第一个问题是这样，找下一个数字是多少，规律题。数列找规律一般来说我们是可以根据观察以后就可以找的。这个有什么好处呢？就是找规律的过程可以培养孩子对数字的认识或者对敏感的认知，我们过去经常讲有时候你要有感觉，跟打牌一样要有牌感，小学一二三年级对数字有很好的感觉，还有就是运算能力，他要观察，这里我只是举几个例子，当然我们知道项数越多的时候，就越容易发现一些规律，如果每次都是这样的题目，给你几个数，然后找下一个，那么孩子可能也会比较不耐烦，所以也就是增加一些趣味性。还可以偶尔的有一些不太常规的问题，我这里讲的是小孩子特别熟悉的数字，我们刚才数列里也是这样，通过某一项来找到一定的规律。比如像这个下一个数字是多少，从1开始，1，8，11，69，88，96，101，111，181等等，你会发现这些数字是可以倒过来看，这种题目我不太建议非常多的，课外的时候就是一种游戏的性质，增加一点趣味性。像这种还是可以发现规律，具体的题目不是很重要，大家去看的时候就是不同的形式，反正就是能够让小孩子不是那么老是那么几个数字去做。还有一点我看见了这个书有一些坏的问题，它相当于是一些娱乐性的，比如像这个，下一个数字等于多少？从2，55开始到456376，你观察半天，这就像经常有人问你小学数学你做做看，会不会做，这个叫数学吗？这不是数学，接下来它说下一个数字是8，它就说这个在显示器或者计算器显示的时候第一个1的话不是有两画嘛，跟两根管子一样……所以这样的题型是没有意义的。非常规的还是锻炼孩子对数学的感觉的，像这种题目就比较容易，我想这就跟学语文去学脑筋急转弯一样，这是没多大意思的。好像有一首诗、一首词的某一句话，你说什么瓜不能吃，傻瓜不能吃，这是没有任何意义的一个问题。我这里还想讲一点就是说数列找规律本身是没有意义的，为什么我们从小学一直都有这样的问题？小学初中高中都有，到大学没有。我认为是这样，假如我给你一个0000，非常极端的例子，0000问你下一位是什么数字，那一般来说你总觉得是0，但实际上从规律的角度看连乘以一连乘以二连乘以三乘以四，再加上最后一个数，那第五个数都是按这个规律来的，,相当于第一项是N，N*1，N*2，N*3，N*4，那不都等于0吗？第五项的你想多少就多少。所以我想数列找规律从小学到高中，它主要的意义对数字和运算有锻炼，还有就是增加一点趣味性，还有提高观察力和记忆力。因为你在观察的过程中要去想，提高运算能力。如果规律隐藏较深的时候我希望项数越多越好。这是我看到的一个书的题目，就是丁志生主编的，北大校长主编的一个数学小图书。80年代我们读大学时候的书，教你找规律。这个规律不是那么简单的，需要一些观察和运算的，这些数据两两相乘，从小到大排列，第一个2*2第二个就是2*3，就是2，3，5，7两两相乘，然后从小到大排列这样的一个规律。你这个数列从小学就开始建立，到底是干什么的，主要是先去找出它的规律，然后想办法证明一些结论。比如说平面上画多边形，然后看看顶点数，边数，这些你可以多列一些，这有什么规律，这才是我们所需要的，找规律就是根据挖到的东西再找到一些共性的公式出来。这是我们所需要的，还有就是某一数列若干项以后然后你去猜测，然后再去证明。像这个，发现这个定理比较困难一点，如果你找到这样的定理，会很高兴的。我感觉现在学生做的卷子太多了一点，都是一张卷子一张卷子发下来在做，就是他想的问题比较少，不会解析，能不能通过一些课外的东西，培养他们的一些兴趣。它是增加小孩子的运算或者是学习数学的兴趣吧。这是我自己的感受，我们这个年代的人都玩过24点，就是4个人，每人出张扑克牌，加减运算，算到24，谁先算到谁就赢了。这样的形式是比较活泼的，又有一定的竞争，就是看谁先算出来。这些问题还是非常的原始，我们小学一直在做还是有一定的难度。比如三个5一个1的时候，你要把它算出24，这个是不太容易算的，因为基本都是在口算的情况下来进行的。那么同样的你可以通过这个游戏，比如我们都知道换班，不同形式的换班也是非常的多。最早的是古代南宋的时候，这个没有应用，古代数学特点就是解决应用问题比较多，但这纯粹就是数学的一种游戏，在游戏过程当中完成组合学，我们可以做稍微简单的分析，但是还是不是那么容易。像这个1-9,9个数，写成3*3的话还是相对容易的，因为你把这三排加起来是等于1+9等于4+5，所以每一个行就是这相等的和你很快就可以知道填到这里面使得每条线上的数字和相等，所以这也是比较不容易的，我想你可以固定几个数出来，算一下去尝试。

我不知道你们是否可以在教室黑板上比如每周一题，下课的时候让学生讨论讨论，活动下，毕竟总不能一直坐在座位上，这也是一种学习的形式。下面再看一个稍微复杂一点的，就是在游戏中怎么去学习证明，一般来说在小学里面没有那种证明的思想，证明很少，可能就是我们思考的时间比较少，我觉得是不是可以进行些思考，这个证明小学高年级是可以理解的，但是也不是说一会就能想到的，这里我再说一句话，我所了解到很多人一看到数学难题就认为这是奥数题，不用管它的，其实奥数跟数学学习并不是这么绝对的，我想可以让孩子慢慢学会思考比如这道题为什么是这样做。这种题目是比较好的，证明是不行的，题目是这样的，将数字两个1，两个2，两个3排成一排，要求两个数字1之间正好有一个数，两个数字2之间有两个数，两个数字3之间有三个数，我们也可以找出来，找出来并没有太大的难度，去尝试就可以了，下面就五个数去尝试完以后突然发现找不到了，事实上它是不存在的，不存在满足这种性质排成一排的可能性，那就需要一定的思考。这里的话如果把这些数排成一排的时候，把它放在这样有白的有黑的这样一列格子里面，我们可以知道两个1的话只能同时放进两个白色的圈或者两个黑色的圈，因为它中间隔着一个，所以它们两个的颜色是一样的，那么两个3，两个5的话也是一样的，它中间隔着是奇数个，就假如说是存在的话，2和4的话就是中间隔着偶数个，它只能是一个是白的，一个是黑的。这样一来我们可以看在这五个黑的格子里面，2跟4只能各占一个，那剩下的三个1,3,5是成对的放进去的，就是两个两个放进去，所以这就不可以，就是证明了不存在，可能小学里小孩很难去把握它，不知道怎么去说明这个问题。关于这样的方式我们有更加一般的所谓的棋盘格式，这个就像国际象棋8*8的棋盘，左下角和右上角缺两块，缺两块以后能不能用1*2的形式把它盖住，或者你可以编故事，比如家里卫生间这边有两个管道要下去的，我现在买的瓷砖是1*2这样长度，能不能不要锯开它然后把它铺满，这样的形式的话，小孩子一开始会尝试，但尝试完之后发现怎么都不行，不行的话是你不行呢还是没找到正确的答案，这里面实际方式都是一样的。这应该是交叉的，隔一个，黑的在这里面，白的在这里，这样的话我们数数它的格子数，如果按这样排下来是不一样的，如果2*2摆的话总是一个黑的一个白的，每块瓷砖总是盖不住这个棋盘的一块黑的一块白的，我画少一点好了，1*2来盖的话肯定是黑一块白一块，这样下来，黑的个数和白的个数刚好有一个是多两个的。这个是比较简单，是可以更进一步的，如果这个棋盘去掉一个黑的，去掉一个白的，是不是一定可以用刚才那个1*2的瓷砖铺上它？不过这个有一定的难度，当然也是可以的，我们把刚才的瓷砖铺好以后找一个回路使得把它变成右尾，右尾的接成一条路径一样，我去掉一个黑的，去掉一个白的，这条路径把整个棋盘变成从头到尾，中间那个黑白黑白这样过来，去掉一个黑的，去掉一个白的，那中间肯定是偶数个。如果小孩子喜欢这个东西，想到一定的程度的时候，突然跳出这么一个，他会觉得这个数学非常的奇妙。我们说世界这么大，不妨去看看，那么数学这么难也不妨去学学。小孩子有一个怎么想都想不到的过程，然后你告诉他以后，他会觉得这是一个非常巧妙的办法，这对他会有影响的。

同样的有一个类似的形式，我把俄罗斯方块拼成了一个4*7的矩形，这里我们可以看到这个方块如果用黑白黑白拼起来的话，只有这个丁字形的是不一样的，如果移到左边这个4*7的图形，黑的个数和白的个数是一样的，这个可以做一个想象，锻炼他空间的想象能力。还有一些问题，在数学里面这种问题非常多，你可以讲故事，先讲伟大数学家欧拉，再说当时的这样的一个问题，在格林斯堡有七座桥，当时很多人问，能不能从某地出发把七座桥都走一遍，再回到出发点，就是刚好走一遍不重复然后回到起点。事实上你不用回到起点，就是能够不重复的走一遍，那也是做不到的。

我经常想的一个就是我小时候总是看报纸，因为那时候书比较少，报纸里经常会有一小版块让你动脑筋，我会非常感兴趣地去做，报纸不是每天都有，要几天才来就急急忙忙找那个答案，这个对我学数学有一定的帮助，最喜欢这样的事情。现在包括大学也好，高中也好，很多知识从小学就已经有一些萌芽了，比如说组合学，小孩子从这里到学校有多少条不同的路，一开始找出不同的途径有多少条路，一开始可以把这个图形画的简单点，然后再复杂点，之后还可以中间添上一点东西，比如这两条路在维修不能过，那你怎么去做？这个在组合里面算难度一般的，最早的组合在小学课本是很简单的，加法原理和乘法原理。在几何图形里面这也是一种可以跟故事结合起来的，这里面实际上你可以从上面这个图，我听到的故事是这样的，有一个财主有一块地，他有四个儿子，他死的时候要分地给他们，说要分成一模一样的四块，大小一样，形状一样，一般就是直接两个线画出来，或者三块，然后每块再画小，至少我们每个人占几块，再去看它的形状让它相等。这里也是一样的，我画成三角形以后，数数看，一二三四…反正就是一人三块，等腰梯形。通过画画让小孩子可以感受到对几何的初步接触和认识。还有一点比较重要，先分成三角形，你不能整除，我记得那时小的时候小孩子分数没有学的时候要分面包，三个人要分八块面包怎么分？就是出钱，有个人出钱，出多少钱就怎么算，一共是买了八块面包，就三个人，因为分数他不知道嘛，当时我就想每个面包切成三片，每个人吃到八片这样的一种方式。

还有些趣味性的问题一个是逻辑推理题，这也是比较经典但有点难度，然后这个是填数字，我们知道数独的意义不是特别大，因为它没有运算，当然也可以适当地玩一下。但是像这种有逻辑推理，就是下面这个数字，上面两个数的和，就是要进行一些推理，对小孩子来说不是很难。大家总觉得数学太难，实际上很多数学都是以趣味形式出现的，最早的数学文献九章算术，九章算术里面有264个问题，我讲其中的几个都是和我们现在有联系的。比如相遇问题，今有凫起南海七日至北海，凫就是野鸭吧，雁起北海九日至南海，现在同时起飞的话是怎么样的，什么时候相遇？还有追及问题，这些我想都是我们小学经典的高数题目。所以你就是把古代那个时候有这个问题告诉他，然后让学生做，因为那个时候都能做，我们现在也是可以的吧。我想数学有趣的故事还是非常多的，我随便找了几个给大家看一下，当然我们今天并不是来解答这个题目，据我自己了解，小时候有一些思考的问题至少可以引起你对数学的兴趣，如果古代一些比较难的问题你都能解决的话，数学老师会尤其欣赏喜欢你，好像老师如果说几句夸奖你的话，会激励孩子使其对数学更感兴趣。这里还有一些古代的数学问题，比如剩余定律，这算是唯一的以中国带头的比较伟大的成就，现在初等数学里面前面基本都会涉及到这个定律。它相当于解方程式，然后三个三个数，剩下两个，如果五个五个数，还剩下三个，七个七个数剩下两个，那么怎么去求解？这个在宋代的时候大数学家秦九韶给出了一个完整的解法。还有就是我们奥数的经典鸡兔同笼，当然现在来解的话是解方程组的这种形式，鸡兔同笼的解法是非常巧妙的，我想小孩子应该对这个解法是非常感兴趣的。鸡跟兔同笼然后输出头有多少个，脚有多少个，第一种是让所有的鸡金鸡独立，兔子两个脚抬起来，这样就减了一半，然后看看头跟脚谁多，多了就是兔子的数字。或者让鸡两个翅膀放下来，大家都是四只脚，每个头四只脚，现在不足的就多少只脚添上去，这个用初等方法是比较理解的，当然还有比较难的像买鸡问题，一般的人用初等数学可能不一定能解决，就是100元钱刚好买100只鸡，公鸡是5元一只，母鸡是3元一只，小鸡是1元三只，小时候我让高我们一辈高小毕业的学生做这样的题目，他都做不出来的，因为这个是一个不定方程，而且不定方程的未知量个数比方程的个数要多，所以这是一个比较难的。但是这个从问题本身来说还是很有表达力，表达的很清楚，让小孩子去想想看还是挺有趣的。还有一些运算的不同形式的，第一个相当于是追及问题推广法，追及问题一般都是两个人追过去，现在三个人，三个人互相追，然后问什么时候同时碰到，追及问题的题目会是比较复杂，有时候是两个人往前走一个人往后走倒过来。

 另外我还想讲一点就是你不要老让孩子做数学题目，可以加点数学故事或者加点数学当时所研究的问题相关联的情境。现在小孩子有时候会很聪明，包括大学入学进来的时候问他，不是要分专业嘛，他如果希望到我们数学系来，他一定会告诉我们我是非常喜欢数学的，那我们就会问了，尤其高考刚进来的时候，我说那你喜欢数学的话，你知不知道什么数学家的故事，你讲一个。不太讲的出来，很多讲不出来。我们很有理由相信，现在小孩很聪明，他为了表达喜欢你，一觉得你喜欢什么就用喜欢你的话语来说，但是面试没有标准题目，就是根据你说了什么就接着你说，想想我们那个年代我读数学，对华罗庚、苏步青的故事等等都是说的出来的，因此我想是不是能够把数学的有关问题和相关数学家能够连在一起。比如最初的1加到100怎么加的时候，可以把高斯的故事一起讲，这有一定的联系。我特意买了几本书，有些是奥数的教程，我想一二年级肯定是不需要再看了，我买的是六年级的，涉及比例问题。比如两种不同的羊，然后一个负重的能力一个比，走路的速度一个比，告知运送到多少千米就是距离，两种情况，一种是如果用10个沸羊羊和10个喜洋洋的话需要搬运18个小时，现在用10个沸羊羊和12个喜洋洋，送的货物的距离是1千米，跟前面又不一样，问需要多少小时。可能一拿到这么多东西又是比例感觉会有点难，其实不算太难，首先把羊之间的搬运能力把它折算出来，搬运能力就是负重能力乘以速度整个比例，然后两次搬运能力之比，距离之比，时间假如是X的话之比，然后货物之比是1比2，按这样比例算，这是一种初等的办法，小孩子并不一定全部都能接受。但是等到我们大的时候我们并不是这样来做的，我们都是设未知量，未知量多点不要紧的，我们设时间为X，总的货物是T,沸羊羊背负力为3T,也不用折算，用方程的思想来算，方程要比算术要清楚很多，方程就是题目怎么说的，你就按这样念过去，正的过来，列式子过来，非常容易的一种方式，这种题目还不是最烦的，用初等的去理解有时候还讲不清楚，但可能对小孩子来说太难了，他觉得这么多未知量，他一下子就不想看了。学数学的过程是有一点点层次的，一开始你需要这样的训练，等到后来的时候可能不需要这样的方法了，前面的过程还是需要的。

下面我再讲最后的一个关联就是数学是需要技巧的，这里的问题可能有些是中学的，但我只是想说明关联，数学很多是需要技巧的，那么这个技巧一定是比较自然的，小孩子是能够接受的，很多是可以去做的。我记得奥数六年级这本书前面的几章就是各种分数的求和，就这种形式，我建议或者体会是这样，你要把它分成一般项比较难，不是具体数字写成字母这个简化可能会相对容易点，但这个是我们自己的想法，但是孩子小学的时候他可能数字可以，但是字母可能很难，包括高中也是这样，所以我想让他观察规律的时候是不是可以用一些字母，或者一般项不要具体的数字，数列的话用数字写了几项不一定有规律，但是有一个字母放进去以后反倒是容易找出它的规律，这个虽然是对中学，但是我想有一定的借鉴吧。还有些技巧我觉得是需要的，像这种是比较巧妙的，这是比较难的，但是挺好的，大家可以看一下，就是如果有这么多数A1到A2015，然后它就举例子加起来等于1，现在要求证明这么个东西A1+1/2加这个等于它，这个我想小学六年级也是能够理解的，我的记号是比较现代的 ，相对证明那就是绝对值把大于零的弄到一起，加起来不等于1嘛，也就是说大于零的数字加起来应该等于1/2，小于零的数字加起来也是等于1/2，所以两个加在一起就等于1。所以1/2以后这边正的这些数你就把最大的放到最大这边，小的这些数你就放在最小的，这些都是正的，小的不就是负的就是最小的，所以只有A1和2015等于这样的时候它是满足等式。从本质上去理解，有时候很多问题，给出的答案是这样的，你这样跟小孩子去讲他是不理解的，这边我要求证明X平方加Y平方加Z平方等于2，答案是等于这样的，就是2，Y方把它拆成5/6加上1/6，然后前面有个不等式，后面有不等式，那小孩子就问了，这个5/6怎么来的，1/6怎么来的，事实上如果你没看到答案的话，那你怎么去做？事实上我们凑了一个未知量。所以有时候我看到奥数经常很生气，答案老是这样的，人家都不知道怎么凑出来的。更复杂一点的，你想想我怎么会凑成这样去，如果要凑的话是这样凑的，现在有四个数要大于等于后面那个A的最大值，X1平方X2平方然后凑成这样，那你说怎么凑得到这样子？这个跟我刚才的方法就对了，还有就是再多一项，数字看上去蛮简单，像这种就是竞赛的题目，但是我就觉得这样的题目是不太好的，因为没有告诉标准的做法，这样的题目去做的话小孩子会问你怎么想到的，反而引起他的一些反感。再包括2011年的一个数学奥林匹克选拔题目，就假设X1=A,现在要你求存在正整数AB使得这个数为完全平方数，然后它的解答就这样，就说令A1=2，A2=5，然后算出来，然后再定义这样，后面两个区别求出来就等于它，我想这种题实在是误人子弟，你怎么想到这些东西嘛！事实上我们需要一些再高等一点的东西，你说这些想不到但是有更好的方法可以激发同学们学习新知识的兴趣。这是一个比较复杂的不等式，它第一段是这样写的，若ABC都小于9/5的时候可以证明这样一个东西，我们也养成习惯了，数学教了30多年教学一直也是这些东西，所以看到这些东西总想为什么是这样，这样去教孩子的话，教高中生也好，他根本就不喜欢，他肯定不喜欢的，这么难然后你是怎么想到这些的，所以这个是要注意的就是你能不能够有自己自然的方法，包括选题目的时候不要选到一些稀奇古怪的，这种不是方法，如果你这样的话只是凑下去，这个题目是比较困难的，实际做的话可以通过，稍微学的高点的时候就是那个导数微积分以后可以给出一个比较合理的一种方法。最后我说一个简单的总结，学数学你首先还是要让孩子有一定的兴趣，你尽可能的引起他的兴趣，好玩的数学有一套丛书，一般十几本吧，老师们可以稍微去看一看，我想好的题目首先也要你自己去读过，我的特别的一个建议就是你们卷子让孩子去做之前一定要自己先做一遍，因为现在卷子印刷方面有错误的话小孩子会很火，后来发现是错的，这个可能中学里更多点，还有一个有的数学问题用初等的办法可能比较难以理解，那么你就不要管它，小孩子等到一定的时候他也就学会了，所以你不能够去逼着他，太过了。这个关联我跟有的人交流以后他们就说这不对的，因为很多孩子都是逼出来的，当然你说都是凭兴趣那也很难，不是好玩的东西嘛，这也要一定的度吧。还有就是能经常在教学里讲一些古代数学家的故事，跟你讲到的数学内容有一定的关系，这样的话可以增加一定的兴趣。如果你读了教科书有一定的好处，教科书非常厚，比如讲到抛物线，边上有一个介绍，说什么地方那个拱形特别大的非常有名的建筑，我们觉得这个教材太厚了，这么贵卖100多美元，但是小孩子读的时候可能会有一定的好处，你讲抛物线的时候，他的理解就会马上想到那个拱形的门。最后我讲到的设计好的练习的题目，给出正确的办法，不是说仅仅给出答案，怎么想到的，也不能尽是凑出来的，像这样的话要尽可能地给出一个比较合理的自然的方法，那么下次孩子碰到相似的题目的时候就不至于又不会做，总是会有些想法思路的。还有就是关于证明题，不存在的时候是不是可以尝试一些说明或证明，培养孩子一定的思考能力，不会的话想想为什么，原因在哪里等等。最后一句话我还是要讲，就是要培养孩子清晰的表达能力，数学我们有时候比较缺乏这一点，就是觉得你会做了就行了，写的也不规范，表达的也不是很清晰，尤其我们改奥林匹克高中竞赛的卷子，写的密密麻麻然后一句话一句话，看了半天也不能随便给他错嘛，竞赛嘛，我们要找出他闪耀的智慧嘛，说不定真的有好的办法。还有就是数学竞赛和学习，数学竞赛是比较难的题目，在难的题目里面应该是激发他求知的一种欲望去学习更多的知识。

作者：程晓良（浙江大学数学系教授，博士生导师）