“千课万人”第二届小学数学“新常态课堂”研讨观摩会
4月17日专家课评
数学拓展性课程的好素材
——听罗鸣亮老师“判断2、5、3倍数特征的道理”一课有感
当前全国各地都在搞拓展性课程建设，作为数学学科怎样开展这项工作呢？途径有多条，其中课内向课外延伸，将新授课中没有时间展开的内容放到拓展性课上去弥补，这是学科知识拓展性课程的主要途径之一。笔者认为，作为数学教师没必要也没那么多精力去编一些数学课外资料或者找一些奥数的题目当成数学拓展性课程的内容，而应该充分利用教材已经存在的素材，把它们挖掘整理出来，作为拓展素材，只要认认真真上好这些内容，对学生数学素养的提升就是一大贡献了。
那么，像这种类型的课，我们应该要思考：目标如何定位？采取怎样的学习方式来完成？它的价值取向在哪里（着力点在何处）？等等。罗鸣亮老师上的“判断2、5、3倍数特征的道理”这节课给了我们很好的样板和诠释。笔者认为，这节课有以下一些特点：
一、不同的人在数学上获得不同的发展
本课内容属“你知道吗？”领域，该领域的内容是不要求全体学生都必须掌握的，它属于拓展性目标的层次。但这一内容对于学有余力的学生来说，是很好的探索材料，学生通过有效的探究活动，能够培养他们的学习力、探索力和创新力，这正是我们课改所期望的：不同的人在数学上获得不同的发展。有了这样的定位，罗老师上这节课时就做到了到位而不越位，学生也在各自基础上有不同程度的发展。从课尾的全课小结中，我们能看到学生的收获，生1：平时数学课不往里挖，今天的数学课我们要把平时没彻底弄明白的刨根问底、弄个究竟；生2：平时是老师告诉我们方法，今天是我们自己研究的；生3：今天的收获真大……
二、不仅知其然还知其所以然
学生在学习这一单元内容时，已经通过规律性探索，发现了“2、5的倍数”的特征和“3的倍数”特征，但他们只知其然而不知其所以然，特别弄不明白为什么“2、5的倍数特征只要看个位数”而“3的倍数特征要看各个数位上数的和”？同样是倍数的特征，咋差异那么大呢？强烈的好奇心驱使学生想弄清究竟，探索的欲望油然而生。罗老师先从“5”开始，提出：为什么5的倍数只要看个位，而其它数位都不用看？引领学生先研究十位的1（可以分成2个5），再研究百位、千位（都可以分成若干个5），因此得出结论：个位上是5的倍数整个数就是5的倍数，不必看其它数位了。然后将这一方法迁移到“2的倍数”的说理上，学生比较容易掌握。难点在“3的倍数”的说理上，罗老师让学生用学习单展开自主探究与合作交流，学生借鉴前面的方法，发现有相同的地方（还是研究十位、百位、千位，从中寻找规律），也有不同的地方（除以3以后还有余数）。此时的焦点是引领学生发现：各个数位上的数（个位除外）与除以3后的余数是一致的，因此只要将各个数位上的数字的和加起来看是不是3的倍数就能判断了，从而弄明白了其中的道理。
三、学会探究方法，积累数学活动经验
拓展性课程对知识性与结果性目标不是很高，它的价值取向更多的在过程性的目标上，让学生在经历过程中，学会一些学习策略，感悟数学思想方法，积累数学活动经验。本课的学习方式有独立思考、合作外流等自主探究的方式，在方法上采取了“质疑——举例——说理”的策略，学生通过由浅入深的探究活动，逐步积累了对这类数学知识的探索活动经验。这里特别可取的是罗老师没有采用书上严谨的推理方式来进行教学，这也是我们在开展拓展性课程教学时要注意的地方，就是要采取小学生认知能力可接受的方式方法，这样才能保证实效性。学生的探究活动和数学家的发现是有区别的，罗老师采取了直观小步子的策略，即让学生举例说理，在说理的同时配合课件演示，使思考过程显性化，提供直观模型，降低难度，让多数学生都能明白道理、感悟方法，并从特殊到一般揭示出数学的本质特点。
（浙江 陈 力）
让学生体悟数学的精神、思想与方法
——罗鸣亮老师《你知道吗？》教学赏析
整除及倍数、因数等都是数论中最基本的概念，有了这些概念，就可以展开对整数性质的研究。在小学里教学“2，5，3倍数的特征”，通常都是先举出例子，再通过归纳得到结论的，且教学仅止步于此，之后就转向运用结论判断某些数是不是2，5，3的倍数。罗鸣亮老师教学的《你知道吗？2，5，3倍数的特征》，则引导学生深入到数学的本质，运用位值概念、除法含义、整除定理等，引导学生探究2，5，3倍数特征背后的依据，精彩演绎了“讲道理”的数学课，不仅实现了数学学习从“知其然”到“知其所以然”的跃升，更重要的是让学生体悟了数学的精神、思想与方法。
数学精神的核心是它的理性精神。探究 “2，5，3倍数”判断依据背后的道理，是罗老师教学这节课的重要目标，而培养学生的理性精神却是教学的核心价值。学生在探究发现的过程中，不仅理解了知识背后的数学道理，而且沟通了“2，5，3倍数”判断依据的内在联系。2，5的倍数特征与3的倍数特征在语言描述上是很不一样的，前者只要看个位，后者要看各个数位上数字之和，如果不是深入到数学的内部，根本看不到这些判断之间的内在联系。建立这个联系的桥梁是整除定理，即：a,b,c都是自然数，如果a能被c整除，b能被c整除，那么（a+b）也能被c整除。这个定理的逆命题也是成立的。学生学习了这节课之后最大的收获是：“懂得了道理”，“彻底明白了”。其实，“懂道理”的背后是感受了数学的精神，“明白了”的意义是体会了数学的特点。
数学思想中推理是最重要思想之一。学生初学“2，5，3的倍数”特征时，主要依赖于归纳推理。罗老师教学的这节课，引导学生用类比推理提出问题，用归纳推理分析问题，用演绎推理解决问题。
首先是发现问题和提出问题。提出问题不仅是数学研究的重要组成部分，也是数学教学的重要目标。罗老师通过引导学生回忆所学的知识，以类比思维引导学生提出一个很有研究价值的问题。
师：前不久，我们学习了2，3，5的倍数，看一个数是不是5的倍数，是怎么判断的？
生：看这个数的个位。
师：3的倍数呢？
生：看各个数位上的数字和。
师：5的倍数只看个位，3的倍数要看各位数字的和。你学完了之后，有新的问题产生吗？
生1：3，5的公倍数是谁？
生2：5和3的倍数有什么规律？
生3：为什么5的倍数只要看个位，3的倍数要看各个数位上的数之和。
生3提出的疑问被分解为两个探究的问题，一是：为什么判断一个数是不是5的倍数，只要看个位数，而其他数位都不用看？二是：为什么判断一个数是不是3的倍数，要看各位上的数的和？罗老师以这两个问题为向导，引导学生展开美妙的数学探究和发现之旅。
其次是分析问题和解决问题。在分析和解决问题的过程中，最具有教育价值的部分是寻求解决问题的思路与方法。教学中，如果一种思路是老师提供的，这样的学习就不能算作真正的自主，如果一种方法是老师告诉的，这样的探究就不能算作真正的探究。罗老师教学的智慧和艺术，体现在“不该出手的时候不出手，该出手的时候就出手”。
学生经过独立思考之后，开始汇报交流第一个问题。
生：我可以举个例子。比如1995，1000一个部分，900是一个部分，90是一个部分，5也是一个部分。1000，900，90都是5的倍数，所以它是5的倍数。
……
师：为什么只看个位？
学生不能作进一步解释，教师说你可以骄傲地回去了。
举例是很好的解释方法，但只有懂得整除定理的人才能真正听懂上面的例子。罗老师果断地出手了。
师：（指着黑板上的数位顺序表）我在这里写个1，是5的倍数吗？
生：是。因为1在十位，表示10，它是5的倍数。
师：在计数器上操作，拨出3个十，现在呢？
生：是5的倍数，因为是3个十。
师：我现在不让大家看见了，我在十位上拨
生：还是。
师：没看到，怎么还是呢？
生：十位上无论代表几个数，都是能被5整除的，因为每个十都是两个5组成的。
师：1个十是2个五，3个十呢？
生：6个五。
这里归纳得到的结论是十位上的数不管是几，这个整十数一定是5的倍数，因为每个10都可以分成2个5。孩子是很聪明的，他们马上把这个思考方法类比到百位上和千位上，甚至迁移到2的倍数中来。
论证方法是数学最有力的武器。本质上，3的倍数特征与2，5倍数特征的判断依据是相同的，都是整除的定理。但是相比较而言，3的倍数特征背后的道理不容易解释，困难主要集中在位值的转换上。以324为例，324=（3×99+3）+（2×9+2）+4=（3×99+2×9）+（3+2+4），以百位上的3为例，原来表示的位值是300，判断是不是3的倍数时，是把它当作3来看的，这个位值转换增加了学习难度。
罗老师根据小学生的心理特点与认知规律，以图示直观和举例说明相结合的方式，进行归纳论证。举的例子从12到22，再从42到142，以“相似性”的数和有结构教，降低学生学习的难度，引导学生逐步建构知识的理解，获得一般性的数学结论，最终完成“论证”的过程。
师：现在有一个三位数abc，怎么判断？
生：先看a除以3，余下来多少，再看b除以3，余下来多少，再看c，然后把三个（余下的）数加起来，看看余下来是多少？
得出这个结论是重要的，它实现了从经验归纳到逻辑推理的“华丽转身”，从“个”扩展到“类”，把之前的举例说明提升为结论论证。
罗老师教学的《你知道了吗？》，与其说是探索知识背后的秘密，不如说是数学精神的洗礼和文化的熏陶。数学是最讲道理的，数学文化的内核就是数学精神，思想和方法。那种认为小学生年龄太小，数学道理太抽象，小学数学不需要讲太多道理的说法是错误的。如果数学课上不讲道理，数学精神丢了，思想没了，方法少了，那么，我们教的就不是数学，而只是知识而已。
（浙江 姜荣富）
让练习成为一种高层次的学习
——观刘德武老师执教《乘除法练习课》有感
容易发现，各类数学教学研讨活动中，新授课最常见，复习课偶尔见，练习课很难见。
练习课位列数学三大课型之一，极为重要，却缘何遭此冷落？
只因为练习课素来“颜值”不高，“内涵”寡淡，既没看头，也无味道，早已落到了“内外”兼失、乏善可陈的尴尬境地。家常的练习课，教师通常执拗于“一练到底”的惯习，学生则屡屡坠入“枯燥无比”泥潭。
练习课，亟待转型！
今天看刘德武老师执教的《乘除法练习课》，我隐约看到了练习课转型的曙光。
原来，简单中内蕴着深刻，朴实中生发着灵动，规矩中展现着力量，练习中激荡着思维。原来，练习课也精彩，练习课也有许多新的可能！
限于篇幅，这里仅围绕“让练习成为一种高层次的学习”谈点看法。
所谓“低层次”是指练习中充斥着简单模仿、机械训练，整个过程枯燥乏味。所谓“高层次”则是指练习中融合了方法引导、思维训练，整个过程活泼生动、情趣盎然。循着教学的脉络，我们看看刘老师具体是怎么做的。
课伊始，刘老师拿课题做起了文章。
PPT上呈现的三行字，原来是有意为之。前两行说明了这节课的内容，第三行交代了本节课的课型。三年级的孩子还不大明白何谓“练习课”，刘老师用浅显易懂的语言作了解释。这样做，使学生既明确了练习内容，也初步知晓了练习的方法，一举两得。
简简单单的8道口算题，经过刘老师的巧妙点拨，闪烁出了十分丰富的光彩。比如学生做666－3这道题，出现了两种答案。谁对谁错？对比之下，说答案是222的男生立刻爽快地认了错。刘老师追问：错在哪里？男生回应，没看清楚运算符号。刘老师立刻表扬他有两个优点，一是敢于承认错误，二是善于挖掘错因，既可爱，又可敬！并顺势强调了认真审题的重要性，提醒学生审题时别只审数，还要留心数之间的符号。到（ ）÷3＝250这道题时，学生的回答略微有些迟疑，刘老师敏锐介入：为什么算得比刚才慢了？学生确实有话说，这道题有进位，这道题需要倒着用乘法做。刘老师故意装糊涂：明明是除法，为什么250要乘3来求？有道理吗？学生说出“乘除法是有关系”的算法根据，刘老师适时板书“乘除关系”四个字。
从这组口算题的处理，足见刘老师“小题大做，以微显著”的教学艺术风范。学生们从中得到的，有方法，有思考，有情趣，知识与技能自然达成，认知与元认知彼此交融。
这道题有一定挑战性，但起立回答的那位男生十分自信果断。刘老师追问：为什么对了？男生的回答毫不含糊：因为三个乘法算式里都有乘数4。此时，学生的回答主要依靠的是良好的数学直觉，背后的思考原理和方法尚未浮现。刘老师层层引导：200×4可以表示什么？30×4可以表示什么？5×4可以表示什么？合起来呢？学生步步跟进：200个4,30个4，5个4，一共是235个4。至此，刘老师的用意终于显现：一个算式，不仅要会做，还要知道它的意义。
通常我们做练习，过分强调了算法的熟练，对运算的意义有所忽视。其实，借助意义思考算法，是更为长效、更具思维深度的数学本领。刘老师提醒了我们！
这道选择题，有难度，开放性也比较强。刘老师在学生有点迷茫之际，推荐了“排除法”，引导学生从排除错误答案开始思考。这是很实用的答题策略。学生的思路开始明朗起来！孙悟空答案不对，4×7=28，积的个位只能是8，排除掉！刘老师及时引导提炼出“看个位”的判断方法。唐僧错，197是第一个因数所有可能的最大值，即使看成200，乘4的结果才800啊，排除掉！刘老师又引导提炼出“估算”的判断方法。猪八戒是对的，学生通过算确认了答案，但刘老师岂肯轻易放过：沙僧如果不服气，反问我说的638怎么就不对了？又引出了“看单双数”的方法。
不过是一道选择题，经此处理，显现出了丰富多元的学习元素，知识、技能、方法，思考、乐趣，这里全都有！要用就要用足、用透，让练习资源最大化！
这道除法选择题的出现，为学生施展刚刚学到的学习方法提供了用武之地。期间有位学生的表达清晰流畅，体现了很好的推理水平，刘老师用“逻辑感强，表达有根有据，特别有条理”给予褒奖。这是对科学思维方法的渗透式传播。
第四、五、六三道题的出现，有些出乎我的意料，这在日常的练习课中很少出现，它们的难度之高、开放性之大、推理性之强，老师们一般不会拿给全班学生来做。刘老师的教学自信令人敬佩。在刘老师有条不紊的引领下，我们看到数个学生做出了精彩的回答。学生的表现，也得点个“赞”！
“这节课你收获了什么？”利用板书提供的信息，刘老师再次强调了掌握这些学习要素的重要意义。
一节洋溢着浓浓数学味的练习课结束了，值得咀嚼和学习的地方还有很多。刘老师的优雅、从容、纯粹，令人难忘。谢谢刘老师！
留两个问题，请老师们和我一起思考：
1.最后那三道题，我认为难度大了些。是否需要做些调整？
2. 如何让不同层次的孩子都参与其中，享受数学思维的乐趣呢？
（山东 张良朋）
立意高远 “常”中含新
——听刘德武老师“乘除法练习课”有感
自然、朴实，轻松惬意，这是刘德武老师课堂教学氛围的最大特色。他始终以慈祥亲切的笑容，娓娓而谈的语气，朴实而不乏精彩的语言，以及充满宽容与期待的眼神面对学生，没有什么华丽的教学手段，也没有夸张的语调动作，跟学生的交流就像轻松话家常一样。在这样的课堂环境下，学生的精神状态是自然、放松的，学生的学习情绪是积极热烈的，师生关系是水乳交融的。就在这种看似平淡、随意的交流中，刘老师巧妙地激活和引导着学生的思维。我想，这应该成为我们追求的新常态课堂的理想状态之一。
朴实之中蕴涵新意、深意，一节普通的练习课也能演绎得如此精彩，是刘德武老师课堂教学更为可贵之处。作为一名教师，我们怎样才能像刘老师那样做个教学的有心人，追求守正而出新？我个人感觉，至少要从以下两方面去观察、去努力。
一、从数学核心素养的高度对教学目标进行准确定位，着眼于学生能力的培养。
1. 随着时代的发展进步，计算教学的重点已不是追求熟练的技能训练，而在于明算理、探算法。因此，刘老师在课堂上进行了一些基本口算练习后，明确指出：笔算题平常做得多了，今天研究笔算题的来龙去脉。这就跳出了纯粹计算技能训练的窠臼，把练习、巩固的重点放在了对算理的理解上。通过“说题意”等练习，引导学生说算理，把乘法的意义、乘法竖式中每一步计算的含义以及乘除法之间的关系等知识巧妙地融于其中，也很好地培养了学生的理性思维。
2.学生估算意识、估算能力的培养，历来是数学教学中一个薄弱环节，要么教学中忽视、淡化它，要么在练习题中指定用估算，而学生实际上体会不到为什么要估算以及怎样估算合适，往往造成学生精算后取近似值的“假估算”现象。刘老师利用选择题形式，引导学生在判断、选择、说理的过程，自然地运用估算的方法，并通过不同题目的比较，感悟不同的估算策略及其适用的情况，很好地体现了估算意识的培养，渗透了估算的方法策略的指导。
3.正因为教学目标紧扣核心，有高度，所以本节课的练习题设计以及练习的过程，我们都能感受到刘老师紧紧抓住“练中明理，练中悟法”，一方面让学生知其所以然，另一方面又画龙点睛地归纳出一些策略方法。板书上适时呈现的“排除、看末位、看单双数、有条理”等等，都是在学生自主思考、解决问题的过程，自己运用并有所感悟的基础上归纳出来的，很好地体现了“四基”的落实。
二、从更广阔的视角看待教学内容，深入把握其数学本质，引导学生融会贯通，更好地掌握数学知识技能。
教学目标的落实，依赖于我们对教学内容深入、准确的解读和把握，由此也才会有新颖、精妙的教学设计与实施。在本节课上，我们处处都能感受到刘德武老师解读教学内容的宽阔视野和深厚功力。
比如，在这一节短短40分钟的练习课上，刘老师把计算的意义和方法、运算间的关系、估算的方法、位值的意以及积商位数的判断等多种知识的复习练习融于其中，而且这又是通过不多的几道练习题来实现的。这其中的用心、用功，很值得我们去体会，去实践。
又如，在计算练习课这样的技能训练中，刘老师通过习题设计挖掘出诸多思维训练、培养的因素，真正把“四基”的培养完美地结合。
当然，本节课还有许多精彩之笔，比如关注对学生学习习惯的培养等方面，限于篇幅无法一一枚举。同时，也存在一些缺憾之处，比如有的题目难度较大或思路太复杂，有一部分学生可能难以真正参与思考。但瑕不掩瑜，刘德武老师朴实而又精彩的课堂教学，以及其背后对教育理念的坚守，对教学创新的追求，都是我们学习的榜样！
（福建 刘自强）
当“大问题教学”遇上“先学后教”
——听特级教师黄爱华老师《记时法》一课的点滴体会
“大问题教学研究”是特级教师黄爱华老师坚持了多年的教学研究特色，也听过黄老师的如《圆的认识》、《百分数的意义》等多节的“大问题教学”研究课。应该说，这样的研究很值得我们一线教师学习。名师之所以成为名师，其坚持研究教学的态度是很重要的质素。而从教学改革的动向与学生学习的要求来看，“大问题教学”都有其相当大的实践意义：有利于引导学生聚焦学习内容，发展整体思维；有利于调动学生的探究欲望，体现学习的主动性；有利于教师把握教学的重点，突破教学的难点。当然，今天的《记时法》一课，黄老师又有了“大问题”教学的新版本，即采用“课前先学——课中交流”的方式进行了“大问题教学”的实践，给我们带来了不一样的感受。现就黄老师的课堂实践谈两点体会。
一、“大问题”引领课堂学习逐步深入
从课堂上呈现的内容，我们不难知道，黄老师将本节内容的“大问题”确定为两个：
①“12时记时法”与“24时记时法”有什么不同？
②已经有了“12时记时法”了，“24时记时法”还有什么用？
本节课的设计也有别于我以前听的“大问题教学”课。黄老师在课前让学生观看了介绍《记时法》的微视频。于是，课堂教学的切入也比较快，直接组织学生交流问题：“12时记时法”与“24时记时法”有什么不同？交流的形式是两两自由组合。
当学生有了一定的结论后，请一组学生上来介绍。要求是：一人介绍，一人记录。
学生很快呈现了两个不同点：一是“12时记时法是平常口语常用的”，而“24时记时法是国际通用的”；二是“12时记时法中1－12，每个数出现2次”，而“24时记时法每个数只用了一次”。在此基础上，教师进行了追问与引导，又得出了两种不同：一是“12时记时法经常需要加上‘说明’”，而“24时记时法不用‘说明’”；二是“12时记时法是分段记时的”，而“24时记时法没有分段”。
至此，基本将两种“记时法”的不同点整理出来了。但学习并没有结束，黄老师又提出了这样一个问题：老师想用红粉笔把它们最重要的词语圈出来，到底圈哪个词语好呢？你的理由是什么？
我想说，关于“12时记时法”和“24时记时法”不同点的讨论，因为有了此问题，其学习价值才体现得更为充分。因为在以上呈现的四个方面的不同点，有些只是表象，这些表象的产生，是因为其“分段记时”与“没有分段”的本质区别引发的。而且此环节教学组织黄老师运用了的“指名一人圈，其他人猜他会圈什么”的教学方式：一是不经意间扩大了参与面；二是回顾整理了四个方面的不同点；三是借助学生实际圈了“分段记时”这个结论，来突出造成两种记时法不同点的本质内涵。
相对而言，对于“为什么要用24时记时法”这个问题的讨论，课堂上所花的时间还是比较少的。不过，当有学生说出：在有些特殊工作，比如挖矿时，地底下的工人因为不知道白天与黑夜，就比较合适用“24时记时法”时，我们还是可以认为，学生对它的现实意义已经有所领悟了。
二、让“概念车”走上大规模生产，尚需时日
本文开头已经说到，今天的《记时法》一课，黄老师采用的是学生“课前先学”基础上的教学。那么，当“大问题教学”遇上“先学后教”后的课堂，其形态又该是如何的呢？今天黄老师的实践亮点在哪里？哪些地方又是值得大家去进一步思考的呢？
在笔者看来，今天的课上，黄老师的许多组织形式，是新颖的，从大教育观的角度来看，也是有价值的。比如因为是“记时法学习研究分享会”，所以采用了“男女主持”的方式进行；比如学生的组合可以离开座位，倡导自由组合等等。我想，如果这样的方式，在某个班中经常采用，一定会改变课堂上学生的学习状态，让学生真正体会到学习过程的快乐。但因为今天这个班的学生估计平时没有经历过这样的课堂，所以就感觉到了黄老师牵着学生去“秀”的成份多了。
于是，我们看到，当那组首先介绍不同点的学生，只呈现了2种不同点的时，黄老师急着与他们两人进行了单独的对话，虽然最终呈现出了4个方面的不同点，但终究感觉老师在这个环节中有点急于追出结果的感觉。而如何采用让其他组的学生进行补充来完善的话，似乎能更大面积的调动其他学生参与。
于是，我们还看到，当那位圈了“没有分段记时”后，黄老师又急着与这位学生个别交流，然后自己作了总结。如果能让其他学生再来尝试说说，是否会让更多的学生去进一步体会核心要素呢？
作为个人，我认同黄老师采用多样的方式组织课堂交流，引领学生主动学习。但要让多样的学习方式取得预期的成效，期间最大的改变，还是在于教师自己的话得少下来，把表达的机会留给学生，让学生的话多起来，让更多的学生参与进来。
当然，从课堂教学的组织形式来看，今天黄老师给我们展现的更像是一部“概念车”。而“概念车”要真正驶上街头，成为适合于大众使用的“普通车”，毕竟是需要时日的。一管之见，与大家分享。
（浙江 费岭峰）
翻转课堂，重构教学新范式
——听黄爱华《24时记时法》有感
当我们还在思考“如何基于学生现实起点”设计教学过程时，黄爱华老师已经打破了固有的课堂教学模式，大胆采用“翻转课堂”构建数学教学新范式了。黄老师的课堂不再单纯地依赖老师讲授知识，而是让课堂和老师的角色发生了巨大的变化，老师更多的责任是引发学生提出问题、引导学生理解问题、引领学生运用知识。走近黄爱华名师课堂，静心聆听，感触颇深，愿与大家分享。
启示一：“翻转”让学生自己掌控知识
黄老师上课前，精心制作了“24时记时法”的微视频，引导学生根据自身情况来安排和控制学习进程。微视频中，黄老师结合学生熟识的生活情景，制造了“新闻联播”究竟是7∶00播报还是19∶00播报的认知冲突，引发学生思考为什么有了12时记时法还要学习24时记时法的必要性。继而渗透数形结合的思想，引导学生了解两种记时法的联系和区别。黄老师充分利用图形的直观性特点，通过“以形助数”和“以数辅形”两个方面将数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，激起学生浓郁的学习兴趣，引发了积极的思考，也为后面学习奠定基础。
学生在微视频学习过程中，可以随意调控自己的学习时间和学习过程。懂了的内容可以快进跳过，不明白的知识需要倒退反复观看，也可停下来仔细思考或笔记，甚至还可以通过聊天软件向老师和同伴寻求帮助。黄爱华老师深知实现“翻转课堂”的关键，在于找到一个好抓手——“学习任务单”，也就是黄老师微视频中出现的“学习工作纸”。工作纸的设计能让学生明确自主学习的内容、目标和方法，聚焦：12时记时法和24时记时法与之间的联系与区别？人们为什么要用24时记时法等核心问题。同时也为老师有效地组织起“翻转课堂”，提高教学质量，变革教学方式提供教学资源。
启示二：“翻转”重构数学教学新范式
黄老师的“翻转课堂”不同于一般的课堂，让学生充分经历了以“悟”代“灌”，以“分享”代“传授”，以“过程”代“结果”的学习历程，重构了数学教学的新范式。首先，黄老师基于学生微视频的前置性预习，创建了学习内容：12时记时法和24时记时法有什么不同？学生任意组成合作小组聚焦问题并分享、提炼讨论结果：
12时记时法 24时记时法
日常用语 国际通用
重复数字 没有重复数字
要加说明 不用说明
分段记时 没有分段
我们欣喜地发现，学生们彼此帮助，相互学习和借鉴，而不是依靠教师作为知识的唯一传播者。而教师早已从内容的呈现者转变为学习的参与者，深入小组内与学生交谈，回答学生的问题，对每个学生的学习进行个别指导。课堂转变成师生之间、生生之间自由轻松的互动、交流、分享、答疑、解惑的场所。
其次，黄老师聚焦知识本质，抛出问题——“0要出现在记时法中吗？”“人们为什么要用24时记时法”等问题。引发学生思考并积极发表自己的见解，通过辩论进一步清晰记时法的本质：用数字的角度刻画时间的变化，周而复始的循环记时。通过对12个刻度的手表和24个刻度的手表比较，厘清内在的对应关系，并体验到24点既是一天的结束也是新的一天的开始，即0点。黄老师善于挖掘生活中的数学问题，借助“是否违反交规”的现实情景问题，固化学生的认知。多种形式的学习活动，学生始终保持了强烈的兴趣，更重要的是他们体会到了学习的乐趣。
数学的本质是设疑解惑，学会思考问题，是学习成功的关键。因此，在对话中要多给学生创造质疑问难的机会和条件，鼓励学生敢于向老师、同学、学习内容质疑。在课的最后环节，黄老师回归了“翻转课堂”的本质，不但要知道学生知道了什么？知道了多少？还要清楚不知道什么？因此，黄老师梳理了学生在课前观看微视频后提出的问题：
(1)为什么要用24时记时法？而没有25、26时记时法？
(2)古代用什么方法记时？将来还会用什么方法记时？
(3)我想用72时记时法及时，时间可以更长……
学生的探究欲望被调动，个性得到了张扬，拓展了思维的宽度和深度。
启示三：“翻转”彻底改变了师生的角色定位
黄老师在“翻转课堂”中不是发布指令的教师，而是学习活动的参与者；学生不是装知识的容器，而是探究知识的学习者。黄老师的《24时记时法》一课以任务驱动、问题导向为基本方式，注重发展学生高级思维能力的培养。在师生对话、互动中，真实地反映了学生的生活经验与数学知识间的差异，真实地展现了学生认知发展历程，充分展示了学生探究数学知识本质属性的过程。这样的对话，实现了师生间的相互沟通、相互影响、相互补充和相互促进，最终使学生的认识和感悟、思考得到不断的深化。
(浙江 邵 虹)
耀眼的，不只是“形式”
——著名特级教师黄爱华《记时法》教学艺术品读
很多年前，便曾听过黄老师的课，并被深度折服。这次，观摩了黄老师的《记时法》，颇感震撼。作为享誉全国的教学名家，黄老师在此课中充分展现出了与时俱进的理念、独有匠心的构思、炉火纯青的教艺。或许，一些老师会被“微课前置”“现场转型”“情境应用”等课堂形式所打动，而在我看来，《记时法》教学的耀眼光辉，绝不仅仅源于“形式”。以下，从三个方面作简要品赏。
一、微课前置：不“强加”，重“引燃”。
当下，“翻转课堂”并不鲜见。很多老师会把课时内容较为完整地纳入微视频，由学生课前自学，然后展开课堂交流、进而提炼归纳。这样一来，数学教学容易步入“借微课之名进行灌输”的误区。我们看到，黄老师的微视频极为简短，才3分多钟的时长。这里面，只是结合“《新闻联播》开始的时间”这一素材，直观介绍“何为12时记时法”“何为24时记时法”的基本事实。而对于“两种计时法有什么不同”“为什么要用24时计时法”这两个极富思辨性的核心问题（黄老师称之为“大问题”）并未草率涉及，只是抛出疑惑，引发了全体学生基于自身生活经验的有效思考。与此同时，黄老师要求学生通过“工作纸”将这种真实而鲜活的思考记录下来、表达出来，作为课堂现场展开学习的重要资源。可以说，这个微课有效发挥了“微提示，深思考”的价值作用。
二、现场转型：去“水分”，显“干货”。
黄老师极富语言天赋和表演才华，妙语张口就来，举止多有笑点。这样的老师来上公开课，常会让人滋生一种“中听、中看不中用”的“不信任感”。因而，当黄老师开始提出“改变教学方式，配备两个主持人，全体同学双人组合搭档展示”的设想时，我并没有感觉多少新意。然而，当“华哥”闪亮登场、学生欲罢不能、师生渐入佳境，我逐渐意会到，黄老师看似“油腔滑调”的组织方式，其实是深谙童心之后的艺术化教学展现。在两位主持人报幕开场后，所有学生三两成群，做着“表演”前的各种准备。这个过程，不正是基于微课预学的全员参与的成果交流吗？随后，女主持人请两位学生上台展示，一人说，一人记。在男主持人黄老师“一环套一环”“一句跟一句”的“威逼利诱”下，表达记录由一开始的“杂而泛”逐渐升级为“精而准”。两位学生原本只想展示一条不同点，但在对话互动的良好氛围中，最终竟精彩展示了四条不同点。在这个过程中，黄老师时而让女主持人即兴评价，浓厚民主氛围，时而又“默许”女主持人跟汇报的两位同学“咬耳朵”，帮助他们缓解交流空挡时的尴尬……值得一提的是，由于四条不同点来自于同一组学生基于全班共同见证的思维演变，因而更具纵向的逻辑联系，更易体现数学本质的生成性。之后的“圈重点词”的环节，同样令人拍案叫绝。在课的后半部分，黄老师展示了微课预学时很多学生提出的个性化疑问，激活了学生一波又一波的主体思考。
三、情境应用：强“基础”，育“思想”。
在教学的尾声处，黄老师精心设计了几组情境练习，可谓题题出色、道道精彩，再现“师者匠心”。练习素材涉及“生活作息”“加油站的营业时间”“交通违章”等现实资源，非常巧妙地将本课内容的知识理解、技能训练融入其中，同时，又致力于帮助学生切身体会“24时计时法”的简洁性，既有基础保底，兼顾思想拓展。这个过程，有力丰富了全体学生学以致用的数学实践体验，提升了教学活动的建构力。
(浙江 叶 柱)
变化中的思考更精彩
——施乐旺老师执教的《长方形、正方形的周长和面积的练习课》评析
练习课是一线教师在日常教学中感到不容易驾驭的课，因此，“如何上练习课、如何上好练习课？”就是我们经常谈论的话题。关于练习课的教学，有这样的一些思路和做法：第一，练习课是新授课的补充和延续，学生对数学知识和技能的学习掌握，必须经过一定的练习去巩固；其次，新授课中尚未完善的内容需要通过练习课来查漏补缺，新知旧知对接形成知识系统；第三，为了让学生将习得的数学知识举一反三地应用，练习课不可或缺；第四，很多教师不满足单纯的题型变式训练，已经尝试在练习课中设计活动，进一步启发学生的数学思考，帮助学生积累数学活动经验。施乐旺老师在《长方形、正方形的周长和面积的练习课》中，就对练习课的设计和教学进行了卓有成效的探索，练习设计突破思维定势，几何直观启发学生思考，而学生的数学表达更为精彩，课上得有思考，有思维含量，有方法指导，值得我们学习和借鉴。
一、几何直观，变化引发数学思考。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的问题变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”而小学生的思维特点，也决定了教师要充分利用直观培养学生的思维能力。施老师和三年级学生，用一张A4纸展开了今天关于长方形、正方形的周长和面积的学习活动。这张长方形的白纸看起来非常普通，但是经过“折”、“剪”、“补”、“移”等操作之后，这张白纸不断地变化着，一会儿对折成两个长方形，一会儿折出正方形，还可以减掉一个小正方形变成组合图形，或者变化为“凹”字形、“凸”字形。多次变化的直观图形，为学生深入思考提供了几何直观素材。例如，教师要求学生先将这个长方形纸对折，这个折是没有实际操作的，需要想象。学生的已有经验就能支持这个想象，再通过课件出示：长方形既可以竖着对折，也可以横着对折。教师再提出“比一比折出的两个形状不一样的长方形，面积会怎么样？”的问题，激发学生独立思考，有的学生说：“估计一样（大）”，有的学生则认为：“一定一样（大）”，由此教师进一步提出：“你能说说理由吗？”在这个过程中，施老师不急不躁，耐心等待学生，引导学生通过观察，感受到这张纸在变中有不变，也就是对折后长方形的形状变了，但是折出的长方形面积就是原来长方形的一半，尽管学生没有计算，通过几何直观就能推理出结论。在课堂上，施老师注重鼓励学生用自己的语言表达自己的思考，有理有据，有条不紊，并乐于与同伴分享，帮助有困难的学生。这样的教学，不仅能帮助学生体验与理解、思考与探究，更让人感受到教师在学习素材的选取上、教学环节的设计上贴近学生，贴近数学本质，激发数学思考。
二、积累经验，说理提升数学素养。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出：“数学学习活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。”在这节课里，施老师力求从学生的已有知识和经验出发，精心设计符合学生的认知水平和规律的学习活动，练习层次分明，时间安排得当，让学生充分体验解决问题的方法多样性，积累基本的数学经验，循序渐进地培养学生的数学思考和表达，提升数学素养。在这节课的教学中，计算长方形、正方形的周长和面积，既有借助几何直观的思考，也有经过合情推理的论证，还有精准计算后的概括。例如，在提出“周长相等的长方形，面积一定相等吗？”问题后，教师先让学生提出猜想，再给学生提供了“研究记录单”，引导学生独立用“举两个例子”的方法，列出算式计算验证，从而得到两个结果来支撑自己的思考，从中积累解决问题的经验。又如，“组合图形周长、面积，怎样计算？”，教师提出“动口不动笔”，“来个策略大比拼”，体现教师启发学生说理推理，运用口头语言进行数学表达，培养学生的推理能力。而后面用“缝补高手”和“刀工了得的小师妹”作为对学生说理的点评，生动有趣，既大力肯定了学生的推理，有进一步明确了计算组合图形的面积时，可割可补，变化的是图形的形状，不变的是图形的面积。这些都是学生积累解决问题经验的活动，促进了学生数学素养的提升。整节课，教师注重指导学生理解数学知识，经历多个层次的练习，引导学生去发现、去思考、去交流，学会合情推理，学习准确表达，取得了良好的教学效果。
正是源于施老师对整节课有心、精心的教学设计，学生们经历了用心、专心的学习活动。结束这节课时，施老师将“这张A4的纸就只能这样了吗？”、“还能怎么变？”的问题留给意犹未尽的学生，同时，我们对练习课教学的研究与思考任在继续。
（湖北 关 蓓）
一张A4纸演绎出的精彩“故事”……
——
练习课，对一线教师来说虽然常上，但在大型教学展示活动中却总是不敢上。这是为什么呢？我想，基本原因可能有三：一是设计难，面对练习课，需要关注的知识点多，教师很难基于教材和学生实际创造性地设计出富有挑战性的学习活动；二是组织难，对于练习课，学生一般不感兴趣，参与的积极性相对不高，教师组织课堂难度大；三是观念转变难，传统的练习课一般就是整理回顾知识点，然后进行有层次的练习，而面对练习课教学的新变化——让练习课充满思维挑战，教师接受和实践起来常常会力不从心。因此，练习课常常成为“闭门课”，而难登“大雅之堂”，也就不足为奇了。
一、问题引领：让课堂充满一个个挑战
传统的练习课，行进的主动权一般在教师手中，先是知识点梳理，再是基本与综合练习，除了后半部分练习题的处理中会有新问题产生，一般很少有问题迸发。而
课伊始，教师出示一张A4纸，让学生观察。
师：用数学的眼光观察，你又有什么发现呢？
生：它的形状是长方形的，它有长和宽。
师：对，我们通过看，发现它是长方形的。（板书：看 长方形）
师：面对长方形，你能提出什么问题吗？
生1：它的周长是多少？
生2：它的面积是多少呢？
师：有价值的问题！谁会解答？
生：要知道长、宽是多少，才能解答呢！
教师课件出示数据，学生计算长方形的周长和面积……
简短的环节，凸显了以生为本的理念，教学行进完全是基于学生认知与思考的需要。放手让学生提出问题，思考问题，解决问题。在这一过程中，学生不仅由A4纸抽象出了长方形，而且又由长方形联想到了所学知识——周长和面积，特别是对于计算周长和面积所需的基本条件——长和宽又有了进一步认识。问题引领，层层深入，将所有知识点自然贯穿，简约而深刻。
正方形的引出，更是耐人寻味：
师：一想起长方形，马上又想到哪个图形？
生：正方形
师：对。用长方形纸，你能折一个最大的正方形吗？
一生上台折。
（教师板书：折 正方形）
师：此时，又有问题了吗？
生：它的周长和面积各是多少？
师：好问题！谁能解答？
学生回答……
由长方形“折出”最大的正方形，不仅是极具挑战性的问题，而且将长方形与正方形进行了巧妙对接，让学生深切感受了长方形与正方形之间的密切关系。此外，面对问题，教师常常不急于去做“回答者”，而是引发其他同学进行解答，尽量做一个“倾听者”。
一个又一个问题，不仅来自学生，而且多数由学生相互解决，切实培养了学生发现问题、提出问题、研究问题、解决问题的意识和能力。此外，这一个个问题却又高度关联，最终构建了清晰、完整的“知识网络”。透过最后的板书，我们便可以深深感受到这一点。
二、猜想发现：让学生经历一次次探索
传统的练习课，一般除了部分习题会引发探索与发现的可能之外，一般很少会有学生真正意义上的探索与发现过程。而
在通过“折”得到正方形后，进行了以下活动：
师：通过折的方法，我们从A4纸上得到了一个正方形。我们再来对折看看能折出什么图形？猜一猜，老师怎么对折？
生猜测，回答。
师课件展示对折情况。
师：这两个形状不同的长方形，面积大小会怎么样呢？估计一下。
生汇报并说明理由。
师：是的，尽管它们形状不同，但面积相等。由此，老师猜想，它们的周长也相等！谁来评价一下老师的猜想？
生1：他们的周长不相等！
生2：老师您错了，因为……
……
一个环节，两次猜想，足见教师对学生是何等关注！对折之前的猜想，彻底打开了学生的思维与想象，让学生在头脑中构建纸片对折的姿态与可能，培养了学生的空间观念与想象能力。周长大小的猜想，虽然看似是教师自己的猜想，实则是教师在引发学生猜想，是一种变式训练。通过让学生评价教师的猜想，引导他们积极进行观察、分析、比较、概括、表达，一举而多得。两次猜想，虽处理方式不同，但却收到了同样让人惊喜的效果，教师的智慧和教学能力令人敬佩。
在得到“面积相等的长方形，周长不一定相等”这一结论后，进行了以下环节：
师：看到这句话，有没有新的想法，或是新的疑问？
生1：为什么面积相等，周长却不相等？
生2：在什么情况下，它们周长会相等？
师：谁能解答？
学生相互解答。
师：如果两个周长相等的长方形，它们的面积又会怎样呢？请大家举例探索一下吧。
学生边举例，边填写“研究单”
“如果两个周长相等的长方形，它们的面积又会怎样呢？”看似一个问题，实则是一种启发猜想的“导火索”。学生围绕“周长相等”这一条件，在头脑中积极构建不同形状的图形，然后透过这些不同的图形，再来考量它们的面积，想象、比较、分析能力得到了及时训练。尤其是“研究记录单”的采用，为学生记录数据、观察比较、得出结论提供了“平台”与线索，确保了探索与发现过程的科学、有序、高效。
三、民主平等：让教学弥漫全新的“文化气息”
尊重学生，构建民主、平等的课堂文化，越来越受到广大教师的关注。那么如何在课堂中去积极构建这种以相互尊重为基础的课堂文化呢？
1.善于等待。等待，是一种意识，一种行动，一种态度，更是一种境界。在课堂匆匆行进的过程中，教师有时很难驻足，很难在关键时刻“等待一回”。然而，施老师的课堂，却在关键时刻，善于等待，善于从关照全体学生思考和研究进程的角度去等待，去成全。
在通过对折得到两个不同的长方形之后。
师：估计一下，这两个长方形面积大小会怎么样呢？
（此时，有个女同学高高举起了手。）
师：这么快就想到了！好！等等大家！
学生们的思考与探索继续进行……
再如，当教师提出猜测，有学生评价之后。
师：哦，说我错了，没关系，那你要说个理由啊！
话音未落，又有学生高高举起了手。
师：好！我们等等大家。
其他学生继续积极地在想办法，证明自己的观点。
……
必要而及时的等待，体现了教师对学生的充分关照，更为多数学生的深入思考、充分探讨创造了机会和可能，成就了以学为中心的课堂。同时，适时的等待，也是对全体同学的一种尊重，有效避免了课堂因为个别优秀学生“走得快”而让多数学生“跑掉鞋”现象的发生。此外，适时的等待，也为部分反应较快的学生提供了一次进一步思考、完善与修正的机会。
2.相互评价。传统的评价，评价者一般是教师，被评价者是学生。而新型课堂中，评价者和被评价者将会逐步多元。这不仅是一种评价视角的转变，也是一种新型评价文化的建构。在施老师的课上，学生评价老师，学生评价学生的场面时常出现。
在对折A4纸得到“两个长方形虽然形状不同，但面积相等”这一结论之后，教师故意进行了猜想。
师：是的，尽管它们形状不同，但面积相等。由此，老师猜想，它们的周长也相等！谁来评价一下老师的猜想？
生1：他们的周长不相等！
生2：老师您错了，因为……
师：哦，说我错了，没关系，那你要说个理由啊！
引导学生想办法，来证明自己的观点……
教师能够做到让学生评价自己，这既是一种智慧，也是一种境界。学生评价的过程，不仅是他们思考、发现与表达的过程，更是他们和教师“平起平坐”享受课堂平等与自由的美好过程。
总之，
一是关于练习难度的问题。本课后半部分内容的设计，虽然别出心裁，很有挑战性，但笔者以为对于刚刚学过长方形、正方形周长和面积计算的三年级孩子来说，可能难度偏大，部分学生接受起来会力不从心。二是关于面向全体的问题。练习课，本身就承载着查缺补漏，巩固提升，培优补差的功能。但在
（江苏 赵国防）
用细节照亮课堂
——观张珂老师执教“用字母表示数”有感
小学生的认识由具体的数过渡到用字母表示数，是学习简易方程以及学习代数的主要基础，是经历由特殊到一般、由一般到特殊的简单的思维过程，是数学学习的一个转折点和思维认识上的一次飞跃。
从内容本身来看，用字母表示数这节课比较枯燥无味，教学过程中“儿歌”“猜年龄”“手掌中的数学”这三个环节的三个不同内容的情境设计，乍一看“似曾相识”，没有多少“新”成分，但张珂老师紧紧抓住似无关却相联的三个情境去引导学生体验含有字母的式子的意义，并让学生从中体会到它的优越性、重要性，做到了关注知识的形成过程、关注学生的探究活动、关注学生的情感态度，促进了学生用字母表示数的观念的建立和初步的数学符号感的形成，让学生感受到了用字母表示数在生活中的许多作用，从而体会到了无论是生活还是数学学习都需要用到字母表示数。
全课教学结构严谨、条理清楚，教师语言艺术高超、思维缜密，学生思考积极、兴趣盎然，课中所举事例及其表达出的核心素养是数学化过程源于生活又高于生活。观完全课，仍意犹未尽。作为一节常态课，私自以为值得回味的亮点较多，而当中的亮点，无不体现于细节之中。例举三个细节与与同仁们分享：
细节之一：课题导入铺垫充分。导入新课对一节课有很重要的作用。好的导入就像唱戏的开台锣鼓，未开场先叫座儿。它可以吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲望，渲染良好的课堂气氛，达成高效率的教学。为了化解学生用含有字母的式子进行抽象表达的难点，张老师用了三个关联、递进的导入情境，让学生经历用字母表示数的认识与理解过程：（1）带领学生以绕口令式地表达“你说我说他说大家一起说”，然后将 “说”依序变换为“讲”“学”“道”，这里既传递着替换思维，又为“字母歌”的出现埋下伏笔。（2）“除这里有字母，在哪里还有呢？”由学生熟悉的“字母歌”引出“字母”概念。再由“字母歌”的字母延伸到其他地方如扑克牌中的字母，这里表明字母存在的普遍性。（3）由扑克牌“10、J、Q、K、A各代表什么”的问题把字母与数对应起来，并让学生带着“怎样用字母表示数”“用什么字母表示数”“为什么要用字母表示数”“用字母表示数有什么好处”等问题进入正题内容的学习。整个过程用时不多，却自然充分、一气呵成。
细节之二：激励学生不惜笔墨。德国教育家第斯多杰说：教学艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。在这节课上，张珂老师有针对性地把握学生的思想脉搏，恰如其分地将自己的看法变成学生易理解、乐于接受的言语，如跟学生交流时说“孩子们特别会观察”“课堂是你们的，你们准备好了就上课” “爱学习的孩子就是爱提问”“还是这孩子把手举得高”“老师喜欢这样完整的回答”“别着急，仔细看”“你的习惯真好，写完了就坐端正”“我看聪明的孩子在哪”“你是特别爱说的孩子”“说吧，没事的，大声点”“谢谢孩子们好听的声音”“数学课能唱歌吗”，等等，这些轻松、幽默、亲近、友好的语言缓解了学生的紧张情绪或教学情境中的紧张气氛，与学生达到了心灵的沟通。在培养、锻炼小老师的环节上，张老师也给予了小老师看得到自己被认可的鼓励：“小伙子，你姓什么？”“我姓胡。”“胡老师给大家上课了！”“刚才胡老师教大家的方法真不简单哦，同学们也都会了吗？”
细节之三：思维建构有序推进。用字母表示数不只是一个知识或一个技能，更应是一种重要的思想方法，它对学生的思维发展和继续学习影响很大。这节课欲达到的思维层次比较多，有对应思维、建模思维、方程思维等，课中有两个环节较有代表性地演绎了思维建构过程。一是用字母表示数式的环节，分了四个层次达成目标：（1）从放字母歌到出示扑克牌，建立了由字母概念到字母本身的认识；（2）认识五张扑克牌10、J、Q、K 、A中的字母J、Q、K、A依次代表的数及其大小关系，是从具体的字母到具体的数的认识，建立了字母与数的对应关系；（3）猜年龄中的字母X和“手掌中的数学”建立的是字母与具体数的数量关系；（4）字母X不能同时表示父子年龄而需要用X-30式子表示、用乘法计算手指个数需要5N表示，建立了数与数式的关系（或自变量与因变量的关系）。二是练习环节，“a×b= m×n= x+x= 1×a= 5×a= n╳6= c+c+c= ”与“a╳8=a8 25╳8=258”以及操场面积计算由“ac+bc”到“（a+b）c”、“n只青蛙n张嘴2n只眼睛4n条腿”的四组练习的呈现都具有不同的意义，既有对比设计又有防止混淆的设计，既是在内容设计上的周全考虑又是思维建构层次的着意安排。这种设计以过程展现形式，让学生学会了用含有字母的式子表示简单数量、数式关系，整体上给人以饱满、大气和思维多层、思维深度高度兼备的感觉。
同样是细节，觉得有两个小细节需与同行们商榷、讨教：一是在与学生探讨“用什么数表示年龄”时，向学生提出了“用于年龄的数是有范围的”“不是所有的数都可以表示年龄”的观点，例证是当年龄是1000或更多时，现实生活中没有这么长岁的人，但从用数表述年龄和用字母表示数的数学逻辑来看，却恰恰可行，因为年龄是自从一个人出生后就随自然年的增加而增加的一种数学存在，不会因人的生命死亡而终结。二是在问学生“哪里有字母”时，当一个男生回答“在方程中有字母”时却一忽而过，没有得到老师应有的关切，不知是否是可能会影响到课堂教学而采取的有意回避？用字母表示数的学习是为方程知识的教学打基础的，既然有学生提到了这个问题，说明这个男生认识、了解了方程，仅从爱学习这一点就应该肯定他。私自认为，这是一个难得的课堂生成资源，简单地顺势利导一下“方程”，不会有负面影响，相反，或许会有意想不到的效果出现。
（江西 廖肇银）
妙在设计 重在体验 贵在感悟
——听
在“千课万人”第二届全国小学数学“新常态课堂”研讨观摩会上，南昌师范附属实验小学教育集团
一、变“枯燥”为“趣味”，巧妙设计教学
“学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣。”当学习材料与学生已有知识和经验相联系时，才能激发学生学习和解决问题的兴趣，数学才是活的、富有生命的。用字母表示数是学生学习代数的开始，是学生对数的认识的一次飞跃。由于用字母表示数比较抽象，学生学习起来往往会感到比较枯燥和乏味，为了充分调动学生学习的积极性，张老师将教学内容变“枯燥”为“趣味”，巧妙设计教学过程，让学生在愉悦的课堂氛围中探究新知识，发展数学思维，体验、感悟数学思想方法，让学生体会到了学习成功的快乐。
在导入新课环节，
在探究新知环节，
在巩固运用环节，
二、变“静态”为“动态”，体验探究过程
1.学生在探究中体验
“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”
2.学生在体验中感悟
学生的学习过程不仅要用自己的大脑思考，而且要用自己的眼睛去看，用耳朵去听，用嘴巴去说，用手去做，用身体去经历，用心灵去感悟，只有这样才能逐渐走进数学，体验数学，在感受、体验中发现数学的规律。在教学中，
3.学生在感悟中提升
学生要想真正领略数学的魅力，就必须在参与中体验、感悟和领略数学。
三、由“算术”到“代数”，感悟符号化思想
有了数学思想方法，数学课才能深刻厚重；有了数学思想方法，才能让学生学会数学地思维。英国数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。符号化思想对数学的发展起着重要的推动作用，系统地运用符号可以简明地表达数学思想，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。在教学中，
如当学生猜测
总之，
（福建 邱廷建）
