11月23日互动专刊
专家评点
 

“深”入·“浅”出

——吴正宪老师《比的意义》一课赏析

一次教学，如何能用“深入浅出”来形容，至少可以说明两点，其一，反映教者对知识内涵、体系、价值的深度把握，其二，反映教者对学习者认知基础、认知形态的透析了解。无疑，吴正宪老师正是这样一位“数学”与“儿童”研究的高手。借《比的意义》一课，我们一起来分析吴老师课中的“深”与“浅”。

一、“深”入——基于“数学”的深度认知

首先谈“深”，主要从目标维度分析。从目标定位看，显然，吴老师并不满足于将“比”看作“除法”的“附庸”，而是试图探寻“比”更为宽广的教育价值与教学伸展可能。我们至少可以解读出以下几个方面的目标预设与实践。

1.凸显概念内涵。

 “比较两个同类量的关系时，如果以b为单位来度量a，称为a:b”，这是张奠宙教授关于比的概念本质描述。如何让学生体会这一本质？吴老师以“水与牛奶的比是2:1”为例，引导学生理解：“牛奶是1份，水有这样的2份”、“水占了三分之二、牛奶占了三分之一”、“也就是水的质量是奶的2倍”……从原概念“份”、“倍”、“分数”出发，迁移归纳，揭示“比”的本质理解。更为重要的是，教师在后面的教学展开中，通过“正例”、“变式”、“反例”的辨析中，“比是一种关系”、“比必须要统一标准”、“可以是同类量的比，也可以是不同类量的比”、“比是有顺序的”、“可以是两个量的比，也可是多个量的比”，等等有了深刻的认识。

2.实现知识贯通。

利用学习者认知结构中原有的概念，找出两者的联系，通过比较新旧概念的差异，进而使学习者获得概念的过程，我们称之为“概念同化”。分析吴老师《比的意义》教学轨迹，无疑，正是让学生充分经历了概念同化的过程。而概念同化的过程中，自然地将新知纳入已有认知结构，实现了概念之间的关系沟通。从课堂现场看，从“水和奶的比是2:1”理解，到学生自主举例“当1g糖，10g水时，糖和水的比是1:10，糖是10份、水是1份，也就是水占了十一分之一，糖占了十一分之十”，显然，比与“份”、“分数”等知识的贯通理解已十分清晰。

3.函数思想渗透。

如果“比”与“倍”、“份”、“分数”、“除法”是一回事，那么，引入“比”这一概念的价值与意义是什么？引用吴老师的阐述：“比是为比例学习作准备的，可以扩展为变量之间的函数关系”。基于这样的认识，吴老师引导学生思考：奶10克，水几克——水扩大2倍呢——水扩大4倍呢？通过“你变我也变”、“一个量扩大几倍，另一个量也扩大几倍”等表达，让学生体会“变量中的函数关系”。显然，函数思想的渗透还原了“比”的本质。

4.应用价值凸显。

“概念学习”的价值最终会走向“概念应用”。吴老师课中，借助“师生比”、“北京到上海、杭州到上海的路程时间比”等素材，思考“你能给校长什么建议呢”、“知道路程：时间=300:1，路程：时间=100:1，可以推想出分别坐了什么交通工具？”不断让学生体会“比是一把尺子”，“比可以进行比较”，“比可以帮助判断”。丰富情境中，基于概念理解，止于问题解决，目标视角逐渐走高。

二、“浅”出——基于“儿童”的经验对接

所谓“浅出”，主要是从学生维度所作的思考。吴老师一直是“儿童中心”的积极倡导者和实践者，在她的课堂上，“顺儿童思考而教” 、“善用童言童智”、“将学生置于学的主体”，等等理念有了最为真实的展现。

1.前在经验、潜在认知的真实呈现与激活。

分析吴老师的教学路径，经历了“原概念呈现——新旧概念联结——概念本质辨析”的过程。激活学生的生活经验，把握学生的前概念理解，是吴老师基于儿童教学的真实写照。

——“你在哪儿听说过比”？回答“金龙鱼广告中1:1:1”、“足球比赛中进球比是23:22”、“比成绩”、“比分数”……让我们看到了吴老师“直面起点”、“直面错误”、“直面差异”的勇气与智慧。

——“大家读懂了水与牛奶的比是2:1吗，说说你的理解”，我们看到，老师鼓励学生自主完成新旧概念的联结，联结方式从“直白告知”变为“联想推理”，而这样的“联想推理”又是学生自发完成的。

——“路程：时间=速度，1500:5=300:1，1500:15=100:1，说说是什么意思”。“速度是300，也就是300:1，也就是1小时行了300千米”。我们看到，“不同类量的比产生新的量”，当“速度”以比值形式出现的时候，老师依然不忘将其还原为生活理解，突破难点。

2.好材料、好任务驱动自主建构。

“润物细无声”，将“高目标”融于“自然对话”，是吴老师《比的意义》一课的鲜明特点。为什么能实现如此细腻、丰富的目标，一方面得益于吴老师与学生的沟通艺术，笔者以为，好材料本身所蕴含的独特功能功不可没。试以练习材料举例如下：

材料1：小亮155cm，我1m ——自主完成不同单位的统一。

材料2：某县城一所学校有教师100人，学生3000人——自主实现从“具体量”到“份”的跨越；

材料3：从北京到上海全程1500千米，行驶5小时。从杭州到北京全程1500千米，行驶15小时——实现从“同类量”到“不同类量”的变式。

材料4：混凝土由水泥、沙子和水搅拌而成。水泥占，沙子占，石子占——实现从“两量比”到“多量比”的拓展，体会引入“比”的价值。

值得欣赏的是，几乎每一个情境展开中，教师都没有刻意引导，而是学生基于比的本源意义——“以（   ）做标准，（   ）就有这样的几份”，自主完成“比”的表达与理解。

材料1，学生写出的三个比为“155:1”、“155:100”、“100:1”，通过“标准比较”的思路，自然排除了“155:1”与“100:1”两个错误答案，学生对于“单位要统一”也就不言自明。材料2，学生板演的比是“3000:100”与“30:1”，前者仅停留于“具体量”的比，后者自然地将其提升为“份”的思考：如果老师是1份，学生有这样的30份。材料3，则更是一个极好的开放性材料，学生可以写出多个比，又自然引出不同类量的比。材料4，虽然变式为“三量”关系，但学生依然基于“标准”的思考，如果以沙子做标准，占10份中的3份，那么水泥则是10份中的2份，石子是10份中的5份，三者的比是“2:3:5”。由此，一方面，我们由衷感叹吴老师基于“比较”、“标准”、“关系”把握基础上的“比”的本质挖掘，另一方面，也佩服老师为实现目标所设计的结构化材料与驱动性任务。

“深入”尚需“浅出”，教学的不懈追求！与大家共勉！

 

（作者：浙江省杭州市江干区教育发展研究院  潘红娟）
 

高，实在是高

——朱乐平老师《高》的教学赏析

若干年前，就在杂志上读过朱老师《从高谈起》这篇文章，“要让学生感受数学定义的‘强大’, 不但在平时的概念教学中要强调概念的发生过程, 而且还可以设计一些专门‘下定义的课’, 让学生感受、经历如何下定义。我相信, 这种新型的课一定能够提高学生的数学素养”，这是朱老师文中最后一段的文字。今天，朱老师执教了《高》的观摩课，正是对“下定义的课”的精彩实践与完美演绎。

朱老师的课堂依旧安静，学生有足够的时间思考，老师有足够的耐心等待；朱老师的课堂依旧清淡，没有精巧学具，只有白底黑字的ppt，没有绝妙情境，有的只是老师语调平淡的娓娓引导。但，在平静的背后，我们能够觉察到是学生认真专注的倾听、暗流涌动的思考、理性准确的表达。当然，印象最深的还是朱老师引导学生经历构建“三角形高”的定义的过程，下面把自己的理解与大家分享。

一、从三个人的身高定义到人的身高定义，经历特殊到一般的抽象过程

现实数学教育所说的水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化，是从“生活”到“符号”的转化，数学是现实世界人类经验的系统化总结。小学生最熟悉的身高就是数学概念“高”的现实基础，因此，朱老师的教学从人的身高定义入手。首先呈现小明的图片，说说小明身高是什么意思。“从小明头顶到脚底的距离，就是小明的身高”，学生能用准确的语言描述。然后又依次呈现小强、小红的图片，又分别说说他们各自身高的意思。课件一一展示，整齐排列。紧接着，朱老师提出“什么叫一个人的身高？”学生的回答“一个人的头顶到脚底板的距离”。随之，朱老师进一步提问：上面的三句话和下面的一句话，有什么相同与不同的地方？让学生体会到上面三句话分别讲的是三个同学的身高，而下面一句话包括了每一个人、所有人的身高。

整个推进，看似比较繁琐，甚至重复，但就是在这样的过程中，让四年级的小学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的过程。朱老师有意而为之的设计，恰恰是指向学生数学学科核心素养的培育。

二、从比较人的身高到比较三角形的高，经历构建规则的类比过程

从比较两个人的身高，已经明确研究的方法：要比较两个人的身高，就要先规定一个人的身高是什么意思，再想办法比较。当朱老师呈现任务“比较两个三角形的高”时，学生就能进行类比迁移，自然的提出“要先规定三角形的高是什么意思”，引出本节课核心的目标。

具体分三步完成：（1）定义水平底边上的高。让学生画一画、说一说，形成定义“从顶点C向它的对边AB作垂线，顶点C与垂足D之间的线段，就是三角形的高。（2）定义三角形中另外两条底边上的高。（3）独立思考：什么叫做三角形的高。因为有了前面三条高具体的表述，学生比较精确得出“顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段，就是三角形的高。

学生又一次经历从具体到抽象的过程，不仅仅深刻理解三角形高的概念，更重要的是明白了“如何下定义”的方法，这对于学生而言，是具有奠基意义，由此播下的种子，可以发芽生长，受益终生。

三、从锐角三角形水平底边的高到各类三角形的高，经历完整构建的过程

众所周知，教学三角形的“高”，钝角三角形的三条高是教学难点。人教版四年级下册《教师教学用书》第142页明确指出：“要注意的是在钝角三角形两条短边上的高在三角形外，学生比较难理解，在小学阶段不作要求。”但朱老师的课堂并没有刻意回避，反而提出了精准表达的要求。首先在锐角三角形中，让学生用不同方式表达，如“AC边上的高是BE”“BE是AC边上的高”“AC与BE是对应的底和高”。然后以直角三角形为过渡，理解直角边上的高。最后呈现钝角三角形，让学生明白“钝角三角形有三个顶点、三条对边，一定也会有三条高”，然后通过想象及课件展示，分别让学生说说钝角三角形三条边上的高，学生直观看到“有两条高在三角形外面了”。最后，朱老师又引导学生完善了“三角形高”的定义：“在三角形中，过顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫三角形的高。过顶点向它的对边作垂线，也包括向对边的延长线作垂线”。至此，三角形“高”的定义完整了。相信，通过这样的历程，学生对三角形高的概念有了整体把握， 不仅理解“高”概念的内涵，也丰富了概念的外延。

让孩子经历“下定义”的过程，带给我们极大的触动和启发。此外，朱老师的课堂还有很多值得欣赏、借鉴的作为。如：培养学生深度“听”的习惯与品质。但凡有学生交流的环节，朱老师总是不厌其烦的提醒“不仅要听懂说的意思，而且要思考说得是否有理”，同时也提醒发言同学要想办法说清楚，让别人听得懂。又如：重视回顾与反思。课即将结束之际（包括某个环节），朱老师让学生静静回想做了什么，有什么收获，还有什么问题。旨在厘清学程脉络，交流学习成果，突出学习方法的总结，更关注学习的疑难与困惑。

这些，也许可以归为课堂常规建设，或者是教学模式探究。但我更愿意理解为，是朱老师对学生学习能力、品质与素养的观照。想明白、说清楚、听得懂、会判断、敢质疑……，不都是让孩子积蓄起利于终身发展、适应社会需求的核心素养吗？ 

欣赏朱老师《高》的教学，不由感叹：高，实在是高！

（作者：浙江省杭州市江干区小学数学教研员  田小勤）
 

在“简单”与“复杂”的轮回里

——著名特级教师唐彩斌《三角形面积拓展练习》教学赏读

今日，又见唐彩斌老师的教学风采。正如事先预想的那样，《三角形面积拓展练习》延续了鲜明醒目的“唐氏风格”，“技术”成为了改变课堂形态、重构学习路径的“重拳”。教学中，唐老师巧用“微课”回眸推导过程、依仗“画板”揭露疑难思路，帮助学生深度达成了数学思维的“转型升级”。

当然，“术”终究是受“道”影响的。用主持人李加汉老师的话来讲，唐老师的课“思想与技术兼备”，因而给人“脑洞大开”之感。确实，对我而言，最感觉震撼的，并非炫酷的动图、高明的演示，而是唐老师作为一名教学专家所体现出的师者情怀与育人智慧。

说到情怀与智慧，想起了唐老师在课堂上对学生说的几句话：“有的方法写起来很复杂，想起来却很简单；有的方法写起来很简单，想起来却很复杂。这件事情很公平，你只能选一样……”这段颇有几分“鸡汤味儿”的言辞，放在今天的课堂里，却毫不突兀、极其妥帖。数学学习，本就是一场“简单”与“复杂”的无缝轮回。以下，容我细说。

一、生长：在“简单”向“复杂”的迈进中

在完成“三角形的面积=底×高÷2”的课时教学后，大部分老师都会“痴迷”于组织学生投身面积公式的正、逆运用，为“底高要对应”“除以2不要漏”“知道面积与底求高时，别忘乘2”等要点强调而“深感满足”，而很少会引导学生参与更大空间、更多维度的拓展。由此，学生的数学发展始终限于“技能锤炼”层级。而在《三角形面积拓展练习》中，唐老师却另辟蹊径，打开了学生主体“巧用公式、激活思维、拓宽视野、积蓄智慧”的另类视窗，使其在极富挑战性的问题情境中，实现了更深层的数学化生长。整节课中，他只给学生提供了两组材料。第一组材料，是一个长10厘米、宽8厘米的长方形，四个顶点及四边中点分别标有字母。第二组材料，是由边长各为8厘米、4厘米的两个正方形拼成的组合图形。基于两组材料的学习任务始终是，请学生从图中的8个点中选出3个点并相连，找出“最大的三角形”“最小的三角形”及“中等大小的三角形”。完成任务的过程中，学生会多次经历三角形面积的计算活动，有效夯实了知识技能。同时，有序观察、空间想象、逻辑推理等核心能力亦得以同步生长。

二、蜕变：在“复杂”到“简单”的回归中

利用方形图的格点，寻找符合面积要求的三角形，本身就是非常规性的学习任务。除了知识与技能，更需要思维与智慧。在挑战性“问题场”中，学生时而“山重水复”，时而“柳暗花明”，一切变得“扑朔迷离”。然而，唐老师的教学立意显然并不止于任务本身。他在“本已复杂”的交流中提出了“更为复杂”的新问题。例如，完成“在第一组材料中找三角形”的任务后，老师顺势追问：“既然能找到面积是10平方厘米、20平方厘米、40平方厘米的三角形，那么，是否能找到面积是30平方厘米的三角形呢？”又如，完成“在第二组材料中找三角形”的任务后，老师再次跟问：“还能找到比8平方厘米更小的三角形吗？”

事实上，这两个问题所指向的三角形，都是底和高无法直接看出长度的三角形，因而很难得出面积。对此，学生不难想到“总面积－其它各部分的面积=要求三角形的面积”的常规思路。很多听课老师以为，“拓展至此，也该告一段落了”。因为，面积计算的思路步骤已经“拐了好几个弯”了。而就在此时，唐老师再次一“问”惊人：“除了用总面积减其余各部分面积，还有没有更简单的方法？”此刻，估计听课老师大多也是“一头雾水”。于是，精彩就此生成。一个孩子提出了“先添辅助线，再利用平行线间的距离处处相等的特点，找出与原三角形同底等高、但更容易算出面积的三角形”的“好声音”，由此，“等积变形”思想便开始在课堂现场无声滋长……为趁热打铁、有效巩固，唐老师适时呈现了一个学生探究过程中出现的能画出图、但无法算出面积的三角形，引导学生再次感受“等积变形”的魅力所在。哈，如此“复杂的问题”，竟能这样“简单地思考”，孩子们茅塞顿开。

其实，这种从复杂到简单的回归，在开课环节亦有生动体现。唐老师秉持一贯的“暖男”风格，鉴于第四节课“学生感觉饥饿”的现状，给每个孩子发了面包片。同时，提出一个饶有趣味的非常规任务：已知面包片的边长是10厘米，请求出三种规定形状的小面包片的面积。看似缺乏信息、难有头绪，但学生凭借已有的面积探究经验，顺利解决了问题，如愿吃上了蛋糕，并积累起“在非常规任务中寻找常规线索”的活动经验。

三、熏染：在“简单”与“复杂”的哲思中

结合数学史料、进行文化熏染，是当前数学课堂的常见“风景”，但常给人以“贴膏药”的生硬感。唐老师的匠心设计宛如“一股清流”，为我们呈现了数学教学落实文化熏染的“正确打开方式”。课尾，唐老师从西湖体育馆的地理位置说起，谈到了附近的“道古桥”，再由此引出了古代数学家秦九韶的杰出成就及“海伦秦九韶公式”（根据三角形的三边求面积）。学生在前面部分的课堂探究中，已经初步体会“等积变形”的重要意义，知道“求三角形面积不一定要知道底和高”。这时候，当他们了解到与身边的真实古迹有关、与自身的学习经历相连的数学史料，一种对于厚重文化的“膜拜感”便会油然而生、并长久褒有。

（作者：浙江省绍兴市上虞区教学研究室  叶 柱）
 

“透”在课堂

——赏吴正宪《比的意义》、朱乐平《高》、唐彩斌《三角形面积拓展练习》有感

一节是与“数与代数”领域的，另两节分别是“图形与几何”领域的新授课与练习课。吴老师展现了特有的优美旋律，朱老师保持一贯的睿智冷静，唐老师展现年轻人的思想技术。内容迥异，方法不同，看似本无联系的三节课，却共同演绎了一部和谐的合作曲。“水尝无华，相荡乃成涟漪；石本无火，相击而发灵光”，这“真情加智慧的课堂”来自于三位老师已经将教材吃透，将学生吃透，将课堂吃透……“透”在课堂，就像武学中打通了“任督”二脉，达到最高境界——“无招”，令人赏心悦目。

一、“透”在关注内容的前世今生

听吴老师的课，享受着“爱与美的旋律”，层层深入，细致入微，涓涓溪流，润物无声！吴老师向我们呈现了课堂如何把儿童放在心上的鲜活例子。内容是科学，教学是艺术，吴老师就是一位将科学与艺术演绎得淋漓尽致的大师。而这节课，笔者更多想说的是吴老师是怎样将课上“透”，是如何关注孩子学习内容的前世今生。

我们不妨回顾吴老师的几个重要板块：

开门见山揭示课题：比。

师：你们在学习中、生活中哪里见过它，听过它，或者你心中有什么问题也可以提出来？

生：金龙油广告中1：1：1；足球赛中；考试成绩比高低；溶液中沉淀物与水的比等等。

吴老师顺势捕捉了孩子所说的溶液，让孩子说说这里有一杯奶，你准备怎样配备奶粉和水，说说你认为的“2：1”的意思？

师追问：如果是配10克奶粉，需要多少水？20克，100克呢？配400克水，需要多少奶粉？在配的过程中，你有什么发现吗？

孩子通过自主解读，自我建构，发现“比”与“份”、“倍”息息相关，发现了“比”是有规律的，感受比是有顺序的，体验了变中有不变的辩证唯物主义思想的启蒙教育。再让学生来自主练习身高的比（需要单位的统一），学校教师人数与学生人数的比，加深了比的意义的理解，再从同类量的比延伸到不同类量的比：“从北京到上海全程大约1500千米，大约行驶了5小时”，“从杭州到北京全程大约1500千米，大约行了15小时”，感受到比是一把可以度量的“尺子”，从而拓宽了比的内涵与外延！这样的学习，关注了孩子的数学经验、生活经验、认知经验，把“比”的学习放到了整个数学学习的体系当中，孩子最后用“顺序、浓度高低、判断、明了直观、一看就懂、应用广泛……”等等关键词来描述他心中的“比”，真正做到了前有孕伏，中有突破，后有发展！

二、“透”在课程整合的经验积累

没有丝毫的矫揉造作，也没有粉饰胡哨的花架子，有的只是真实和常态，却往往独辟蹊径，令人意不意外，惊不惊喜。在朱老师身上我们不仅会看到教学的理性与智慧，更能领略到什么是课堂的从容与冷静。朱老师给笔者最大的体会就是，要把课上“透”，数学其本身的内在逻辑才是课程整合的精髓，数学的灵魂自然是数学，如何让孩子将抽象的概念深入浅出，如何积累孩子的经验，把学习当成孩子的真正需要，朱老师给我们做了很好的典范与诠释。

先来回顾朱老师别开生面的引入：

出示课题：高  

师：你会想到了什么？

生：想到了长方形的高、正方形的高；一个物体的高度……

师请一个孩子站起来，跟老师比比谁高？你有什么办法看上去比我高一些？

孩子站在椅子上，老师也站在椅子上，学生再爬到桌子上。

师：如果老师也站在桌子上会怎么样？在地面上我比他高，站到椅子上他就比我高了吗？我们俩到底谁长得高？

出示图：小明的身高是什么意思？什么叫小明的身高？指的是哪一条线的长度？

生：从脚底到头顶的距离

师：那什么叫小强、小红的身高？人其实是很多的，独立思考：想一想，什么叫一个人的身高？同桌交流：说一说：什么叫一个人的身高？

出示：一个人的头顶到脚底板的距离，叫做这个人的身高。

课件出示（一个人蜷缩躺在床上）从头到脚底，这是不是一个人的身高？

出示：规定：在直立时

师（出示个体与群体的人）：上面的说法，有什么相同与不同的地方？

生：相同的地方都是从头顶到脚底板的距离，前面是某一人的身高。

生：不同的地方是下面是不管哪个人都可以，随便哪个人。

得出：要比较两个人的身高，就要先说好（规定好），一个人的身高是什么意思。再想办法比较出两个人的身高。

出示：比较两个三角形谁长得高？（比较两个三角形的高）要比较两个三角形的高，先要做什么？

与其说让孩子明白需要一种“规定“，还不如说如何唤醒孩子已有的经验，让孩子主动建构，“在三角形中，从顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫三角形的高。”这个概念是非常抽象的，然而，当规定变成了孩子需要的时候，就激发了他内在的强大的学习力，关键是又链接了他刚刚是如何得到“身高”规定的已有经验，迁移的学习就变得水到渠成。惊叹！原来三角形的高的概念完全是可以让学生“悟”出来的！深入浅出，通俗易懂，一切尽在不言中，这就是体验的教学——“随风潜入夜，润物细无声”，这就是智慧的教学——“野径云俱黑，江船火独明”。这种智慧比方法更丰富，比策略更艺术！“知识求多，更要求联”，正是有了对“联”的独具匠心的思考，才将课堂升华至艺术的境界！这也是广大数学老师追求的数学学科本身需求的课程整合！没有华丽的课件，没有热闹的氛围，没有生动的词藻，如同一片看似宁静的西湖水，实则暗涛汹涌，波澜不惊。带给了学生，也带给了我们每一位听课老师太多思考。感谢朱老师独特的教学魅力。

三、“透”在变式挑战的融会贯通

感叹于唐老师在教学上孜孜不倦地追求！练习课是教学中的难题，即使是千课万人，出现的概率也很低，然而唐老师却乐此不疲。每一次，总能让笔者体会到唐老师“独上高楼，望尽天涯路”的勤奋，体会“为伊消得人憔悴”的求索，看到今日“灯火阑珊处”的成功。数学，自然是以发展学生的数学思维为根本，思维是怎样发展呢？唐老师的课中总是让孩子不断地经历“变”，自主地“变”，变才能让知识融会贯通，举一反三，才能让知识理解得更到位、更深刻。

回顾一下唐老师的“变”吧！

变一：现在我们来求三角形的面积，可是三角形还不知在哪里？

    有一个长方形ABCD，AB长8厘米，CD长10厘米，E,F,G,H分别是AB、BC、CD、AD边的中点。请你自己从8个点中选择3个点，围成一个三角形。并求出它的面积。

 

教学时，教师先出文字，让学生根据文字想象尝试画图，再出完整图。

   2.学生活动。

（1）独立思考，自主选择。

（2）选择三个不同的三角形。计算面积。一个尽可能大、一个尽可能小、一个不是最大也不是最小。

  （3）小组交流，讨论：哪些不同的三角形面积却相等，为什么？

2.讨论：

	图1	图2	图3
你找到的三角形中	最大的	不大不小的	最小的
三角形
面积计算

投影出示学生画的三角形。板书学生的计算方法，注意让学生找到不是直角的三角形的也是最大与最小的面积。

师：有没有面积30的三角形？10，20，40都有，有没有30的吗？你能找出来吗？（学生展开从不可能到可能激烈讨论，完成了任务）

变二：三角形隐藏在更复杂的图形中。

1.有两个正方形ABCD和FCEG，边长分别为8厘米和4厘米，F是CD的中点，E在BC边的延长线上。

    

学生活动：

（1）独立思考，自主选择。

（2）选择三个不同的三角形（非直角三角形）。计算面积。一个尽可能大、一个尽可能小、一个不是最大也不是最小。

（3）小组交流，讨论：哪些不同的三角形面积却相等，为什么？

3.讨论：

	图1	图2	图3
你找到的三角形中	最大的	不大不小的	最小的
三角形
面积计算

当学生找到面积最小的三角形DEF进行计算后，老师话锋一转，有没有更小的呢？有一个很窄的三角形（出示AGE）你能求出它的面积吗？

在唐老师的精心设计中，孩子们练习的自主性强，思维在不断地接受挑战，尤其是“10，20，40都有，有没有30的吗？你能找出来吗？”“有一个一个很窄的三角形（出示AGE）你能求出它的面积吗？”这两个问题，一次将课堂推向另一个高潮，另一种境界，数学美，应该是一种思考美。这种美是数学的真正“理趣”！当唐老师利用几何画板将“看起来复杂，却做起来简单”、“做起来简单，想起来复杂”的三角形AGE面积解决的时候，在座老师与学生无不被唐老师高超的课件制作技术折服，技术也真正起到了为教学服务（当然，在学生解决三角形BDF面积的使用可能更自然，供唐老师参考），等积变形另听课老师叹为观止！用唐老师自己话说：“什么是核心素养？就是一头连接着完整的人，一头连接着真实的世界。”思想+技术，这才是理想的课堂！教学，多站在教育的角度。探究“为什么”才能产生数学教学的本真追求！

不同设计思路，不同的课，演绎了说不完的精彩！追本溯源，是三位老师都抓住了学生学习数的 “根”，把数学的“根”留住，不同的乐谱，却奏出了同样的和谐：数学还是那个数学！教孩子能学“透”的课堂！

（作者：原浙江省台州市椒江区小学数学教研员 李加汉）
 

着眼联系  营造氛围  着力发展

——江萍老师《认识面积》学习体会

面积，这在生活中是一个很常见的词，但作为数学概念的面积，对学习者——三年级的学生来说确是比较抽象的。而教材关于面积一课的知识点，正如老师自己分析的那样众多且不易理解：引入面积及统一面积单位的必要性、面积的意义、面积单位的认识与大小感知等，要在一节课有限的时间里使学生全部掌握固然很好，但不现实，因此老师根据自身的理解进行了合理的取舍；同时在自身先进教学理念的支配下，通过丰富的教学活动及精当的教学策略设计，谈话式轻松氛围的营造，在使学生掌握面积相关知识的前提下，自学、表达等能力都获得了发展。

首先给我们留下深刻印象的是教师重视学生生活与知识经验、心理发展水平及促进其能力发展的生本观：

重视经验，确定起点。在现代生活中，面积无处不在，大到居家买房，小到选择手机屏幕等都与面积息息相关。但这些生活元素是否渗透到了儿童生活中呢？老师专门进行了前测，确定儿童有所接触，能为教学提供适当的帮助，因此，以此为前提设定教学起点。

研究分析，合理取舍。正如前面所述，与面积相关的知识点众多，这些知识学生是否能在一节课这有限的时间里全面理解？同样，这些知识对学生的学习历程来说是否同等重要，是否有轻重缓急之分？这些知识是否非在一节课讲述，有没有其它途径可寻？在对这些问题进行了深入的分析研究之后，老师确定了以理解面积的意义及建立相应面积单位的表象为重点，至于统一面积单位的必要性则通过其它途径补充。这样，既突出了重点，又降低了难度、提高了效率。

着眼发展，提升能力。目标的设定首先是习得相应的知识，但仅有知识的教学显然不是数学教育的全部。老师非常重视在知识教学的同时，促进学生能力的发展。首先是重视自学能力发展，不仅要学生自学书本上的相关知识，并为学生设计自学单，引导学生目标明确、条理清晰地进行自学；同时，在质疑、深化的环节，引导学生用自己的语言表达自己的所思、所想、所惑、所获。只有着眼学生发展的教学，才体现出数学教育的真蒂。老师为大家做出了很好的示范。

同时，老师精当的教学设计及在课堂里注意教学氛围的营造，也给我们留下了很深的印象：

直接入题，形式简洁。本堂课的目标有理解面积的意义和建立相应面积单位的表象，而这两个问题的提出，老师都没有迂回、绕湾，而是直接入题：关于面积，你听说过吗？1平方厘米有多大？等等，这样的设计，既使教学形式简洁，又使学生学习目标明确，节约教学时间。

问题牵引，强化目标。老师在设计直接入题的教学形式时，不是以陈述的方式进行的，而是以问题牵引的方式展开，进一步强化与细化了目标:诸如面积大小指哪？怎样的图形有面积？面积有单位吗？1平方厘米有多大等。

多管齐下，助力感知。在抽象概括的基础上，帮助学生建立相应面积单位的表象，显然是本课教学的重点。为使学生获得正确的表象，教学时通过触摸、贴图、举例、课件展示等多种形式，通过观察、比较、感知、描述等多种途径的助力，使学生形成了正确的表象。

师生对话，氛围轻松。在教学过程中，老师努力营造轻松活泼的学习氛围，以平等的姿态、对话的形式，使学生在轻松愉悦的氛围中进行学习。

《面积》从数学知识教学的范畴来说是一个概念教学。关于概念教学有概念引入必要性的理解、概念内涵的深化及概念外延的框定等一些基本要求。在教学中，老师注意了概念内涵的深化，有意将概念引入的必要性放下，这些就不再讨论。但关于面积这一种概念中的两个属概念——物体表面和封闭图形的外延是否可以帮助学生进一步全面地认识呢？如物体表面不仅有平面，也有曲面（圆柱体物体的侧面）和球面等，举例时不仅仅局限于平面，思路打开一些，不是更利于学生形成知识的完整性吗？再如封闭图形，有规则的，叫得出名字的（如长方形、三角形、圆等）图形有面积，而不规则的，叫不出名字的（如云朵状的）也有面积呀。教材没有涉及，老师是否想到过呢？

（作者：江西省南昌市小学数学教研员  胡桃根）
 

干干脆脆，有滋有味

——观袁晓萍老师《认识小数》一课有感

袁晓萍老师上课，轻松，惬意，亲和，透彻，于从从容容之间引领着学生们自如游走于数学的山山水水，自然而又美好！

按吴正宪老师的说法，学生是在享受 “好吃又有营养的数学”。

这是一种高境界，因为袁老师用我们习以为常的简单素材就上出了数学的不简单，用并不繁杂的教学手段，却呈现出了数学的广度、温度和深度。学生学得一点不累，但学生学得非常不错！

但很显然，这又是一种不易达到的境界，是袁老师多少年潜心研修炼就的。个中奥秘笔者尚未参透，这里仅谈几点粗浅的看法，希望对老师们有点启发。

一、重学法迁移，让学生主动地学

要想让学生成为自主学习者，除了给他们一定的时间和空间，教师还应当努力增进学生的学法意识和学法实践。

课前谈话时，袁老师借着现场的情景和学生聊起了“我知道……我想问……”的话题，并对学生明确提出了学习期望：“上课时发表意见要注意用上‘我知道……我想问……’！”这正是对学生学法意识的激发，而课堂学习就变成了学生的学法实践活动——学生在同桌交流前袁老师都及时做了再提醒，汇报交流时学生也能较好地使用这种句式。“我知道”和“我想问”是学生学习的两股重要推动力，“我知道”重激发学生的“已知”（会调动已有知识经验），“我想问”重在激发学生的“未知”（会提出待解问题），由“我知道”发展到“我想问”正是学习前行的基本路径。

再比如，在引出生活中的小数例子后，袁老师在PPT上呈现下图：

 

图左的价格信息，暗含着很多的思维因子和知识营养，耐人寻味。而图右侧那些通俗易懂的问题，其实正是学生拾阶而上的学法台阶，循着这些台阶，自然就能抬高学生的自主学习能力。

二、重学材设计，让学生精准地学

优质的学材是唤醒学生学习热情、促进学生有效理解和掌握学习内容的活动载体和便捷通道。袁老师深谙此道，在学材设计上颇有独到之处。

比如，开始的“记录数学书的价格，看谁记得又对又快！”活动，袁老师是分“三步”走的。

第一步，呈现下图后快速隐去，学生看不清自然记不下，引起他们心理上的二次期待；

 

第二步，慢速呈现，让学生仔细观察进而把握图中的数学结构，学生开始独立记录；

第三步，呈现学生的记录结果，绝大多数学生记录为“6元7角6分”，袁老师探问“有没有更简便的方法记下价格”，“6.76”终于由“第一个把小数带进课堂”的学生写到了黑板上，可谓隆重登场。“你更喜欢哪一种？”几番对话之后，写起来更为简便的小数得到了更多的认同。

就这样简简单单的一份学材，因着袁老师的精心设计，带来的却是如此丰富多元的学习滋养。

再比如，袁老师课堂上对两段微视频的使用。

第一段是“小数的历史”。

 

简短的视频中，蕴含着丰富的数学文化因子，既传达出了我国数学文化的源远流长，又推介了小数在国外的发展轨迹。是文化的熏陶，亦是思维的启迪。

第二段是“一起来表示0.8元”，动态演示了由钱币图到长方形图、线段图，再到计数器、数位顺序表的变化过程。这里体现了数形结合的思想，借助直观模型的变化，实现了多种表征方式的自然贯通。此时的微视频有效发挥了“微提示，深思考”的作用，虽过程简短，但自然充分、一气呵成，能有效引导学生积极进行观察、分析、比较、概括、表达，深入体味这其中 “变与不变” 的数学要义。这是知识与技能、过程与方法、思想与情趣的自然碰撞和深度融合。

三、重学程再造，让学生深入地学

多数教材在编排“认识小数”时，都会借助分数的桥梁，体会“一位小数”“两位小数”和“十分之几”“百分之几”的联系。北师大版没有编入体会分数和小数联系的内容，该教什么？又该怎么教？

袁老师的选择是，把小数放在数的体系中，从数（整数、小数）的整体关系网中，让学生感受到小数和整数之间的联系和区别，从而建构对小数的初步认识。这在“你圈我写”的活动环节表现得十分充分。“1.11元”出现后，在百分位上每次“0.01元”往上叠加，直至“1.19元”到“1.20元”这一重要思维拐点的出现，学生从中体会到了小数中的“满十进一”，再往后在“1.20元”的基础上，每次“0.1元”往上叠加，学生又经历了“1. 90元”到“2.00元”的又一次“满十进一”。而且，袁老师还把整数学习中的重要教（学）具——计数器引入进来，用得恰到好处。由此，整数中熟悉的“十进制”拓展到了小数当中，这既是对十进制的完善，也是对小数意义在思想方法层面的一次深度建构。

这种教学用意在“一起来表示0.8元”微视频的播放和分析中也有很好的体现，前面已有分析，不再赘述。

最后提个问题：“数源于数”，袁老师试图用学习整数的方式来同化小数的认识，这样的教学创意非常可贵，也在教学活动的后半段有所体现，但我感觉还可以做得更充分些，比如前半段加入一点整数的复习活动，并着意凸显十进制的思想方法力量，与整数“小单位累加为大单位”的思路不同，小数采取的是“大单位分割为小单位” 反向延伸思路。这样十进制就真的起到了贯通小数和分数的作用。是否可行？期待老师们更新的探讨。

（作者：山东省淄博师范专科学校副教授 张良朋）
 

数学教学，当直面学生的思维发展

——赏胡允社老师《平行四边形面积》有感

《平行四边形的面积》是一节经典的“老”课，尤其是浙江对这节课的研究可以追溯到10年前，宋刚、朱国荣、顾志能、袁晓萍等都曾做过不同的精彩演绎。胡老师今天选择上这节课，本身就是莫大的勇气，笔者由衷钦佩，无法不为你点赞。至少这种思维的碰撞，给我们的启迪是要从各种束缚、禁锢、定势和依附中摆脱出来，达到心灵的接纳，情感的交融，享受精神的愉悦，成长的幸福，从而使我们在教学理论上有所提升，在课堂实践中得到提高，进而实现理论与实践的日趋接近，直到零距离。

胡老师整个板块的设计大致是：辨析明理，平行四边形的面积不是邻边的积；实践验证，平行四边形的面积等于底×高；变式操作，平行四边形可以通过不同的方式转化为长方形。板块脉络清晰，先把学习的主动权交给学生，让正方、反方孩子通过交流、讨论从而产生思维碰撞，通过辨析，希望学生自我反思，主动调整知识结构以达到“顺应”的学习效果；其次，胡老师的“白板“技术操作炉火纯青，让孩子用不同的方法将平行四边形转化为长方形，发散了学生的数学思维等等，这些都是广大数学教师有目共睹的；再次，胡老师也提出了许多好问题，如：“刚才要求平行四边形的面积，为什么求长方形的面积就可以了呢？”等等。感谢胡老师带给我们的智慧分享。

但是，由于该课浙江的研究已经上了比较高的层次（至少笔者这么认为），因此笔者对胡老师的要求与期望自然也高了。以下仅是学术讨论与个人观点，若有不当之处，敬请胡老师见谅。

纵观整节课，给人的感觉是胡老师一直在一步一步地实践着自己的设想，虽然板块的设计是开放的，然而效果却不甚明显。究其原因，整节课在逻辑的安排上，学生的思维挑战性不够，笔者认为，数学教学的核心是促进学生思维的发展，关注学生的数学思考是促进学生数学思维发展的重要手段，否则，即使是开放的设计，其效果可能还是低层次与低水平的徘徊，学生的数学思维并没有得到真正的发展。

一、数方格在本节课应该有怎样的地位与作用？

我们不妨来回顾胡老师课中辨析明理的片段：

正方：长方形可以拉成无数种平行四边形，不管怎么拉，长和宽是不变的。

反方：面积公式是底×高，第2个拉开后是24平方厘米。

反方：可以用切图法，通过切图法可以计算出面积是24平方厘米

反方：平行四边形的两个角可以先去掉，拼成24格的长方形，每格是1平方厘米，24格就是24×1，是24平方厘米。

师：他们总体的想法是怎样的？

生：他们用了切割法。将平行四边形分成一个三角形和一个直角梯形，然后拼成长方形。（师课件演示）

师：长方形的面积是怎样算的？长表示什么？宽表示什么？

生：长表示一行的个数，宽表示这样的几行。

    师：再听听正方的意见。

生：我现在还是觉得6×5的方法是正确的，因为周长不变。

师（不知道无奈，还是没听清楚）：是谁让这个平行四边形的面积变了呢？

……

细致斟酌，反方的三位孩子的数方格都是唤醒经验的过程（面积的度量），又是分享经验的过程，通过割补巧妙地数出面积。课堂中教师似乎将教学重点引向了割补法，笔者认为：这里的重点应该是怎么数出面积，割补是为了数出面积用的，只有当孩子发现数出的面积不一样的时候，才能确定平行四边形的面积不能用邻边的积计算，数的次数越多，数的方法越巧妙，孩子积累的经验才会在后续核心环节的学习中发挥出重要作用。

二、如何处理“是不是所有的平行四边形能否都转化成长方形呢？”

胡老师的教学是：动手画一个与刚才不一样的平行四边形，想办法将它变成长方形，并让人看懂你是怎样变的？

经过浙江的研究，如果让孩子自己画平行四边形，多数学生画的是有一个内角是50°到70°的平行四边形，这样的归纳的局限性是很大的，而对孩子来说，真正疑惑的应该是那些“斜而长”的平行四边形。因此，笔者建议，这时候胡老师是需要让孩子经历不断思考，数出“高的、矮的、胖的、瘦的、倾斜得特别窄的”等平行四边形面积，才对孩子的思维有更大的挑战性，因此现在问题不妨是：在方格纸上动手画一个你认为很特别的平行四边形，但是你同样能数出它的面积。并说说你是怎么数的？

三、如何对待“用不同的方法将平行四边形转化为长方形？”的教学

课堂中，胡老师让学生用不同的方法将平行四边形转化为长方形，课中演示不同的高的割补，笔者也是赞同的，但是在课的后半节用白板将平行四边形转化为长方形，笔者真的十分不认同。在笔者看来，这时候与其说是“技术”辅助教学，还不如说是教学展示了技术，因为实际课堂教学中，学生的思维层次水平反而降低了。笔者认为，这里的教学首先应该关注的是怎样用最佳的方法将平行四边形割补成长方形，其次要培养孩子的空间观念，让孩子观察平行四边形，在脑子中抽象，说说割补后的长方形长成什么样子，建立长方形的表象，真正发展学生的空间观念。至于这课堂中这时候多次逐一割补，然后数方格，唤起对平面图形的面积的概念理解，笔者认为已经是把学生从高水平的思维拉到低水平的思维层次，课堂的程序与逻辑就造成了混乱。与其这样，不如教学一开始就让孩子实践操作，那时候才是学生需要的。

以上拙见，仅供胡老师批评参考。

（作者：原浙江省台州市椒江区小学数学教研员  李加汉）
 

融合课程 整体育人

——听《塔》的研究性学习一课有感 

和绝大多数参与听课的老师一样，笔者也是带着强烈的好奇走进《塔》的。这是一节多学科融合的课，它的新奇之处不在于由三位老师来引领，而是通过对“塔文化”的深度开发与挖掘，引导学生展开多视角的学习与研究。笔者思考，与单一学科的教学相比，这种多学科融合的课程在教学内容做了加法，但在教学的效果上却达到了乘法效应。学生在学习中，不仅增加了知识的深度，而且拓展了知识的广度；不仅培养了研究的能力，而且受到了文化的熏陶。

未来已来。或许学科融合会成为课程开发的潮流，或许全学科教育会成为未来教学的趋势。但是，在当下，多数的课堂仍然以单学科教学为主，这种融合的课程在许多学校里只是一种点缀，而且，这种状况可能在很长时间里都不会改观。因此，笔者思考，对于这节课的评论与分析，不能止于课程的设计与开发，而应该更多指向于教学的变化和学生的发展，以期对常态的课堂教学获得一些有益的启示。简单地说，这种变化和发展体现在课程设计的综合性、教学组织的开放性和学生学习的趣味性上。

课程设计的综合性。塔是一种设计，用数学的眼光看，它是一个立体图形，属于空间与图形领域的学习内容，对应于教材中的“从不同的方向看物体”，侧重于培养学生的空间观念与抽象能力；塔是一种智慧，用科学的眼光看，它是一个力的平衡，为什么塔基建造得比塔尖大很多？为什么塔多是轴对称图形？塔稳定不倒的秘密是什么？塔是一种文化，用语文或历史的眼光看，它承载着厚重的历史与文化，是民族与民俗的符号或丰碑。学生综合运用不同学科的知识，经历从多个维度研究的过程，不仅获得丰富的数学、文学和科学知识，而且也提升了智育、美育等整体素养。

教学组织的开放性。尽管三位老师的教学是轮换交替进行的，但是不同学科的教学仍体现出许多的共性，比较突出的是课堂教学的组织的开放性。以提出的问题为例，如：这个塔模型里有哪些数学知识？在塔的层数里你发现了什么？塔的形状（俯视图）可以怎么分类？塔的形状（侧视图）为什么都是三角形的？怎么验证塔基大塔就更稳定？从语音导览词中你知道了哪些信息？怎样讲述一个动人的神话传说？思考以上这些问题，并没有一成不变的答案和驾轻就熟的方法，孩子们可以自由地发挥自己的创造力和想象力。果不其然，如：为什么塔的层数是奇数？孩子们的回答可谓丰富多彩：有的说可能是为了保护文物，有的说可能是为了让建筑更漂亮，还有的说可能是皇帝下令这样建造的，如此等等，不一而足。

学生学习的趣味性。课堂中，教师启发学生用理性的思维去提问、去思考，鼓励学生在感性的活动中体验、品味，让理性与感性交融，学生兴趣盎然，乐此不疲。如：为什么三角形具有稳定性，从科学的角度怎么来验证？学生对正立与倒立的两个可乐瓶用手指弹，用气吹，模拟地震等多种方式验证猜想，获得结果。又如：在用纸杯“建造”塔的活动中，学生席地而坐，分工合作，用灵巧的小手和聪慧的大脑，设计建造了美丽而稳固的高塔，并在评鉴的过程中学会欣赏，体验学习与创造的成功。

（作者：浙江省新思维教育科学研究院教研员  姜荣富）
 

学生立场 课程立意 努力实现深度学习

——千课万人11月23日下午观课有感

深度学习是日益受到大家关注的一个话题。深度学习关注学生是否积极主动地、批判性地参与学习过程，关注是否在学习过程中构建起良好的认知结构，感受到某一知识在学习体系中与其它知识之间的关系。并能将知识进行有效迁移，实现在新的情境中良好地解决问题。深度学习是引导学生学会学习的关键，它直接影响着学生的学习质量和学习能力的提升，着眼于儿童未来的发展。

23日下午，江萍老师、袁晓萍老师、胡允社老师及朱婷婷等老师执教的四堂课对深度学习作了较好诠释，让我们对如何有效实现深度学习有了更感性的认识。

一、学生立场，促进学生有效学习

深度学习的课堂应是学生立场的课堂。我们需要读懂教材，更需要读懂学生，在此基础上创造性地使用教材，以更好地适合孩子们的学习。课中需要关注学习情感激发，善于激发学习欲望，彰显学生学习个性，启迪学生学习智慧。

1．基于学生已有认知精准设置教学起点

从几位老师的教学过程与现场阐述中均能让我们感受到他们对于学生已有认知经验的关注。为了更好地了解学生的已有起点，还精心设计了前测以精准把握学习起点。他们的教学也是有效建立在学生认知基础上的。

江萍老师执教的《认识面积》一课，课始即问学生：听说过面积吗，哪里听说过面积；袁晓萍老师课始让学生用又对又快的方法记录价格；胡允社老师让学生辨析前测题；郑洋老师让学生找找塔里藏着的数学信息等等，这样的环节设计可以较好激发学生已有的生活与学习经验，实现已知与未知的有效对接。

有意义的学习应是处于一个“学生最近发展区”区域的学习，几位老师均在这样一个区域找到一个适合点切入，让孩子快速进入一种深度学习的预备状态。

2．围绕学生学习困惑展开有效探讨

深度学习是围绕真实问题展开有效探讨的学习。它指向于具有一定挑战性的问题展开深入探讨，通过孩子间的自主学习和启迪碰撞，实现对学习内容的深度认知。

袁老师在蓝皮书中写道“生长的课堂应有‘恰当的压力’，要给学生带来一种上进的压力。让思维历险，思考问题背后的问题，激发矛盾后的大同，对智慧才会有挑战性。”

这种压力即来源于学生真实的困惑与困难。几位老师在课中均在课中设置了有意义的学习探究点展开深入探讨。如探讨一张市民卡的面积大约是50平方分米是真是假，深入理解面积与面积单位的意义；用多种方法表示0.8元；用6×4计算正确的道理在哪里；为什么说上小下大的结构更合理等。

所有问题的答案均不易得到，需要孩子们积极调动思维、厘清学习思路，在与同学的方法碰撞中不断启迪与点燃。这个过程中也是学会质疑、学会思考的深度学习的过程。《学记》中有“知困，然后能自强也”，也说明了解决困惑对于学力提升的重要性。

3.提供充分的时间和空间，自主经历体验过程

让学生充分经历体验学习过程，才有可能实现深度学习。有效的深度学习应从体验开始，也只有如此的学习过程才能让素养转变成学生自身良好的素质。

几堂课中教师也都较好地关注学生自主经历体验的学习过程，让学生在经历体验的过程中不断修正自己的学习思考，在体验中自觉提升。

江萍老师课中让学生自学面积单位，并提供相应的练习题检验自学成果；袁老师设置我圈你写的环节，让学生用小数表示圈出的人民币币值；胡老师让学生自主探究平行四边形变长方形的各种方法；《塔》这节课中四人组动手搭塔……这些课中，教师均提供了让孩子们自主经历学习的过程，在过程中深刻领悟学习内容。

在课中学生是学习真正的主角，他们有着较为强烈的主体责任感，孩子们互相合作、勇于探索、彼此激发、善于反思，解决问题的能力不断得以提升，良好的关系在交流互动中逐渐形成。事实上当我们真正构建起学生立场的课堂时，也就在自觉构建深度学习的课堂，较好地满足了学生深度学习的需求。

如何更好地做到学生立场，笔者有一点建议。袁晓萍老师说：生长的课堂应是“简单而纯粹”的，简单到不拒绝任何一个学生的参与。笔者非常赞同这样的观点，在课堂中应更好地做到关注每一位学生的参与，尽可能给学生准备较为充分的学习材料，以保证在每个环节让每个学生都能做到优质经历、同步思考。

二、课程立意，构建良好认知结构

我们强调学习过程需要重视学习能力培养，提升解决问题的能力。而这一高层次的目标必须基于学生灵活的思维方法与思维的变通。这一切的根源即是教师需要有良好的课程立意，以让学生拥有良好的知识和能力结构。

1．注重知识联系，引导学生构建起认知结构网

叶柱老师在蓝皮书中提到：以“课程理念”观照“课时内容”，将“课程思想”融入“课时视野”，凭“课程核心”完善“课时取向”。反之就是上每一节课都要有课程意识。这样的理念应深入到每一位教师的心中。笔者认为课程意识很重要的方面是需要教师有结构意识、联系意识。

上课教师有着良好的课程意识，课中注重知识的联系，重视学生良好认知结构的构建。如袁老师的课中没有孤立割裂地认识小数，而是将小数放在数的知识体系中，从数的整体关系网中让学生感受数与数之间的联系与区别，在此基础上初步感知小数的意义。胡老师的课中强调平行四边形与长方形的转化关系，在联系中探索平行四边形的面积公式。《塔》这节课中更是将多学科内容进行有机整合，主题式的教学让学生深切感受到学习本身就是一种整体呈现，感受学科之间的密切联系。

学生在联系与结构中自主有效地实现着学习迁移与切换，深度学习自然发生。

2．联接数学与生活，引导学生用数学的眼光观察、思考世界

伽利略曾说过“大自然这本书是用数学语言写成的。……除非你首先学懂了它的语言，……，否则这本书是无法读懂的。”学生良好数学素养的体现很重要的一点是逐步让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。关注自然与数学的联系是课程意识的良好体现。

几堂课中教师们均十分关注数与生活的密切联系，从生活到数学的抽象、从数学到生活的应用，在联系中不断提升学生解决问题的能力。江老师的课中学生应用所学面积单位有效判断真假生活问题；袁老师的课中学生深切感受用小数记录价格的优势；《塔》这节课更是充分地以现实生活为背景贯穿于整节课的学习过程。

深度学习的课堂也应是课程立意的课堂。数学知识的呈现应是一张关系网，这张网沟通着该知识内部的联系，沟通着知识与知识之间的联系，也沟通着各学科之间的联系、数学与生活的联系。沟通意味着联接，良好的联接能力即是学生创新意识与创新能力培养的良好基石。

四节课还有许多可圈可点的地方，如重视学习共同体的构建、重视学生良好问题意识的培养等等，笔者不再一一赘述。四节课让我们深切感受到教师的教变得更有价值，在教师的引导下孩子们全程投入到真实有效的学习过程中，他们在过程中体验到的是内心深处真正的愉悦感与满足感。四节课也让我们感受到学生的学更具有发展意义，他们在过程中深入思考、彼此激发、不断省悟，学习方法与思维得到了有效提升。如此的学习才是深度学习！

（作者：浙江省杭州市拱墅区小学数学教研员  孙钰红）
 

“深”入·“浅”出

——吴正宪老师《比的意义》一课赏析

 

一次教学，如何能用“深入浅出”来形容，至少可以说明两点，其一，反映教者对知识内涵、体系、价值的深度把握，其二，反映教者对学习者认知基础、认知形态的透析了解。无疑，吴正宪老师正是这样一位“数学”与“儿童”研究的高手。借《比的意义》一课，我们一起来分析吴老师课中的“深”与“浅”。

一、“深”入——基于“数学”的深度认知

首先谈“深”，主要从目标维度分析。从目标定位看，显然，吴老师并不满足于将“比”看作“除法”的“附庸”，而是试图探寻“比”更为宽广的教育价值与教学伸展可能。我们至少可以解读出以下几个方面的目标预设与实践。

1.凸显概念内涵。

 “比较两个同类量的关系时，如果以b为单位来度量a，称为a:b”，这是张奠宙教授关于比的概念本质描述。如何让学生体会这一本质？吴老师以“水与牛奶的比是2:1”为例，引导学生理解：“牛奶是1份，水有这样的2份”、“水占了三分之二、牛奶占了三分之一”、“也就是水的质量是奶的2倍”……从原概念“份”、“倍”、“分数”出发，迁移归纳，揭示“比”的本质理解。更为重要的是，教师在后面的教学展开中，通过“正例”、“变式”、“反例”的辨析中，“比是一种关系”、“比必须要统一标准”、“可以是同类量的比，也可以是不同类量的比”、“比是有顺序的”、“可以是两个量的比，也可是多个量的比”，等等有了深刻的认识。

2.实现知识贯通。

利用学习者认知结构中原有的概念，找出两者的联系，通过比较新旧概念的差异，进而使学习者获得概念的过程，我们称之为“概念同化”。分析吴老师《比的意义》教学轨迹，无疑，正是让学生充分经历了概念同化的过程。而概念同化的过程中，自然地将新知纳入已有认知结构，实现了概念之间的关系沟通。从课堂现场看，从“水和奶的比是2:1”理解，到学生自主举例“当1g糖，10g水时，糖和水的比是1:10，糖是10份、水是1份，也就是水占了十一分之一，糖占了十一分之十”，显然，比与“份”、“分数”等知识的贯通理解已十分清晰。

3.函数思想渗透。

如果“比”与“倍”、“份”、“分数”、“除法”是一回事，那么，引入“比”这一概念的价值与意义是什么？引用吴老师的阐述：“比是为比例学习作准备的，可以扩展为变量之间的函数关系”。基于这样的认识，吴老师引导学生思考：奶10克，水几克——水扩大2倍呢——水扩大4倍呢？通过“你变我也变”、“一个量扩大几倍，另一个量也扩大几倍”等表达，让学生体会“变量中的函数关系”。显然，函数思想的渗透还原了“比”的本质。

4.应用价值凸显。

“概念学习”的价值最终会走向“概念应用”。吴老师课中，借助“师生比”、“北京到上海、杭州到上海的路程时间比”等素材，思考“你能给校长什么建议呢”、“知道路程：时间=300:1，路程：时间=100:1，可以推想出分别坐了什么交通工具？”不断让学生体会“比是一把尺子”，“比可以进行比较”，“比可以帮助判断”。丰富情境中，基于概念理解，止于问题解决，目标视角逐渐走高。

二、“浅”出——基于“儿童”的经验对接

所谓“浅出”，主要是从学生维度所作的思考。吴老师一直是“儿童中心”的积极倡导者和实践者，在她的课堂上，“顺儿童思考而教” 、“善用童言童智”、“将学生置于学的主体”，等等理念有了最为真实的展现。

1.前在经验、潜在认知的真实呈现与激活。

分析吴老师的教学路径，经历了“原概念呈现——新旧概念联结——概念本质辨析”的过程。激活学生的生活经验，把握学生的前概念理解，是吴老师基于儿童教学的真实写照。

——“你在哪儿听说过比”？回答“金龙鱼广告中1:1:1”、“足球比赛中进球比是23:22”、“比成绩”、“比分数”……让我们看到了吴老师“直面起点”、“直面错误”、“直面差异”的勇气与智慧。

——“大家读懂了水与牛奶的比是2:1吗，说说你的理解”，我们看到，老师鼓励学生自主完成新旧概念的联结，联结方式从“直白告知”变为“联想推理”，而这样的“联想推理”又是学生自发完成的。

——“路程：时间=速度，1500:5=300:1，1500:15=100:1，说说是什么意思”。“速度是300，也就是300:1，也就是1小时行了300千米”。我们看到，“不同类量的比产生新的量”，当“速度”以比值形式出现的时候，老师依然不忘将其还原为生活理解，突破难点。

2.好材料、好任务驱动自主建构。

“润物细无声”，将“高目标”融于“自然对话”，是吴老师《比的意义》一课的鲜明特点。为什么能实现如此细腻、丰富的目标，一方面得益于吴老师与学生的沟通艺术，笔者以为，好材料本身所蕴含的独特功能功不可没。试以练习材料举例如下：

材料1：小亮155cm，我1m ——自主完成不同单位的统一。

材料2：某县城一所学校有教师100人，学生3000人——自主实现从“具体量”到“份”的跨越；

材料3：从北京到上海全程1500千米，行驶5小时。从杭州到北京全程1500千米，行驶15小时——实现从“同类量”到“不同类量”的变式。

材料4：混凝土由水泥、沙子和水搅拌而成。水泥占，沙子占，石子占——实现从“两量比”到“多量比”的拓展，体会引入“比”的价值。

值得欣赏的是，几乎每一个情境展开中，教师都没有刻意引导，而是学生基于比的本源意义——“以（   ）做标准，（   ）就有这样的几份”，自主完成“比”的表达与理解。

材料1，学生写出的三个比为“155:1”、“155:100”、“100:1”，通过“标准比较”的思路，自然排除了“155:1”与“100:1”两个错误答案，学生对于“单位要统一”也就不言自明。材料2，学生板演的比是“3000:100”与“30:1”，前者仅停留于“具体量”的比，后者自然地将其提升为“份”的思考：如果老师是1份，学生有这样的30份。材料3，则更是一个极好的开放性材料，学生可以写出多个比，又自然引出不同类量的比。材料4，虽然变式为“三量”关系，但学生依然基于“标准”的思考，如果以沙子做标准，占10份中的3份，那么水泥则是10份中的2份，石子是10份中的5份，三者的比是“2:3:5”。由此，一方面，我们由衷感叹吴老师基于“比较”、“标准”、“关系”把握基础上的“比”的本质挖掘，另一方面，也佩服老师为实现目标所设计的结构化材料与驱动性任务。

“深入”尚需“浅出”，教学的不懈追求！与大家共勉！

 

（作者：浙江省杭州市江干区教育发展研究院  潘红娟）