响了学生的心理体验。这样的环节于这节课的主题——“美妙的螺旋线”是如何有机关联的？老师的用意能否体现得更透彻些？更自然些？更轻松些呢？
2.尽管螺旋线与斐波那契数列高度相关，但针对这节课的主题“美妙的螺旋线”而言，唐老师在谁为核心谁围绕着谁转的关系处理上，似乎没有充分理顺二者的关系。先有数列，还是先有图形？是数变形，还是形变数？数列是因为图形而变得丰富？还是图形因为数列而变得更加深邃？抑或兼而有之？开头的密码，固然神秘，但和螺旋线还隔得远了些。如果是我，可能会舍弃这样的开头。
我草拟了一个上课思路，请大家批评。
（山东省 张良朋）
让学生充分舒展思维的羽翼
——观顾亚龙老师《怎样围面积最大》一课有感
顾亚龙老师执教的《怎样围面积最大》，是一节洋溢着浓浓的数学味，思维含量很足的数学好课。顾老师的教学，彰显了“有思想的技术，有技术的思想”的独特品位，值得细细品味。
这里仅从发展学生思维的视角谈几点不成熟的看法。
一、用“预学”预热思维。
课前，顾老师布置学生完成了“预学单”上的题目。题目有三个：
1.操作型：用一根26米长的绳子，可以围成哪些不同的长方形？（长、宽取整米数，在边长为1米的格子图上画一画，并分别标出长与宽）。
2.发现型：根据画一画的结果，填一填，想一想：
观察表格，我发现：
3.问题型：我还想知道：
预学活动的实施，给了学生较为充裕的自主学习空间，在“操作—发现—提问”的系列学习活动中，学生有了自己初步的发现，记下了向老师或其他同学请教的问题。这在一定程度上，缓解了课堂教学时间紧张，探究活动费时较多的矛盾。顾老师课前还做了一项工作，把“预学单”收上来，了解学生课前预学的情况。这样做的好处是，能明了学情，更有针对性地教，让“正确的废话”变少，把课堂时间花在学生不懂的内容上。学生课上汇报交流时，顾老师只在关键处设问点拨，一方面澄清疑惑点，另一方面凸显问题解决中的关键要素，学生的思维步步深入。课前学生“预学”，课上学生“对学”、“群学”，教师“助学”，以学为本、顺学而导的教学主张鲜明地体现出来。
二、用“问题”驱动思维。
整节课是由几个“大问题”统领而成的。“有哪些不同的围成方案？→发现了哪些规律？→你们想问什么问题？→猜想之后，怎么验证？→回顾，我们是怎么学习的？→这个结论有什么用？”对学生而言，每一个问题，都是一次思维的激活，都会引发观点间的碰撞，是思维活动的继续推进，是思维水平的继续提升。学生学的不仅活，而且颇有深度。顾老师还积极鼓励学生发问，学生的问题也成为推动自己思维发展的一股重要力量。
三、用“方法”保障思维。
顾老师十分注重循着知识的脉络，适时适度地提炼学习中的方法元素，“知”与“法”交织，“知”与“法”互促，“知”与“法”兼得，让思维活动开展得有序、活泼、深入，不断优化。这样的精彩细节有很多。比如，列举不同围法时如何做到既不重复，也没遗漏。比如，在解决“观察表格，你发现了什么”这一问题时，在探问“结果”的同时，顾老师及时追问“怎么观察的”，从上到下、从下到上、从左到右、从右到左这些观察方法引领了学生发现的深度，保障了学生思维的质量。再比如，“改单位”和“改数据”的验证方法。
我们来看看顾老师的板书里有什么？
有重要的结论，有推理发现的素材，还有“猜想—验证—结论”的学习方式，“画图—列表—列式”的学习方法。
这堂课里有什么，想必老师们不难找到答案。
四、用“思想”提升思维。
“周长是10000，你还会画图、列表吗？怎样找到怎么围面积最大的答案呢？”“你喜欢哪一种？”“为什么喜欢计算？”“方便！对，我们数学就是追求简单化。”通过这中间的问与答，数学追求优化，追求简单化的思想悄悄渗入了学生的心田。这对学生思维，何尝不是一种境界的提升呢？
五、用“应用”印证思维。
“这个结论有什么用呢？”回归现实，让数学思维更加有力量。最后的“练一练”只有两个题目，一个指向“最大”，一个指向“最小”。题不在多，发展思维就行。
留几个小疑问，向大家求教：
1.顾老师课前以自己的名字为话题和学生交流，说自己又“聋”又“哑”，但其实不是真的又聋又哑，是故意装聋作哑，为的是让学生自己去学习探究。这是颇具匠心的处理方法。但我以为，背后的玄机最好别点得那么透，可以问问学生，老师又“聋”又“哑”，你们觉得怎么做比较好？似乎对学生更有促进作用。自然地装聋作哑，应该更好。
2.课堂中有些环节思维的转换比较复杂，对学生很有挑战性，学生真正弄通十分不易。可否再慢一些？
（山东省 张良朋）
创新教学方式，优化数学教学
——观黄升昊老师《图形的运动——轴对称》一课有感
黄升昊老师和孩子们带来的《图形的运动——轴对称》一课，新意十足，尤其在教学方式的创新上，令人印象深刻。
这里谈谈黄升昊老师创新课堂教学方式的“四招”。
第一招，利用“导学单”指导先学。学生课前完成了导学单，课堂教学就从反馈导学单的完成情况开始。在反馈画对称图形时，课堂上呈现出了学生各不相同的几件作品，黄老师有意不让原作者谈做法，而是激励其他同学猜猜原作者画的想法。“同样的
,
“选用的轴不一样。”“这是个四边形，我们可以选它的4条边作为对称轴来画。”导学单的使用，对学生来说，使得课前学习的目的性和有序性变得更强，且思维的时空更为充裕，既为课上学习作了铺垫，也为课上研讨提供了素材；对教师而言，便于教师更充分地了解学情，舍弃那些不必要的重复环节，给予学生更具针对性的指导。
第二招，利用“微课”因材导学。当教师布置了课上任务“画出三角形ABC的轴对称图形”时，要求学生独立完成。但考虑到有的学生完成起来有难度，黄老师让自认为学习有困难的学生选择观看平板电脑里的微课来指导自己学习画法。学生对这种新颖的学习方式很感兴趣，看视频的热情高涨，他们还能自主调整看视频的节奏，很快掌握了画水平放置的三角形ABC的轴对称图形的方法。这样的教学方式，照顾到了学生的差异，给学生以学习的选择权，便于自主学习活动的开展，老师也能抽出更多的精力对个别学生进行更具个性化的指导。
第三招，利用“电子白板+手持技术”反馈教学。我很欣赏黄老师设计的在电子白板上下对称棋的活动。清晰的画面背景上，学生积极参与其中，自如地拖动棋子，使A、B、C分别找到了自己的好兄弟A’、B’、C’，积累了操作体验的同时，也深化了对轴对称图形特征的认识。在反馈学生画三角形ABC的轴对称图形作业时，黄老师先用平板电脑采集学生的现场作业，再利用无线传感器将作业传输至电子白板上，然后有选择地借助白板展示部分作业，让同学们共同辨析正误，提炼作图要点。稍后老师利用电子白板清晰明了地演示了“先描点，再连线”的动态过程，随手点上的D点可谓妙手，深化了学生对轴对称图形特征的理解。将“电子白板+平板电脑+无线传屏技术”整合进课堂教学，使教学反馈更为及时和便利，学生收获了更加真切生动的学习体验，数学课堂展现出了不同寻常的精彩。有观课的老师禁不住赞叹：“高科技课件以及微课的使用使学生沉浸在课堂中，不仅对知识掌握得清晰，还激发了学生的求知欲！调用时，教师只需‘点击’或‘拖动’，使课堂教学恢复了‘黑板+粉笔’时代的灵活。”当高科技变得像传统教学手段那般得心应手，老师和学生就真有福气了！
第四招，利用“挑战性任务”优化教学。“你们觉得自己牛不牛？挑战难度大的才叫牛！”黄老师操作课件，开始变换问题的难度，先是把方格背景去掉，再把三角形大翻转斜着放置，后来连对称轴的位置都改变了。
再后来，对称轴平移到别的位置，由学生确定对称点的新位置；再后来，对称点的位置先固定下来，由学生确定对称轴的位置。每一次变换，都是一次新的挑战，学生在挑战中学习着“变”中把握“不变”的数学本领。这其实就是传统变式教学借助先进教学技术的一次精彩亮相。
创新教学方式，目的是为了优化数学教学。愿我们做出更多有益的探索，让数学教学更好地助力学生的发展，让每一次教学都成为师生共度的愉悦与智慧兼具的幸福旅程。
（山东省 张良朋）
学员课评
向名师学习，做有内涵的教师
秋雨飘洒，带着一份莫名的激动，我步入了杭州“千人万课”的现场，开始了为期四天的听课学习生活。四天的学习中，心灵的震撼不断。无论是名师示范课还是专家的专题报告都带给我太多的冲击，太多的感悟。新常态课堂，精彩纷呈。都说一名优秀的教师要做到“静下心来教书育人，蹲下身来和孩子们对话。”这几节示范课中老师们的课堂表现以及所展现的个人素养就是对这句话的最好诠释。
“静下心来教书育人”。几节示范课，最抓人眼球的就是几位名师的教学设计。他们都不像常规课那样一开始就把问题抛出来或者把知识点端出来，枯燥乏味按部就班的讲解知识点，然后巩固练习，全课小结。而是精心设计，巧妙地把知识点穿插在一个个游戏、谈话或学生感兴趣的生活情景中，不知不觉中，一节课就在精彩的师生互动和丰富的教学活动中体验完了。
我想，这每一节示范课，每一位授课教师都是把学生放在课堂最主要的位置，呈现“生本课堂”。更不仅仅着眼于教材上的知识点，而是重视学生“四基”、“四能”的培养，不仅仅让学生知道“是什么”，更让学生知道“为什么”。授人以鱼不如授人以渔。老师们往往一开课就制造冲突，创造了一种“需求感”。让学生发现问题，然后引导学生思考、猜想，并且他们不会满足于从孩子嘴里听到标准答案，他们不断追问，不断质疑，使学生想办法验证猜想，解决问题，获得知识，他们就是这样带领学生不知不觉，一步一步走进课堂教学内容，自主获得知识，学生这样学得的东西才最扎实。在学生获得知识后，提炼教学思想，从具体到抽象，再到推理，建立模型，学生学会了知识点，更学会了学数学、思数学。
“蹲下身来和孩子们对话。”蹲下身子看学生、与学生对话，这是美好教育的基本理念。蹲下，一个小小的动作，蹲下去的是老师的身子，升上来的是教育的高度。“蹲下”其实是指教育的态度，体现的是教育者对被教育者的尊重。有了尊重才有平等，才能互相理解，才能相互信任。有了信任做基础，师生之间的沟通就变顺畅了。
这几节示范课，无论是哪位老师执教，他们都给我们呈现出和谐、融洽的师生氛围，即使是第一次接触，学生和老师之间并没有陌生感。老师注重学生的学习思考过程，关注学生的回应。特别是适时装傻、精心设计的问题，一次次弯腰把话筒递到孩子嘴边的动作，微笑的表情，认真地聆听、亲切的鼓励，让学生如沐春风，获得极大的满足感。因此，每一位学生都愿意举手表达自己的观点，课堂活跃、金句不断、笑声不断。整节课在学生思维的激荡中轻松愉快的完成了。
短短的四天，却学到了很多。虽然累了，但精神丰富了。在今后的教学工作中，我会结合所学，应用于我的教学实践中去。提升自我，做一名有内涵的教师。
（湖北省 郝 悦）
美轮美奂的数学课堂
——赏唐彩斌老师《生活中的螺旋线》有感
数学之美，美在哪里？也许很多数学老师经常会提起这个话题，但却很少有老师能真正的在自己的课堂里体现出数学之美，今天唐彩斌老师就给我们带来了一节精彩和美丽的数学欣赏课。
从电影《达芬奇密码》的破译，到欣赏图片，如松果、芦荟、蜗牛、花菜、飓风、银河系、建筑、耳朵、iphone商标等等，最后到黄金分割线，无处不展现着数学之美。唐老师通过对斐波那契数列的介绍，让同学们去发现生活中的数学之美，对学生树立学科美感和好感产生了极大的帮助。对唐老师精彩与美丽的课堂我也想分享几点我的感受！
唐老师课堂的精彩主要体现在三个方面：
第一，这节课是靠任务驱动来展开学习的。首先是围绕一部电影《达芬奇密码》，孩子们拿出的一串数字自主的靠这个任务去探索这组数字当中它的密码究竟是什么，孩子们在互相探索的过程中寻找出了这组数字背后隐藏的规律，进而引出了斐波那契数列；其次是驱动孩子们共同去欣赏生活当中这串数列的实际应用；最后和孩子们共同去寻找黄金分割线它内部的数学规律以及它在数学里的本质。靠着这个任务的驱动，孩子们才能自始至终，全神贯注地投入到数学学习当中来。
第二，唐老师将数学和生活紧密的联系起来，在孩子们初步地领略了这类数列之美后，老师给孩子们欣赏了一组图片，到最后寻找生活中的美，这也是数学之美在生活中的实际应用，是架起生活与数学的桥梁，是探求数学的本质以及它在生活当中的意义和价值，这也是我们数学课程标准当中积极倡导的数学应用的价值所在。
第三，唐老师教育理念的展现——暴露学生在学习当中出现的错误。当在绘制螺旋线时，唐老师首先展现了一个正确的绘制图形，但他并没有利用这个正确的图形来试图说服全班同学，而是又展现一个画的不太正确的学生作品，和同学们一起来寻找这个错误图形的问题所在，修正她的错误，而且在修正错误后还给予一定的时间让所有学生再次修正自己的错误，这是一种非常可贵的教育思想和教育理念，这才是真正做到了以学生为本的课堂。
唐老师的课堂不光精彩，更是一种美丽的欣赏。强烈的视觉冲击给大家眼前一亮的感受，在优美的音乐背景下，听着唐老师对图片淡淡的修饰语：可怕的飓风、身边的松果、芦荟、听说很好吃的花菜、宏伟的建筑、甩出的水花、妈妈的座椅等等，听起来是那么的美妙，那么的神奇，给我们一种无与伦比的享受、震撼与感动，这些都是生活中的应用之美。数学美的核心有三个基本要素：简洁、对称、奇异。在唐老师的课上，我们深刻的体会到了数学的奇异之美，更领略了螺旋线的美。当一个人真正领略了数学之美的核心，他才能更有助于培养学生对待数学，对待数学学习的一个态度，乃至影响学生的学习成绩。
万物皆数，大自然是多么的神奇，听唐老师的课，我们犹如行走在一幅幅美妙的画卷之中，正如法国著名雕塑家罗丹所说：“生活中不是没有美，而是缺少发现美的眼睛。”唐老师精彩的课堂演绎，诙谐幽默的语言，把学生逐步带入美轮美奂的数学世界，让学生在不知不觉中学会用数学的眼光分析生活中的现象，让我们铭记唐老师给我们带来的这堂美丽的数学课。
（湖北省 夏 欢）
获奖信息
质疑问难奖
湖北省武汉市光谷第九小学 朱琼芬
湖北省武汉市光谷豹澥第一小学 王志敏
学员课评奖
湖北省武汉市光谷豹澥第一小学 郝 悦
湖北省武汉市光谷左岭第一小学 夏 欢
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