数学核心素养和学生发展

在小学数学学科中，知识和技能的发展具体体现在学生数学素养的发展上。小学数学教学担负着培养学生数学核心素养的特殊任务。数学素养这一概念是由文字素养（literacy）推衍而来的。20世纪中叶以来，数学素养开始成为人们关注的话题，特别是国际经济合作发展组织（OECD）自2000年开展国际学生评价项目(PISA)以来，更是备受重视，核心的数学素养作为现代社会公民的基本素养，已写进了我国《全日制义务教育数学课程标准》中。

近年来，大量有关数学素养的研究文献表明，数学素养是一个广泛的具有时代内涵的概念。数学的核心素养是数学素养中处于核心和重要地位的一些素养。数学的核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学的本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性的特点。实际上，数学的核心素养是数学情感、数学知识、数学能力和数学思维的综合体现。

一、数学情感的发展

数学情感是数学核心素养的重要组成部分。数学情感作为一种高级的、复杂的情感，是影响学生数学学习的重要非智力因素之一。积极的数学情感能够使学生在数学活动中始终处于热爱、快乐的氛围中。学生有了积极的情感体验，就会积极主动的进行数学活动，使学生在接受数学知识的过程中，自身的数学技能和数学思维也得到发展。另一方面，学生的学习结果也会影响学生的数学情感。如果学生在数学学习的过程中体验到了获得成功的乐趣，也会进一步激发其学习数学的信心和热情。

学生的数学情感在数学核心素养中主要体现为以下几个方面：

（一）学习兴趣

心理学的研究表明，在诸多非智力因素中，兴趣是影响小学生学习主动性，影响小学生学习效率的关键因素之一。数学学习的兴趣主要包括对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中的主动参与以及对数学学习的喜爱等。小学生的心理特征决定了其学习过程必须依靠兴趣，“兴趣是最好的老师”。在数学学习的过程中，浓厚的兴趣会使小学生产生积极的学习态度，使他们保持学习的热情并勇于克服学习过程中所遇到的各种困难。兴趣是小学生数学学习的推进器。

（二）自信心

数学学习的自信心是指学生在数学学习过程中对自己的数学能力、数学认知、数学实践等方面的信念。对数学学习具有自信心的学生，相信自己的数学能力和水平，认为通过努力能够圆满完成任务，提高数学成绩和能力。在他人的鼓励和引导下，勇于体验克服困难、解决问题的过程，相信自己能够学好数学。

（三）数学观

数学观可以粗略得解释为对数学的认识和理解。小学生的数学观可以分为数学知识观、数学学习观和数学自我概念三个方面。数学知识观包括对数学本质的认识、数学内容和数学问题的认识、数学价值的认识，数学学习观包括对影响数学学习因素的认识和数学学习策略的认识，数学自我概念涉及对自我数学学习和解题能力的认识，对自我与数学学习及应用之间关系的认识以及对自我数学情感体验的认识。

（四）学习习惯

小学阶段是数学学习习惯培养的关键时期。数学学习习惯是在数学学习过程中经过不断重复和巩固形成的个体的一种自动化学习行为方式。小学生数学学习习惯的好坏是影响数学学习效果的重要因素，良好的学习习惯不仅对当前的数学学习具有重要作用，也对儿童未来的数学学习打下了良好的基础。

（五）创新意识与应用意识

创新是人们指为了发展的需要，运用已有的信息，不断突破常规，发现或产生某种新颖、独特的有价值的新事物、新思想的活动。对小学生创新意识的培养贯穿与小学数学教育的始终。

应用意识也是小学生数学情感的一个重要组成部分。数学来自于现实生活，再运用到现实生活中去。因此，数学教学应该引导儿童观察和认识周围世界最简单的数量关系，建立情境与一般法则的联系，使对数学知识的应用成为学生生活和思维的组成部分。

二、数学核心知识的发展

学生进行数学学习的最显著特征是对数学知识的掌握。学生所学习的数学知识与学生的心理结构相互作用，会在学生的头脑中形成数学认识结构。数学学习的过程就是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。掌握数学基础知识和技能是数学能力和数学思维进一步发展的基础，是发展数学核心素养的基础。

三、数学能力

目前关于数学能力的结构国内外有许多的争论，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中将数学能力分为以下八个方面：

数感：主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 

符号意识：主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。 

空间观念：主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。 

几何直观：主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 

数据分析观念：包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。 

运算能力：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 

推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。 

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 

从中可以看出，新课标中扩大了数学能力结构的成分，淡化了能力的分类，重视一般能力的发展。因此小学数学教学中对学生数学能力的培养并不仅仅依靠单纯的课堂教学，还需要建设良好的数学能力培养氛围，鼓励学生参与数学探究活动，发展各方面的数学能力。

四、数学思维的发展

数学思维也是小学数学核心素养的重要方面。小学生的数学思维可以分为逻辑推理、抽象概括、分析综合、比较判断、假设验证和反思意识等几个方面。

（一）逻辑推理

学生的逻辑思维判断能力的培养是数学教学的主要目的之一。学校课程中所有学科都离不开逻辑，然而数学与逻辑之间的关系是尤为密切。

（二）抽象概括

抽象性是数学的基本特点之一，抽象概括是一种基本的数学思想。无论是小学阶段的数学学习，还是人们的日常生活，缺少了抽象概括这两个思维过程，那么人们认识到的就只可能是事物的表面现象。小学生在数学学习的过程中，一方面要学习已经经过抽象概括的数学知识，另一方面要培养抽象概括的思维。

分析综合

数学思维的培养中对分析综合能力的培养是非常重要的。分析是思维活动的基础，学生的数学思考是在分析中不断深入推进的。分析是由整体到局部的思考，是指把思考的材料分解成若干个较简洁的组成部分，认识各部分的特点、规律、相互关系及本质，增进对知识的理解和把握，进而有效的解决问题。综合是由局部到整体的思考，是对局部的、分散的材料进行整体的思考，找出材料相互间的联系和共同特征。

比较判断

运用比较判断可以深化学生对概念的理解。例如学生在学习“角的初步认识”时，教师就要通过展示不同特点的图形，它们有点是角，有的不是角，来让学生对比判断，在这一比较判断的过程中，就加深了学生对角的概念的理解，对“什么样的图形是角”有了更为清楚的认识。

运用比较判断在公式化教学中可以强化学生对公式的理解与运用。例如在学习平行四边形面积的公式时，可以将平行四边形与它同底等高的矩形相对比，通过在方格纸上画图或动手裁剪拼凑的方式引入平行四边形的面积公式。经过这一对比判断的过程，学生对平行四边形的面积公式有了更直观更深刻的认识。

假设验证

假设验证是解决问题的重要思维方式。提出猜想与假设是科学探究的核心环节，也是学生认识事物和现象的第一步。皮亚杰认为关于科学现象的假设检验能力要到形式运算阶段才能充分发展。实验研究也显示，儿童提出假设的能力明显低于中学生和大学生，小学阶段是培养假设验证能力的关键期。

如学习三角形的面积公式，就可以引导学生进行假设猜想。教师先展示长方形、正方形、平行四边形、三角形的图片，要求说出前三种图形面积的求法。然后教师让他们猜测假设三角形的面积会怎样求，在学生有一定的想法后，可以让学生通过动手操作来验证他们的假设。通过这种假设再验证的过程，学生会对三角形的面积公式产生深刻的印象，学生提出假设并加以验证的过程就是一种学生发现创造的过程。

反思意识

荷兰数学教育家弗赖登塔尔说过：“反思是数学思维活动的核心和动力”。反思能将学生的经历提升为经验，数学知识的获得只有通过学生的反思，才能纳入其认知结构。学生从小养成反思的习惯，对于提升学生的思维品质，提高学生的学生能力有很大作用。

小学生数学反思意识的形成离不开教师的引导。数学知识有其抽象化和严谨性的特点，加之学生有升学和考试的压力，往往使教师忽略了对学生反思意识的培养。教师对学生反思意识的引导既包括向学生示范反思的过程，也包括给学生创造更多的反思机会和反思的情境。

综上所述，小学数学的核心素养包括数学情感、数学知识、数学能力和数学思维四个方面。这四个方面不是各自独立的，而是互相影响互相促进，是一个整体。积极的数学情感是学生掌握数学知识、提高数学能力、发展数学思维的动力；数学知识是培养学生数学情感，提升数学能力，发展数学思维的载体；数学能力的提高有助于学生对数学知识的学习，有助于形成积极的数学情感和良好的数学思维；数学思维是数学核心素养的内在表现形式，是数学教学的重要目的。这四者之间的联系可以用下图来表示：

在小学数学的教学中，只有达到数学情感、数学知识、数学能力和数学思维四个方面的协调发展，才能促进学生数学核心素养的不断发展完善。

作者：孔企平（华东师范大学课程与教学系教授，博士生导师）