我们之前的很多老师对上课教学都非常地有造诣和心得。我和其他老师不太一样，我是一个偏于做研究的数学工作者。教育方面相对涉及的少一些。所以我的报告和其他的老师稍微不太一样。介绍一下自己研究的方向，里面可能会出现一点点专业的术语，不过大家不用介意，出现专业术语的时候我会给大家通俗地讲。

选这个题其实有点冒险，讲不好的话大家可能会瞌睡。我现在解释一下这个题目的意思，复动力系统简介，其实是一个方向介绍。什么方向呢？复动力系统，复动力系统是什么意思？大家知道函数吧，其实就是函数迭代的几套理论，通俗地说就是函数迭代。复动力系统专业的称呼。我主要是想讲这个方向的发展过程中有哪些历史事件，出现了哪些人物，还有近几年的一些进展。最初是在十六七世纪的时候开始萌芽的。最初，我们知道对于什么式我们想把它的根求出来，比如说一次多加式x减一等于零。对于二次多加式，我们也想把根求出来。最早有一个大数学家叫做牛顿。牛顿在十七世纪的时候提了一种方法叫做牛顿迭代法。他发现这牛顿迭代法可以把多加式的根求出来。比如说这样一个多加式，它的根是什么，大家一看就看出来了等于0。X只能是0，那么牛顿发现的这种方法是说我一开始不知道根是什么，但是我可以随便拿出一个值，代到某一个函数里面使得你能得到一串点，你会发现这个函数是这样的，你第n次拿出一个值，比如说是4，下一次要产生一个新的值，它是这样的方式产生的，下一次就是上一次的值减去函数在这一点的值除以函数在这一点的斜率，导数如果大家不是很清楚，它其实就是一个斜率的意思。所以第一次你拿出4，,按照这样的迭代格式把它代进去，你发现你取得到一个2。然后你再把2作为初始值再带进去放到迭代的格式里去，你得到第三个值就是1。第四次就是1/2，下面就是1/4。以至于最终这个值就会逼近于0。这是当时牛顿发现的一个很好的办法。

但是除了牛顿还有一个人叫做Ruafeter，是两个人各自独立地发现了这个好的办法。还挺好用的，但是不是无论什么样的函数都可以这样求根吗？在十九世纪有一个英国的数学家教，凯莱。他发现不是这么回事。当你是一次方程二次方程这个方法还挺实用的。但是当次数都比较高的时候，这个方法，在初始点都失败了。所以凯莱发现牛顿迭代还没有想象中的那么简单。所以有这个例子，人们对函数迭代开始慢慢的感兴趣了。最初系统地研究函数迭代理论的是两个法国的数学家。在1918年左右，Pierre Fatou和Gaston Julia。Fatou是十九世纪末二十世纪初法国非常重要的大数学家了。Julia也是一个很有名的数学家，Julia跟大家好像有点不太一样，他在鼻子上戴了个皮套，因为他没有持续地在做数学研究，他在第一次世界大战的时候去参军了。在一战中失去了鼻子。所以他在人生的后六十年里面就一直带着这个鼻套。当然他后来也培养了很多非常有名的数学家。在一战或者是1920年左右，这两位数学家发现了一套很有意思的理论。但是发现完以后，在大概五十年之内都没有人接着去研究。一直到八十年代有几件事情的推动使得他们的研究理论有很多人得以继承？有这么几个人推动，一个人叫Milnor，也是一个大数学家，他在六十年代的时候获得了数学界的最高奖叫做菲尔滋奖。和他一起的还有一个叫威廉姆瑟斯滕，也是美国的一个大数学家，大概在八二年也获得了菲尔滋奖，在2012年时去世了。这两个人创立的一套理论。

还有一个人叫Mandelbrot。因为那个时候计算机开始应用于数学研究。他就画了一些图，发现了一些很有意思的图片。稍后给大家展示。还有一个人，是一个美国数学家叫做萨利姆。他也证明了一个非常重要的事情，专业地说叫做周期性定理。只是让大家知道，有三组人物的推动使得这个方向迅速发展起来。这张图片就是在2011年的时候，我刚才说的那个Milnor。在他八十岁生日的时候所有参加他生日的朋友的一个合影，其中包括现在非常有名的数学研究的一些数学家，也有很多获得菲尔兹奖的大数学家。中间这个人就是Milnor。旁边还有一个人就是我们这个方向非常活跃的数学家。这一领域现在工作的人大致有这么多，但也不是完全的。Milnor对函数迭代理论做出了很多贡献。重要的贡献就是写了一本书，右边的就是他写的这本书，非常有名，现在成了经典著作。学这套理论的人都要读一读。那么这套理论到底是在说什么事情？我就简单说一下，大家如果有一些专业的符号或者名词不理解没有关系。我们其实主要研究的是多加式。多加式除以多加式，我们叫做有理函数，有理函数是我们的研究对象。有很多这种例子。一个低次的多加式，这也是一个有理函数，分母可以认为是个1，还有其他的一些，比如说自己的三次方加上自己的负五次方，也可以写成多加式的相乘，还有这种也是有理函数。非有理函数也有很多例子，比如说指数函数、正斜函数、对数函数，以及分数次幂，这些都是非有理函数。这些不是我们的研究对象，我们的研究对象是这么一类函数，有了这个函数，我们就想用函数做迭代，怎么迭代？我随便拿一个初始点，随便给他一个初始的数1.1，2或者是3都可以，你拿来看看他的函数值是多少，你代到函数里就得到一个函数值，你再把这个函数值拿过来再作为一个初始点，再代到函数里面，就得到了第二次函数的值，叫做第二次迭代，这样这个过程可以持续进行下去，那就得到了这么一列点，就成为初始点迭代的一个轨道，我们把迭代的过程就叫做动力系统，其实就是一个输入，一个出值。输出一个函数值，输入输出，这样无穷地下去，最简单的例子就是二次函数，你把0代进去得到了1，0的平方加一等于1，然后你再把1代进去1的平方加1等于2，再把2代到这个函数里面2的平方加1等于5，这样就可以不断地迭代下去。但是迭代的话，我们发现会出现两种情况，一种我在初始的迭代点稍微变化一下初始的值，我后面迭代的这些点每一点的差别都不太大，这是一种情况。

还有一种情况，我在这个初始点稍微变化一点，后面的迭代慢慢地就越来越大，大到你根本无法预测，无法控制，就会出现这两种情况，后一种情况不知道大家有没有听说蝴蝶效应，比如中国的一只蝴蝶，闪动一下翅膀，在太平洋的彼岸就会掀起一场龙卷风，就是这边闪动翅膀的一个小气流随着时间的变化就会越来越大，这就叫做蝴蝶效应。那么我们把这种初始点稍微变一变，后面的点变化得非常大，这样的点我们叫做不稳定，或者叫做混沌的，我想大家应该听说过混沌这个词，混沌是无序的。一开始你稍微变化，后面的变化就会很无序。另外一种就是稳定的，就是初始的这些点，只有这两类，把初始的这些点稳定的，拿过来就可以做成一个集合，不稳定的点拿过来也可以做成一个集合。稳定的点，我们叫做法度集。就是大家看到那个图片里的法国数学家法度，依法度的名字来纪念。还有一个是朱力亚集。就是带鼻套的那个数学家。给大家看一下图形，法度集究竟是什么样子的，朱力亚集究竟是什么样子的，这就是一个朱力亚集，这是一个三次的函数，X的三次方或者Z的三次方加上0.4，它的朱力亚集，还挺漂亮的，像花瓣一样；它的朱力亚集就是花瓣边缘的这一块，还有很多其他的图形，这是一个三次的多加式 Z的三次方减一，他的牛顿迭代也就是说你把这个函数代到这里面去，得到了一个新的函数，这个新的函数也有个朱力亚集，像辫子一样，或者是三面分叉的辫子，他把正方形分成了三部分的区域。三部分区域根据颜色绿的蓝的还有棕的，分成了三种区域。这是另外一种朱力亚集的形状。朱力亚集就是其中的亮点，亮的部分。这些是其他的朱力亚集的例子。比如说左上像一个一个的小花一样，密密麻麻地排列。右上是一个圈一个圈这样密密麻麻地排列。左下的这张图，大家可以看到里面还有些像花瓣这样的图。比较像树叶或者花瓣。右边这张图，大家看里面有些像眼珠一样的。这些都是可以出现的图形。当然除了这些还有很多其他的图形，非常漂亮的图片。就是因为在八十年代的时候人们可以用计算机把这些图形画出来，所以说当时就引起了很多人画图的兴趣。画这种朱力亚的图。也有人专门写书并聊一本书上面有好多这种分型的图片。这些就是朱力亚集，加了一些人为的颜色的填充，就做得非常漂亮好看。左边就是不在几何上的那些点，我把它像气泡一样吹起来。有些地方就会涨起来。有点像自然界的一些山一样的山峰和山谷。

那么我们其实经常关心的那种函数。有一类函数特别重要，就是二次多项式。Z的平方加上一个常数，这个常数是一个复数，比如说1，2，3这些都是复数，还有就是1+2i，i就是-1的平方根，高中的时候我们学过复数，把这样的多加式拿过来做研究。C其实是一个参数，然而ｃ可以变化。这个时候人们就很关心零点在这个函数迭代下，会有什么样的性质？就是在这个领域中有一个非常重要的结果，零点的轨道迭代下去要么这些复数的模趋于无穷大；要么这些复数的模长都是有界的。如果说是趋于无穷大的，你画出来的朱力亚集都没有连在一块儿，是分散的；如果说0的这个轨道都是有界的，那么你画出的这个朱力亚的图其实是连在一起的，不分开。人们自然就关心什么是参数C，使得0的轨道有界，后来数学家集定义了这样一个集合，这个集合叫做Mandelbrot集，他是把所有的参数C拿过来，使得0在fc的迭代下轨道有界，这个集合就叫做Mandelbrot集，在70年代末的时候人们才第一次画出了这个图形，因为这些集合图形的激发，很多人都想把这个图形画得更花哨些，更漂亮些，然后就有人画了3D的Mandelbrot集，就是这个，这完全是人为画出来的，计算机画出来的，不是自然界存在的东西可以看出来有点像星桥一样。当然还有其他版本的比如说，就是把集合外部的点都像吹气泡一样吹起来，让它突起，形成了这样一些山峰，这边就是一些山谷，这些都是一些计算机图形学家画出来的，非常漂亮。当然关于Mandelbrot集有很多的故事，最初是在七十年代末有两个数学家。第一次发现这个集合，一个叫Brooks.一个叫Mateiski，他们在研究一类群的过程中，首次利用星点符号，呈现了这个集合的图形。这个是他们用计算机画出来的，可以说这是第一个用计算机画出来Mandelbrot集。和真实的Mandelbrot集相比还是稍微的有点粗糙。在一九八零年的时候，Mandelbrot在纽约的IBM研究中心用计算机，更精细地把Mandelbrot集画出来了。用计算机作图画出来了。

但是遗憾的是，当时计算机的精度和现在相差的太远。因此它画出来的图形看起来是没有连到一起的，好像是分散的。一块一块的区域，所以他当时就猜测这些点没有连到一起。专业地说叫做这个集合不联通。但是他把画的图形写到文章里面，投稿的时候，编辑人员误以为是打印机的问题，就把尘埃抹掉了。到了一九八二年的时候，关于Mandelbrot集第一个严格意义上的工作，有两个数学家，一个叫Adrien Douady，一个叫John Hubbard。他们证明这个集合并不是Mandelbrot看到那样，没有连到一起。其实他们这个集合是分不开的。你根本就没有办法找到点把他们分开，整个是连到一块儿的。这可以说是这个集合第一个严格数学意义上的工作，并且第一次给这个集合命名Mandelbrot集。就是左边这个人，叫做Benoit Mandelbrot，他也是一个很有意思的人。Mandelbrot在五二年的时候拿到了博士学位，但是他的故事学问有点名不符实。他拿到的是数学博士，但是博士论文里写的和数学没有关系，一部分是和语言学有关系，另外一部分和物理有关系，所以他的博士有点名不符实。中间这个人叫 Adrien Douady，他是法国一个特别有名的数学团体叫做布尔巴基学派，他是其中一员。我在法国念书的时候，我的老板的老板就是他。也就是说我的老板是他的弟子。所以还稍微有一点点渊源。右边的这个人叫做John Hubbard，现在是康奈尔大学的教授，我在博士答辩的时候。他是我答辩委员会的主席。他们两个是第一次，在这个方面做了严格意义数学以上的工作。在这里稍微提一下，Adrien Douady，还是蛮有故事的一个人，非常随和。据说他经常走在路上在垃圾堆里随便拿出一张报纸看。喝咖啡的时候，也会用他的眼镜腿来搅咖啡，生活非常随意，不讲究。这些图片是他在2006年去世的时候，在法国的一个研究所举办的一个会来纪念他，这是宣传的海报。我们刚才说的Mandelbrot集，大家看到的是这样一张图片，整体是这个样子，但是我在这个整体的局部，我拿出一点来放大，放大看是这个样子的，整个画面你会发现是这个样子的。我再接着放的，其中的某一部分，再接再放大，一次一次地不断地放大，大家可以看看，每一步我都会出现不一样的画面。不管怎么放大，这样一个图形看起来好像非常得精细，很复杂，你无法预测到他这一点的附近都有些什么其他的形状的东西，比如说放大到这一步，你发现出现了这样的一个图形，和集合本身还挺像的。再接着放，我这边还可以看一下它放大是什么样子的。放大这一步你发现也挺好玩的，就像星空一样。再放大，出现了这样一个图形。这个图形如果你只是看这个图形的整体。你发现不了这个图形里面的精细程度，你只有把它放大到足够大的次数，可能成千上万上亿的时候，你才会发现更复杂精细的内容。

那么这样一个集合有多复杂呢？大家看一下从上面的这个图片，最初的图形，一直放大放大到这样一个图形，非常像你进入宇宙，再进入银河系，再进入太阳系，再进入地球，再到中国，浙江，杭州，华家池，体育馆，一直这样不断的，到了更精细的地方。从宏观一直到微观，非常精细。我这有一个视频这个视频，大概三分钟。我是把这个整个的图片连贯地放给大家看，我每一次放大都会发现不太一样的结构非常精细，给大家分享一下。

刚才就是Mandelbrot集，我们就像坐着飞船一点一点地从局部飞行，取了一个名字Mandelbrot集之旅。我不知道大家看了以后有什么感受？我看了以后挺吃惊的。我就是做这个方向的，我第一次看到这个东西的时候，就觉得实在是太神奇了。在那些你看上去不起眼的小点，你把它放大到足够多的倍数后。他的这个结构还是那么复杂和精细。当时想到英国的一位诗人写的一首诗叫做“一沙一世界，一花一天堂。掌心握无限，刹那是永恒。”觉得和这首诗还是挺配的。就看那么一点点里面是一个很丰富的世界，它每次都在越来越放大，当你看到仿佛没有什么内容的时候，突然之间又出现了一些新的内容，也就是说，它的复杂性，有点超乎人的想象，究竟要有多复杂？这里要给大家介绍一个日本数学家叫做Shishikura，还有一个美国数学家叫做McMullen。 他们两个人证明了几件事情，Shishikura证明了Mandelbrot集复杂到什么程度，复杂到了它的边界，它的某种维数和整个平面的维数是一样的，普通的直线是一维的，桌面一般看来是二维的，我们生存的空间，假如时间静止的话就是三维的，而Mandelbrot集的图形是放在一个平面上看的，平面上的圆盘是二维的，但是如果你看圆盘的边界，圆周是几维的？一维的，但是这样一个图形，虽然我把它放到了一个平面上，但是它的边界复杂到了不止一维，和平面的维数一样，这是日本数学家做的事情，证明这个非常让人吃惊的结果。

那么另外一个数学家是美国的数学家McMullen，他是1998年获得数学界最高奖菲尔兹奖，现在是哈佛大学教授，他证明的就是Mandelbrot集在它内部的每一点都有Mandelbrot集的长得非常一样的图形，大家在刚才的这个图形里面也看到过。而当你放到放大到某一部分的时候出现了一个图形，这个黑色的部分和这个大的长得挺像的。它证明的就是长得很像的图形，在这里面非常非常的多。多到几乎哪一点的附近都会有。不但非常复杂，而且当你研究其他的一些函数的时候，在每一组函数迭代里面都会出现Mandelbrot集的影子，比如说在牛顿迭代，在这样一组函数里面。在某一部分它也出现了Mandelbrot集长得非常像的图形。右边这个局部也出现了很像Mandelbrot集的东西，这其实是说明了这种集合的万有的性质，到处存在。图片是一个法国的数学家Arnaud Cheritat用计算机画出来的，关于Mandelbrot集在这个方向里面是特别活跃，也有很多非常深刻的工作关于这个集合，其中有一个非常重要的猜测就是Douady和Hubbard两个人，他们猜测集合局部联通，就是说局部还挺规则的，后来很多人要证明这件事情，用数学的办法证明确实很规则，经过了好多人的努力，好多数学家的努力，取得了非常大的进展，但是猜测还没有完全被证明。在Mandelbrot集上，有很多泡泡一样的东西。一个泡泡一个泡泡地黏在一起。这些泡泡在数学上有一些意义。比如说中间这个有点像心脏。这个泡泡就表示这个函数，Z的平方加上ｃ。我有一个不动的点，这个不动的点可以把其他很多点都吸引过来。叫做周期一的吸引子，这边一个点就是我上面对应有这样的一个函数。我这个函数迭代两次回到初始点这样一个吸引子，这边是迭代三次回到初始点的吸引子，这个图片揭示的是Mandelbrot集与二次多加式分叉的一个关系。如果我只考虑参数ｃ是个实数，没有虚部。我们看一下这些函数它的分差性质。比如说在这有个周期是1的吸引子，在这有个周期2的吸引子，这有个周期4的吸引子，下面是周期8，吸引子变化有些对应的参数，比如说见面就是ｃ0，c1，ｃ2，ｃ3.ｃ4这些参数里面形成一列点。这些点就是一列数。他们有一个非常好的渐进的性质，就是第N减一次分叉。和第n次分叉，它们的差除以第n次分叉。减去第n减一次分叉。N加一次分叉，这列数毕竟一个很好的数，叫做4.669201609，这个数非常非常特别，在数学上有一个专有名词叫做Feigenbaurn常数。这个常数是Feigenbaurn发现的。后来被称作是混沌常数。这个常数和数学界里，其他三个常数，并成为数学界的四大常数。

另外的三个，第一个常数是黄金分割数0.618。大家知道一本教材，它的短的那个边的长度除与长边的长度0.618，我们很多的教材都是按照这样的规格来制定的。还有圆周率π，是另外一个特别重要的常数3.141592653589793。第三个就是自然常数叫做1。加上这个Feigenbaurn常数，成为数学界的四大常数。我们再回到Mandelbrot集、Julia集。大家通过前面的图形可以看出这些集合都非常复杂和精细，不管怎么放大，它局部的结构还是很精细的。它们有一个共同特点，是没有规则的。第二个在他们的局部拿出一段和整体长的非常像。像这样性质的图形，我们叫它分形。分形最早是Mandelbrot在1982年写了一本很重要的书《自然界的分形几何学》最初提出了这样一个概念，整这一段话就是说，分形，和我们直观上的很多图形，桌子、椅子是不一样的，它这些东西是没有规则的东西，处处没有规则，不但没有规则，而且在它的局部，还出现了和很多和整体相似的结构，这种东西普遍吗？可以说在自然界，非常非常普遍。给大家看两个例子，这里有两张图形，右边是树叶。你看树叶它长地一点一点的分岔，一片大的叶子里有很多这种小的叶子，而你把这种小的叶子，放大看，它长的时候也是往两边分岔的，所以你在整片大叶子的边，可以找到很小的一块，找到结构和大的差不多。左边这张图大家觉得看起来像什么？像花菜。这确实是一种花菜，它的学名叫做罗马花菜。大概在十六世纪的时候，在意大利最先发现的一种植物。后来人们发现这种植物还可以食用，就称之为罗马花菜。这花菜有一个特点就是长得棱角分明。大家看，这种花菜长得一个尖一个尖的，而且你把局部拿出来，它也是长得一个尖一个尖的。长得和整体差不多。这说明在局部里面非常精细地产生了很多和整体很像的结构。这是自然界的这种分形的结构。当然还有很多分型是非自然界的。比如说你可以人为造出很多分型。比如说这边有张图，是人造的计算机画出来的图，是一个宝塔。大家可以看出它的局部，有很多这种小宝塔塔尖，你在看这种局部，小塔上还有很多小塔，非常精细，这是人造的。还有这个我们刚才看到的，叫做julia集这分形。局部和整体有很多这样相似的结构。比如这张图非常有意思，这个图里面是Douady。他的学生画了这张图，把他的头像嵌到了这里面。一直这样分岔下去。局部的图形和大的，有点像。本来这个图形有点像兔子，局部拿出一点看，还是有点像兔子，在研究动力系统迭代的时候。我们发现了很多很有意思的图形。这些图形也是激发了很多人的创作灵感。在这个图形里面加上了一些填充。加上了一些色彩，加上了一些高度，使它吹起来像泡泡一样，得到一个非常漂亮的图形。这个研究方向应该是和计算机图形学相联系。

最后就说一件事情。这个方向最近十年来里有一个非常大的进展。我们刚才看到的朱力亚集，有很多分型的结构，但是大家不知道这个集合到底有多大？多大怎么衡量呢？用面积？比如大家都知道一个正方形的面积，就是边长的平方。对于这种分形的集合，我们也可以用一种面积，占平面多大的区域，后来人们就猜测，这种分形几何，占的面积非常非常的小可以说是零，所以很长时间内人们都觉得是零。直到十年以前，两位法国的数学家，一个叫Buff，一个Cheritat他们发现，之前说的不对，有这种分型确实是占的面积还挺大的，有个正的面积大于0的面积，可以说是非常让人吃惊的一个结果，也是我们这个领域最近十年来最重要的一个进展。当然我们这个学科还有和其他数学学科的联系。包括这么几个一起的重要的学科，分形几何、双曲几何群论、计算机复杂性、多付点动力系统、算数动力系统，它和数学很多热门的方向是结合起来。现在仍然是蓬勃发展的一个学科。

作者：王晓光（浙江大学数学系研究员，博士后）