11月24日互动专刊
专家评点
 

大道至简——刘德武老师《解决问题练习课》一课赏析

今天，我们聆听了刘德武老师执教的二年级《解决问题练习课》，全场的专家和学员，一起体验了平实而充实的小学数学理想课堂。四十分钟的练习课，小朋友们当堂完成了五道练习题。孩子们兴趣盎然，思维活跃，敢想能说，学有所获；听课者思学并举，茅塞顿开，津津乐道，学有所获！正如郑毓信教授所言：“只有真正做到了对教学内容的深刻理解，我们才能做好‘深度教学’，我们的学生也才可能真正做到‘深度学习’，即能够通过数学学习很好地促进思维的发展”。刘老师在这节课中，带着小朋友聚焦解决问题，体验“推理”带来的思维乐趣，用最简单的语言述说最基本的数学道理，用最精心的设计演绎最朴实的课堂教学，用最深刻的理解去促进学生的思维发展。

一、给独立思考一个空间。

史宁中教授曾指出：数学核心能力，就是抽象、推理、模型。这节练习课，就是着眼于学生推理能力的培养。在学生经历推理的过程中，刘老师注重给学生独立思考的空间，精心设计教学环节，我们且从课中选取几处：

1、练习的第一题，是“口算——先想好再抢答”。口算是解决问题的一个基本技能，也蕴涵着思考。在这个练习中为了确保学生要“想好”再抢答，课件出示口算算式的时候，刘老师在等号后面设计了一个图案，这是一个“小手堵着红嘴唇”的图案（以下简称图案），放在口算题的等号后面。刘老师要求学生在题目出示以后，等图案飞走了再抢答。图案形象生动，“眼尖手快”的孩子也要“等着图案飞走”，这个过程又给学生留足思考的时间。

2、师：“55+55，你怎么得出的110”？生：“50+50是100，然后，5+5等于10，100+10等于110。”学生说计算的过程，就是让学生展示思维的过程。接着，刘老师板书一个“推”字，揭示推车与推理有共同的道理：“推车是一步一步的”，“推理何尝不是呢”？让学生体会“一步一步推理”。随后再来做需要运用推理的计算，口算（ ）+30=42，（ ）-18=18，启发学生思考：“用减法做加法多厉害呀！”、“加法减法有关系！”

3、第二题是“不讨论——自己写自己的”，就是明确要求学生独立思考解决问题。学生用多种方法解决“一共有多少人”的问题，特别是有个学生的做法很特别，为了激励学生，老师会说“我怎么这么笨，怎么没想到呢”，并且适时板书讲解：27×2=54,54-7=47，用老师的“拙笨”去衬托学生的“聪明”，让没有理解的学生想明白。

二、给深入思考一个支点           

练习课，就是让学生综合应用所学的知识解决问题。在解决问题的过程中，我们在教学中应努力帮助学生进入这样一种状态，“即完全沉浸于相应的数学学习活动，包括内容的理解、具体问题的求解等。另外，教学中的引领性问题（任务）不宜太多，应努力做到少而精，并有足够的思维含金量。不然的话，学生就会忙于应付，而不能真正静下心来长时间思考，甚至根本找不到深入思考的适切点。”

1、深入思考的学习素材。练习题四的要求是“好好审审题——数一数，算一算”，孪生姐妹林美花、林美华谁的名字笔画多？多几画？初看此题，没觉得有什么独到之处，解题无外乎是先数出每个名字的笔画，24、23，再用24-23=1（画）可是，学生借助这个素材深入思考，就会有不同的解决思路：7-6=1，还有3-2=1。这个时候，大家茅塞顿开，原来观察、推理，还有更妙的办法：有的不考虑“林美”两个字，于是孩子的眼中“只看到它们相同的部分”，只比较“花”和“华”，7-6=1；有的不仅不考虑“林美”了，“花”和“华”字中相同的“化”也不用理会，“更简单了”，就有了：3-2=1。听课者深谙其道，不禁拍手叫好。

2、巧妙比较的练习素材。题目中有“一共”的字眼，就是用加法计算吗？这是许多学生的误区。刘老师设计的“先讨论，再解答”的练习题，问题就是求“其余两个篮子里一共有多少个苹果？”，解题用加法吗？刘老师引导学生认真审题，孩子们思考后发现“这是从三个篮子里去掉一个”，应该用减法计算，这一题与前面求“二四班一共有多少人”形成了对比，由此比较，进一步巩固了学生对加法、减法意义的理解，提高了解决问题的能力。

三、给思维发展一个载体。

按照著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔的观点，数学思维的发展主要是指由较低层次上升到更高的层次；但是，“只要儿童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次”。而这种反思，需要耐心。刘老师在板书中写道：“审题要细心，推理要耐心”，在练习题五的教学中，他不仅提供了思维的载体，也是继续这么引导学生的：要耐心推理！

 

刘老师首先让学生看题目，数数已经铺好了几块，学生这时是“点数”出20块；让学生学会从问题着手：“这道题可能问我们什么呀？”生：“还有多少块没铺完？”师：“小朋友自己要会提问题”。再引导学生有序思考，生：“将砖全部移下来，正好是两排”刘老师顺势肯定，接着问：“上面怎么就是30块？没说清楚，谁来说说？”进一步激发学生找到规律：一排10个，共有5排，就有5个10。那么30是怎么得到呢？50-20=30。解决问题的过程是一步一步推理的过程，学生不断思考或推翻自己的思考的过程，是在在全班交流中说明理由的过程，如此数学经验的积累，无疑促进了学生思维品质的提升。学会学习，才能自我升级。

在整节课中，我们看到了理想的课堂样子：

独立思考有问题，

相互交流有话题，

全班交流有理由，

师生点评找共同。

通往理想课堂的道路还很长，但是我们坚信：路虽远，行则必至；事虽难，做定能成！透过这节练习课，我们要进一步去思考：练习课“为什么这么做？”、“这样做有什么好处？”期待更多的老师能做得更好！

 

（作者：湖北省武汉市育才小学，特级教师  关蓓）
 

——黄爱华老师《三角形的认识》教学赏析 

黄爱华老师的课无疑是带有清晰个性的，每次听他的课，“大问题”教学课堂实施都会深深触动内心，这次依然如此。“大问题”教学过程就是诠释“问题解决”思路的过程，是学生们发现与提出问题、分析问题、解决问题的过程，是关注创新意识这一核心能力培养的过程。

黄老师执教的《三角形的认识》一课，为我们在课堂中如何用“问题解决”式的教学思路来展开教学过程作了很好地示范，值得大家借鉴与思考。

一、明晰问题，让主动学习自然发生

学习无疑要有清晰的方向，它是课堂的灵魂。方向不仅是教师需要明白，学生心里也需做到清晰。学习的方向在哪儿？问题从哪里产生？一般常规的做法是出示课题让学生自己说一说你有什么问题，教师做适当地梳理。黄老师的这节课给我们以新的启迪。

课始教师大屏幕呈现本节课教材的学习内容，带领学生略读教材并引出本节课的三个学习大问题：什么是三角形；什么是三角形的底和高；三角形有什么特性。这样引出问题的方式着实让人耳目一新。也给教师们如何提出学习问题提供了新的策略。

提出问题后教师并没有急于展开问题的探讨，而是让同桌互相说一说今天的三个学习任务，而后师生再一次来说说这节课需要完成什么任务。教师足足花费了五分钟的时间让学生明晰任务，值吗？笔者觉得这样的时间花费得很有价值。一次次地强调，任务已深深烙在每一个学生的脑子里。整节课学生们是奔着方向去的，始终想着的是解决一个个的任务。有了方向便有了动力，有了动力也就有了学习的主动性，正如李嘉俊老师所说：当懂得主动学习时，学生的比较对象就不再是别人，而是他自己。主动学习在明晰任务的过程中自然发生。

二、分析问题，从浅表走向深刻

初一看，本节课的学习内容貌似简单。三个学习任务，在教材中似乎都已有说明，那么本节课的三个任务还需做怎样进一步地研究？相信也是学生心中疑虑的问题。

任务一：什么是三角形？教师让学生互相质疑彼此画的三角形，学生在互相提问的过程中自动聚焦到概念的关键词。带着问题质疑，带着思考学习，三角形概念读出了不一样的味道，也相信如何有效学习已润物细无声地进入学生的潜意识。

任务二：三角形有什么特性？三角形的特性教材已然进行了清晰的说明“三角形具有稳定性”，还需研究什么？该任务教师侧重于“为什么”的引导。学生通过“认为同一个三角形的三条边自由组合还可拼出不一样的图形——只能拼出唯一的图形——明理”这一思维冲击的过程，相信他们已清晰地认识到学习需要厘清本质，需要追根溯源。

任务三：什么是三角形的底和高？作为本课内容的困难点，教师将之安排至最后。定义中包含着复杂的内容，如何突破？黄老师引领孩子们采用动作语言与文字语言有机结合的方式，将学习内容从静态走向动态，这一过程使得高与底的理解变得形象、简洁而有趣。

不同的问题，本节课采用不同的分析方法：透彻解读关键词、从现象看本质、用形象的方式解读抽象的文本，个性鲜明、各个精彩。如何分析问题，从浅表走向深刻，黄老师的演绎为我们打开了视野。

三、解决问题，突显良好学习方式的指导

教师在进入新课研究时提供了三种学习方式：我问你说、自己研究、华哥带路你们自己研究，让学生自选一个。教师让学生自选学习方式的过程即是学生自发思考“怎么学”的过程。

尽管整个教师过程采用的是老师带路学生自己研究的方式，但每一个任务的引导教师都有明晰的学习方式指导，独具匠心。课中老师让同桌互相质疑的方式来理解概念；当学生对“三条边围成的三角形是多样的吗”这一问题有疑议时引导学生采用实践操作的方法来验证说明等等，都在指导学生学会用有效的学习方式来解决问题。    

整节课以优质的学习方式来配合学习内容本质的深刻认知，形式与实质做到了较完美的结合。这一过程事实也是黄老师向我们示范如何在课中关注核心素养培养与落实的过程。

相信今天“老师带路学生研究”这一学习方案一定会慢慢铸就未来“学生自己研究”，如此的过程定能引领孩子们从学会到会学，黄老师的课是“为未来而教成为可能”的一种精彩示范。

回顾本节课，给大家最直白强烈的直观感受应是良好的师生互动，课堂中构建起的欢乐、和谐、自然、美好的师生关系让我们神叹。也正是因为有了这种良好教学共同体的基础才有效助力于学生主动经历学习过程，获得学习的愉悦感和成功感。如何让教师真正走进学生的心灵也是这节课引发我们学习和思考的一个重点话题。

对于本节课笔者也提一点个人建议。大问题是否都需要大研究？课中呈现的三个大问题虽然都是本节课要点，但基于学情，笔者认为还需要做详略处理，问题一可以做更简单地处理，以更多的时间研究学习重难点。

 

（作者：浙江省杭州市拱墅区小学数学教研员 孙钰红）
 

——罗鸣亮老师《长方体的体积》教学赏析

本次“千课万人”资料集《核心素养下的小学数学理想课堂蓝皮书》（2017）中有罗鸣亮老师对理想课堂的认识：做一个讲道理的数学教师。言简意赅，也正是罗老师课堂最鲜明的写照。听课过程中，脑海闪现出“通情达理”的这一成语，细想，太贴切了！罗老师的课堂关注学生的心情、通晓的是“学情”，让学生自主说理、辨理，在老师的追问中悟理、通理，激发学生对知识的深层思考，理解数学知识本质，抵达数理的彼岸。

一、基于学生起点，聚焦疑难研究

美国认知教育心理学家奥苏贝尔曾说过：“影响学习最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学。”这句话耳熟能详，但要真正做到，却不简单，罗老师的教学就是最好的示范。

师：对长方体的体积，你们都知道了什么？

生：有长、宽、高。

生：有12条棱、8个顶点、6个面。

师：关于长方体的“体积”，还知道了什么？

生：一个物体占空间的大小，是体积。

生：体积单位有立方米、立方分米……

生：长方体的体积=长×宽×高

师：同意吗？哪里学到的？

生：课外兴趣班……

师：知道“长方体的体积=长×宽×高”的同学举手。（一大半）

师：你们都已经知道了，那我们准备下课吧。

生：我们还不知道长方体的体积为什么可以用“长×宽×高”计算。

师：这是一个好问题，我们就来研究“为什么“。

（1）开门见山，了解现实起点。罗老师一开始上课，直接提问，指向学生已经有了什么。整个对话自然真实，欢畅淋漓，清晰地暴露了学生的学情。

（2）显现认知盲点，明确学习目标。通过交流，知道学生会了什么，还让学生承认自己还不明白什么，大家达成共识，明确了整节课的学习重点和研究方向。短短几分钟，简约大气，一举两得。

二、基于体积意义，探索体积计算的道理

抽象是数学最基本的特征，所有的数学概念、规则都极其简练，作为一个结论，都不难记住，困难的是，要让尚处在以具体形象思维阶段的学生理解其形成的过程，明白其中的本质道理。 罗老师的做法有以下几点：

1.立足体积意义，把计算转化为“有几个体积单位”。面对长5分米、宽4分米、高3分米的长方体，学生想到的是“用1立方分米的正方体去摆，因为长方体的边都是用分米做单位”，看看一共可以摆几个。

2.借助想象，理解“长×宽×高”所对应的摆法。罗老师在教学中，没有提供小正方体，让学生实践操作，而是让学生通过画一画、想一想、说一说，让学生在脑中完成数学实验：沿着长摆，每行摆5个；沿着宽摆，可以摆4行；沿着高摆，可以摆3层，相乘出来的总个数就是长方体的体积。课堂中，学生还提出从前往后摆，即：一行摆5个，向上摆3行，这样一面有15个1立方分米，有这样的4面，一共有60立方分米。伴随着语言的交流，学生不断想象摆的过程，老师再及时辅之课件展示，学生体会到长方体的体积与长、宽、高之间的紧密关系。

除了根据长宽高想象小正方体的摆法，还有更巧妙的是，反其道而行之，就是直接告诉长方体的体积，让学生想象“会长什么样”。学生还是会将长宽高与摆放的个数相联系，想象出不同的长方体，既突出“长×宽×高”的实际意义的理解，又关注了学生空间观念的培养。

3.及时追问，促进形与数的对接，理解“长方体的体积=长×宽×高”的本质。在学生讲理的过程中，罗老师能及时追问，让隐约的道理清晰化、可视化。

例如 学生：用1立方分米的正方形去摆……

追问：为什么选择1立方分米，而不是1立方米？

学生：一排摆5个小正方体……

追问：你怎么知道可以摆5个？

当学生有两种不同的摆法时，老师追问：两种摆法有什么不同？

当学生猜测被盖住长方体的长4分米、宽4分米，高就是0.5分米……

追问：有道理吗？你是怎样想的？

这样的追问，课堂中举不胜举。正是有了这些追问，让学生理解了长、宽、高与每行的个数、摆的行数、摆的层数之间的关系，从而领悟长方体体积公式形成的道理所在。

三、基于度量本质，沟通长度、面积、体积的联系

老师的专业素养，一方面要抓住学科教学的本质，对知识内涵、体系的深度理解，洞察知识间的联系；另一方面还要抓住合适的时机，让学生驻足回顾与思考，进行沟通与联系。在这一点上，罗老师又有精彩的示范。

在课的最后，请学生说说有什么收获，当学生说到“用小立方体测量”时，罗老师顺势提出：测量长方体的体积，与之前学过的面积、长度有什么相同的地方呢？引导学生回顾用长度单位、面积单位分别测量线段长度和长方形的面积（如下图）， 感受到“长度、面积、体积的测量道理都是一样的”，都是度量单位的累加。

好一个会讲道理的老师！

有讲道理的罗老师，也就有了会讲理的学生，整节课徜徉理性精神而熠熠生辉！

 

（作者：浙江省杭州市江干区小学数学教研员  田小勤）
 

——24日上午三节课的学习体会

 

    11月24日上午，观摩了北京刘德武老师的二年级《解决问题练习课》，深圳黄爱华老师的四年级《认识三角形》和福建罗呜亮老师的五年级《长方体的体积》三节展示课。从作课老师讲，老中青结合，南北荟萃；从教学对象讲，年龄有别，认识能力有异；从教学内容讲，既有数与代数的领域的，也有图形与几何领域的，既有概念教学，又有公式推导，也有解决问题；从教学形式讲，既有新授课，又有练习课。

但三位老师在课堂中激情饱满的演绎，以学生的发展为本的教学理念，对数学教育本质的把握及对特定知识理解给我们留下了深刻的印象。

三位老师中，刘老师年过七旬，黄老师也人到中年，但他们在课堂中个个激情饱满，热情飞扬，透露出他们对数学教育的热爱，对学生的热爱，也彰显出他们在课堂中的自信。

以学生发展为本也是三位老师教学中展示出的共同特点。以学生已有的知识和生活经验为标准设计教学的起点，这需要理念的跟进，也需要行为的跟进，更需要方法的跟进。如刘老师认识到二年级的学生知道求总数就用加，但这需要具体情况具体分析，为打破这种思维定势，老师巧妙地设计一道题帮助学生悟出具体情况具体分析的道理；黄老师和罗老师认识到学生对三角形和长方体体积计算都有所接触，但并不是真正懂得，因而二位老师都从“知”出发，努力使学生“懂”，但这并不是一个简单的“倒装”的教学设计的改变，而需要活动形式的改变以及教学方法的改变，如推导体积公式原本用不完全归纳的方法，而在知公式到懂公式，就要用演绎的方法。

数学是讲道理的，数学教学的一个重要目标是使学生懂其理。数学教学中涉及很多方面的理，笔者在此不能也不想一一罗列、一一概括，只想以举例的方式作一简要说明。

如刘老师为说明推理的重要及推理结果的运用，从语文中字的笔画和数学中的图形的优化两个方面着手，使学生感悟到解决问题方法的简化与优化重要之“理”。这是策略优化之理。

黄老师为使学生懂得三角形稳定之“理”，通过一系列的操作活动，引导学生分析活动素材中的变与不变的观察、分析，得出：长度确定，三个角大小确定，因而形状、大小确定之“理”。这是性质存在之理。

罗老师为使学生理解公式，从具体的数据出发，引导学生涂一涂，画一画，说一说，探索规律，悟出道“理”。这是公式推导之理。

三位老师在教学中表现出共同的特点，也不乏鲜明的特色、不同的策略及各自不同的着力点。这里不一一分析，只各举一例简单说明。如刘老师所用的整合的教学策略：用对“审”字古今变化的解读，说明审题的重要性，用算笔画说明策略优化的重要性。黄老师对三角形稳定性的解释，解开了很多老师的困惑，因为在很多老师对三角形稳定性的认识还停留于物体中三角形的不变形，还没认识到形状、大小不变。罗老师联系长度、面积的测量，帮助学生感悟体积的测量，在帮助学生感悟知识之间联系的同时使学生习得了联系的观念。

当然，在学习的同时，笔者也几点不同的看法想提出来与各位讨教。

黄老师对三角形稳定性的解读，帮助很多老师解除了困惑。但老师对三角形形状、大小不变，只是通过小棒摆一摆得出的，还停留于生活中的物体这一“原型”的层面，如果能与画三角形结合，就能有效地过渡到数学中“图形”的层面。这就能给观摩的老师以有效的启示。（这里需要说明的是用已知的3条长度确定的线段画三角形，对学生来讲并不好理解，老师边画边说明则可以阐明观点，更重要的是可以给老师启示，这种形式的课更重要的目的也在这。）

关于罗老师的课则想提三点。一是关于如何善待学生的问题，在课堂中，当老师要学生理解长方体的体积为什么是5×4×3，老师的提示并不是很到位，有学生无从入手实属正常，在这时，老师连续四次点了同一学生，第一次要她说出困难，如果能说出也许就不是困难了，所以学生没说出，第二次是当一位学生说了理由后，并没有在全班形成共识的时候，又要那位学生说，说得出来吗？第三次，第四次...这看似关心学生，但老师并没有分析全班的学习状况，在大家都没弄清楚的前提下连续追问一个不懂的学生，给学生造成了不好的心理感受。再有就是大长方体中包含多少个小的体积单位的推理不够细，对于前提“1立方厘米的小正方体的边长是1厘米”虽然你懂，我懂，但学生懂吗？这是推理能够进行的前提。还有就是为帮助学生理解公式，全依赖摆，要思考：依赖摆是很麻烦的，有时也不一定恰好摆整数个，所以要引入公式，这就是必要性的体会，做点这样的工作，对学生来说，对数学的感悟就不一样了。

 

（作者：江西省南昌市小学数学教研员 胡桃根）
 

当“美国教师”遇见“中国学生”

——由艾伦·拉斯穆森老师《发现π》教学引发的思考

常听专家学者聊起美国课堂，感觉从理念到实践都与中国课堂很不一样。蛮正常的，毕竟“一方水土养一方课”嘛。得知要给一位美国女教师的数学课写稿时，我的内心还是异常激动的。毕竟，虽然环境、设备、学生都是中国的，但既然作为“课堂教学的组织者、引导者、合作者”的教师是美国人，那应该能让我窥见美国课堂的“侧影”吧。

课的主题是《几何-圆：发现π》，对象是五年级学生，由已有13年教学生涯的艾伦·拉斯穆森老师执教。艾伦老师全程使用英语上课，因为有翻译人员现场同步跟进，所以，观课者不难明白课堂流程的“起承转合”。

听完后，并无“另类”之感。教学所宣扬的“主体发展”价值取向，与我们追求的理想课堂是吻合的。不过，细品之下，有些地方还是深深地触动了我。

一、该“约束”，还是该“自由”？

一直听说美国课堂是崇尚自由的，今天确实有所感受了。课始，艾伦老师组织学生回忆“周长”的含义，并让每位同学五秒钟内在会场的各个地方寻找“周长”原型。为营造气氛，教师在偌大的上课场地里四处游走，尤其关注“潜伏”在会场角落里的那些“周长”原型。学生一开始比较拘谨，在教师的热情感染下，也动了起来。然而，不知是环境影响还是习惯所致，学生的现场活动基本都是限制在座位周边“徘徊”，而没能像教师那样“奔放”。或许，在艾伦老师的观念里，课堂是自由洒脱的空间。而在我们绝大多数教师的意识里，课堂则始终是一个“有规矩，要约束”的所在。

还有一些细节，也蛮震撼我的。艾伦老师在上课过程中，时不时地会翻看讲义（相当于教案）。而在我们的公开课上，“教师当场看教案”等同于“内容不熟”“环节不清”“准备不充分”，是令人无法想象的事情。我在想，与背诵教案相比，或许艾伦老师是把更多注意力都放在了“关注学生”上吧。另外，课堂互动中，艾伦老师常会发出爽朗的大笑、响亮的呼喊，这些都在折射其“享自由”的执教观。

二、重“实用”，还是重“实践”？

有些教学环节，或许让很多听课老师“一头雾水”。艾伦老师用课件出示了一个直径10厘米的圆，在让学生感受“不能再像三角形、四边形那样把边长相加求周长”后，直接提出：“所有的圆里都有一个概念，叫π。听说过吗？”孩子们很棒，大多“听说过”，甚至有人还报出了“3.1415926”的约值。就在这时，艾伦老师居然直接抛出了“π×d=c，c÷d=π”两个式子。在让学生简要地把“直径10厘米”代入公式计算之后，将重点放在了“在多个不同大小的圆中测量周长与直径、感受π的普遍存在”上。甚至于，连课外作业也是这方面的。

在很多老师看来，π始终只是一个“配角”，它的存在就是为了引出“C”（周长）这个主角。因此，在我们的课堂里，围绕“运用π、求周长”的各种正反训练是“重中之重”。相对而言，我们的数学太过强调“实用性”，π及周长公式就是作为工具使用的。而艾伦老师的教学立意则更多倾向于“实践性”层面，即将π这个承载历史印记的数学符号作为“主角”，让学生适度“重走”与古人类似的研究历程，并感受其存在的普遍性，从中建构更为深层的数学化体验。

可能会有老师想到，艾伦老师的课题是《发现π》，所以π是“主角”；而我们的教材编写的是《圆的周长》，所以c是“主角”，π是“配角”。这确实有一定的道理。而另一方面，作为肩负创造性使用教材的新时期数学教师，在“实用性”与“实践性”之间寻求教学突围，也是分内之事。

三、求“成果”，还是求“思考”？

艾伦老师组织学生“在多个不同大小的圆中测量周长与直径、感受π的普遍存在”时，把原先的测量工具“绳子”换成了“美国带来的糖果”。活动过程中，老师反复提醒：“如果发现测量结果不同，可以相互讨论，看看问题出在哪里……”交流过程中，老师也对此多次问及。我在想，这样的问题，很多老师一般不会在学生探究活动的过程中提出，因为担心“干扰学生顺利获得探究成果的过程”。只有在交流汇报中基本得出相关成果后，教师才会对“个别测量结果存在误差”的问题予以“无关痛痒”的轻微关注。这就是说，老师们习惯性地把“活动”看作是“得出规定结果”的手段，而较少意识到“活动”本身对于学生成长的重要意义。在我看来，艾伦老师在“活动”行进中直面实际问题，有利于激活学生科学探究的真体验、真思考与真收获。

 

（作者：浙江省绍兴市上虞区教学研究室   叶 柱）
 

当英国教育向我们学习时，我们该向英国教育学些什么

——观乔安﹒克莉瑟若和艾玛﹒查普曼联合执教《立体形状》有感

因为上海学生在PISA测试中的杰出表现，也因为英国数学教育遭遇的困境，中英数学教师交流项目自2014年4月实施以来，很受关注。

今年9月，英国已经全套引进中国小学数学教材，出版书名为《真正上海数学》的学生用书、教师用书和练习册。明年1月起，这些教材将正式进入部分小学课堂。《真正上海数学》几乎由上海小学数学教材一字不差地翻译成英文。引进此套教材的柯林斯学习出版社的经营指导休斯认为这是“一个历史性的时刻”，此举“旨在通过采用使上海成为世界数学教育的领导者的方法，以提升英国的数学教育质量。”

我从多种信息来源中了解到，当前的这种交流，主要还是英方在向我们中方的数学教育学习。这固然能让我们生出些许的骄傲。但我认为，这不应是我方参与“交流”的全部意图，我国的数学教育问题也不少，我们应该借此“交流”机会，努力汲取英国数学教育的精华，取长补短，进一步完善我国的数学教育。

这次有机会现场观摩英国教师执教小学数学课，真是一次学习的好机会！

当我步入会场时，空气中正流动着张靓颖演唱的电影《画皮》主题曲——《画心》，有评课任务的我突然想到一句话——画皮容易画心难。英语水平几近于零的我，恐怕“画皮”都做不到，更谈何“画心”！但，英国教师，而且是两位联合执教，数学课，从未有过的观课体验，这些因素杂糅起来，我虽然有些忐忑但还是对即将开始的课怀着满满的期待。幸好，有翻译！

一堂课下来，我对英国的数学教育有了些许直观的感受，也生成了一些新的看法。这里简单谈谈自己看到的英国数学课堂的两个“长处”。

一是课堂教学任务不求多，十分明确集中。

《立体形状》这节课，主要任务就是帮助孩子们理解正方体、长方体、四角锥、三角锥、三角棱柱、六角柱这些常见的立体形状的面、顶点和边（棱）的数量。与我们国内的数学课堂相比，这节课涉及的立体形状的种类要丰富许多（我们国内通常是一节课单独认识某一种图形），但知识的深度要差不少，更不会涉及面和面之间、棱和棱之间关系这些内容。对于面、顶点和边的数量这样的教学内容，国内的数学课堂一般都处理得十分简单，大部分的课堂时间都会用在更为复杂的“关系”上。

这节课一开始，教师用PPT出示4个正方体让学生观察后问：“你对正方体有哪些了解？”在学生回答的基础上，教师利用实物投影多角度演示一个红色正方体，借此对3D、面、顶点、边（棱）这些基本属性做了介绍。教师特别拿出一个正方体的框架，进一步直观化了面、顶点、边这些基本属性，为后续学生活动做铺垫。

接下来，学生的任务就是利用教师提供的竹签、宝石糖创建一个立方体框架，并对面、顶点、边的数量做好记录，时间10分钟左右。在完成任务的过程中，两位教师十分忙活，她们各司其职，充分参与到了学生的小组活动中。一方面，她们不断提醒孩子们不要单打独斗，要相互协作，另一方面，她们注意搜集孩子们活动中的学习信息，对发现的“错误”及时明确指出。比如，有的小组在搭建长方体框架时，因为要做出长边需要用一块糖把两根竹签连起来，这使部分学生误以为此处用糖连接的地方也是个顶点，教师及时作出说明：仅仅起连接作用而不是把不同维度上的边连接起来的不能算顶点。后边又多次强调。当教师发现有学生先在表格中填上了数据，教师对此做了肯定，但也明确要求：填上后，一定亲自数数验证一下。

估计国内的数学教师对这个活动是有不同看法的，比如这更像是在做手工，数学思维含量不足，提供的素材不够多样，糖果的诱惑引发食欲易导致纪律问题等。这些问题并不难解决，我更看重每个孩子都能参与其中并乐在其中的状态，感觉孩子们正在真实地经历一种生活，积累一种体验，收获一种实在。与之相比，国内课堂的学习任务是不是内容太多，情趣太少，有些程度差些的孩子根本参与不进去呢？

二是“做中学”不只是做，蕴含了思维发展的层次和过程。

充分的活动之后，是数据信息的汇报交流。教师十分注重信息来源的反馈，对错误的答案注意探问改错的过程（比如有学生一开始凭感觉认为长方体有4个面，后来自己数过后改成了6个面）。这样的教学，体现了对单纯知识结果的超越，对科学的做事方法和态度是很好的渗透。

数据汇报后的练习颇具特色。比如让学生判断哪堆材料可以对应搭建出常见的立体形状。学生每次作出判断，教师都会问问“为什么”。这里暗含着对不同立体形状面、顶点、边的属性的判断和应用，也能锻炼学生的空间想象能力。再比如根据文字信息提示识别立体形状的练习，一开始是“师问生猜”，随着信息的逐条出现，孩子们的思维对某种立体形状最终实现了聚焦，教师注意点明：只有信息都提出后，才能确切知道是哪种立体形状。有意思的是，这个练习的后半段变成了“生问生猜”，一个学生描述某个立体形状的属性，另一个来猜。这“一扶一放”，是不是有点我国数学课堂教学的影子？

我其实很想看看两位英国教师是怎么协同教学的，因为这可能是我国以后解决大班额教学中因材施教（差异化教学）难题的一条可行路径。可惜，语言不通，导致关注面下降，思维上有心无力。只能留待以后再寻机会了！

 

（作者：山东省淄博师范专科学校副教授  张良朋）
 

以世界为镜，融合中英教育观

——走进James Wiltshire的英式数学课堂 

今天有幸走进了James Wiltshire的英式数学课堂，让我由衷感叹英国教师对激发学生学习兴趣孜孜不倦的努力，以及独到的创意和英国教学特有的绅士般的风度。James Wiltshire的数学课堂，无论是课程的设置还是教学的方式都有很多亮点，给我留下了深刻的印象，有很多感悟和启示。

亮点与启示一：“以生为本”的课程设置

课始，James Wiltshire介绍了英国数学课程的基本概况，并以运动场上的问题为例进行了现场教学。James Wiltshire首先让学生在白板上尽可能多地写出“需要两队参加并进行比赛的体育项目”，鼓动学生发现生活中两队竞技的模型。然后在此基础上提出“如果比赛的最终结果是1：0，那么中场比分有多少可能性？”的真实情境问题，引导学生结合生活经验探索解决问题的方法。这样的课程内容并不仅仅是知识，更是经验和生活。在James Wiltshire的介绍中，让我深有感触的是英国数学丰富的课程资源和灵活的课程设置，如森林学校的森林数学课、运动场上的数学课、有趣的苹果π、食材中的几何造型……能根据学生的需要与发展设置课程，这本身就是对“以生为本”的教育理念最好的诠释。反观我国的课程设置与内容，往往把学生牢牢地禁锢在“科学世界”，十分强调课程的系统性、完整性、理论性，知识至上教材至上，而忘却了学生的“生活世界”和“精神世界”。其实，生活既教育，科学的课程应关注学生的整个生活世界，赋予课程生活意义和生命价值。

亮点与启示二：“问题解决”的目标意识

英国《国家数学课程》将“使用和应用数学”作为数学教学的一个重要目标，指出“数学教学应该运用所学知识处理实际任务，解决现实生活中的问题，并对数学本身作调查”。基于这样的目标要求，英国的课堂十分重视数学问题的解决，倡导开展数学探究活动。课堂上，James Wiltshire反复强调了问题解决中的主要词汇，包括“可能性、不可能性、规律、关系、系统的、零分、主场和客场”，引导学生从直觉和经验产生解决问题的构想和猜想入手，如

比赛的场次结果是1：0，中场的比分有可能是0：1吗？为什么？

中场的比分有可能是1：1吗？为什么？

通过分析问题中的特殊情况，寻找问题的一般形式，最后证实结果。

James Wiltshire的课堂非常重视引导学生有逻辑的有序思考。当学生写出比赛的场次结果是1：1，中场比分的所有可能时，他又提出了新的问题：

    

问题解决的数学组织还包括数学抽象与数学建模。当学生初步研究获得以下信息时：

结果比分1：0        结果比分1：1        结果比分2：1

 中场比分2种可能     中场比分4种可能    中场比分6种可能

James追问：无论最终比分是多少，有没有永远可能会在半场出现的比分？

            如果有，有几个？分别是什么？如果没有，为什么？

            数量在增加，结果比分与中场比分的可能性究竟有什么关系？

课堂上，James鼓励学生积极探究，清晰的表达自己的观点，尝试用含有字母的代数式表征研究的结果，经历抽象和符号化的数学过程。

亮点与启示三：“多元表征”建立模型

用数学的方法表征问题解决的过程和结果，是问题解决的表现形式。主要针对证实模型的推理与逻辑分析，强调数学严密性意识，数学批判精神和数学论辩能力。但是，小学生的年龄特征与认知规律表明，他们认识和发现数学规律并不是这么一帆风顺，而是一个试错的过程。

    

课堂上，James Wiltshire给学生创造了一个宽松自由安全的氛围，允许学生解决问题的过程中出现偏差。而这些小小的偏差恰好是引发别人反思的素材，在反复验证的过程中得到普适性的正确结论。从小比分研究到大比分推理，从无序思考到有序枚举，从发生偏差到建立模型，培养了学生数学探究的自信心和追求问题解决的耐心，充分体验到了数学推理和数学交流的重要性。

尽管当前英国的数学教育也存在着许多问题，但是英国开展问题解决教学的一些认识和做法，对于分析和研究我国当下的“问题解决教学”有着积极的作用和价值。我们应以宽广视野，扬长避短，以世界为镜，更好地融合中西教育文化。

 

（作者：浙江省杭州市上城区小学数学教研员  邵  虹）
 

寻找中西教育的“同”与“异”

——以《发现π》《立体形状》《英国数学教学》三节课为例

写下这个题目，有些惶恐，仅凭几个课例的观察，如何能回答如此宏大的话题？但是，囿于条件，从具体案例出发，管中窥豹，或许也不失为研究问题的一种方式。于是，尝试着借助美国教师艾伦·拉斯穆森的《几何-圆：发现π》、英国教师乔安·克莉瑟若《立体形状》和杰姆森·维尔特《英国小学数学教学》这三节课，与中国小学数学教育作一个简单比较，来探讨中西方小学数学教育是否有相同的理念与实践，还有什么差异？

“同”之比较

事实上，随着东西方教育交流的逐渐深入，以及我国课程改革的推进，我们越来越感受到两者的趋同，首先我们来分享，有什么“同”？

一、重概念，拉长知识形成过程。

概念理解促进知识的探究，基于意义理解，探索公式规律，一直是我们所倡导的取向。正如艾伦·拉斯穆森《几何-圆：发现π》一课教学预案中所描述的那样，“这节课不仅交给学生π是什么，还要教给他在哪里发现”。如何发现？教师笔墨浓重、不遗余力地为学生建构了最为一般的“周长”概念，从长方形周长、三角形的周长，到不规则组合图形的周长，从篱笆、围栏、相框的周长到学生所处情景中寻找周长，从正向的“已知边长求周长”到逆向的“已知周长求面积”，由此，才逐渐进入“量圆的周长半径——求比值——找规律”的“π”探索。解读教师教学设计背后的思考，或许可以这样理解，“概念理解是概念应用的基石”，只有明确了“什么是圆周长”，之后的测量计算也就没有了困难。虽然从我们的教学进度看，学生对于“周长”、“多边形的周长计算”已是知识基础，我们推想，如果美国的学生学习圆周长之前并不具有同样的学习基础，那么，这样的推进过程，不正与我们所倡导的“基于概念理解的计算与规律探索”完全一致吗？

二、做中学，重视观察操作研究。

在活动中“学”，在“操作”中“学”，在问题中“学”，一直是西方教育的重要特征，无论是美国的《几何-圆：发现π》，还是英国的《立体形状》、《可能性思考》，三节课中，这样的特点十分鲜明。

重视操作发现。《几何-圆：发现π》一课，测量黑板上圆纸片的周长与半径、测量讲义上不同大小五个圆的周长与半径，注重操作，经历圆周率的形成过程，甚至讲这样的操作活动从课内延伸至课外，“找家里的物体测量周长与直径”，一系列的操作要求中，我们看到了“活动”在“π”意义理解中的价值与意义。

重视挑战性任务。英国教师乔安·克莉瑟若《立体形状》一课，同样重视“活动学习”，尤其值得欣赏的是，教师为学生提供了一个高认知要求的任务，“你的任务是搭建一个立方体框架，并且记录面、顶点、边的数量”，学生并不知道正方体的顶点、面、边的数量（从学生访谈发现，学生回答，搭建之前以为有8个顶点、8条边），显然，特征的发现，基于活动操作。这样的挑战任务同样运用于“方锥体（四角锥）”、“三角锥”、三角棱柱、六角棱柱的“搭建”与特征发现中，学生需要根据“立体图”想象“实物图”，不断尝试、观察、验证，获得对各类形体的特征发现

三、重思维，关注数学能力提升

重视思维发展、重视能力提升，几乎是中国小学数学教育的精华。从英美的三节课中，我们同样能看到这样的目标落点，“运算能力”、“空间观念”、“推理能力”、“模式探讨”等等能力培养的轨迹十分清晰！试举例：

空间观念。

“能由几何图形想象出实物的形状”、“能形成关于几何形体的大小、形状的表象”……这些是空间观念的具体表现。英国《立体形状》一课，三个任务：“根据几何图形搭出实物”、“选择：这些形体用了哪堆材料”、“根据提示说出形状的名称”，无不指向于空间观念的发展。例如：下图任务中，学生必然需要根据形体还原想象，“有哪些面？每个面是什么形状，分别有几条边？几个顶点？”想象的基础上才能进行“边”与“顶点”材料的选择。

推理能力。杰姆森·维尔特《英国小学数学教学》一课中，推理能力、有序思考、模型推导等等思维能力的培养目标十分凸显。“比赛最终结果是1:0，那么中场结束时比分可能是多少？”“最终结果比分是1:1，中场比分可能是？”“2:1”、“3:2”、“4:2”呢？在这样的任务驱动中，学生进行推理，而这样的推理，经过教师引导，逐渐从“无序”走向“有序”，我们清晰看到了学生能力的生长与思维的变化

四、个性化，强调个体差异指导。

活动环境轻松开放、活动指导个性充分，是我们在英美课堂中发现的又一亮点。我们看到，艾伦·拉斯穆森，用夸张的表情、煽动的语言，奔跑着示范，鼓励学生离开座位选择你喜欢的物体指一指周长，孩子们由先前的“拘谨”变得“自由”。我们看到，英美的课堂中不约而同将“糖果”作为学具，以致于孩子忍不住在搭完几何体之后开心地舔着用彩色软糖作材料的“顶点”，引发的笑声让课堂变得极其愉悦。我们看到，杰姆森·维尔特协同助教一起，对学生如何利用材料搭建出形体进行极具个性化地细致指导，让每个孩子的操作活动顺利有效。以上特点，也是我们中国数学课堂所积极倡导的方向！

“异”之探讨

当然，如果用中国小学数学教育的理念对这些课进行考量的话，或许还会发现一些差异。比如：

1. 如何增强操作的探索性？

圆周率的发现过程，依然可以看到教师指令下的“操作”痕迹，依然可以看到“先示范

操作”再“全体操作”的“传授”痕迹，依然可以看到“指名演示”时其余学生的“无所事事”。所以，笔者以为，怎样增强操作的探究性与参与性，我们的课堂会做得好一些。

2.如何还原公式的原理理解？

“根据比赛最终比分，推想中场时比分有几种可能”，教师引导学生思考有什么规律？“（H+1）×（A+1）=p”这样的结论得出并没有给出原理理解。如何结合学生例举的材料资源，引导思考：最终比分4:2，可能性为什么是15种？右图的学生材料不正是原理解释的最好载体吗？

最后，引用顾泠沅教授《寻找中间地带——国际数学教育改革大趋势》的一段话作为本文的结束：

寻找中西方教育的中间地带，不仅是当今数学教育的大趋势。也是整个教育改革的大策略，寻找中间地带不是简单的折中，而应以中国文化为底蕴，有机整合其他文化的教育教学取向；寻找中间地带是一种智慧，一种不走极端而达到集大成的智慧。

——《寻找中间地带——国际数学教育改革大趋势》 

 

（作者：浙江省杭州江干区教育局教研室  潘红娟）