陶行知指出：“教”的法子要根据“学”的法子。学生是有自己学习数学的方式与特征的，对学生数学学习的重新认识，不仅能促进教学行为的改善，“学”与“教”品质的提升，还能促进教师教学观念的重建。
一、从“有”到“更有”
我们所面对的学生，并非是“一无所有”地走进课堂的，他们在生活中就已经有许多数学知识的体验，而学校的数学学习则是他们生活中有关数学经验的总结与升华。学生原有的知识储备，以及在社会生活中所形成的关于数学的朴素认识，都构成了他们进行数学学习的“特定视界”，影响并制约着他们的数学学习。
数学学习，是学生从“有”走向“更有”的过程。通俗地理解，学习是一种变化，这样的变化，表现为从“有”到“更有”。当然，什么发生变化，发生怎样的变化，这都是有标准的。
以三年级学生“认识长方形和正方形”的教学为例。在一年级，学生就已经直观认识了长方形、正方形，还有不少学生在幼儿园就已经整体辨识了长方形和正方形。那么，通过三年级的学习，他们“更有”什么呢？学生的“认识”与这节课之前的“认识”有什么发展呢？
在认识了长方形和正方形的特征之后，我出示了下面的问题：下面的图形中，哪些是长方形？哪些是正方形？
这样的问题，在一年级，学生就能完成了。三年级再做这样练习的不同之处在于要学生说清楚选择的理由，而这恰恰要应用此时所认识的长方形和正方形的特征作答。
在解释的过程中，学生会初步感受到：要说它是长方形或正方形，必须看它是否符合长方形和正方形的所有特征，而判断它不是长方形或正方形，只要有一点特征不符合，就可以做出判断。由此，学生可看出“有”和“更有”的不同，从而使学生的学习过程与结果更有意义和价值。
台湾作家林清玄曾在文章中写道：垦地播种，总是“花未发而草先萌，禾未绿而草先青”。为何？原来是草籽早在耕种前就已经存在。在学生学习新知的过程中，我们关注过他们原来头脑中的“草籽”吗？原有的“草籽”，能否生长成为“禾苗”呢？
“草籽”，其实也相当于学生学习新知前的“感觉”。学习，是需要感觉的。面对新知，如果学生对此一无所知，很容易在学习过程中产生“防御性的反应”，而如果我们对所学内容有所接触、有所感觉、有所知晓，且在我们的“最近发展区”之内，那接下来的学习将会充满信心和动力。
以“图形的放大与缩小”的教学为例。
在日常生活中，学生就已经积淀了有关“放大”和“缩小”的认识。基于此，教师要尊重学生的已知、已有，组织学生在敞亮“感觉”的过程中建构图形“放大”和“缩小”的正确理解。
我在出示图1之后，分别演示图1“放大”成图2、图3、图4。
我指出：“如果按照我们平时的想法，与图1比，图2、图3、图4这3幅图都放大了。不过，3幅图中，只有1幅图符合数学意义上的放大。你认为是哪一幅呢？”
学生凭着自己的感觉，都认为是图4，并且能解释自己的感觉——放大时，长和宽放大的倍数应相等。
我接着出示图1的尺寸（长3厘米，宽2厘米）和图4的尺寸（长6厘米，宽4厘米）。学生用学过的“倍”的说法表达怎样放大之后，我提出：“能用‘比’表 达吗？也就是说，图1按照几比几放大成图4？”
学生凭着自己的“感觉”，有的说“按1：2放大”，有的说“按 1：4 放大”。接下来，我就顺其自然地引导学生阅读、自学教科书了。
教学片段中同时对比呈现图形的“拉伸”与“放大”，学生潜在的感觉（放大，长和宽都要放大）被明晰、强化。进而，我又以反例，以反衬正、以反激正，促进学生完善认识“放大时，长和宽放大的倍数应相等”。
在完成对“放大”的定性认识之后，我紧接着组织学生探讨关于放大的定量刻画。当谈及“放大”和“缩小”时，我们一般认为把原图边长扩大2倍，即按1：2放大，或许还会像学生所说的面积扩大到原来的4倍，做出“1：4”的回答。而数学上的规定，恰恰是2：1。我先让学生把“感觉”敞亮出来，继而引发他们看书自学的内在需求，并在交流中去伪存真，实现概念替代。
学生的感觉，有的对，有的错。但无论对与错，都反映了学生真实的学习起点。数学学习，应在学生原有基础上展开。
三、数学学习，是学生对数学的 “发现”
数学学习的过程，是学生对数学有所“发现”的过程。这里的“发现”，是学生对前人已有定论的数学知识的习得，是对自身未知领域的“发现”。正如弗赖登塔尔所说，学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。
以“锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”的教学为例。在没有学习锐角三角形、直角三角形和钝角三角形之前，学生根据上述命名即可大致了解这三种图形的含义。教学时，我设计了对学生更具有挑战性的问题：如果将三角形按角进行分类，可以怎样分类？能用图表示吗？
一位学生是这样想的，如下：
在该学生展示交流之后，学生就等腰直角三角形展开讨论并形成认识：等腰直角三角形是等腰三角形中一种特殊的情况，特殊在有一个角是直角；等腰直角三角形是直角三角形中一种特殊的情况，特殊在有两条边相等。
接着，我引导学生思考：等腰直角三角形和直角三角形是不是并列的关系？它们之间的关系和我们之前学习的什么知识类似？在学生回答“垂直与相交”后，我在黑板上画出下图（如图5），并提出问题：垂直与相交，如果用这里的两个圈表示它们之间的关系，大圈表示什么？小圈呢？在学生回答后，我再组织学生思考：还是这两个圈，如何表示等腰三角形与等腰直角三角形的关系？直角三角形与等腰直角三角形呢？由此来看，等腰直角三角形与锐角三角形、钝角三角形、直角三角形之间，是不是并列关系？
大多数学生回答“不是”，其中一位学生脱口而出：“包含关系。”我又问：“如果三角形按角分类，可以怎样分类，它们之间的关系如何画图呢？”我展示一位学生画的图，如图6（我了解了全班学生画图情况，发现没有学生用集合图的形式表示三角形的按角分类）。
我提出问题：“如果画圈，应怎样画呢？”一位学生到黑板上画出了图7。
这时，有学生质疑：“在大圈中，三个小圈的外面表示什么呢？”接着，一位学生到黑板上画出了图8。
又有学生质疑：“这样的图，让人感觉直角三角形、钝角三角形都是特殊的锐角三角形。” 最后，一位学生画出了图9。
至此，通过充分互动、相互启发，学生发现了如何用集合图来表示三角形的按角分类。在这个过程中，学生也进一步认识与理解了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形以及它们之间的关系。
从上面的教学片段可以看出，学生的“发现”不是无厘头，也不是空穴来风，而是有所准备的，既包括心理准备，又包括认知准备。准备的过程是学生积蓄想法、酝酿发现的过程。“过程”的价值，不但催生了学生的“发现”，而且学生观察、比较、归纳、概括等能力都得到了发展。
发现不仅是一种方法，还是一种意识，主动获取自身尚未知晓的知识的意识，更是一种能力，求己所未知的能力。学生数学学习的过程，就是在教师组织、引导下，学生积极发现，自主建构，实现再创造的过程。
基于学生数学学习的需要，有必要将数学史融入数学教学中，这不仅会使教学变得有“意思”，也让教学变得有“意义”，学生们将不仅仅停留在“知道”层面，更能感受数学形成的过程，体会人类认识世界、数学化地刻画世界的过程，即在认识历史的过程中理解数学。
“年、月、日”的教学目标一般为：通过观察年历表认识时间单位年、月、日，知道大月、小月、平年、闰年等方面的知识，记住每个月以及平年、闰年的天数。由上述教学目标可以看出“年、月、日”第一课时要学的内容。无疑，这是“数学”。不过，这是静态的、结论性的数学知识。
现代的数学观已经从静态主义的观点转向动态主义的观点。数学不应被简单地等同于数学知识的汇集，不应被看作无可怀疑的真理的集合，而应被看作人类的一种创造性劳动。
以往我在教学“年、月、日”这一内容时，大致按照这样的思路展开：观察年历表，理清每个月的天数；根据每个月的天数对月份进行分类，认识并记住大月和小月；关注二月份天数的不同，认识平年和闰年；研究二月份天数的变化规律，探究平年和闰年的判定方法。这与教材的编写思路是一致的。
研读教材之后，视线再转向学生：学生需要从年历表中归纳学习“年、月、日”的知识吗？“年、月、日”与学生的生活联系紧密，关于“年、月、日”，学生已经知道了什么？
通过调查，我发现三年级的学生大部分已经知晓了“年、月、日”的一些知识，如果教师仍然按照原先的思路组织学生观察年历表，那学生也就只能表现为“知道却装作不知道”了。
进一步思考：如果不这样设计，那么这节课的数学味是什么呢？即如何体现这是一节数学课呢？换个说法，数学课上学习的“年、月、日”与科学课上的“年、月、日”有何不同呢？
既然学生已经知道了“年、月、日”的一些知识，我再“助推”一下，组织学生在课前进一步研究学习“年、月、日”。我设计了下面三个问题：
（1）关于“年、月、日”，我知道了什么？
（2）对“年、月、日”，我有什么疑问？
（3）我收集了哪些有关“年、月、日”的知识或数学故事？
课堂从交流学生关于“年、月、日”的已知信息入手，学生先同桌间交流，然后全班交流，交流的内容既有本课学习的，也有后续将要学习的，既有正确的，也有不正确的。
关于“年、月、日”，学生的疑问大致有两类：一类是如“为什么二月的天数最少？”“为什么七月、八月都是大月？”这样知晓结果追问缘由的问题；一类是如“年、月、日是谁发明的？”这样对历史由来的追问。
如何解答这些问题？显然，得从历史中寻找答案。从这些问题中，我们要看到数学知识，更要看到隐于知识背后的数学思想、精神……
对于“为什么二月的天数最少？”“为什么七月、八月都是大月？”这样的问题，让学生“百度”一下，古罗马凯撒与奥古斯都的故事都不难找到。那这样的故事是否一“听”就可以了之了呢？我的教学处理是这样的：
教师邀请学生讲解凯撒、奥古斯都的故事。之后，教师和全班学生共同回顾故事内容并提问：“最初，大月、小 月是如何规定的？”师生完成列式解答。在计算的过程中，学生初步经历了历法的变化与调整过程，对儒略历的认识，对大月、小月的规定不再停留于简单的接受。
对于“年、月、日是谁发明的”这样的问题，坦率地说，我最初也没有想过。我所知晓的，就是年、月、日与太阳、月亮、地球有关。究竟是谁发明的年、月、日呢？查阅了一番资料之后，我豁然开朗，是古人源于对自然现象的观察。
如何与三年级的学生交流这些呢？我用课件先后呈现从黑夜到白天的图片、月亮圆缺变化的图片以及一棵树的树叶从无到有、从绿到黄、从有到无变化的图片，并向学生讲述：古时候生活在地球上的人通过长期观察，发现太阳升起落下、日复一日的变化，月亮阴晴圆缺、月复一月的变化，气候四季交替、年复一年的变化，于是逐渐建立起了年、月、日的概念。
上述教学，试图让学生体会时间是关于过程的度量。时间涉及过程，是事物发生与运动的产物，要建立与时间有关的概念，必须要有参照物。对人类来说，最好的参照物就是太阳、月亮和浩瀚的星空。为了准确地表达时间的概念，就必须清晰地描述地球与参照物之间、参照物与参照物之间的变化关系，而且准确、清晰表达的捷径就是借助数学语言。这便是用数学的语言描述现实中的故事，这是一个完整的构建模型的过程。
为了让学生进一步体会人类的文明成果，课尾，我留下问题：如果没有年、月、日，这世界将会变成什么样？让学生在想象中体会年、月、日这一来源于生活实践又作用于生活实践的发明的重要意义。
历法的形成，是一个漫长的、复杂的演变过程，其中的故事、轶事反倒使本来比较枯燥的“年、月、日”知识变得温情脉脉，或者说，变得好玩起来。将这些故事、轶事引人教学，从而“年、月、日”的教学多了份历史的厚重感，学生对各月的天数也多了份“理解”。
