“深”入·“浅”出

——吴正宪老师《比的意义》一课赏析

一次教学，如何能用“深入浅出”来形容，至少可以说明两点，其一，反映教者对知识内涵、体系、价值的深度把握，其二，反映教者对学习者认知基础、认知形态的透析了解。无疑，吴正宪老师正是这样一位“数学”与“儿童”研究的高手。借《比的意义》一课，我们一起来分析吴老师课中的“深”与“浅”。

一、“深”入——基于“数学”的深度认知

首先谈“深”，主要从目标维度分析。从目标定位看，显然，吴老师并不满足于将“比”看作“除法”的“附庸”，而是试图探寻“比”更为宽广的教育价值与教学伸展可能。我们至少可以解读出以下几个方面的目标预设与实践。

1.凸显概念内涵。

 “比较两个同类量的关系时，如果以b为单位来度量a，称为a:b”，这是张奠宙教授关于比的概念本质描述。如何让学生体会这一本质？吴老师以“水与牛奶的比是2:1”为例，引导学生理解：“牛奶是1份，水有这样的2份”、“水占了三分之二、牛奶占了三分之一”、“也就是水的质量是奶的2倍”……从原概念“份”、“倍”、“分数”出发，迁移归纳，揭示“比”的本质理解。更为重要的是，教师在后面的教学展开中，通过“正例”、“变式”、“反例”的辨析中，“比是一种关系”、“比必须要统一标准”、“可以是同类量的比，也可以是不同类量的比”、“比是有顺序的”、“可以是两个量的比，也可是多个量的比”，等等有了深刻的认识。

2.实现知识贯通。

利用学习者认知结构中原有的概念，找出两者的联系，通过比较新旧概念的差异，进而使学习者获得概念的过程，我们称之为“概念同化”。分析吴老师《比的意义》教学轨迹，无疑，正是让学生充分经历了概念同化的过程。而概念同化的过程中，自然地将新知纳入已有认知结构，实现了概念之间的关系沟通。从课堂现场看，从“水和奶的比是2:1”理解，到学生自主举例“当1g糖，10g水时，糖和水的比是1:10，糖是10份、水是1份，也就是水占了十一分之一，糖占了十一分之十”，显然，比与“份”、“分数”等知识的贯通理解已十分清晰。

3.函数思想渗透。

如果“比”与“倍”、“份”、“分数”、“除法”是一回事，那么，引入“比”这一概念的价值与意义是什么？引用吴老师的阐述：“比是为比例学习作准备的，可以扩展为变量之间的函数关系”。基于这样的认识，吴老师引导学生思考：奶10克，水几克——水扩大2倍呢——水扩大4倍呢？通过“你变我也变”、“一个量扩大几倍，另一个量也扩大几倍”等表达，让学生体会“变量中的函数关系”。显然，函数思想的渗透还原了“比”的本质。

4.应用价值凸显。

“概念学习”的价值最终会走向“概念应用”。吴老师课中，借助“师生比”、“北京到上海、杭州到上海的路程时间比”等素材，思考“你能给校长什么建议呢”、“知道路程：时间=300:1，路程：时间=100:1，可以推想出分别坐了什么交通工具？”不断让学生体会“比是一把尺子”，“比可以进行比较”，“比可以帮助判断”。丰富情境中，基于概念理解，止于问题解决，目标视角逐渐走高。

二、“浅”出——基于“儿童”的经验对接

所谓“浅出”，主要是从学生维度所作的思考。吴老师一直是“儿童中心”的积极倡导者和实践者，在她的课堂上，“顺儿童思考而教” 、“善用童言童智”、“将学生置于学的主体”，等等理念有了最为真实的展现。

1.前在经验、潜在认知的真实呈现与激活。

分析吴老师的教学路径，经历了“原概念呈现——新旧概念联结——概念本质辨析”的过程。激活学生的生活经验，把握学生的前概念理解，是吴老师基于儿童教学的真实写照。

——“你在哪儿听说过比”？回答“金龙鱼广告中1:1:1”、“足球比赛中进球比是23:22”、“比成绩”、“比分数”……让我们看到了吴老师“直面起点”、“直面错误”、“直面差异”的勇气与智慧。

——“大家读懂了水与牛奶的比是2:1吗，说说你的理解”，我们看到，老师鼓励学生自主完成新旧概念的联结，联结方式从“直白告知”变为“联想推理”，而这样的“联想推理”又是学生自发完成的。

——“路程：时间=速度，1500:5=300:1，1500:15=100:1，说说是什么意思”。“速度是300，也就是300:1，也就是1小时行了300千米”。我们看到，“不同类量的比产生新的量”，当“速度”以比值形式出现的时候，老师依然不忘将其还原为生活理解，突破难点。

2.好材料、好任务驱动自主建构。

“润物细无声”，将“高目标”融于“自然对话”，是吴老师《比的意义》一课的鲜明特点。为什么能实现如此细腻、丰富的目标，一方面得益于吴老师与学生的沟通艺术，笔者以为，好材料本身所蕴含的独特功能功不可没。试以练习材料举例如下：

材料1：小亮155cm，我1m ——自主完成不同单位的统一。

材料2：某县城一所学校有教师100人，学生3000人——自主实现从“具体量”到“份”的跨越；

材料3：从北京到上海全程1500千米，行驶5小时。从杭州到北京全程1500千米，行驶15小时——实现从“同类量”到“不同类量”的变式。

材料4：混凝土由水泥、沙子和水搅拌而成。水泥占，沙子占，石子占——实现从“两量比”到“多量比”的拓展，体会引入“比”的价值。

值得欣赏的是，几乎每一个情境展开中，教师都没有刻意引导，而是学生基于比的本源意义——“以（   ）做标准，（   ）就有这样的几份”，自主完成“比”的表达与理解。

材料1，学生写出的三个比为“155:1”、“155:100”、“100:1”，通过“标准比较”的思路，自然排除了“155:1”与“100:1”两个错误答案，学生对于“单位要统一”也就不言自明。材料2，学生板演的比是“3000:100”与“30:1”，前者仅停留于“具体量”的比，后者自然地将其提升为“份”的思考：如果老师是1份，学生有这样的30份。材料3，则更是一个极好的开放性材料，学生可以写出多个比，又自然引出不同类量的比。材料4，虽然变式为“三量”关系，但学生依然基于“标准”的思考，如果以沙子做标准，占10份中的3份，那么水泥则是10份中的2份，石子是10份中的5份，三者的比是“2:3:5”。由此，一方面，我们由衷感叹吴老师基于“比较”、“标准”、“关系”把握基础上的“比”的本质挖掘，另一方面，也佩服老师为实现目标所设计的结构化材料与驱动性任务。

“深入”尚需“浅出”，教学的不懈追求！与大家共勉！

（作者：浙江省杭州市江干区教育发展研究院  潘红娟）