我要讲的若干热点问题其实大家都在想都在研究、实践，如果我同大家交流的和其他老师讲的有些区别的话，最大的不同在于屏幕左边的这八个字了。

简单的说，从孔夫子到一直到陶行知，所有研究教育理论的人本身就是教育实践家，所以在那漫长的年月，理论与实践是水乳交融不分家的。近一百多年来，理论的不断升华，出现了分工，一部分研究者就走进了书斋，于是数学教育特别是小学数学教育的理论与实践出现了断层。正是因为断层的存在，这十多年来我们的实践取得了长足的进步。但也存在这样那样的误区，需要我们认知，需要我们走出来，今天的交流就从这个视角切入，我细分成八个话题。

有效教学。历来的教育都很重视有效性。孔子关于教育的论述被他的学生记录在《论语》当中，其中有一句：学而时习之。学习这个词由此而来。从中我们看到原来古人认为学主要是两大环节。第一个环节是学，第二环节就是习。习包括练习、温习、实习，也就是实践。这两个字告诉我们什么呢？“学”的宝盖头下面一个“子”，那么什么叫做学呢？屋子里的一个男孩子，两只手中间捧着一捆竹子编制的书，这叫学。它的内涵是什么，其实告诉了我们“学”的一条主要途径——书中学。再看“习”。什么意思？小鸟离开鸟巢练习飞翔，这叫习。告诉我们学习的第二条重要途径——做中学。试想，小鸟练习飞翔，鸟爸鸟妈最多示范，能手牵着手带着他们飞吗？还是全靠小鸟自己震动翅膀，别人是无法替代的。可能很少有人解读这两个字所蕴含的教育理念，经一解读，我们会觉得怎么样呢？最近这几年我们之所以重提有效性问题 ，在我看来是理论与实践层面都出现了误区。打个不恰当的比方，今年春节，数以十万计的人跑到日本旅游抢购马桶盖。买回来一看，发现是中国的。我们这几十年大量地吸收了国外的东西，回过头来一看，大多课改理念早在我们几千年的文化中就存在着最初的朴素形态。在我看来，返璞归真是必然的。

第二个话题——双基教学。直到我们数学课程标准修改以后，2011年底颁布了新的版本，明确将我们这门课程的总目标确立为“四基”。前“两基”称为“双基”，从此争论画上了句号。我们这门课程的目标“双基”再加与时俱进的“两基”——数学的基本思想和基本活动经验。讲双基教学的国际使用，我们看看国外是怎么评价中国数学学科的双基教学的。这方面上海最有发言权，自从我们两次参加国际经济合作组织主持的国际学生评价项目（PISA测试）以后，数学、科学、阅读这三科都是全球第一。第一次排第一时就引来了各国的学者、教授来上海试图寻找这背后的秘密武器。我接待了好几批，我说这其实没有秘密，一切都是公开的，只是你们不知道。有位教授说似乎中国对外国了解多，他们对我们了解少，为什么会信息不对称？我解释那是因为中国有很多翻译人才，而国外又有多少翻译中文？其实他们没有教就输给我们了，输得非常彻底。知道什么原因吗？西方发达国家的小学老师都是包班的。以美国为例，美国99%以上的老师要同时教好几门课，他们研究最多的第一是英语，第二是阅读，接下去是数学、社会、科学。也就是说对数学这门学科的钻研最多并列第三。上课全靠教参，没有教案的，因此他们的教参中间是教材，四周是教学指示。现在我们的教参都学他们的，有必要吗？你敢拿着教参去上课吗？我们是写好教案去上课的，我们研究每一节课的教材，每一节课的教法，每一节课我们都要补充一些因班至宜的练习，所以我说我们赢在起跑线上，你们没有比就彻底输给我们了。特别是英国人，彻底服了我们，他们的教育大臣到上海签了两个协议，第一个协议需要我们派几十名懂英语的数学老师到英国各地当种子教师。第一批58名老师已经回来了，去了的都是清一色的年轻小姑娘，小学老师中很少男孩子。他们刚刚大学毕业，英语经过强化训练勉强可以。那么第二份协议呢，他们每年派老师到中国的学校来挂证，跟我们学怎么教数学。为什么他们如此谦虚，所有的费用都由他们政府买单，除了从我们这了解我们成绩好背后的一些原因外，还到我们课堂上来观察。他们原以为中国孩子数学成绩好主要靠死记硬背，最典型的是乘法口诀。听了课才知道孩子们背的口诀是自己找规律自己编的，因此外国人总结：这是中国数学基础知识教学基本经验训练最好的策略——理解加记忆。难道不是吗？我们一直强调在理解的基础上掌握，在理解的基础上记忆。外国人的问题在与是不是挑了一所最好的学校、一位最好的老师，其他学校其他教师会不会也这样。教乘法口诀这种课绝对是拿得出手的，一定会让他们惊讶。当然我们在教“七”的乘法口诀时也做了改变，不再是从头到尾一七得七|、二七十四……我们分析一下背乘法口诀的困难何在，学到“七”，一七，二七，三七还要背吗？记不住的是什么？积。因此我们采用默写积这种方式强化记忆。默写的过程其实是一种眼睛看、嘴里念、手上写、脑子里想，多种感官综合活动的过程，所以记忆效力大大提高。到下课，每个孩子都充满信心走出教室，因为回家不用再背了，课堂上都背出来了。有些老师会想我们这么好的策略靠外国人来总结，中国的学者在干什么？多数学者在翻译国外著述的同时也有个别在潜心研究。

正确对待国外的东西，不是月亮都是国外的圆，我们也有自己的强项，当然我们的数学教育也有弱点，比如创新不足。多年前，法国的几位学者来交流分数乘除法计算法则的算理，他们说在国内就看了中国的数学教材，非常惊讶的是分数乘法，为什么分子相乘、分母相乘？为什么先约分再计算？这些都能讲出道理，特别不可思议的是分数除法居然也能讲算理。英国老师讲不清楚，讲了学生也不懂，那么我们思考一下，我们的优势在那里？可能老师们首先想到的是几何直观画图、调动生活经验，这两项全世界都不缺少。法国人研究发现，他们的弱点在于单位“1”，把一个整体看作单位“1”，还有负数单位，这两个概念没有我们那么强调，造成了后面算理的不好解释。不能说他们研究不准确，只能说知其一不知其二。其二是什么？18*2/3，18份当中的一份是多少，再乘2，原来计算过程是18的2/3是多少就是18除以3分母再乘2分子。这是分数乘法。分数除法呢？颠倒相乘，同样能约分的先约分，这个9什么意思，不就是18除以2乘以3吗，都是先除后乘，为什么会得出这个？原来是18除以2/3这个算式的含义就是已知一个数的2/3是18。3份当中的2份是18。那么显然先求出来1份了，2份是18，1份是9，3份是27。因此无论是分数乘法还是分数除法，其实真正奠定算理基础的，除了概念以外还有非常重要的被我们扔掉的十年的所谓典型应用题，这次又回归了。先求一份再求几份，分数乘法是这样的思路，除法还是这样的思路。再看一个例子，被减数中间有0的连续退位减。外国老师觉得这只能靠学生自己去悟。我们则有很多对策，根据不同学生的实际情况，对于基础差的学生个位减3减5不够减向十位借，十位不够向百位借。那么我们知道4上面标了小黑点就变成了3，0上面标上小黑点变成了几呢？9。这是难点，怎么变成9了？有些老师想了一个办法，编了一个歌诀方便学生记忆：0上有点记作9。这是对一部分学习困难的学生，多数学生我们的对策是什么呢？调动生活经验揭示算理。个位3不够要向十位借，十位还不够要向百位借，百位上退1两个数位都要用，怎么处理？ 老师们想，百位上的“1”相当于100。生活中什么东西以一当百，1元人民币等于100分。百位上拿出“1”相当于1元，退1做10变成10个1角，是不是10个1角都留在十位上了 ，个位也要，所以拿出一个1角换成10个1分，为什么一个是9，一个是10就理解了。有了这样直观的支撑，孩子们抽象地算也能讲了，百位上退一做十，十个十留下九个十，拿出一个十变成十个一。英国教授评价这两种对策都妙极了。这就是我们“双基”教学享国际声誉的一些花絮。

我们有着大量这样的经验，在座的各位如果你的英语口语过关，你可以到任何一个国家都是师傅。谈一谈自主学习的争论与反思。我们没有争论之处，看看国外，比如美国，有一份时报刊登过一篇文章说数学战争再次爆发，就是关于数学课改展开论战。数学课程改革有十大神话。其中第一个神话就是只有学生自主学习，才是真正的学习。我们不是天天在讲自主学习吗？怎么就成神话了？其实仔细想想，数学学科自主学习主要靠老师进行预设引导，不是完全放手独立让学生自学。独立自主学习可以，但不是每一节课，每个内容都适合，如果不了解这一点，我们有时就会陷入茫然。举个例子，讲的是什么，交集。有几个同学参加跳绳，几个同学参加踢毽子，其中有人两个项目都参加了。这样的内容教学，老师最纠结的是什么呢？学生想不到画两个圈圈。我非常佩服有些老师，学生想不到这个圈圈，我们应该铺垫，提前渗透，他们从什么时候开始就渗透圈圈呢？20以内数的认识，让学生圈10，这是第一次出现圈。其实学生想不到画圈非常自然，因为实践告诉我们儿童最抽象的经验在现阶段是用线段表示数量，中间这一段是两项都参加的同学，这是个别同学抽象的表示，多数同学就画了几个图形，出现了三种颜色，中间灰的是什么意思，即黑又白，两边都有，同时具备两项。韦恩之前那么多数学家都没有想到这样的方法，不能我们每个同学在课堂上都像韦恩那么伟大。老师提醒学生两个圈，他们能够自己生成这交集的图已经非常了不起了。

课堂是当前的一个热点。翻转课堂什么意思呢，请看翻译过来的两幅画。第一幅画：原来的课堂是白天老师讲课，晚上回家学生自己做作业完成练习。那么现在所谓的翻转课堂其实就是白天黑夜颠倒。晚上在家里上课，听老师讲课。孩子睡在床上听课。可以把上课视频下载下来，随时随地听讲，没听懂的地方还可以再看一遍。白天上课，变成了晚上在家里听课，那么白天干什么？老师不再站在讲台上了，而是走到了学生中间，真正成了学生的伙伴，参与讨论。谁想到这么出奇的东西？原来源于美国一所条件很差的高中——林地公园高中，那里交通不太方便，学校有校车，因为学生住得比较分散。如果没赶上校车的话，那么就会迟到。一迟到就缺课，怎么办呢?2007年学校的两位化学老师想了一个办法。他们把自己讲课的录像和PPT整合在一起，上传到网络，本意是帮助缺课的学生补课。没想到渐渐地学生在家看视频听讲,省出课堂时间完成作业，并为做作业有困难的学生提供帮助、办法。广受欢迎。目前这两位化学老师发起的这种方式已经传到世界各地，主要受众在中国。怎么解释我这个反转课堂不是在线视频？反转课堂除了教学视频，还有面对面的互动，白天还是面对面，因此也算是师生一起发生有意义的学习活动。不是视频取代老师，不是在线课程，不是学生无序学习，不是让整个班的学生都盯着电脑屏幕，不是学生孤立地学习。这是一种手段，增进师生的互动和个性化接触，是让学生对自己学习负责的环境。网上看老师听老师上课全靠自己，哪些要看第二遍，哪些需要忽略，全由你自己。所以这是让学生对自己的学习负责的环境，老师成了学生身边的教练，是混合了直接讲解与构建主义的学习，是学生课堂缺课，但不被甩在后面的教学，是课堂教学内容的永久存档，每一节课的视频都在网上，用于复习或补课。这是所有学生都可以积极学习的课堂，所有学生都得到发展的个性化教育。我们看看这种方式适合小学吗？可能中学、高中是适合的，小学阶段随着年级的升高可以逐步尝试，但不是所有的人都是适合的。

讲一讲反转课堂的本土实践。美国两个化学老师歪打正着发明了反转课堂。我们中国也有。如果不拘泥于利用网络，不拘泥于把老师的讲课录下来做成微视频的话，那么反转课堂作为一种变教学为学教的反转课堂教学模式在我国其实已有多年的实践。“杜浪口”模式本来有一个精彩的录像片，他们白天三面都是黑板，老师基本不讲课都是学生在表演，晚上老师指导学生自学。是不是一种反转？上海静安区教育学院附属学校“后茶馆”模式，他的特点也是先学后教，但是不拘一格。那么我们小学数学早就有“课前预习”模式，这其实也是一种反转，局部的反转，准反转。先学后教，先自习然后课堂上再讲。根据自学提纲看出课上用导学案教学，导学案现在也很流行。去年全国小学数学教学年会在山东召开，青岛的老师介绍了课前自学，课上交流深化认识、巩固。我们发现通过课前自学，多数学生可以做到看懂会做，但是否真正理解？还需要靠课堂上讲。特别是不同学生的不同想法，课堂上经过交流才能分享。下面介绍的是我们区新进实践的一种模式叫做预习研讨模式，课上交流释疑探究，我们的特点课前、课中都使用了微视频。目的拓展学习空间，提升学习水平。下面介绍一个经典的案例——圆的认识。怎么认识圆？概念我们不讲的，课前看书自学。什么是圆心，什么是半径，什么是直径，各有什么特点作用，用什么字母根本不需要老师讲，书上写得清清楚楚。第二项反转到课堂。课前自学的什么？课前让学生自己去练习画圆。画得最多的画了35个圆。为什么要让学生在家里练习画圆而不是在课堂上练习画圆呢？经分析，现在的孩子脑袋比过去的孩子灵活，但动手能力实在差了点。有些孩子不会使用圆规。如果你在课堂上让每一个孩子都熟练自主地使用圆规，会很浪费时间。于是我们把这一项基本技能练习反转到课前，在家里比较放松地完成。我们不是盲目地让孩子自己去摸索怎么画圆？而是老师制作了一个画圆的微视频，定点定长旋转一周。那课上干什么？交流释疑，汇报自学成果。圆心是什么？用什么字母表示？半径是什么样的线段？用什么字母表示？学生都能说上来，那么老师提出问题，你们知道圆的本质的特点吗？学生各说各的，有的说没有角，说没有角的同学多了是不是？接着继续探究，每个小组选择一种工具画圆。一是绳子，一头有铅笔，另一头是木钉。二是木条，一头是木钉，另一头有个洞，里面隐藏了一只铅笔。尝试后交流为什么有些同学画不圆。用绳子的小组汇报因为绳子一不小心会松掉，半径就不一样长了。用木条的小组解释说图钉不小心动了，定点出了问题。这就是最本质的两点。那么定点定长有什么作用呢？苏教版也采用了这两个。奥运五环为什么构成了一个美丽的图案？因为圆心使得这五个圆处在不同的位置上。那么这五个圆圆心同一点，为什么有大有小，那是半径决定的。既然这个定点定长这么重要，中国古人是怎么概括的？一中同长。“一”是什么意思？一个圆心，一个中心点，同长呢？所有的半径都相等，不需要用尺来量，推理就可以。老师只是通过课件演示让学生进一步巩固，圆确实有无数条半径。剩下的时间就让学生探究。探究什么？第一，除了用圆规画圆，数学、体育、美术老师，还能怎样画圆？数学老师用一根绳子，一头图钉一头手臂，绕圈画圆。操场不是塑胶就是水泥地无法钉钉子。体育老师画圆用绳子，同学们帮忙踩着它定圆心。共同点是什么？定点，定长，一中同长 。那么画圆是不是一定要一中同长？美术老师怎么画，他没有定点，就是把所有的角慢慢地修掉。他不根据一中同长，但是圆一定是符合一中同长这个规律的，否则就不是圆。那么这种画圆的方式叫什么？圆出于方。第二个问题更精彩。车轮为什么是圆的不是方的？学生说方的车轮怎么开得动。方的车轮真的就开不动吗？接下去就讨论。方的车轮为什么颠簸？正方形的中心到边上的长短不一样。所以正方形中心在滚动的过程中是上下波动的。正方形车轮在滚动过程中，它的中心点形成了一个波浪线。那么为什么圆的车轮不会颠簸呢？那么有了已有知识的学生在这一节课预习本课讨论的知识学生也能解释了。因为同圆半径相等也就是圆心到圆上任意一点的线段相等，所以圆的行驶过程中圆心的轨迹是一条直线。圆的车轮之所以不颠簸，是因为路面平整，如果路面坑坑洼洼照样很颠簸。老师就来启发学生异想天开，有什么办法可以使方的车轮滚动起来不颠簸，我们试一下，每个环节都有那么几个学生想到，把路面做成波浪线，将波浪线的曲线向下平移变成路面，方的车轮在上面开就不会颠簸了。有的同学将信将疑，我们再来做一个演示，这时学生的想法是对的。上次在重庆的学校发现他们的科技生活有一特殊的玩具——方轮自行车，小女孩在波浪形的轨道上骑。有一种教具很特殊。它一边波浪形的，一边平的，请你设计一辆车，使这辆车在这样的特殊路面上平稳行驶。学生制作了一边两个方轮，另一边两个圆轮的车。这辆特殊的车放在那样的特说路面，轻轻一推就很平稳地往下滚动了。这节课学生一辈子都记得。这就是我们的发展课堂，目的：拓展学习空间，提升学习水平。所有的内容都敢这么干吗？明显不行。我们发现一个学期研讨两个课题就差不多了，因为，不是所有的课题都能够有一些探究性的东西。反转课堂的特点是课前、课中都用到了“微课”。什么是微课？很简单，就是用于教与学的微视频。有些教研员说“微课”不就是PPT加声音加影视片段吗？过去预习看课本，现在预习看视频。还有的说“微课”是变相的“满堂灌”。我的观点是兼听则明，不是听一面的。我和一位美籍的华裔教授交流，问：反转课堂在美国热吗？对方回答我：很少有老师知道反转课堂，实践者更少。“微视频”呢？好像早就有教师在用，但很少有人专门研究，更不会有团体去组织比赛。通过大量的实践，是自己制作还是简述下载，答案无疑是两者结合。目前文科优于理科，而且以后者为主。比如英语课动画片用得比我们好，很多英语单词看了动画片已经学会了，听也听会了。还有语文课名家诵读视频、风光片。我们没有理由拒绝、漠视这些资源。不管是探究学习、自主学习，还是反转课堂、微视频，所谓的微课，要使这些形式，手段真正有效，离不开两个读懂。我们听听看我国的理论工作者是怎么解读的。上海华东师范大学有一个新基础教育研究所，他们的教授长期坚持深入第一线听课，有一位他们的领军人物告诉我经过十年的观察发现能够深入课改、要求课堂教学一定有效的老师都具备“两种智慧”——解读文本的智慧，解读学生的智慧。我一听笑起来，并告诉他这在上个世纪60年代我们已经总结了。老师用自己最朴素的语言总结的“两个吃透”——吃透教材，吃透学生。这是中国实践工作者和理论工作者的两种话语气息的对这的表述。再看美国人，舒尔曼教授他曾经担任过美国教育学会的会长，他发现美国的老师教出的学生成绩不好，主要是对自己的学科知识理解得不够。特别是数学老师，自己都不理解，一知半解，怎么教好学生？进一步研究他发现老师要具备很多知识，最重要的是学科教学知识，简称PCK。根据他的分类画了一个金字塔，金字塔的顶端是PCK。基础是什么，这是教师不可或缺的两根支柱。那么我们看外国人这么说，中国人那么说，其实指向统一。我们过去说的“两个吃透”，现在说的“两个读懂”。我国的理论工作者称“两种智慧”，美国的理论工作者称为“两大基础”。由此多方互证，结论统一，我们可以充满自信地说这是教学的基本规律，离开了“两个吃透”，或“两个读懂”，完善教学是不现实的。从有效教学开始到有效教学结束，有效教学的秘诀是什么？两种解读，也就是吃透与我们的教学经验、智慧有机融合，厚积薄发。两个公式：吃透教材=学科知识+解读文本的智慧；吃透学生=学生知识+解读学生的智慧。把中外研究的不同话语系统综合在一起了。智慧是由经验凝练而成的。中国古人说研究有三种境界，最初的看山是山，看水是水。第二境界看山不是山，看水不是水。最高境界看山仍是山，看水仍是水。如果做到了这一点，那么我们就可以在纷繁复杂的教育术语面前、在眼花缭乱的教学口号面前始终敢说，说什么，借用赵本山的一句话，不要以为你穿了马甲我就不认识你了。

作者：曹培英（上海市静安区教育学院，著名特级教师）