谁知道国际上有一个中国学习者悖论？就是说中国的学生学习成绩在全世界排名第一，是没用疑问的，但是中国的学生对学习的兴趣好像是倒数的。所以有人起了这样一个名字叫中国学习者悖论。这两个正好是成负相关的，也就是学习成绩好的学生不一定喜欢数学，反而好多学习好的学生是讨厌数学的。今天我们就这个话题来探讨一下，我的题目是千万别恨数学，“数学好玩”是陈景升国际数学家大会上提出来的，但是就我接触的一些新闻报道和一些学生，以及我自己的一些感受，数学真的好玩吗？我们今天探讨一下这个话题，是思考不是反思。

从这五个方面探讨。首先，我们看北京高考新方案：2016年起，英语从150分调至100分。网上也有这样的呼吁：让数学也滚出高考！联系于丹、鲁豫有关数学的调侃，不由引起思考，为什么数学让人如此深恶痛绝，竟然动用了“滚”字。其实名人不喜欢数学，很早就有，不是个别现象，比如崔永元的书里就这样写：“大概是到了发育的年龄，我经常盯着黑板发愣。数学老师……掰了一小段粉笔，准确无误地砸在我的脸上。数学老师说：‘你把全班的脸都丢尽了。’嗷——全班一片欢呼，几个后进生张开双臂，欢迎我加入到他们的行列。从此我的数学成绩一落千丈，患上了数学恐惧症。高考结束，我的第一个念头就是，从此不再和数学打交道了。38岁生日前一天，我从噩梦中醒来，心狂跳不止（进水管和出水管问题）。对我来说，数学是疮疤，数学是泪痕，数学是老寒腿，数学是类风湿，数学是骨头坏死，数学是心肌缺血，数学是中风……当数学是灾难时，它什么都是，就不是数学。”从此在崔永元的人生走廊里关闭了数学这扇窗。我在微信里偶然遇到了这样的学生，他写了首诗：“假如我的生命只剩三天，我会在第一天和我的亲人们道别，感谢他们给予我的爱和温暖，我还会给这个世界写一封信，告诉人们我曾来过这里。而剩下的两天，我会在教室里度过，不是因为我有多么好学，而是因为——在教室里我度日如年。”总共剩三天，有两天留在教室里，两天就可以当两年过了。2005年一月的报道，这是一位十岁学生写的：“数学是死亡资源，它像入地狱般痛苦，它让孩子想尽脑汁，他让家长急得转圈，它让校园死气沉沉，它使生命慢慢离去，生命从数学中走去，一代代死得超快，那是生命的敌人，生命从数学中走去，珍惜宝贵的生命吧，一代代死得超快，数学是死亡之源。”为什么学生这么痛恶数学。读了这首诗之后，让我觉得刺痛，但是结合你自己的学习经历想一想，数学好玩吗？现场做一个小调查，觉得好玩的请举手，最多不过1/3。为什么不好玩？工程问题、进水问题等这些真的很难，而且不是一般的难，最后老师专门出一张一张的卷子做练习，练到头都晕了，还是学不会。让我喜欢上数学的是初三的一位数学老师吴兴晖，当然我本身数学成绩还不错，但学习好不好这和数学好不好玩没多大关系。老师需要进一步反思，数学到底好不好玩？如果不好玩，哪些地方不好玩？我归纳了几点：一，数学自身的特点——高度的抽象性。比如张兴华老师讲的《圆的认识》，他问学生圆有多少条半径？孩子说无数条。为什么是无数条呢？怎么证明？孩子说让铅笔细一点还可以再画。其实画半径，和到底是不是有无数条关系不是那么密切。为什么？你怎么知道圆上有无数个点？铅笔可以削到不能再细，但是到了不能再细了还是会有宽度，所以这个跟画半径没关系。我们只能用数学的办法让学生理解，张老师这一节课就达到了这一点。有孩子说圆上有无数个点，把圆心和这些点连起来就有无数条半径。其实这是一个逻辑推理，是用笔根本画不出来的。那圆上为什么会有无数个点呢？这就涉及到数学自身的特点——点没有大小，线无粗细，面无厚度，从这些基本的公理上再推出来的。其实数学是非常非常抽象的，那我们怎么办？那就靠想象。六年级的孩子基本会想象了，要培养学生的想象能力，让他知道点没有大小，线无粗细，一条线上是有无数个点的。但是分数之所以抽象，一方面涉及到概念的歧异性、多义性，另一方面就是单位“1”往往是多变的。所以分数其实是一个非常难理解的概念，西方人说一个人陷入困境，就形象地说是“掉进分数里”了。二，课标和教材。其实我们的教材改变了很多，最早叫“算数”，加入代数之后才叫“数学”，然后又加入概率统计，现在的几何也不是只计算周长面积了，而是培养空间观念。但是没有什么趣味性，所以自学还是很有难度，特别是对小学生。何况内容太多，我们的数学以前过于强调知识和技能，现在知识技能还是很多的，一节课除了讲授那么多的知识，培养孩子那么高的技能，根本没办法再去顾及其他。很多老师都说了孩子们基本上都学过了，特别是城市的孩子，那该教什么呢？其实我觉得一年级第一学期是最重要的，另一方面是培养孩子良好的习惯，把这两点作为重心，后面的讲授可能就比较容易。现在的教材要求太高，特别是理解、掌握、经历、体验、应用、创新，很多人呼吁把教材课标的难度再降低一点，但是降低的标准有时候也很难。比如初中欧式几何证明删去了很多，现在又恢复了很多，为什么？家长接受不了，老师也接受不了。改革迈的步子太大了也不行，大家都接受不了的话还要改回来，当然不是原封不动，必定是有所精简的。我之所以把应试教育划到主观因素里面，这不是某一个人的问题。在学校、在我们老师的头脑里面也不能说它不存在，就是单纯地追求分数，枯燥、机械的训练——教学缺乏艺术性。这些情况相对来说还是非常普遍的。

这是近期的一篇报道，一个孩子小丁当本学期的期末考试考了96分。班里共47人，满分13人，平均分98分，这说明他在平均分以下。孩子的家长说儿子的数学成绩连中等生都没达到，又接着想：这样下去，不是输在起跑线上了吗？现在和人家差4分没什么，要是高考差4分，那该让人落下多远距离啊！这不是应试教育是什么？如果这样苛刻地对待学生，学生能感兴趣吗？举一个挺典型的例子，很有意思，我们听听孩子得到的待遇：家长给儿子检查作业，有这样一道题，判断是不是直角。孩子量了量说只有88︒，不是直角。妈妈好气又好笑，指着直角符号说：“儿子，以后见到这样的情况，不用量，一定是直角。有直角符号，你能说它不是直角吗？”儿子说：“不是，只有90︒的角才是直角，它不是90︒，光有个符号就行了？”妈妈说：“对，有这符号就说明他是直角。”孩子不服就是不改，爸爸回来了：“你们吵什么啊？”儿子说：“这个角本来就不是直角，我妈非说见到这个符号就是直角，有这么不讲理的吗？”爸爸说：“公共厕所的门口明明写着“男”、“女”，你不承认，非要到里面看看才承认吗？”儿子哑口无言，乖乖地把题改了过来。所以对待孩子的态度一定要心细。为什么学生的问号越来越少、举手的积极性越来越低、想象力越来越差？这里有这方面的因素，当然我不是说所有的老师都有，但是我们还是有则改之无则加勉。比如像苏霍姆林斯基说的，如果没有足够深刻的学科知识，跟教师谈讲课方法、分析文艺作品的方法，是毫无帮助的。如果数学教师只能勉强对付当天要交的一段教材，那么这个班上的学生是出不了数学人才的。不仅出不了数学人才，课程也可能讲不到深入浅出，孩子不感兴趣，那就是失败的。所以老师的数学学科的知识其实是非常重要的，能够站稳脚跟，不随风漂不随风倒。现在你感觉到数学好玩了吗？还是只有三分之一。既然如此，我们就要想办法找到数学哪些地方是好玩的。刚才提到的中国学习者悖论，其实说的就是，有时候学习好的学生都不觉得数学好玩。如果老师上的数学课不是那么严密，而孩子就是喜欢数学，那我觉得你的数学教学真的是到家了。但做到这一点谈何容易！举几个例子，这是去年十一月份的几节课。第一个片段，经历一般到特殊，感受取值范围。用ｘ代表李明的岁数，用ｘ+5代表李勇的岁数。想一想，当李明1岁时李勇6岁？李明2岁时李勇就是7岁，有几种情况？学生说有无数种，似乎有道理。我们分析一下，当李明10岁时，李勇就是15岁；当李明100岁时，李勇就是105岁；李明1000岁，甚至10000岁，孩子都可以回答出李勇的岁数。但有的孩子说人不可能活到一千岁一万岁的。ｘ代表的年龄不可能有无数种，ｘ最多代表的是一百多岁。孩子很聪明，ｘ是自由的，它可以代表任何数，不过用它代表年龄就不能是任何数了。这说明ｘ可以任意取值，它是自由的，但是它代表年龄的时候，是有取值范围的。老师顺着孩子的思路，课堂就变得很有意思。第二个片段，还有一个人叫做李刚，他是x*2岁，老师问这三个人中谁最小。学生回答肯定是李明x岁最小，接下午是李勇ｘ+5岁，然后李刚ｘ*2岁。那最大的是谁呢？有的孩子说最大的是李刚；另一个孩子说不一定，有的时候李明大，有的时候李刚大。这道题还是有点难度的，需要分情况讨论。孩子汇报时分析：如果李明1岁，李勇就6岁，李刚就是2岁，李勇大,；如果李明6岁，李勇11岁，李刚就是12岁,李刚大；还有可能是一样大，如果李明5岁，李刚和李勇就一样大了。各种不同的情况就是分类讨论。最后老师总结，用字母表示数，让数学变得更有变化了，你们喜欢这种充满变化的数学吗？其实从算数到代数，最大的变化是什么？就是有变化，或者说有一定的取值范围。第三个片段，青蛙歌：一只青蛙一张嘴两只眼睛四条腿，两只青蛙两张嘴四只眼睛八条腿……经过调整,最后得到了2n和4n。这位老师又编一首歌，叫做小猫歌：几只小猫几张嘴几只眼睛几条腿？还有一首歌是同学歌：N只同学N张嘴？是不是发现了哪里错了，4ｎ条腿。有时候你顺着孩子的思路，让他自己犯错，然后再帮他纠正过来，印象会更深刻。老师还表演了一个魔术，引起学生的兴趣。最后老师的总结很重要，用字母表示数帮我们揭开了这个魔术的神秘面纱。这节课从孩子的思路出发，让学生不断争论，老师不断地向学生提出来那些有意思的问题，魔术和青蛙歌这些形式也深受孩子喜欢，从形式到内容，这位老师做得还是非常好。第四个片段，低年级教学减法的初步认识。停车场原来有五辆车，开走了两辆，还剩几辆？学生顺利列出算式，五减二等于三。然后让学生用学具自己创造一个用减法解决的例子，并列式解决。有一个女孩这么写：我拿了五个小水果，送给同桌两个，我还剩几个水果？算式是五减二等于三。男孩说怎么还是五减二等于三？和例题重复了。女孩说没重复，这次不是汽车，是水果。大部分学生同意男孩的观点，但是觉得女孩说得也有道理，辩论不出结果。遇到这样的冲突，应该怎么样处理呢？这位老师的处理方法是先问你能再想一件事情，也用五减二等于三来表示吗？孩子们编出了很多情景，如教室有五个小朋友，走了两个还剩几个？草地上有五朵小花，摘走了两朵还有几朵？有五支铅笔，借给同学两只，我还有几只？孩子们马上意识到这样的事情说都说不完。老师继续捅破窗户纸，有的事情发生在停车场里，有的事情发生在教室里，为什么完全不一样的事却能用同一个算式表示呢？学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个算式所表示的意思都是一样的。老师趁热打铁，算式三加六等于九，可以表示的事情多不多？数字八表示的多不多？数和算式都太神奇了，能表示那么多不同的事物，抽象有抽象的好处。数学之所以应用得那么广泛，就是它有高度的抽象性。

怎么样才能使数学好玩？我做了以下思考。首先我们来看谈祥柏老师的一段话：“要让学生感兴趣，有两个因素很重要，一个是师生感情，我没有架子，学生都喜欢；另一个是要靠学科本身的魅力来吸引学生。”其实我觉得一方面是师生感情，另一方面是学科魅力，中间呈现的形式也很重要。小学生依赖性比较强，容易爱屋及乌，这是肯定的。有一项调查好老师的十条标准。比如不偏向女孩子、不拖堂、去哪春游先问问学生、能跟学生聊天、犯错误请家长、做了好事也要通知家长、知道学生喜欢什么、能控制自己的情绪。总之老师要爱学生是最基本的。“唤醒学生的最好方法是向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗、那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。”这是加德纳说的一段话，这里面包含了一些形式活泼的，能让学生喜欢的行式。比如数学游戏有很多24点、明七暗七、幻方等。幻方是什么？幻方是把数字1-9填到九宫格里面。九宫格是三阶幻方。如果是16个数字的话那就是四阶幻方。我在教初中数学的时候，就给学生出过这样的题，四阶幻方、五阶幻方能填出来吗？其实是很有意思，而且入门容易难度却分了很多级。我们的编辑部主任晚上回家就从网上下载几种题做一做。如电脑游戏、七巧板、魔方、数独等。数独其实就是九个九宫格放在一起，然后横竖都必须是1-9，而且每一个九宫格里面也都必须是1-9。折飞机也进入了教材，而且变成了主流教材。如果这一堂课让孩子折飞机的话，估计会出现飞机满天飞。能接受也行。我们可以让孩子们去操场上，扔飞机，看谁的飞机在空中滞留的时间最长，飞的时间最长。做这样的活动也不是没有意思的，把数据统计下来后可以再让学生自己探究。这样是不是更有意思了？就像曹老师说的，有的时候老师不一定要有很高的技能，只要你有某一节课甚至某一点能让孩子记住你的话，他可能就会因为喜欢你而喜欢上数学。有很好玩的数学游戏，形式活泼多样，如数学魔术、谜语、相声、笑话、对联，就不一一举例了，主要还是靠老师去收集。东北师大在嘉兴有一所实验学校，孔凡哲教授在那当校长，去年他们举办了快乐数学节。有很多相关的数学游戏，有一些是规定动作，而有一些是自选动作。学生可以随意参加，得到不同的分数，都有一定的规则。我觉得非常有意思。

再谈谈回文数。回文数有一个猜想：任意一个自然数不包括零，与它的倒序相加，得到的和是回文数。回文数是什么意思，如121、323，即中间对称的那些数。若是所得的和不是回文数，就在于这个和倒序数相加，经过有限次步骤后，必定得到一个回文数。比如，68加上86，也就是加上它的反序数，得到154，再把451和154相加，逐步地加下去，就能得到一个回文数。但是这仅仅可能是一个猜想，有些数可能就得不到。比如196就得不到回文数，因为它仅仅就是一个猜想。再看这个例子，“客上天然居乘以4得到居然天上客”，这是古代的一个名联，把它融到算式里，像这样的式子很多。这个算式比较特殊的一点在于它只有一个唯一的答案。回文数还有这样类似的应用——回环诗。中间的那边开始，“赏花归去马如飞，去马如飞酒力微，酒力微微醒时已暮，醒时已暮赏花归。”这样一直算下去会得到什么呢？最后结果总是得到一个421。网络上有很多这样有意思的题目。

另外还有数学文化综合与实践。虽然现在仍然是应试教育，还是希望老师能在综合与实践这方面多一些关注。综合与实践，就像我刚才说的折飞机，领着孩子动手做一做，统计统计，最后探讨探讨原因，这是个非常有意思的经历。这样做，孩子们对数学的感悟会更深刻。很早我就在思考这样一个问题，为什么我们的学生就不能做研究？这是一个关于创新的问题，创新不是说光做一些难题怪题，这方面老师一定要把握。数学的阅读，老师们也应该尝试着做一做，比如李毓佩写的《爱克斯探长》、《奇妙的数学王国》都不错。当然这里有一个选择的问题，有些适合学生，读有些不适合学生读。《篮球运动中的角度》，这是刘坚教授最近翻译的数学阅读丛书。另一本书《海洋地图》，这两本很有意思，可以让学生参考。有些学校会安排“大家玩数学”的活动，这样做很不错，那能否开设数学阅读课、数学欣赏课？最重要的还是数学自身的魅力。我们现在讲情景——数学化——应用，我觉得最关键的还是抽象话化和数量化。前年央视有一个访谈类节目叫做“你幸福吗”，出示了各种指标，收入公平也划入了指标类。，恩格尔系数都可以计算出来。虽然这些计算非常复杂，但是也介绍给学生。又如，如今污染比较严重，国际上出现一些通行的方法，把它抽象化，抽象成一个数学问题，然后进行替代。再比如，数学模型的建立。加法本身就是一种模型，而乘法的模型有四种情况，包括几个几、倍、面积、组合等。总之三大特性——高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用型。数学的这三大特点，我们在教学中如何体现？希望老师们多多思考。

最后我们探讨一个有趣的例子——芝诺悖论。芝诺悖论提出的情况是这样的：有一个神行太保跑得非常快，他的速度是乌龟的十倍。乌龟在前面一千米处开始跑，他在后面追上乌龟。悖论说的就是这个问题一直在细分，但是一直都追不上。大家回去思考思考。还有谢尔宾斯基三角形，它的周长是无限的，但是它的面积是趋于零的。这些就不多说了，希望咱们共同努力，实现亲近数学、玩转数学、迷上数学、爱上数学，最起码是不恨数学。

作者：殷现宾（《小学教学》副主编）