曹老师刚才讲的中国上海的学生在PISA国际测试，谁知道国际上有一个中国学习者悖论是什么？就是说中国的学生学习成绩在全世界排名第一，是没用疑问的，但是中国的学生对学习的兴趣好像是倒数的。所以有人起了这样一个名字叫中国学习者悖论。这两个正好是成负相关的，也就是学习成绩好的学生不一定喜欢数学，反而好多学习好的学生是讨厌数学的。今天我们就这个话题来探讨一下，我的题目是千万别恨数学，“数学好玩”是陈景升在国际数学家大会上提出来的“数学好玩”。但是就我接触的一些包括新闻报道，包括一些学生，甚至我自己的一些感受，我感觉数学真的好玩吗？我们今天来探讨一下这个话题。这里也是思考不是反思。

今天的主要内容就从这5个方面探讨一下。首先我们看北京高考新方案：2016年起，英语从150分下调到100分。但是网上也有这样的呼吁：让数学也滚出高考！联系于丹，鲁豫有关数学的调侃，不由引起思考：为什么数学让人如此深恶痛绝，竟然动用了“滚”字。其实名人不喜欢数学，很早就有，不是个别的现象，比如说我感触最深的就是崔永元的书里的几段话，虽然时间宝贵，但是我们也体会一下崔永元的感受：大概是到了发育的年龄，我经常盯着黑板发愣。数学老师……掰了一小段粉笔，准确无误的砸在我的脸上。数学老师说：你把全班的脸都丢尽了。”嗷——全班一片欢呼，几个后进生张开双臂，欢迎我加入到他们的行列。从此我的数学成绩一落千丈，患上了数学恐惧症。高考结束，我的第一个念头就是，从此不再和数学打交道了。38岁生日前一天，我从噩梦中醒来，心狂跳不止，（进水管和出水管问题）。对我来说，数学是疮疤，数学是泪痕，数学是老寒腿，数学是类风湿，数学是股骨头坏死，数学是心肌缺血，数学是中风……当数学是灾难时，它什么都是，就不是数学。从此在崔永元的人生走廊里关闭了数学这扇窗。这个是很早刚来编辑部的时候2004，2005年的时候刚出出来这本书，就已经有人引用了。这个是我在微信里偶然遇到了这样的学生写的诗：假如我的生命只剩三天。假如我的生命只剩三天，我会在第一天和我的亲人们道别，感谢他们给予我的爱和温暖，我还会给这个世界写一封信，告诉人们我曾来过这里。而剩下的两天，我会在教室里度过，不是因为我有多么好学，而是因为——在教室里我度日如年。总共剩三天，我有两天留在教室里，两天就可以当两年过了。2005年一月的报道，这是一位十岁学生写的：数学是死亡资源，它像入地狱般痛苦，它让孩子想尽脑汁，他让家长急的转圈，它让校园死气沉沉，它使生命慢慢离去，生命从数学中走去，一代代死的超快，那是生命的敌人，生命从数学中走去，珍惜宝贵的生命吧，一代代死的超快，数学是死亡之源。为什么学生这么痛恶数学。这是15年2月份报纸上登出来的，这个学生数学考了70分，全班倒数第七，其实数学考了70分还可以啊。虽然不是很好，但是在全班倒数第七也挺耐人寻味的。但是前面的一段话让我感到有些吃惊，现在好像追及问题和工程问题教材上没有了吧，读了这首诗之后让我觉得刺痛，但是你回想一下，结合你自己的学习经历想一想，数学好玩吗？结合自己的经历想一想。我现场调查一下，觉得好玩的请举手，最多不过1/3。为什么不好玩，包括工程问题啊什么进水问题啊等等真的很难，不是一般的难，到最后老师专门出一张一张的卷子让我们做，练到最后我觉得我的头都晕了，还是学不会。而让我喜欢数学的其实是到初中初三的一个数学老师，才对数学不那么反感，当然我也是好学生，数学考的还是比较好的。但是这跟好玩不好玩没关系。学习好不好跟你觉得数学好不好玩真的关系不大。为什么不好玩，咱们老师可以思考一下,反思一下，咱们的数学到底好不好玩，如果不好玩，那些地方不好玩呢？我归纳了这样几点：首先是数学自身的特点，高度的抽象性，比如下午张兴华老师讲的《圆的认识》，他问学生圆有多少条半径啊？孩子说无数条，你讲无数条是要负责的，要说明为什么是无数条。其实在这之前有老师讲过，在圆里面可以画多少条半径，孩子说可以画无数条。你怎么画。和张老师今天讲的差不多。孩子说了让铅笔细一点还可以再画，在细一点，还能再画，还能再画，其实这个画半径，和到底是不是无数条关系不是那么密切，其实就没有关系。为什么，你说圆上有无数个点，你怎么就知道圆上有无数个点。你说你的铅笔可以削到不能再细了，不能再细了还是有宽度的。所以这个跟画半径没关系。我们只能用数学的办法让学生理解，张老师这一节课就达到了这一点。有孩子说圆上有无数个点，把圆心和这些点连起来就有无数条半径。其实这是一个逻辑推理，不是你画能画出来的，你根本画不出来。当然你说了圆上为什么有无数个点呢？这就涉及到数学自身的特点，点没有大小，线无粗细，面无厚度。其实就涉及到基本的公理，从基本的公理上再推出来的，其实数学是非常非常抽象的，那我们怎么办呢？那就靠想象。六年级的时候，孩子基本会想象了，要培养学生的想象能力，你要让他知道点没有大小，线无粗细，一条线上是有无数个点的。这些还是要让学生知道的。但是分数之所以抽象一方面涉及到概念的歧异性，多义性。最主要的就是单位一往往是多变的。所以分数其实是非常难理解的一个概念，所以西方人说一个人陷入困境，就形象的说“掉进分数里”。第二个客观因素就是：课标和教材。其实咱们的教材改变了很多，你看原来的教材，最早叫算数，加入代数之后才叫数学，然后又加入概率统计，几何现在也不是只计算周长面积了，而是培养空间观念等等。但是趣味性还是很差。自学就是孩子拿着像翻故事书一样翻吗？所以自学还是很有难度的，特别是对小学生。另外就是内容太多，咱们中国的数学以前过于强调知识和技能，所以知识和技能包括在中学才下降下来，现在知识技能还是蛮多的，一节课你要讲够那么多的知识，要培养孩子那么高的的技能，那你再去顾及其他，所以还是很难。我在低年级的时候也做过这样的实验，让老师们特别是一年级，一年级第一学期，好多老师都说了孩子们基本上都学过了，特别是城市的孩子都学过了，都学过了，那该教什么呢？其实我觉得一年级第一学期是最最重要，另一方面的培养孩子良好的习惯，把这两点作为最重要的，你后面教的时候可能就比较容易了。要求太高，特别是理解、掌握、经历、体验、应用、创新。特别是创新就是难题怪题。现在的教材，现在有很多人呼吁把教材课标的难度再降低一点。但是降低的话有时候也难，初中欧式几何证明删去了很多，现在又恢复了很多，为什么？家长接受不了，老师也接受不了。改革迈的步子太大了也不行。大家都接受不了的话还要改回来，当然不是走老路了，还是有所精简的。主观因素，我之所以把应试教育划到主观因素里面，这不是某一个人的问题，在学校里面，在我们老师的头脑里面也不能说它不存在，就是单纯的追求分数，枯燥、机械的训练——教学缺乏艺术性。这些情况相对来说还是非常普遍的。

这是近期的一个报道：这是一个家长对着一个孩子，小丁当本学期的期末考试考了96分，班里47人，满分13人，平均分98分。说明什么？说明他在平均分以下。孩子的家长说儿子的数学成绩连中等生都没达到。在平均分以下，倒数！又接着想：这样下去，不是输在起跑线上了吗？现在和人家差4分没什么，要是高考差4分，那该让人落出多远距离啊、他决定和儿子好好谈谈。不是应试教育是什么呢？如果这样苛刻的对待学生，学生能感兴趣吗？我们看一个挺典型的例子，也挺有意思的，我们听听孩子得到的待遇：家长给儿子检查作业，有这样一道题，判断是不是直角，孩子量了量说只有88︒，不是直角。妈妈好气又好笑的说，指着直角符号说：儿子，以后见到这样的情况，不用量，一定是直角。“有直角符号，你能说它不是直角吗？儿子说：不是只有90︒的角才是直角吗？它不是90︒，光有个符号就行了？妈妈说对。有这符号就说明他是直角，孩子不服就是不改，爸爸回来了：你们吵什么啊？儿子说：这个角本来就不是直角，我妈非说见到这个符号就是直角，有这么不讲理的吗，你这样规定我就说他是直角？爸爸说：公共厕所的门口明明写着“男”“女”，你不承认，非要到里面看看才承认吗？儿子哑口无言，乖乖的把题改了过来。所以你对待孩子的态度，怎么样对待，一定要心细一点，所以为什么学生的问号越来越少，举手的积极性越来越低，想象力越来越差，这里有这方面的因素，当然我不是说所有的老师都有，但是我们还是有则改之无则加勉。

比如像苏霍姆林斯基说的；如果没有足够深刻的学科知识，跟教师谈讲课方法、分析文艺作品的方法，是毫无帮助的。如果数学教师只能勉强对付当天要交的一段教材，那么这个班上的学生是出不了数学人才的。不仅出不了数学人才，我觉得你的课不可能讲不到深入浅出，那么你的孩子，不感兴趣，那就是失败的。所以我们老师数学学科的知识其实是非常非常重要的。也是我们老师能够站稳脚跟。不随风漂不随风倒的一个很重要因素。你感觉到数学好玩了嘛？谁觉得数学好玩举一下手？我可没有前提条件不是让你回想自己的情形你当老师你觉得数学好玩吗？举一下手，还是只有三分之一啊。还是你不愿意举呢？所以我们要做到这一点我们就要想办法找到数学哪些地方是好玩的。其实这是蛮重要的一件事，我刚才说的中国学习者悖论。其实说的就是这个，包括有的时候学习好的学生有时候都不觉得数学好玩。如果我们老师上的数学课不是那么严密的话但是孩子就是喜欢数学，我觉得你的数学教学真的到家了。但是做到这一点真的很难。我们看一下这样几个例子。这是去年十一月份的几节课。发在今年杂志的第四期。有几个片段我们看一下。经历一般到特殊感受取值范围。用ｘ代表李明的岁数，用ｘ+5代表李勇的岁数。想一想，当李明1岁时李勇6岁.李明2岁时李咏就是7岁，有几种情况？学生说有无数种。老实说，好像有道理啊，咱们来看看，当李明10岁时，李咏就是15岁。当李明100岁时，李勇就是105岁，李明1000岁时李咏就是，李明10000岁时。孩子都可以回答，但是有的孩子说不可能，不可能一千岁一万岁的。ｘ代表的年龄不可能有无数种，ｘ最多代表的是一百多岁。孩子还挺聪明的加上了100多。 老师说真好，ｘ是自由的，它可以代表任何数，不过用它代表年龄就不能是任何数了。这说明ｘ可以任意取值，他是自由的，但是它代表你年龄的时候，是有取值范围的。你看老师顺着孩子的思路走下去的话其实是很有意思的。还有一个例子那是说还有一个人叫做李刚他几岁呢学生说x*2岁，老师问想一想这三个人谁的最小。肯定是第一个x李明最小。李勇是ｘ+5，他是ｘ*2。不一定，有老师摇头了。如果小一岁的时候那就不一定了。不过年龄的话相对来说是整数，这个一般是默认的。那最大的是谁呢。孩子说最大的李刚。另一个孩子说不一定有的时候李明大有的时候李刚大。把你的想法和同伴讨论一下，说明这题还是比较难的，老师很明智。孩子这时候汇报了如果李明一岁李勇就6岁，李刚就是2岁，李勇大。如果李明六岁李勇11岁李刚十二岁就是李刚大。有学生说还有可能是一样大如果李明五岁他俩就一样大了。出来了各种不同的情况其实就是分类讨论。最后老师总结，哎呀真是这样啊，同学吗你们感受到了吗？用字母表示数让数学变得更有变化了你们喜欢这种充满变化的数学吗？其实从算数到代数，最大的变化是什么？就是有变化。或者是说有一定的取值范围。我们在看教，这节课我觉得是非常有意思的。还有两个片段，我们再看一下这个。青蛙歌一只青蛙一张嘴两只眼睛四条腿两只青蛙两张嘴四只眼睛八条腿。还是经过调整最后得到了，2n和4n。这个老师其实很有意思的，他说其实还有一首歌，叫做小猫歌，课件出示，几只小猫几张嘴几只眼睛几条腿？还是顺理成章的就说出来了。还有一首歌，是同学歌，N只同学N张嘴是不是？别的老师发现了，哪里错了，4ｎ条腿。有的时候你顺着孩子的思路来让他自己犯错。然后再让他纠正过来，是不是印象会很深刻啊。他还给大家变了一个魔术。这个应该也是比较有意思的。最后老师的总结我觉得还是很重要的，用字母表示数帮我们揭开了这个魔术的神秘面纱，看来字母表示数有这神奇的作用。我觉得这节课，从孩子的思路让学生不断的去争论，不断地给学生提出来那些有意思的问题，我觉得还是很好的，包括魔术，包括青蛙歌，其实都是比较喜欢的形式，从形式到内容我觉得这个李老师做的还是非常好的。我们再看一个例子。是刘加霞老师书里面的一个案例。低年级教学减法的初步认识。停车场原来有五辆车，开走了两辆还剩几辆？学生顺利列出算式，五减二等于三。然后让学生用学具自己创造一个用减法解决的例子，并列式解决。你看这个孩子，我本来拿了五个小水果，送给同桌两个，我还剩几个水果。我列的算式是，五减二等于三，男孩儿说怎么还是五减二等于三啊，重复了。女孩说没重复，这次不是汽车，是水果。有道理没有啊，有道理。反正也是五减二等于三，还说不重复。大部分学生同意男孩的观点，反正你列的算式是重复的。但是也觉得女孩说的有道理，辩论不出结果。遇到这样的冲突，你觉得应该怎么样处理呢，我们来看这个老师的处理方法。你能再想一件事情，也用五减二等于三来表示吗？孩子们编出了很多情景，如教室有五个小朋友，走了两个还剩几个。草地上有五朵小花，摘走了两朵还有几朵？有五支铅笔，借给同学两只，我还有几只。刚发言完的一个学生，说这样的事情我还能说好多呢？都可以用五减二等于三表示，五减二等于三的本领真大呀。都差不多了。我们来看接着发生的事情。老师继续捅破窗户纸，有的事情发生在停车场里，有的事情发生在教室里，为什么完全不一样的事却能用同一个算式来表示呢。学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个算式所表示的意思都是一样的，教师趁热打铁，三加六等于九，可以表示的事情多不多，那就一个数，八表示的多不多，学生脱口而出那太多了。你现在有什么想法，学生说，我觉得数和算式都太神奇了，能表示那么多不同的事物。是不是数学的神奇啊，但是抽象有抽象的道理。有抽象的好处。数学之所以应用的那么的广泛就是有它的高度的抽象性。这些例子其实还有很多，我就不一一列举了。如果有时间的话这些例子可以去看看，还是蛮有意思的。

我们看，怎么样来使数学好玩，我做了这样的思考。老师们也可以去尝试。首先我们来看谈祥柏老师的一段话：要让学生感兴趣，有两个因素很重要，一个是师生感情，我没有架子，学生都喜欢，另个是要靠学科本身的魅力来吸引学生。其实我觉得一方面是师生感情另一方面是学科魅力，其实中间呈现的行式也蛮重要的。其实大家都知道。小学生依赖性比较强容易爱屋及乌，这是肯定的。热爱学生对学生一视同仁。我们看有一项调查好老师的十条标准。我们看学生怎么写的不偏向女孩子不拖堂去哪春游先问问学生，能跟学生聊天，犯错误请家长，做了好事也要通知家长，知道学生喜欢什么，能控制自己的情绪。这个最重要的我觉得就是，老师要爱学生，这个可能是最基本的。我们有时候会接触到，有时候会用到。但是我觉得还是要讨论一下要探讨一下。我们来看一段话，唤醒学生的最好方法是向他们提供有吸引力的数学游戏，智力题，魔术，笑话，悖论，打油诗，我那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。这是加德纳说的一段话。这里面包含了一些形式活泼的能让学生喜欢的行式。你比如说数学游戏有很多24点，强三十明七暗七，老师都接触过，幻方，幻方是什么？幻方是123456789，然后填到九宫格里面。九宫格是三阶幻方。如果是十六个的话那就是四阶幻方。我在教初中数学的时候，就给学生出过这样的题，四阶换方五阶幻方能填出来吗？其实也是很有意思的。而且入门容易但是难度还是分很多级的。我们杂志大概在一零年左右的时候登过一些。我们的编辑部主任天天晚上回去从网上下载几个作一作电脑游戏，七巧板，或者是魔方。魔方就是那个转的，这些的话其实都是可以的。数独就是这个，有些老师没见过的话，可以看一下。他其实就是九个九宫格放在一起。然后横竖的话，都必须是123456789。而且每一个九宫格里面也都必须是123456789。这个就是风靡全球的，以前有老师专门写过书。这是教材里的七巧板这道题，下面的图形说的是守株待兔的故事，请你拼一拼。其实我觉得不仅是拼一拼的事情，还可以让学生说一说。折飞机这个也进入教材了。而且是一个主流的教材。我就在想象，如果这一堂课的话真的让孩子折飞机的话，会出现什么样的情景？满天飞行不行的啊。能接受了也行，我觉得啊，如果真的是孩子折的很好，还飞起来了，甚至我们经常碰到这样一道题，让孩子们去操场上，扔飞机，看谁在空中滞留的时间最长，飞的时间最最长。其实做个这样的活动也不是没有意思的。甚至你再把它们统计下来再让学生自己去探究探究。是不是更有意思了。就像曹老师说的，有的时候老师不一定要有很高的技能，但是如果你有某一节课甚至某一点的话让孩子记住你的话，可能他就会因为喜欢你而喜欢上数学，我觉得这是非常有道理的。这个是数学游戏，趣味数学，低年级级的话是数学游戏，中高年级的是趣味数学。其实他们已经作为校本教材来用了。

数学有我多好玩的比如说智力题很多例子我就不再举了，活泼的多样的形式。数学魔术，谜语，相声，笑话，对联。很多。数学诗，如果老师看看的话，也挺震撼的。一二三四五六七八九十百千万。然后再从万千百十一直到一这个就不再读了。你猜猜后面这个写的是什么呢？圆周率，这人挺有才的。学派的时候学圆的时候，学圆周长的时候。把这首诗呈现给孩子，孩子是不是能就能记住后面的二十二位了。其实我们老师去收集。还有一个东北师大在嘉兴有一所实验学校，孔凡哲教授在那当校长，他们去年就搞了个快乐数学节。这个快乐数学节上有谜语，有很多。有一些是规定动作而有一些是自选动作。你可以随意去参加，然后得到不同的分数，它都有一定的规则。我觉得很有意思。我们看这个老师这是一个中学的数学老师，在上课的时候编了这样一段：曾几何时我诞生在印度通过阿拉伯流传到四处，我一问是并着费一，说我是妖言惑众的怪物，知道这个说的是什么吗？我还问我们的老师什么是RAP。咱们现在年轻人，本身接受新生事物是比较快的。所以有些融入到课堂里不是不可以的。这是阿凡提分马这样一个故事。我们在看一个回文数我觉得也挺有意思的。回文数有一个猜想，任意一个自然数当然不包括零。与它的倒序相加，做得到的和是回文数，回文数是什么意思啊，就是一二一，三二三，中间对称的那些数。若是所得的和不是回文数，就在于这个和道道序数相加，经过有限次步骤后最后必定得到一个回文数。你比如说，六十八加上八十六，也就是加上它的反序数。然后得到一百五十四，然后再把四百五十的，翻过了，一百五十四相加，逐步的加下去，就能得到一个回文数。但是这仅仅可能是一个猜想，有些数可能就得不到。这个说的还是可能，比如说196，和下面的这个数，就得不到，因为它仅仅就是一个猜想。看这个例子，“客上天然居乘以四得到居然天上客。”这是古代的一个名联。 然后把他融到这里面，像这样的式子很多。这个式子他比较特殊的一点在于他也是一个唯一的答案。怎么得到的回去可以去思考一下。回文数还有这样的类似的应用。回环诗，中间的那边开始：赏花归去马如飞，去马如飞酒力微，酒力微醒时已暮，醒时已暮赏花归。这个也是挺有意思的，这样算一直算下去会得到什么呢？最后结果总是得到一个421。这是一个对27计算的结果。按照这个规则计算下去，最后是不是得到1啦。这也是一个角度猜想也是很有意思的。这些个你上网去搜一下或者找一下这些都是存在的。但是这是一个老师上课说的到的东西我觉得我们可以去试一试，包括24点啊，都可以自己去试一试。数学好玩还有数学的美。这些我也有设计，这里我给大家介绍一个公式，和谐美这个被2003年评为世界科学上最美的一个公式。为什么她是最美的，因为e和派，都是两个无理数。也是超越数。ｅ是什么，是自然对数的比，i是什么？是虚数，1和0不用说了一是自然数里最基本的单位。零是一个很关键的数，而这五个常数，居然到最后组成了一个等式。是不是很绝啊？另外还有数学文化综合与实践。还是希望老师们一定要去做一做。虽然说现在仍然是有应试教育。综合与实践这一块有多少老师在做呢？但是这一块还是蛮有意思的。综合与实践，就像我刚才说的那个折飞机，你领着孩子去做一做。然后去统计统计，最后去探讨探讨原因的话，我觉得这是个非常有意思的经历，同时的话对数学的感悟会更深刻，我很早就在思考这样一个问题。为什么我们的学生就不能做研究呢。我觉得这是一个大的问题还是一个创新的问题。创新不是说光做一些难题怪题。这是一个大的问题，老师们一定要把握。这是一个教研员设计的一个课程，做的一个课题，做了一套，从一年级到……都有还有数学的阅读我觉的老师们也要尝试作一作，比如说李毓佩写的《爱克斯探长》在我们河南省实验小学有个老师推荐学生去读，他们还是读的很有意思的，《爱克斯探长》、《奇妙的数学王国》都是很好的，当然这里有一个选择的问题，有些适合学生读有些不适合学生读。这是最近刘坚教授翻译过来的数学阅读丛书《篮球运动中的角度》，他就写了一本书，另一本书《海洋地图》这是其中的两本我觉得蛮有意思的，可以让学生阅读。这是一个学校里面，校本课程安排的六个年级所做的大家玩数学的活动安排。其实我觉得让学生去做做还是蛮好的。提点想法能否开设数学阅读课数学欣赏课。那数学阅读课数学欣赏课是不是又到奥数课上呢？我觉得要思考啊。快乐数学题能不到一学期或者一年的话搞一次。我觉得还是很好的。当然后面写的话，我呈现一下，老师看一下。最重要的我感觉还是数学自身的魅力。我觉得老师们做事对数学理解深刻了。数学化我们现在讲情景——数学化——应用。我觉得最重要的还是一个抽象话化，和数量化。前年央视有一个访谈类节目叫做你幸福吗，就一些指标就可以了？收入公平也有一些划入指标类的。恩格尔系数都可以来计算出来。虽然这是计算非常复杂，为什么不介绍给学生呢？比如说污染比较严重国际上就有一些通行的方法，把它抽象化，抽象成一个数学问题然后来进行替代。十字路口的红绿灯这个咱们都知道。铁道部免票儿童身高规定，平均数。我觉得还是挺好的，你要让学生去体验，这些都不再说了你比如说数学模型，模型的建立，比如说加法，本身就是一种模型，而乘法有，乘法的模型有四种情况，几个几，倍，面积，组合等等。这些大概了解一下就行了，三大特性，高度的抽象性，严密的逻辑性，广泛的应用型，这些老师们了解一下，但是我希望老师们去思考，为什么，这些是数学的三大特点，我们在教学中如何体现？可以去思考，这些的话就都不在说了，数学的发展和规律。最后只讲一个例子我觉得这个例子挺有意思的。芝诺悖论。这个与0.9999，9循环等于一，这个循环有关系的。芝诺悖论提出的情况是这样的，有一个神行太保跑得非常的快他的速度是乌龟的十倍。乌龟在前面一千米处开始跑，他在后面追上乌龟，首先，要到一千米这个点，是不是，乌龟的这个起跑点上，而他到这个七八点的时候乌龟跑了多少，一百米。而这个是人的话再跑一百米，乌龟又跑了十米，一直进行下去能追上乌龟吗？没听明白。悖论说的就是这个问题一直在细分，但是一直都追不上。他觉得是这样的我觉得也有道理。留个作业不说了。还有很多很有意思的，想今天下午说的分行啊。你看这个图形它的周长是无限的。可以无限的细分下去。但是它的面积是有限的。谢尔宾斯基三角形，它的周长是无限的，但是它的面积是趋于零的。这些就不在多说了，希望咱们共同努力来实现亲近数学、玩转数学、迷上数学、爱上数学、最起码是不恨数学。

作者：殷现宾（《小学教学》副主编）