各位老师为了更好地专业成长，更好地为了孩子的未来发展而努力提升自己，这种精神实在令人感动。今天我的报告内容是量与测量的实质与学生的学习基础，把这个领域的内容以及学生已有的基础性东西和大家做一次交流。
大家知道量和测量，不仅仅是我们小学数学的基本内容，其实它也是日常生活最经常感知，最经常见的内容。比如说，大家一看到这个，马上就知道是谁了？谁统一了度量衡。秦始皇是吧？大家想，他的贡献是非常大的，因为如果没有他的统一的话，这个长度就是度，量是什么？容积。衡是质量，或者说重量。如果没有他统一这些单位，我想整个历史的进程的发展可能会改变，所以量和测量在我们日常生活中都是特别重要的。还有一点，大家都知道，度的单位如果不统一的话，真的是没有办法交流和深入的研究。我就加了一个图片啊，这是一个单位，原来。那么还曾经有过这样一个单位，大家知道“不积硅步，无以至千里”。那“硅”到底是指什么？“步”到底是指什么，就是指这个。那个时候长度的单位是不统一的，后来在秦始皇的统治下，他把整个全国统一起来。这对整个的发展意义是非常大的，这里我们不展开，大家了解一下。
量和测量真的不仅仅是生活中所需，方方面面。那么在科学上，凯尔文爵士他也说过这样的话，他说如果你能测量你所说的事物并且把它用数值表示出来，那么你了解了该事物；如果你要是做不到这一点，表示你对该事物并不太了解，不管事物是什么，在思想上你已无法走上科学的舞台。其实刚才浙江大学的罗老师也谈过这个问题，很多的科学如果没有数学的影子，不能加以数学化的话，很难叫科学。实际上在这个量这个领域中，如果你没法去测量，无法去度量的话，很多科学也无法称之为科学的。所以，这些内容从科学的角度来说，也是非常重要的。那么，再从我们老师的日常教学中，我想这样的一些问题和困惑可能会更多。比如说老师们经常愁的就是，孩子的这个估计能力非常大。估测，有没有这种感觉？其实一个重要的问题呢就是，这个单位的观念没有建立起来。那有的老师又说周长面积容易混？这也是老师最常说的，但是到底混在哪儿？甚至包括我们在学周长面积、体积的时候，那个定义。比如说什么是面积？物体表面和封闭图形的大小，叫面积；封闭图形的一周的长度叫周长；物体所占空间的大小叫体积。那是不是孩子会说了就是理解了，等等一系列的问题，我想就不一一展开。包括有的老师也会问，说我们的生活中常见的量不用“分数”表示？我不知道大家有没有思考这些问题，我们不常用分数表示量，很少。可能至多也就是涉及到时间的时候，比如说1/3小时，2/3小时，没问题吧？我们在说时间的时候，如果谁说0.5小时等于多少分钟？反倒怎么样，是不是比较容易出错啊？一说0.5小时就以为是50分钟。所以很多量并不用分数表示，那又是为什么呢？其实它的背后有很多内容，我想大家可能也都希望去逐一地了解，这是在我们国家不太用分数表示。大家如果要是走出国门，到美国、欧洲的一些国家。这是我在美国高速公路上，我就在车上就拍了几张，大家能看出来。你看它的路标，我们的路标，高速公路上的路标，有用分数表示去哪儿，还有多少米或者多少千米的吗？有这么写的吗？是不是没有。一般都是500米、300米，或者是还有多少千米，如果远一点的话。肯定都是用整数或者说用自然数，或小数，小数也不太常见。但是你看他们就用分数。大家想，其实这背后都是有学问的。因为我这里没有给大家写出单位，其实它的单位其实是MILE(英里)。那它如果要是用小数表示，大家想想，这个观念的建立容易吗？1英里=1609.344米，大家就知道，为什么这个时候它愿意用分数而不愿意用小数，理解了吧？包括时间。那就是因为我们这些量之间的进率和我们日常用的数之间的进率不匹配，所以用分数表示我们在中国常见的量不方便，不容易感知大小。但是你要是换成进率不是十进的，你再用小数表示反倒麻烦。其实你要是稍微去观察的话，会发现量真的无处不在。这是我在美国宾馆里称东西的时候，发现秤的刻度。我们的刻度一般都是平均分10份，平均分10份。大家看它的秤是平均分了几份？4份。大家肯定也觉得奇怪。包括他们的钱，它会说1/4dollar，专门会分成1/4dollar的硬币，1/2dollar的硬币。咱们有1/2，比如说5角，是不是1/2元？我想这些量无处不在，但是同时它也给我们带来了很多的困惑。所以整个这些内容的背后，我想都需要我们去把量的测量的一些实质的东西有一个认识和了解，所以我主要就带着这些问题和困惑，概要地说两个方面的内容。一个就是度量的实质与结构，一个就是学生在学习测量这个单元。因为量和测量在小学阶段内容是非常多的，我说的这个单元是大单元，从二年级学长度到六年级学体积这些大单元。孩子的一些认知基础与困难，概要地说一下。
第一个方面，我想站在一个更高的、更大的背景来说。量可以分为两大类，因为我们要整体把握，我先把这个大结构做一个交流。一类是（离散）不连续的量，一类是连续的量。这是什么意思？那么这个不连续的量就是有最小的技术单位是1的量，我们所说的个数问题。比如说现在我们在座的一共有多少人，我们在数的时候，其实这个时候在数数的时候是不是也在测量？就是以1为单位。以1个人为单位，我们一共有多少个人就是有多少个，不会出现1/2个，也不会出现1/4个，所以这样的量我们是要数单位，其实就是以1为单位，数出1的个数，就是我们这个量的大小；还有一类量，现实中叫连续的量。这一类量是特别多的，也是孩子在认识这个世界的时候最容易认识的。那么连续的量中，第一个量就是长度。大家可能会想，什么叫连续的量？通俗地说，就是你在测量这个量的时候没有最小的、更准的单位，或者说这个量可以无限地被分割下去。比如说长度，我们这个桌子有多长，如果要是用米作单位，大家想想，整米数肯定不够，是不是要把这个剩下的，要把这个1米平均分，产生更小的单位再去量，哪怕就是用毫米做单位。大家想想，真的能把这个桌子非常精准地量出来吗？是不是也不行？所以你还可以把毫米再继续分割、分割、分割。就是这个意思。所以现实中这个连续的量其实更多，长度、面积、体积、角度、时间、质量，大家想想，我们所接触的这些量是不是都是连续的量？所以在连续的量中最基本的就是长度。那不管是离散的还是连续的量，它们都有一个共同的特征，它们的大小其实就是单位的个数。那么对于离散的量用什么数来刻画它呢？用自然数，用自然数来刻画它。那对于像刚才说，像长度，这样的量，那我们用什么来表示它的大小呢？应该用什么？按说是不是应该用分数，因为不够了，一个单位太大，我就要把单位平均分，产生更小的单位去量。最朴素的平均分就是2分，所以1/2应该是很朴素的。但是大家也知道它背后的内涵非常多，由于分数它既不是十进制的，也不是未值制的，所以它在表示量的时候不容易感知它的大小，所以理论上应该用分数来表示这个连续量的大小，而现实中我们都是用有限小数，就是刚才我说的。尤其是咱们国家，是不是大多数的量都是用有限小数表示？比如说，谁见过一本书24又3/4元？绝不会见，是吧。但是就像刚才说，外国在表示长度的时候它为什么就没用小数却用分数了？大家知道，是不是就是因为它们那个量的体系的进制不是十进的。那这些通起来才产生了数，更抽象，就抽象出了数，所以数和量这两件事在我们整个数学中是最重要的。对于小学生来说，尤其要考虑到小孩子的学习特点、认知特点，我们学习数的时候基本上都是从什么入手的？从量，基本上是从量。比如说小数的初步认识，是从什么开始学的？是不是人民币啊，钱也是一个量啊，这个系统。当然也有的是从米质系统，米、分米、厘米等等。只不过就是分数有点麻烦，因为分数既可以表示量，也可以表示率。所以，分数的学习一般的教材导入的时候它也是量，分数初步认识怎么引入？4个苹果分给两个人，是不是能分？1个苹果分给两个人，怎么分？不能分，或者说没有数可以表示了，所以需要产生新的数，那么就用1/2。这个时候1/2是不是也表示量？1/2个。所以，这个背后其实它们是密切相关的。我把这些稍微做了一个演示文稿，再给大家看一下，数和量真的是通起来的，尤其是数的产生就是来源于量，来源于现实。我们最朴素的就是以1为单位，这不要问为什么，这是上帝创造的。就是以1为单位去数，刻画这样的量我们把它叫离散的量，用自然数来刻画；这边就是用分数来刻画。对于自然数这边，在我们整个小学阶段是不是都是先学的呀？最开始学都要先学自然数，因为它是上帝创造最本原最朴素的，所以自然数它就有最小的计数单位，是1。有没有最大的计数单位？没有。十个一聚为一个十；十个十聚为一个百，这是不是就有了进率？进率问题，所以抽象出来的叫数的计数单位，它们之间有一个进率。那再看这一边，在刻画或者说在测量连续的量的时候，1这个单位太大了，量不下去了，我就需要把1平均分，产生更小的单位，这个时候最朴素的是平均分两份。所以，第一个单位应该是二分之一，但是为了和这边对应起来，我们又创造了新的数——小数，所以从数学发展史上来说是先有分数后有小数。尤其是小数，全都是人创造的，全都是人造的玩意儿。用科伦内科尔的话，自然数是上帝创造的，这边这些数都是人造的玩意，所以后来才有了十分之一，在刻画连续的量的时候我就要用小数，所以由于连续量的特征是无限可分割，所以导致小数也有很多很美好的特征，它有最大计数单位，是几？比如小数的最大计数单位，是十分之一，也就是0.1，要是分数，就是二分之一，它有没有最小的计数单位？是没有最小的。大家看一下，我就简单地画了一下这个表格，你们觉不觉得神奇？这边就是以1为分界限，往左是聚的过程，聚合的聚，十个一聚、十个一聚，越来越大；往右是分的过程，平均分，越分越小。那在测量的时候会怎么样？量得就越来越准，正好以1为对称中心，把自然数和小数至少在单位上建立了一个对称关系。所以你就会发现数和量是分不开的，我们所学的这些抽象的数都是来源于现实，为了描述这些量的大小，为了描述刻画这些的大小。这是一个整体的结构。连续的量在我们的课程标准中，其实它是分两种情况呈现的，不知道大家是否读过，现在是黄皮的课标，2011版，原来是蓝皮的。蓝色皮的课程标准实验稿的时候，常见的量和测量没有专门分开，现在2011版课程标准就把常见的量放在了“数与代数”领域；测量是放在了“图形与几何”领域。大家可以思考，为什么这么划分。其实它所谈的这些量，不管是常见的量还是长度、面积、体积，这些量都是连续的，就是可以无限分割下去的。我个人理解，是因为这个常见的量，它的内涵，这个量的内涵到底是什么？在我们数学中是说不清楚的，太难了。比如说什么叫质量？咱们现在是不是把质量和重量都是混着的？没问题吧。其实生活中称出来的那个叫什么量，现在我们标着是质量，其实根本就不是质量，测出来那个秤，称出来的是什么？重力，严格来说是重力，其实是重量。我们为什么就都给混了呢？因为大家知道在物理上，质量乘以万有引力常数G，只要一乘，它就变成了重力了，也就是我们平时所说的重量。因为那个G是常数，所以重力和质量是不是成正比例关系？M乘G，这不就叫正比例关系，所以我们就一直用重量代替了什么，质量，其实不是一回事。但是在数学中这些事是纠缠不清的，所以我们不纠缠这个量到底是什么，而只关注它的大小。所以就放在了这儿，我理解了，因为这些东西太难了。比如说年月日，大家知道什么叫时间的单位？是不是我们知道有这个时间单位叫什么就可以了？会用就可以了？再深入的纠缠什么叫时间？我个人觉得太难了，这是个哲学、天文学的问题，根本纠缠不清。但是在测量这个领域中，长度到底指什么的长度？是不是就是指线？一维空间。这个孩子是可以感知的，在我们的日常生活中，比如说他可以描一描，指一指。那面积呢，是一个二维区域的大小，学生是不是能感知？所以我觉得从这个角度来说，它把它分开了。就是说，这个内容在测量上既关注大小还要关注测量的过程，而我们关不关注质量是怎么测出来的？不关注。是不是会读就行了，知道就行，不要求理解这个过程，这是我想说的。更重要的是在测量过程中蕴含重要的数学思想和方法，所以我想2011版课程标准把这两个内容分开说，在课程标准中的意义是非常大的。
上测量的课，其实有的老师也问我，叫测量还是叫度量？我觉得不用区分。咱们课程标准里叫测量，有时候我自己的一个习惯也愿意叫度量，其实它翻译成英文单词都是一个，不用过于纠结。它都是“对事物某种属性进行量化表达与比较的学问”。对事物的某种属性，比如说现在这个桌子，可去量化表达的属性多不多？多吧。长度、高度、宽度，这都是什么？都是一维空间的刻画。还有什么？面积、体积、质量、密度……所以度量就是对这么多的属性要进行测量。孩子在学这些内容的时候是不是容易混？比如说周长和面积是不是容易混？大家想想是为什么，周长不是是对线长短的刻画？面积是对什么？它是围成的那个二维区域的刻画。那么这两种属性它是附着在一个物体上的。比如我乱画一个图形，它既有周长又可以有面积，它永远是在一起的，孩子当然容易混。其实孩子容易混的原因是没明白周长，面积是容易感知的，他知道可以摸一摸。但周长呢？是那个边缘边线的长短。因为在孩子头脑中，面是容易感知的，而且他的头脑中特别容易形成表象，一个面。而线的长短有时候不是特别容易建立。所以讲周长的时候，是不是好多老师要把图形最边缘的那个线取下来，打开，变成线，我觉得这些活动都是有助于孩子去建立周长的概念。这是度量。那么现实中可测的量，或者说现实中的量，一类是直接感知，直接可以测量比较的，这样的量刚才我们说过了，这是小学阶段学的。其实还有很多量也是可测量的，只不过我们不学。比如说声音，可不可测量？大家知道物理上是不是就得测，其中有一个单位：分贝。正伏的倒数，大家知道这个小学显然是学不了的，小学学的量只是好感知的。比如说颜色，能不能测？也能测啊。大家知道颜色其实是有三原色，红、黄、蓝。那其他的颜色都是这三种颜色配出来的。比如我举一个例子：1罐红漆，2罐黄漆，配出来；和2罐红漆，4罐黄漆；还有1罐红漆，10罐黄漆。这三种配法，配出来的颜色是不是一样的？都不一样吗？一个是1罐2罐，一个是2罐4罐，一个是1罐9罐或者10罐，前面两种一样，因为它的比例是一样的，都是一比二。所以，颜色是可以度量出来的。其实我要说度量的本质就是比。包括疼痛，能不能测量？一个人的忍耐度以及你的脾气能不能测量？大家注意，这很多涉及到人文学科，所以就不好测量。有人也说，人文学科不是科学，按刚才凯尔文的特点是不是有道理，因为不可测。一个人的忍耐度能不能测量？其实值得研究。他们做过一个实验：用香蕉绕着大猩猩围一圈，大家知道它爱吃香蕉。刚开始它还挺高兴的。当香蕉围到一定程度，看不见周围了，它就怒了。实际上这是测大猩猩的什么？与世隔绝的忍耐程度。我们人每个人忍受孤独和寂寞的孤独程度一样吗？我个人觉得是不一样的。有的人让他孤独一个小时就难受了；而有的人没有问题，没有人打扰，让他一个人待着，反而更高兴。因为他有了思想，他有了他的精神世界。所以大家就想，这个测量或者度量重不重要？重要。其实在人文学科中很多的量或者说很多的属性，到目前为止还没有人研究，还没法去像量长度似的，这样可测量、可比较、可感知。有时候从这个角度看，很多东西真的也是非科学的。
在现实中，还有一类测量是叫导出的量。比如单价，也是一个量。这个就是什么？速度。这个呢？减价的程度有多大，我们一般叫折扣。事件有多大的可能性发生，这应该叫什么？概率。概率实际上也是一种度量，对事件发生可能性大小的度量，所以咱们原来的教材中，学这个可能性的时候是用分数表示可能性的大小，它为分数来表示，只不过我们修订后在小学阶段不要求了。那么再进一步说，我们研究这些测量或度量的时候，这里我主要聚焦在几何的测量，刚才说过了，像时间、质量，有很多我们不能深入地研究，在小学阶段。但是，在几何测量，尤其是长度、面积、体积、角度，在这些测量的时候，我们要涉及两个问题，一个是要明确测量对象或度量属性。这是最基本的。其实我们后来在学面积体积以及其他的一些内容的时候，孩子容易混，原因就是他不知道到底在量什么，这是要注意的第一个问题。比如任何一个平面图形，它的特征永远有长度和面积吧，平面图形。那么到了立体图形，永远有什么，长度、面积、体积混在一起，所以到了五年级这个长度、棱长或者边长，表面积、体积，大家知道学生学起来是不是都混乱了？其实首先是因为它的属性是不一样的。长度是对一维空间延展性的测量。小学阶段我们主要是通过工具量，当然现在也要求孩子还要估一估，学习这种估计的能力。其实到了中学还要研究很多，所以我们小学所学的东西都是最基础的，到了中学还要研究图形的各边，不仅研究周长，还要研究长之间的关系。比如现在小学也有，两边之和大于第三边，这也是它的长度的一个性质，到了中学还要学在直角三角形中还有一个什么，长度之间还有什么关系，就是勾股定理。就是直角三角形，A2+B2=C2。这是不是仍然是研究长度？不是，是研究关系了。那再进一步学，任意三角形还要研究什么，正弦定理和余弦定理。整个这些内容是我们数学中最基础的。所以，整个通起来，我想我们在测量的，除了刚才说的对象以外，还有就是测量的过程，我到底怎么知道这个量有多大。比如我们测量一个物体，就像刚才说的，桌子。我想测量它的高度。要想测量就要先定单位，要想定单位又经历了这么一个发展过程，先是自选单位，就刚才我们说的。外国还规定了国王的鼻尖到手尖的距离都作为单位，所以就经历了一个自选单位，再到规定标准单位然后再到扩充单位。大家想想我们所学的这些量的单位，是不是都是一个体系？不是一个。所以这个内容的背后是很有学问的。有了单位之后，我们量的过程，我知道这个量的大小的最朴素、最本原的第一种方法就是什么，数单位的个数。这是最本原的。大家想我们在小学阶段所学的这些量的起源是不是都是数单位个数数出来的，要么你数这个自选单位，我们在导入的时候都容易这么做，数自选单位，没法比较，虽然数一样，但是单位不同，不能比较，经历这个过程。然后再给出标准单位，再数标准单位的个数。所有的这些量的测量最本原的就是数数，数单位的个数，这是第一类。
第二个，某一些属性我们不能老去数数，太麻烦了。所以我就创造工具去测量。其实我们小数阶段所学的这些量都是这样，这个过程都是这样的。大家回去可以思考，我们最朴素的，刚才说了，最好也是最基本的量就是长度，所以量长度是不是有工具？所以很多老师上数学课的时候，一定要设计一个活动，让孩子自己创造尺子。那个直尺，让孩子自己去创造。其实尺子是怎么来的，不就是一厘米一厘米首尾拼接起来的，大家感兴趣可以去研究。在北京，我带着很多老师做过这个研究，自创尺子，然后再出规范的尺子，让孩子经历这个过程，让他们意识到其实尺子仍然是数单位数出来的。只不过我们为了避免数，别太麻烦，我就从0开始标上了，0、1…一个段就对一个数，是这样的一个过程。这是长度有工具，面积有没有工具？测量面积，为什么没有？测量体积有没有工具？当然体积比较复杂，固体一般我们叫体积，液体我们叫容积，其实体积尤其是容积可以说是有工具，量杯、量筒那都是工具，唯独就面积没有。大家就可以琢磨，为什么就是面积没有？是不是某些属性导致的？如果要是测面积，得是什么工具？是不是得背着一个大方格板，走到哪得背到哪，然后铺下去数数个数？但是没有，因为那个太不实用了，为什么？大家都可以去思考。包括角的测量有没有工具？有，那角的测量的工具可不可以让孩子去创造？必须得创造。为什么？因为标准的制造好了的工具太复杂了，角的那个量角器多复杂，很多孩子，内圈外圈怎么数，全糊涂，关键他就没有懂这个工具的实质是什么。其实就是单位的累加，都退回到问题的最本原。所以，有时候用工具量也麻烦，再发展就用什么？用公式。这是最朴素的我们测量的过程，就这三个步骤。当然还有一些特殊的不规则物，我们把它转化为规则的。那该怎么转化呢？能不能随便转化？这就涉及到了学生的学习基础。关于学生的学习基础，我想这一块也是我们现在特别重视的，就是我们在教学的时候，不仅仅要掌握刚才说的那些量的本质，还要了解学生学习的困难，要了解他们的认知基础。那么认知基础是什么？其实很重要的就是这个守恒性。在这儿我想我就不一一展开，建议大家可以去看看这本书，柯普兰的《儿童怎样学习数学》，他主要是把皮亚杰的一些研究给引到了我们数学上。其实一个重要的前提是孩子要有守恒性。什么叫守恒性？举个例子，有两只蚂蚁沿着这两条线路程爬，谁爬的路线长？这主要是测小孩，两岁或三岁以下的，很多小孩说一样长，因为他们还没有守恒性。比如说，先给他看第一个图，A和B这两个小木条是不是一样长？他知道一样长。三岁以内的孩子你再给他呈现第二幅图，再问他这两个木条哪个长？他就说B长一些，因为他没有守恒性。皮亚杰做了一系列的研究，到咱们小学一年级，一般是六岁左右，绝大多数孩子已经具有了长度的守恒性，但是有一些还不具备。比如做这样的测验：我就用小火柴棍，摆这样的路径，或者说摆这么两个小桥，问他，这三组中的这些小桥一样长吗？大家知道，这组最容易说，一样长。这组呢，有很多小孩会说不一样长了。皮亚杰做了大量的研究，关于守恒性这一块。所以我想我们在调研学生的时候，一定要看看孩子真的具有了守恒性吗？我们往往是默认孩子都有了。谁长谁短，他知不知道借助于工具？大家知道比较两个东西谁长谁短，是要用工具，相当于找中间的这个量，有很多六七岁的孩子找不到。在矮桌搭了一座塔，在稍高一点的桌子上再搭一座，其实塔的高度同样，问搭的这两座塔的高度一样吗？有很多孩子说这个高，大家看出来了吧？因为这个桌子要比另一个矮一些。小孩才不管底下，你虽然问他哪座塔搭得更高，他就说这个更高，因为他没有关注桌子的高矮。这是一类孩子，但是一年级孩子一般没有，他都能知道。那到底他是怎么知道要搭两层，你问孩子你是怎么知道谁高谁矮的？他就会通过视觉、通过比划，他绝不会说我找个小棍量量它有这么高，我再量量这边也有这么高，所以我就说它俩一样高。一年级的很多孩子没有这个能力，这实际上就叫传递性，其实也是守恒性。
包括我们三年级学的关于面积的守恒。三年级学关于面积孩子是不是具有了守恒性，大家可以用这个小实验去做。大家回去可以做做调研。有差不多20%的孩子不具有守恒性，这能明白什么意思吧？这有头牛要在这个牧场吃草，但是牧场里有十座房子，这就占地了，没长草。这些房子是这么放的；还有一个一样大的牧场，房子是这么打乱了，问哪个牧场的牛吃得草多？大家知道，要是具有守恒性是不是知道肯定一样多，但是有一些孩子就不认可。所以，这都是学生已有的认识基础。那再进一步说，守恒性包括这三个方面：一个运动普遍性。你只要没折断，没给它去掉，你不管怎么动，它的长度、面积、体积不变。按说孩子具有了守恒性就应该认识到这是不变的。我举一个例子，可以做个小试验，针对4岁左右的孩子，用同样的杯子装两杯水，你让他看，这两杯水是不是一样多？小孩说一样多，然后你就当着孩子的面把其中的一杯水倒在又粗又矮的杯子里，另一杯倒在一个又细又高的杯子里，然后你再问，现在这两杯水还一样多吗？好多小孩，甚至6岁的孩子就说不一样多了，又细又高的杯子的水多一些，因为他们没有守恒性。大家知道，五、六年级才学体积，所以这个守恒性越来越难了，这是运动普遍性。还有我们经常说的等级变形。组合图形的面积都是等级变形，那你一定得有守恒性，没有守恒性没法去做，他理解不了；还有一个是叠合性，重叠的就一样大。我们量的大小比较最笨的方法就是叠合，完全重叠了就一样大，多出来就大一些，这都是孩子的基础。我个人觉得上小学的孩子对合同性都有，他都知道只要是重叠的就一样大；还有就是有限可加、可减性。一个量是不是可以分割，分别去测量。所以说到有限可加、可减性，再给大家举一个例子，讲角的度量。这个班比较特殊，孩子们是和中科院合作的一个实验班，入学的时候都经过智商检测的，130以上。因为是实验班，就是那种少年班、天才班。讲角的度量，小孩说都会，然后老师给画了一个角，学生都很顺利完成了。结果，老师一看，这怎么办呀？没有难度，没有挑战性了。老师就把他的量角器掰碎了，掰成这样。现在用这个破碎的量角器，我随便给你一个角，你还能测量吗？大家想想，对这样的孩子来说有没有挑战性？有，他原来会测量，是因为他可能听说过、见过，他真的未必是真思考，但是你要是像我们按部就班地去讲角的测量，他又觉得没意思？所以这个老师特别大胆，就把量角器掰碎了，就这样的一个量角器，我现在呈现的量角器，能不能量出所有的角？能不能？能，只要我把要量的角，比这个，大家看一下，是不是有个60度，只要比60度大，我就可以把角全分割，分割完了之后分别去测量，只要小于60度我都能量出来。然后再累加。所以量的本质是不是就是叠加呀？有限可加。这是它的这个前提。在我们整个量的教学中，特别重要。大家如果回去做学情调研的话，我建议一定要先看看这个前提，这个基础。
第二件事也是孩子特别容易出问题的。比如说测量长度的时候。其实大家可能听过刘德武老师讲厘米的认识，明明这个物体，当时他量的是一个小纸条，对着0，这端对着5，它的长度就是5厘米吧，结果孩子说6厘米。你们遇过这样的情况吗？比如说，像这个。明明是对着10厘米，他不说10厘米，他非得说是多少？11厘米。大家知道他数什么了吗？他数刻度线了，其实换句话说，他是数了这个点的个数。大家回去，如果教学中没有注意，可能一是你们没有留神，没有关注这件事；第二你们可以看一下刘德武老师上的厘米的认识，在他的教学中，当时量的是0-5，大多数孩子说是5厘米，但是后来有的孩子说是6厘米，结果就引起了争议。我想这件事是非常有意思的，其实我们数的1厘米是不是横着的，这个长度。而刻度线是不是也有个长度，他可能以为是数这个的个数。这是一个例子。还有一个，是我们在讲毫米的认识的时候，当时上课，我们老师做过课前调研，很多孩子知道1厘米等于10毫米，所以上课的时候老师直接把这个结论抛给孩子了，然后让学生在尺子上找出1厘米在哪，第一个活动。第二个活动，数一数1厘米里面有几个1毫米。是不是应该这样？结果当时上课的时候有一个组特别兴奋，他说老师我们组数了，1厘米里面有9个多一点儿毫米。大家就知道他数什么了吧，又去数刻度线去了。其实我们这个长度是不是一定得同向，这叫方向守恒性，一定是一段一段沿着一个方向叠加，但有的孩子是不知道的。所以后来，在讲毫米的认识的时候，老师就把这个组的结果给学生汇报了，全班呈现。其他的孩子马上就问，你数什么呢？大家知道，尺子上横着的线是没有的，我们是不是就说小格，是没有那个线的，所以他就数完了，小孩就知道原来不能数那儿，就知道哪儿的长度是一毫米，所以那节课特别好。到了后面举实物的时候，要说一说现实中的东西，老师就让孩子举例子。结果有一个孩子站起来举小蚂蚁，其实上这个课大多数孩子就爱举蚂蚁，蚂蚁的长度大约一毫米，当然他就说小蚂蚁，然后另一个孩子就说了，我不同意你的观点，我去香山看过，那个蚂蚁可不止一毫米。大家知道有大蚂蚁不止一毫米。后来那个孩子又给他补充，如果你非得举蚂蚁的例子，你得这么说：蚂蚁的腰大约一毫米。他就知道到底指哪儿了，换句话说这个对象他很清楚。对象就是要量的地方，这是孩子经常爱出错的。包括这个问题，在测量的时候，一开始学的时候，习惯和1对齐，不愿意和0对齐，为什么？我想，现在再举这个例子，大家就应该能回答了。我们数数都从几开始？从1…测量都是从0，为什么？这回能不能回答？就是因为我们数数是不是离散的，数个数吧，最小的单位是几，1。而我们测量是连续的量，有没有最小的单位？量长度有没有最小的单位？没有，还可以继续分割。所以现在小孩一说长度单位，我知道还有纳米呢，其实大家哪知道，1纳米到底有多长？能不能感知？不可能感知。但是小孩知道，至少他知道这个长度越小量得越准。因为它是连续的量，我们测量的时候都是从0开始的，没有哪个是从1开始量。当然有的老师说了，我从3开始是不是也可以？那你读出来的这个数一定得减去3，不减它就不对了。这也是孩子爱出的一些问题，其实这里边就有一个段的个数和刻度的个数，他们是混着的，其实根本就是还是不清楚到底指哪儿，长度到底指哪儿。还有一个进一步的问题，大家知道，这个段的个数和这个点的个数，是不是就是植树问题？就是植树问题。一个尺子就是一个植树模型。这也是孩子爱出的一个问题。
那么还有一个，刚才我们也说了，就是维数的变化导致学习时出现混乱。其实孩子好感知的是三维，然后是二维，最抽象的是一维。但是我们在具体学习刻画它的大小的时候，却是一维最简单，二维就有点儿难，到了三维到了体积则更难。这个大家了解就可以了。我们再说这个图形的周长，孩子爱说是6，其实他数成什么了？数成面积了，没有数长度。包括在孩子学那个长方形面积公式推导的时候，我们是不是让孩子去拼摆单位？面积单位。有的孩子是不是可能会这么拼摆，我们会想象，孩子知道一行摆5个，摆了3行。其实不是所有的孩子都这样，好几个概念全混着，比如这个孩子就写了：（5+3）*2=16；然后16-1=15。当时我还跟这个孩子有过沟通，我说孩子我们不能凑数，其他学生一个一个地摆得是不是得15，我说你不能凑数，我以为他凑出来的。后来他说，老师我没有凑数，您看这个横着数了，竖着又数了，所以我减1。我一看，这个孩子彻底糊涂，这个是周长的公式，他又说横着数了竖着又数了，概念全混。包括我们在摆面积的时候，有没有孩子这样摆？你们在教学的时候关注过这些点没有？其实我说的这个目的，我们在日常教学的过程中，现在都是开放的活动，给孩子自己创造自己操作的机会，那在创造的时候我关注什么？有一些孩子维数是混着的，其实又在量周长了。所以这个维数的变化，包括像这样的题，显然周长应该不变，但是有很多孩子说，减少10厘米。包括类似这样的问题，我想一系列的吧，包括周长面积爱混。确实我们做过调研，就刚才的那个题，随着年级的升高，出错率怎么样？求这个图形的周长。二年级的时候错误率才4.9%，到了五年级就变成了21.7%了。为什么？是不是就是干扰啊？周长、面积、公式等等，一系列的问题在干扰着，其实就是它的这个维数在干扰着。
最后还有一点内容，我特别想谈的两个问题。因为数学教学一定要有创造，培养孩子的创新能力。在度量的教学中能不能有创造？单位可以自选、方法也可以选择、工具也可以自制。大家想是不是都是创造？创造不能胡乱造，一定要遵循数学的原理。这是一个这方面，值得我们在教学中去做的。第二个就是教学的几点具体的建议：一定要重视孩子的体验过程还有体验方法的多样化，还有刚才我的PPT里有这个公式的探究。我们公式探究的时候，一定要关注孩子真正的思考，而不要仅仅是一个动手操作，更重要的别假装操作一下，还是给出公式，要关注这些。当然还有一些化静为动、寻找被测的量、自己界定单位等等。这实际上在我们的教学中都可以去尝试、去创新。一个重要的目标就是既让孩子理解了这些量，有大小，它们有一个测量的基本的过程；还有就是让孩子在理解的本质上学会创造、学会创新，这样他会觉得数学不是老师规定的，不是说你们书本上说的，数学是非常有意思的，是充满探究的，学起来是非常乐趣的，是这样的一个目标。
作者：刘加霞（北京教育学院初等教育系教授）
