经历“三度”认知，建构图形表征

——听管小冬老师《认识圆柱和圆锥》一课的体会与思考

立体图形的知识，对于小学生来说，看似简单，实则属于比较难的内容。因为，在引导学生学习此类内容时，我们需要思考：学生达到怎样的认识水平，才是对相关的立体图形是认识了，是把握其本质了？以“圆柱”为例，知道了圆柱有两个底面和一个侧面、两个底面是面积相等的两个圆、侧面展开后是一个长方形，就算是认识了圆柱的特征了吗？显然，没那么简单。那么，怎样的目标定位与教学组织，才是真正体现学生对“圆柱”的认识是到位了呢？今天江苏管小冬老师的教学，似乎给了我们提供了一条通往目标的可借鉴路径。在管老师的课中，我们能够看到一些帮助学生深入认识立体图形的一些方法策略，现就课中的活动设计与教学组织谈一些体会与思考。

一、直观层面：基于观察的经验唤起

观察是认识图形的重要方法之一，它可以让学习者从直观层面对观察对象有初步的感知。而认识立体图形，观察是必不可少的一种学习活动。当然，因为对于圆柱和圆锥的学习，虽然教材将其放在六年级，但学生对这两种图形的认识经验不是零。特别是圆柱，学生不但在认识平面图形之前，就已经有过直观地认识，而且在生活中有大量的接触，有着充分的直观感知经验。于是，在本节课中，管老师将观察实物的学习任务设计成一个自主、合作的环节，由学生独立完成。然后进行展示与交流。

生：我们组发现圆柱有3个面，上面是一个圆，下面也是一个圆；旁边这个面，切一刀拉开后是一个长方形。还有两条棱。还有，从侧面看是一个长方形，从上面看是一个圆。

师：这位同学说了好多……这是他们的发现。你们有这样的发现吗？

生：这两个面的面积是一样的。

师：也就是说这两个面是一样的。你们是怎么发现的？

生：我们量了两个圆的直径，都是大约12厘米。

师：研究时，不仅仅是观察与发现，必要时还得用数据来判断。

当然，为了让学生更为准确地把握“直观层面上的圆柱的特征”，教师还提供了一个“腰鼓”作对比。通过比较分析，让学生形成更为清晰的直观形象。

在学生观察圆锥了之后作了同样的展示与交流。

当然，这些用眼睛看到的特征，只是一些表面的东西，还只是直观感知的结果而已。认识图形的特征，不应该仅仅停留在表面之上。对于六年级学生而言，这样的观察结果，本来便是进一步深入学习的基础。

二、方法层面：在乎图形要素的真正把握

新课程理念下的数学学习，已经将目标从单一的知识技能习得扩展到了三维目标。也就是说，对于一个知识的学习，我们不仅仅关注知识内容的掌握与否，还需要对学习过程与学习方法的经历与体验，从而积累相应的数学活动经验，发展数学思维。事实上，对于图形的认识，同样需要有方法层面的目标要求。本节课中，我们可以很清晰地感受到，管老师在三个不同的时间节点，强化了方法层面的引导。

1．起始阶段，明确视角，引发有目的的研究。

在课的起始部分，当管老师说明了本节课的学习内容后，提请学生们思考：想一想，我们可以从哪些角度进行研究？有学生答：有几条边，有几个面。教师归纳：我们可以研究它的面，还有棱。还有吗？生答：有几个顶点。

师：研究中，还有哪些方法？生：这些面，我们可以摸一摸。师：还有吗？生：有纸的话，还可以剪开来。

这个时候，老师再次作了适当的归纳：刚才的方法我们都叫操作，除了操作，还有吗？生：观察。师：用了眼睛，用了手，还可以用什么？生：脑子。师：是的，我们还需要思考。

从以上的交流，我们可以感觉到，教师有意识地将学习方法提炼出来的，目的在于引导学生有方法地进行探究，有目的地进行思考。

2．深入阶段，组织比较，求同求异中认识“高”。

在高的认识环节，教师设计了一个“圆柱大变形”观察比较活动。当学生说明前面两个不是圆柱后，对三个圆柱进行了比较。发现有的圆柱高，有的圆柱矮。而圆柱的高就是指两个底面间的距离。为了更加直观的认识“高”，教师特意呈现了一个装满了牙签的圆柱形牙签盒，通过牙签的长度理解圆柱的“高”。这个设计，颇有成效。

3．内化阶段，设计活动，促使学生整体认识。

当学生对圆柱、圆锥的特征有了比较充分地认识之后，教师组织了一个“试做圆柱”的活动。材料：一张纸，若干个大小不一的圆片。学生以小组为单位进行活动。这样的活动，价值有二：一是通过活动，促使学生对圆柱特征的认识由零散到整体；二是在比较不同操作方法的过程，深刻认识圆柱的特征，丰富表象。

实际的课堂上，学生对圆柱的认识也确实在初步认识的基础上升到了深层次的认知。当有学生呈现了一个用长方形纸和两个圆片做成的圆柱后，有学生提出了问题：你选的纸的长与圆片的周长相等吗？这是关于圆柱底面与侧面之间关系的问题。此时，教师顺势以课件演示，作了强化。

关于“如何搭圆柱”的讨论时，有学生说：直径一样的圆片叠起来也是一个圆柱。更有学生说：拿一个圆片，就是一个圆柱。学生有了这样的认识，应该说，对圆柱的特征已经有了很充分地把握了。此时，教师也作了恰当的评价：这种方法不但简单，而且还很有数学的眼光。

以上三个阶段，教师始终围绕圆柱的特征要素在引导学生讨论、思考，交流学习的方法，帮助学生形成图形认识的活动经验。

三、系统层面：着眼图形间的关联

我们说，图形表象的建立，是图形认识的重要目标。而将单个图形的认识放入到系统层面来认识，则是图形认识中另一个重要的维度。圆柱、圆锥的认识，也不应该例外。如何将圆柱、圆锥的认识与已经学过的平面图形建立起联系，也是本节课中所需要引导学生去体验与感悟的事情。

本节课的最后，管老师连续提出了“用长方形可以形成一个圆柱吗”和“以一个直角三角形和一个直角梯形绕着一条边旋转之后可以形成什么图形”这两个问题，引发学生想象。我想，这样的环节，旨在通过“面动成体”的动态演绎，既起到原福建省教研员彭晓玫老师说的适度拓展的作用，同时也有效地帮助学生建构起立体图形与平面图形间的联系，让学生对圆柱和圆锥的认识回归到图形的系统中。

综观整节课，管老师从三个维度引导学生对圆柱、圆锥的认识，完成了从直观层面，到要素解构层面，最后到系统层面的认识过程，比较好地帮助学生理解与把握了圆柱、圆锥的特征。如果要有所改进的话，建议将“圆柱大变形”的活动设计成“从不同形状的实物中抽象出不同形状的圆柱模型”，然后借助这些模型来实现本课中采用的“变形”后的圆柱材料所要实现的目标，似乎更为合理。

（作者：浙江省嘉兴市南湖区小学数学教研员  费岭峰）