4月19日互动专刊

专家评点

隐隐内含光

——观俞正强老师《体积和容积》一课有感

一

每次现场观摩俞正强老师的课，都会禁不住生出一种莫名的心动。

说“心动”自然是真的，俞老师的课独树一帜，那些特别的看法、做法、想法和说法，不由得你不惊奇、惊讶、惊叹，“原来数学课还可以这样上啊！真是脑洞大开！如果不是亲眼所见，我这辈子也想不到，更设计不出，上不出这么特别的课！可效果那是真的好啊，上课的孩子，听课的老师，当然还有俞老师自己，都那么高兴地参与其中，那么投入地想，感觉真是上明白了！”

说“莫名”也是真的。俞老师的课让我深受触动。但究竟是哪方面触动了我？是俞老师幽默风趣的个性？是他对教学内容的独到理解？是他不拘一格的教学思路？是他特别会聊天的本事？还是他真诚的笑脸？抑或是他那聪明绝顶的脑门？又或者是孩子们带着稚气却不乏思维冲劲的精彩表现？……好像都有，但好像也不是。再说了，这些方面又是怎样触动我的？我想不清楚，更说不明白。

今天观摩俞老师的这节《体积和容积》时，突然想到《桃花源记》里的几句话，“仿佛若有光……从口入。初极狭……复行数十步，豁然开朗”。可不可以这样说，俞老师的课是慢慢发光的，初极小，然渐行渐明，直至璀璨明亮，境界洞开。

二

俞老师的课朴素。

这节课用到的学材十分简易。整节课没有亲身体验活动，也没有探究性任务，最主要的学材就是俞老师用语言叙述的一系列问题：什么是“空间”？用哪个词描述空间？物体的内空间与外空间是怎样的？什么是体积，什么是容积？空间与面的不同与关系是怎样的？最后的练习是组常见的判断题——“下面各说，您想到的是面积、体积还是容积？”简短的话语，简洁的问题，初看平谈无奇，细思却又紧扣学习核心。然而这节课的学材又是无所不在的，会场里的人和物，特别是学生熟悉的课桌、文具、套娃等，乃至学生头脑中的原有经验，都化作了学习体积和容积的学材。

这节课使用的教学手段特别俭省。整节课没有精美的课件，一支粉笔，一块黑板，老师的一张嘴巴和学生的几十张嘴巴，就是围绕着那一系列问题不断地你说我说大家说，除了关键话语的重点强调，极少重复。俞老师真是聊课的“顶尖高手”，不管学生的看法多么细碎、偏离，他总能敏锐地抓住其中闪光的地方，巧妙地化为推进教学的学材，引领学生抵达学习的下一站。这节课最奢侈的地方是“套娃”的出现，却也是生活中很容易得到、接触比较多的玩具。因为数学视角的引入，赋予了它丰富的教学功能。伴随着俞老师的问题引导（“一个一个娃是怎么变化的？”“哪个娃最特别？”等），一娃、二娃，直至七娃依次出现，不仅充满层层递进的趣味，而且鲜明生动地诠释了体积和容积的概念及其相互转化的辩证关系（“自己占了一个空间，里面还有一个空间”“内空间和外空间”“生活中有没有像七娃的东西？”）。由此，抽象的概念变得形象，板滞的概念变得活泼，高远的数学变得亲和。俞老师的课上连小组合作这样的活动都没有，但学生的互动一点都不少，学生的思考活动的推进感很好。还必须要提的一点就是，这节课中学生最主要的学习手段是“举例子”。通过不断地举例子，辨析例子，数学与生活、理论与经验实现了有机关联，核心的数学要义慢慢得以凸显并获得提炼。我想，学会举例不仅是教师的教学基本功，也是学生的学习基本功。

这节课的教学结构简明。整节课就是由几个问题串联起来的。学生的起步较高（什么是“空间”？曾有的专家说，这是个比“体积”概念还难理解的概念。我揣测，俞老师让学生直面它的用意应该是激活学生的先备经验，探查学生的理解现状，并推荐“举例子”的学习方法），然后循着“空间有大小→空间有内外→空间与面不一样→空间与面有关系”的脉络建构对体积、容积、面积更加清晰的认知，最后的练习亦是句短意长。

或许，舍弃了那些浮华的东西，让学生直面问题实质，学生才能真的想进去。朴素，其实是给做正确的事留下更为充裕的做事空间。

三

俞老师的课愉悦。

这种愉悦可能来自俞老师的“幽默风趣”。俞老师的幽默风趣早已声名远扬，举手投足间，一言一行里，都自带喜感，自有气场。他的幽默风趣极具感染力，除了和他一同上课的学生，连在现场观摩的那些见多识广、理性严谨的老师和专家们，都会自然而然地浸润其中，开心地笑出声来，或者怡然自得地享受着此等美好的课堂。

这种愉悦可能来自俞老师的“真”。我不知道老师们有没有注意到，俞老师看学生的眼神，那是真看，不只是看到，而且是看见，能看到学生的心里边，很敏锐，也很温暖。我特别留心关注了俞老师和学生交流时的表情和体态变化，心无旁骛，真诚，平等，开放，坦然，期待，好似真正融进了与学生的对话里。我想，学生也一定是接收到了他的这份“真”，才会从从容容地敞开自己，全身心“卷入”到学习活动中。我想正是这份“真”，才使得俞老师如此可爱，才使得俞老师把和学生的关系处理得那么和谐。是不是可以这样说——师生关系的“道”和谐了，教学活动自然就会充满愉悦，让我们欲罢不能。

其实我真的不知道俞老师是怎样修炼出这种本事的。或许正像俞老师的一位女学生曾说过的，“你看, 所有的好你都没有。……我怎么就觉得你好呢?”

四

俞老师的课深刻。

俞老师曾经发表过以下的观点：

小学数学, 甚至所有的教学都离不开两种基本型:改造型教学和灌输型教学。

所谓改造型教学，是指学生对有些知识已经有一定的“明白”（这些“明白”主要是通过以往的生活经历慢慢积淀起来的经验），但和老师的“明白”（主要指数学意义上的明白）不一样，教师的任务是把他们的“明白”改造成老师的“明白”。

所谓灌输型教学，是指有些知识因为是人为规定的, 学生上课之前没有经历过, 这个知识对于他们来说, 就是“空白”。老师的任务是把我们的“明白”灌进他的空白, 让我们的“明白”成为他们的“明白”。

小学阶段, 遇到的大多是第一种情况。

这些本真的看法很有启示意义。时下我们的不少教学，过度沉迷于教的“技巧”的显示，一味地在优化教上做大做强、精益求精，却忽视了对学生学习之“道”的尊重和提升，显然是落入了舍本逐末的窠臼。

坦白地说，《体积和容积》这节课，有点不像我们一般认知中的数学课，数学符号都没怎么出现过，倒是颇有点哲学的意味。从课堂效果看，学生的学习收获是挺有深度的，自己的“明白”慢慢演变成了老师的“明白”。

我借用“体验主义”的说法，做点说明：

学生的“明白”是一个系统，教师的“明白”是一个系统，学生的“明白”和教师的“明白”没有交互时，这是两个独立的世界。当学生用自己的“明白”去关注教师的“明白”时，就跳出了自己的世界，做了改变，学生的认知和教师的认知序列都发生了改变，彼此相互影响。这强调的是一个对话活动，跳出系统内部到另一个系统里去，学生介入到教师的系统后，学生的“明白”和教师的“明白”就有了交互，就产生了意义。

五

有一个教学片段给我留下了深刻印象——俞老师和学生针对“课外提前在‘学而思’辅导的和今天俞老师这样上有何不同”的那番对话。应该说，学生们看得挺明白，说得挺在理。那，到底是哪些人不明白？或者装不明白？问题的症结到底在哪？能解决好吗？“先学”问题，需要重视，需要深思，需要改进。

这节课如果我来上，我希望能再加强一下直观手段，加入一点操作体验活动，把感性经验和理性思辨结合得更紧密些。

 六

教师有光，学生有光，我们的课堂才会光彩熠熠。

愿我们都成为有光的人，能发现别人内隐的光，也能发出自己的光。

愿我们彼此照耀，互相成就，共同成长！

（山东省淄博师范专科学校副教授  张良朋）

 

起点建立在经验   认识深化在比较

——学习吴正宪老师《因数和倍数》的体会

因数和倍数，是小学数学中的重要概念，因而此概念的教学也是我们常听的课。而在实际教学中也是老师较难把握的课，这有教材编排的原因，也有老师认识的局限。吴老师以在宏观的架构下的微观处理、在谈话聊天中彰显的目标、在对“经验”的去伪存真、在不经意间显示的多样策略，再一次展示了大家的风范，给我们全新的视角冲击与多样的启示！下面就和大家交流一下自己的学习体会。

依托经验，设立起点。在上课之初吴老师就直截了当的说“今天我们一起聊一个数学话题，关于因数和倍数，你都知道些什么？”这是吴老师充分认识到学生在学习生涯中经常接触到因数的概念，也接触到倍数的概念，从学生自己较熟悉的概念入手，能增加一种亲切感；这也是老师有意识拉近与学生的距离，实践以“学生中心”的新理念的体现；同时，吴老师也是自我挑战，为什么呢？因为学生在以往学乘法时习得的“因数”以及在解决问题中接触的“倍数”对今天学习的“因数和倍数”来讲都是负迁移，要在名词完全相同而内容不相关的干扰下理解概念，这是老师瞄准帮助学生正确建立“因数和倍数”概念而设立的自我挑战。

充分暴露，一箭多雕。在引出因数和倍数的话题时，吴老师要学生举例说明自己“认识”的因数和倍数，学生充分调动自己已有的知识经验，从单个地说，到用算式说，从乘法说到除法，从数字算式说到字母算式…显然，所列举的与概念相关而又不是所需要的概念，更不概念的全部，有的甚至是错误的，但与所需概念的逐步靠近。这时，老师也不急于评价，也不急于矫正，而是有意识地积累素材，为后面建立概念服务，当学生你说我说，左说右说都没能举出辨析概念所需的关于小数参与的运算时，老师很巧妙地从价格方面自己写出一个相关的算式，这样在一方面逐步逼近概念的同时，又积累了辨析概念所需的素材。当然，老师在引导学生用算式举例时，不仅关注除法，还关注乘法，这也打破了一般教材从除法引入带给老师的思维定势。

层层剥笋，去伪存真。在前面充分暴露的基础上，吴老师通过将12人分组的不同方式用算式表达，得出揭示概念所需的素材，并择要分配学生写在纸板上，并引导分类且将分类结果贴于黑板上（当然这时学生不能自己得出的老师作了及时的补充，如12÷5=2…2），就此得出概念，同时，去伪存真，层层递进深化对概念的理解：与过去想的有什么不一样？在乘法中有还是除法中有？还是乘、除法中都有？在什么数范围中存在？是单个存在还相互依存？有限与无限？用什么方法能快速求出等，层层递进，去伪存真，建立概念。

多样策略，用于无形。如前所述在谈话聊天中彰显的目标、在对“经验”的去伪存真、对两种必须素材的补充等都是在不经意间进行的，这本身就是一种策略。层层剥笋，逐步逼近等也是一种策略。将12人分组，对分组的有序思考、穷尽列举；对算式的分类，积累素材、服务概念；运用数轴直观帮助，同时也都体现了对数学思想的关注等，都达到了一箭双雕的效果，再有就是比较、举例的策略等，不一一叙述。

当然，就吴老师的课，在表面的、单向的学习的同时，有几个问题想提出讨教，以便更深入地学习。

一是接着吴老师的话讲，因数和倍数是一种“约定”，那么就约定本身，我们是否要回答为什么约定？都有哪些约定？知晓约定后的新认识等。学生学习后可能对后两个问题的认识比较深刻，但为什么要这样约定？学生并没有相关的认识。那么，我们是否要回到“因数和倍数”本身的属性——是研究整数的性质，这样，一方面研究时可以快速地把不相关的因素排除（如有关涉及小数的计算），同时，深化对概念的认识，同时，也帮助学生认识到为什么要学习因数和倍数。

二是关于找36的因数，只有一个学生找全，这很正常，因为是学习过程中，吴老师用数轴帮助学生直观化，起到了很好的作用。但是在找数轴上相应的点时，相应的数（也就是36的因数）是如何得来的，大部分学生并不清楚，如果从数学方法的角度跟进，用36÷1=36，1和36都是36的因数，36÷2=18，2和18都是36的因数…，我想学生的认识会更深刻，同时，为后面求一个数因数的方法也就作了必要渗透。

三是关于找一个数因数和倍数的方法问题，是否也可作一点渗透，如前面涉及到的求36的因数，显然用除法比较快捷，而后面涉及的找36的倍数显然不能用除法，只能是依次乘1，2，3…

以上是自己一些不成熟的学习体会。希望得到吴老师的赐教！也希望得到全国各地专家的指教！

（江西省南昌市小学数学教研员  胡桃根）

 

基于前认知的概念学习

    ——吴正宪老师《因数与倍数》一课赏析

印象中，吴老师始终是一位“深入”、“浅出”的高手。所谓“深入”，是指她能深入了解学生的学习困难与学习需求，深度把握学习内容的内涵与本质；所谓“浅出”，是指她能根据学生的认知规律和心理特点，找到轻松化解学习困难的办法与路径。《因数与倍数》一课，同样呈现出这一方面的特质。

就因数倍数的概念建构而言，教师首先需要思考的问题是：面对这个概念，学生已经知道了什么？会遭遇怎样的困难？如何帮助学生解决这个困难？前者，需要教师“深入”读懂学生的数学现实，后者，需要探索“浅出”的教学路径。下面，就以“困难是什么”、“怎样经历过程”、“如何突破难点”为线索，来展开对吴正宪老师《因数与倍数》一课的赏析。

一、直面现实，真实呈现概念误区

学生的概念学习应根植于已有经验中，那么，我们首先需要知道“学生的起点在哪里”。我们来看，吴老师是如何呈现学生现实，直面学生疑难的？

开门见山，“什么是因数、倍数？可以举个例子说。”

——“2×2=4，2就是因数，4就是倍数”。

——“a×b=c，a、b就是因数；c÷a=b，c就是倍数”。

——“0.8×7=5.6，0.8是因数，7是倍数”。

……

首先，教师没有让学生描述概念语言，而是采用“举例子”的方式，能反映学生关于概念本质的真实理解。

其次，互动中，也充分暴露了学生关于“因数、倍数”概念理解的前认知。我们可以看到，学生受先前学习的负迁移，存在几个误区：①“因数”与乘法有关，“倍数”与除法有关；②因数、倍数是一个数，而不是一种依存关系；③只要有两数相乘，就有因数倍数。为什么会有这样的认识？事实上，学生已学过“因数×因数=积”、“求一个数是另一个数的几倍，用除法”，这样的知识基础，对“因数、倍数”概念的建构产生负迁移，将“因数”与“乘数”、“倍数”与“倍”混为一谈，也就不足为奇。

二、遵循规律，经历概念形成过程

我们知道，儿童概念形成的心理过程依次是：感知、辨别不同事物——从一类相同事物中抽出共性——将这种共性与记忆中的观念相联系——同已知的其它概念分化——将本质属性一般化——下定义。从吴老师的教学展开看，无疑与儿童概念形成的心理规律高度吻合。我们选取其中的几个步骤进行分析：

环节一：呈现不同事物——“12个人如何分组”的讨论，生成了“1×12=12”、“12÷4=3”、“12÷12=1”、“12÷5=2……2”等算式，结合学生自己举例的“8×7=56”、“56÷7=8”、“0.8×7=56”，形成的算式群，无疑，为概念的学习提供的不同例子，而且，“正例”与“反例”、“乘法”与“除法”，结构化的素材，为学生的概念学习提供了丰富的感知材料。

环节二：从一类相同的事物中抽出共性——分类，正是抽取共同属性的重要手段。吴老师将所有例证分为两类，见下图：

明确：“这一类里就有因数、倍数的关系”，继而引导学生概括“什么是因数、什么是倍数”，显然，此时，学生的思维聚焦于“这一类式子有什么共同的地方”，形成对概念“本质属性的感知”。

环节三：与记忆中的观念相联系——继而，教师设计了一个辩论环节，围绕“0.8×7=5.6，只要两个数相乘，两个数就有因数与倍数？”展开辩论，形成共识：得在整数的情况下，必须是整除。这样，成功地将“因倍数”的概念与先前学习的“除法中有倍数、乘法里有因数”这一认识相分离。

环节四：将本质属性一般化——设问：“因数与倍数必须具备几个条件”，“必须都是整数”、“必须是整倍数”、“必须没有余数”。本质属性一般化的过程十分清晰。

从以上概念学习的过程看，教师所设计的教学环节，与学生概念形成的心理过程十分契合。无疑，也充分印证、彰显了吴老师所提出的“儿童心理学是儿童数学教育的基础”这一观点。

三、化解干扰，突破概念学习难点

“因数倍数”的概念学习，学生的核心难点是什么？笔者以为，有两方面需要关注：

一是如何加强理解“因倍数是一种的相互依存关系而不是孤立运算中的某个数”？

二是如何强化“非零自然数”的研究范畴？

对于第一个难点，“因倍数是一种相互依存的关系”，从暴露的学情看，学生的已有认识是十分缺失的。我们看到，吴老师的课中给予了分层关注：概念引出时，引导学生“以2×6=12为例，说说2是12的因数，12是6的倍数”；概念抽象后，自己举例说说“4×2=8,4是8的因数，8是4的倍数”、“3和6,6是3的倍数，3是6的因数”；概念应用时，找倍数、因数环节，“15是谁的倍数”、“36的因数有几个”任务中，同样，不断强化“谁是谁的因数”。

“谁是谁的倍数”这种依存关系。多次的强化与重复，必然使学生形成关于“相互依存关系”的清晰理解。

第二个难点，是关于“非零自然数”的范畴讨论。第一次，出现在“0.8×7=5.6”这个算式辩论中；第二次，出现在“A×B=C”三个数的讨论中；第三次，出现在“15是谁的倍数”讨论时，教师抛出“15是7.5的倍数，行不行”的辨析。通过具体与抽象两个层面，强化了“三个数都是整数”、“不能是小数”这一本质特征。但是，我们也发现，“关于0”的讨论，课中始终没有出现。惯常，老师们会在“A×B=C”的讨论时，继续追问“0可以吗”，也会在概念辨析时，呈现类似“0×9=0”的算式加以澄清。我们相信，这一视角，一定不是吴老师没有想到，而是基于“儿童为中心”的理念，将难点作战略性的分散处理吧。

（浙江省杭州市江干区小学数学教研员  潘红娟）

 

巧用钟面话几何

——刘德武老师《我们来到钟面上》一课赏析

在今天上午“千课万人”核心素养下的小学数学“理想课堂”国际峰会上，史宁中教授指出：“数学眼光包含了符号意识、数感、几何直观、空间观念(数学抽象、直观想象），使得数学具有一般性”，并且强调：在小学数学教学中，最为重要的就是要让孩子具有数学的眼光，让学生自己思考。下午，来自北京的刘德武老师为我们带来《我们来到钟表盘上》一课。在这节课上，刘老师创造性地利用钟面上蕴伏的空间几何素材，将学生的目光聚焦到钟面上：兴趣盎然地去探索，视野开阔地去想象，条理清晰地讲思路，意犹未尽地学数学；让听课的老师聆听名家真言，享受理想课堂，拔节教学智慧。

一、巧用素材激发兴趣。

数学学习素材的选择，应该是贴近学生的生活经验、学科认知和数学事实的，这样的素材不仅要鲜活有趣，更能让抽象的数学知识变得有形具体。既能将知识点连点成知识网，又能让学生综合运用知识解决问题，感受数学在生活中的价值和作用，激发学生学习数学的持久兴趣。刘老师非常巧妙地利用钟面作为素材，课堂上的7个环节都是围绕钟面提出来的：看数说角是利用钟面上的数字，时针和分针所形成的夹角，巩固学生对角的认识；连线成形、反弹返回都是强化学生对图形的认知，发展学生的空间想象力；罗马表盘和中国时辰是数学文化的浸润；滚动表盘是打破常规的思考，对学生空间观念的再构建；残片求周长则是提供思维载体，从钟面的残片，找到求出钟面周长的方法，让学生综合运用几何知识解决问题。正是因为这些平常熟悉而又并未发现的钟面秘密，让学生特别有兴趣，让学生特别想去探究，课堂上学生的热情持续，积极主动，呈现出“学为中心”的深度学习，学生的思维活动和想象力呈现出理想形态。看来好的数学素材，不仅仅是为课堂教学增加亮点，更为重要的是拓展学生的认知视野，完善知识结构，彰显了数学的实践价值。

二、巧问妙答激活思考。

“数学研究的东西都是抽象出来的”（史宁中），数学抽象是数学的本质特征，也是基本的数学思想方法，对于学生而言至关重要。在本节课里，刘老师精心设计问题，引导学生经历了几何抽象的过程，巩固几何概念，发展几何直观，提升核心素养。本节课有一些细节的设计，有的是对几何现象的静态观察，有的是对几何现实的动态研究，还有的是对空间图形的创造想象，这些都有效地激发了学生对教学内容的关注与思考。在连线成形中，刘老师特别设计了10:05这个内容。粗看，学生很可能将时针与分针形成的夹角看为直角；细想，10时过5分了，时针移动了位置，并不是正好对着10，所以得到的角肯定不是直角。

又如：

老师问：“将球打到3，可以得到正三角形、正方形、正六边形、正十二边形，为什么没有正五边形、正七边形？”

学生：“因为5、7不是12的因数，所以不行”。

老师又引导思考：“咱们如果真的想打出正五边形，球向整点打是没有办法了，能不能朝别的点去打？”

学生：“应该朝第12个小格开始打。”

老师：“为什么要打第12个小格？谁能解释。”

学生：“因为钟面上有60个小格，60是5的12倍，所以击打后能打出正五边形。”

像这样的设计还有很多，不是教师有意给学生“挖坑”，而是多维度呈现数学现象，提供有利于学生思辨，让学生在自主表达中加深理解，增强感悟；在质疑与反思中深度思考，明晰概念。

三、大巧若拙激励想象。

空间观念是数学核心素养中的重要部分，是培养学生想象力和创造力的基础。在课堂上，刘老师基于学生潜在认知和已有经验展开教学，善于激励学生积极观察、操作、想象，长于将教学目标螺旋上升，从而将学生立于教学的中央，发展空间观念。在课堂上，你看到的刘老师是一位学生学习的伙伴，既鼓励学生大胆想象，又提醒他们小心求证。在滚动表盘这一内容教学时，他会这样问：“两个表盘一模一样，好好观察，这两个表盘有什么区别？”学生：“它们的位置不一样。”刘老师：“鼓掌！因为人们研究图形往往只关心图形的形状、特征、大小，而不大关心它（图形）的位置。”接着提出了新的问题驱动学生操作、思考：圆形的表盘，在弧线上滚动与在直线上滚动，结果是否一样？“数学学习不能想当然，一定要经过实践！”又如，在教学残片求周长时，恰到好处的问题激发学生大胆想象，自主寻找残片与钟面的空间关系，注重引导学生互相启发，不断完善方法（如何求弧长），不知不觉中提升了学生的核心素养。

在课堂上，刘老师的语言很浅，但是数学的内涵很深；用于教学的钟面很普通，但是教学的设计很巧妙；学生的学习很有趣，但是学生的思考有深度。刘老师在课堂上，致力于培养了学生用数学的眼光去观察、用数学的思维去分析、用数学的语言去表达，引领大家用心迈向数学理想新境界。由于一节课的时间、容量都有限，这节课，还没有穷尽刘老师对钟面的数学思考，我们期待着更精彩的后续！

（湖北省特级教师  关蓓）

在质疑评价中领悟统计学的内涵

——听袁晓萍老师教学《统计里的秘密》有感

每次听完袁晓萍老师的课，都不禁会发出“真没想到，袁老师会这样设计环节！”的感慨，今天依旧如此。相信其他教师也会如我一样继续生发疑问：袁老师是怎么想到这样去设计教学过程的？

每一次精彩并令人震撼的课堂的构思起源是什么？解读袁老师提供的“教学思考”，我们或许能发现她的设计轨迹。

“统计学是关于收集和分析数据的科学与艺术”，《不列颠百科全书》中的这句话应该是袁老师构思本节课的基石。整节课我们能深切感受到学生从始至终都在感悟统计学是科学与艺术，从感性到理性、从初浅到深刻：

真没想到，统计里有这么多坑；

真没想到，统计学居然把我们骗了；

真没想到，统计里居然有这么多门道；

真没想到，统计居然还是门艺术；

真没想到，统计居然是一把双刃剑；

……

相信孩子们已经较为深刻地领会了统计学的内涵。

一个习惯于上位思考问题的教师，自然每次都会构建出超出常理之外的令人拍案叫绝的学习过程。

基于这样的基本概念，袁老师深刻剖析了统计与概率领域中所要体现的核心能力“数据分析观念”。在数据分析观念的培养中一个重要的却也是教师们比较忽视的视角，即“能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑”。质疑的过程即是不断寻找统计里藏着的秘密的过程，也是不断深入理解统计学内涵的过程。

统计里究竟藏着怎样的秘密呢？这些秘密是如何一步步直击统计学的内涵的？学生的数据分析观念到底该如何有效培养？让我们一起走进袁晓萍老师的课堂，去探寻秘密。

一、在图形选择中制造冲突，构建完善的数据系统，感悟统计是科学和艺术

统计学是科学，它的核心是数据分析，凡是能够承载事物信息的东西都应表现为数据，统计学是通过完善的数据系统来提取信息进行分析的科学与艺术。如何让学生感受这一核心要义？

课中袁老师出示无纵轴数据支撑的折线统计图让学生去猜测可能是杭州、昆明、哈尔滨中的哪一个城市？具有明显起伏变化的折线欺骗了所有孩子，一定是杭州、哈尔滨两个城市中的一个是大家的共识，当教师出示纵轴数据中，所有孩子才明白自己被欺骗了，居然是昆明！如此强烈的思维振荡足以让孩子深深地感悟到统计应是一个完善的数据系统，只有在各种数据完善的基础上才能下明晰的结论，因为统计学是科学。

接着老师又出示一幅昆明2017年的月平均气温统计图，表达内容相同，两幅折线图因刻度不同图形迥异，作为昆明旅游局的代言人你会怎么选呢？

生：选择2号。昆明四季如春，欢迎旅游！

生：选择1号。昆明最近温差变化较往年要大，请游客们注意！

生：各有各的需求，按需求来选择。

……

这一学习过程让学生体会不同的数据表达方式会生成不同的统计图，依据不同的生活应用可以各有选择。统计图的统计方式没有最好，适合的便也是最好的，因为统计学同时也是艺术。

二、在背景解读中对比选择，丰富数据分析的视角，感悟统计是科学和艺术

统计图有时是会“迷惑”我们的！统计数据是不会“迷惑”我们的！所有的学生表示了认同。真的是这样吗？

袁老师给出四组数据，并根据四组数据呈现信息或问题：印度豹比麋鹿跑得快、克林顿总统的年薪最高、教育部关于44个汉字整形方案是赞成多还是反对多、杭州市2017年的平均工资每月是7267元。孩子们在选择数据进行分析、思辨的过程中不断明析需要从数据收集的方式上、取样的方法上、数据分析的方法上等进行全面的思考才能对问题或结论作出科学的判断，我们来领略孩子们现场精彩的反思片段：

生：有可能数据是选择印度豹里跑得最快的和麋鹿里跑得最慢的进行比较；

生：印度豹和麋鹿的生存环境不同，速度没法比较；

生：两者比哪一种跑步，如果是比长跑，就应该是麋鹿快；

从全体认同“统计数据不会骗人”到全体质疑这一说法，孩子们不断丰富、完善着数据收集、分析、整理的方法，如右图所示。经历了这一学习的过程，如何理性地根据数据来提取信息进行分析孩子们已有深刻地感悟。

质疑、评价、思辨的过程中孩子们对统计学的内涵领悟有了一个极大的增量，深切感受到这是一门科学与艺术并存的学科，它需要我们精准解读，需要我们全面思考，也需要我们灵活应用。更重要的是在此过程中也渗透了哲学的基本思想和思维方法，不能静止孤立地看问题，需要完整系统地、辩证地分析与思考问题。思维方式决定着孩子们一生的发展，意义重大。因此，袁老师在引领孩子们探索统计里的秘密的同时，也是引导着全场所有的教师去破解如何关注孩子未来成长的密码！

（浙江省杭州市拱墅区小学数学教研员  孙钰红）

 

暴露学生的想法，让学习真正发生

——观罗鸣亮老师上课有感

罗鸣亮老师执教的《真分数和假分数》，很好地诠释了数学课堂如何“以学为中心”，课堂的种种细节，都让我们深受启发。

从学生的问题出发；

罗老师这节课的教学从学生的认知起点开始，先问学生：你知道真分数和假分数吗？你是怎么知道的？发现学生不但能举例、还能概括。那是不是可以不上了?下课？不，学生自我感觉还没有认识透彻。哪里不透彻？学生纷纷开始自我剖析：不懂其意义、不知道其区别、不会比大小、不理解其关系、不会化简和运算、不知其价值、不明其来源……这下可好，思维全打开了，问题都冒出来了，主动学习开始了。于是，罗老师将学生罗列的这些问题加以梳理，重点讨论其“联系”与“区别”。就这样，师生一起，相谈甚欢，共同出发。

在学生困惑的地方停留；

在罗老师的课堂上，学生说的话基本上都是很重要的，学生的困惑也是很受重视的。为什么？因为，罗老师在乎。我捕捉到两个小细节——

细节一：学生困惑于4/4到底应该归于真分数还是假分数。一个学生问：4/4到底是真分数还是假分数呢？我觉得它应该算真分数，因为毕它竟可以在这1个圆里面表示出来，没有超过单位1；可是我又知道，平时我们是把它算为假分数的呀？有这样的困惑，说明学生在真正地思考，这是学生非常真实非常自然的想法，这是有思维参与、真正地学习过程。一般来讲，数学课上哪个学生愿意这样去自寻烦恼呢？罗老师的课堂，学生就喜欢这样刨根究底。面对这样的话题，很多老师可能会含糊应对，或者干脆回避，但罗老师没有，他带领学生认认真真地讨论了这个问题，直至明确4/4为假分数。

细节二：分母到底是4还是8?

当课堂进行到假分数环节时，5/4的出现带来了新的困惑。必须要画两个圆才能表示了，那分母究竟是4还是8呢？为什么就应该是5/4而不是5/8呢？不得不佩服这节课上的学生可真敢说，但凡他们有疑问的，就非弄清楚不可。这么关键的问题，就这样又被学生给揪出来了。面对这些问题，罗老师并不是直接给出一个答案，而是启发学生自己思考辩论互相质疑：他说5/8，你知道他是怎么看的吗？同学们琢磨着：他应该是把两个圆看做单位1了。该生回应：对！我就是这样看的！所以，到底是几分之几，关键还要看单位1是什么。学生总结得多好啊！在这样完全暴露出学生真实想法的学习过程中，通过这样的交流互动，相互启发，学生自己就把自己给教育了。

不怕学生犯错。

罗老师的课堂里，学生敢想敢说，不怕犯错。罗老师也从不害怕学生出错，在罗老师眼里，也许每个错误都有其价值吧。面对“2块饼平分给3个人，每人分得几块饼”的问题，有个女生的回答是用假分数3/2，面对这样明显的错误，罗老师一点都不着急，他并没有直接叫另一个孩子给出一个正确答案，而是继续追问该女生的想法，直到这个女生自己发现自己弄反了，“3块饼平均分给两个人，才是3/2”。这种从错误到正确、从混沌到明晰的过程，不就是学习在真正发生吗？

用学生便于理解的方式。

这节课，之所以能学得这么自然愉快，当然还少不了罗老师在设计上精心采用学生易于理解和接受的方式，比如：充分利用大饼和数轴的直观模型，并且从大饼逐渐向数轴过渡，帮助学生克服大饼图的局限性，特别是要克服大饼图给学生带来的假分数的认知障碍（面积模型容易使学生局限于“部分与整体”的范式，不利于假分数的理解）。这种种学习材料的设计，都是在无微不至地关照着学生的想法、学生的困难。如此，才有这节鱼水和谐的数学课。

综上所述，罗老师这节课，给我们呈现了一个很好的“学为中心”的课例，使我们收获良多。

最后我提出三点思考，并不成熟。

一是这节课的概念关系是否可以更清楚？史宁中教授曾说过，小学数学学习内容很大程度上都是一种“关系学”，这节课更是如此。那么这节课里关于分类和分类标准，是否可以更明晰？比如，真假分数是按什么标准分类的？除了真分数和假分数，还存不存在第三种？带分数在这个关系网中应处于何种地位？凡此种种，是否需要整体地理一理、形成关系图？

二是关于“1为什么归于假分数”，本节课中并没有一个很有说服力的解释。既然学生问到了，就说明还有我们老师还有进一步研究的空间。至少我们可以设想一下，如果按学生的想法，不超过单位1的，都归于真分数，那么，会带来什么麻烦？数学上为何不采取如此规定？

三是，本课学生多次提到分数“化简”的话题。我想教师是否应该引导学生明确，真分数和假分数是按分子分母的大小关系来讨论的；而化简，则是出于另一种标准，即分子分母是否互质的标准来讨论的，这是完全不同的讨论标准，所以，“化简”与真分数和假分数无关，真分数里面有需要化简的，假分数里面同样有需要化简的。此处是否需要厘清，仁者见仁智者见智吧。

（湖南省长沙市开福区小学数学教研员  易虹辉）