小数：分数家族的子孙，整数家族的宠儿

 “小数”对我们来说并不陌生，象0.7，529.43等等这样的数都是小数。小数尽管在它的名字中有一个“小”字，但人们并不因此而小看它、瞧不起它、冷落它。相反，在我们日常生活中，看到最多的数恐怕就是小数了，比如，我们去任意一家商店，它里面的各种商品的标价都是用小数来表示的。就是连一个小摊上的各种商品的价格也常常用小数明码标价。由此可见，小数有着大作用，千万不要因为它的名字中有一个“小”字而瞧不起它。

在小学里，当我们说起数的时候，常常会说整数、小数和分数，看上去小数就与其它的两种数一样平起平坐，辈分不相上下，地位不分贵贱。但是，如果我们考证一下小数的身世，查一查它的家族史，看一看它的上辈和祖先是谁，就会发现它与分数是直系亲属，与分数有着割舍不断的血缘关系。我们先来看小数的定义，在小学数学教材中，常常这样写着：分母是10，100，1000，……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……。这样的定义虽然还是属于描述性的，但是我们已经能够初步的看到小数与分数之间那种扯不断的关系了。如果说描述性的定义还不能对小数概念的内涵与外延作出十分明确的界定的话，那么，在我们的算术理论中就有明确的小数定义。一般的算术理论都是先给出十进分数的定义：分母是10,100,1000，……这样的分数叫做十进分数。再给出小数的定义：根据十进制的位值原则，把十进分数改写成不带分母的形式的数叫做小数。从上面的定义中，我们可以看到，十进分数是一种特殊的分数，而小数又是十进分数改写而成，可见，小数的确与分数有着割舍不断的血缘关系。从某种意义上说，小数是分数“生”出来的。如果要排辈分的话，分数是小数的上辈，也就是说分数是长辈，小数是晚辈。所以，我们说小数是分数家族的子孙是有一定道理的。

非常有意思的是，虽然小数出生于分数家族，是分数家族的子孙，但它不呆在自己的家族中慢慢长大。而是长期在整数的家族中生活，好象是分数家族把自己的一个子孙寄养在整数这个大家庭里那样。整数也很了不起，尽管小数是人家的子孙叫自己来托管的，但并不因此对它另眼相看，更不欺负它、虐待它。相反，对这个外来的成员照顾周到、关怀备至、宠爱有加。大家知道，人们在研究任何一种数时，常常试图研究这种数的大小比较，这种数的四则计算方法等等。整数家族不但有自己大小比较的方法，而且有自己完整的四则计算法则，这些都是整数家族的重要资源。从小数是特殊的一类分数这个角度说，小数的大小比较、四则计算都应该按照分数家族的规矩做，但由于小数成长在整数的家族中，整数家族非常大气，让小数无穷的享受自己家族的所有资源。这样人们在研究小数的大小比较、四则计算方法时，就借用了许多整数的资源。如整数比较大小时，是从高位到低位逐位比较，如果高位上的数已经能一决雌雄，低位也就不用再比较了。人们在建立小数大小比较的方法时，不与分数大小比较的方法相同却与整数完全类似。小数四则计算的法则也是先按照整数的法则计算，然后再处理一下小数点就可以得出结果了。比如，小数加法的法则就与整数加法非常类似，本质上还是两条：一是相同数位对齐；二是满十进一。而整数可以是从个位加起，小数就不是从个位加起，要看最右边是什么位，就从这一位加起。但两者实质上都可以从低位加起，从这一点上说，小数还是与整数的加法法则一样的。小数乘法是先按照整数乘法这样乘，然后确定两个因数小数位数的和。和是多少就在积里数出几位小数，点上小数点就可以了。小数的减法和除法借助了整数的资源，你看，小数计算时，不再涉及到要通分或者颠倒相乘这类分数的法则。

整数不但让小数充分享受自己家族的财产，更为让人钦佩的是整数还把自己看成是特殊的小数，即整数可以看成是小数部分是零的小数。也就是说，人们可以把一个整数如56看成是小数56.0、56.00等等这样的特殊小数，从这个意义上讲，小数比整数的辈分就要大了，变成小数在上位，整数在下位。比如，整数的数位顺序表只是小数的数位顺序表的一部分。本来是人家来寄养的一个孩子，现在把它看成是自己的上辈，好好的供奉。这是何等的气魄宏大、心胸宽广、品德高尚。与整数相比，这个世界上还在虐待小孩或者老人的人应该自愧不如，无地自容。

小数生长在整数家族里，享用着整数家族的资源，建立了自己的一系列法规，可谓十分幸福。但它并没有因此而众叛亲离，忘记祖先。例如，当两个小数大小比较时，不访是0.67与0.89比较大小，当人们说0.89大于0.67，要说明理由时，就说对于0.89，十分位上的8表示8个0.1，在0.67的十分位上的6表示6个0.1，而8个0.1大于6个0.1。如果进一步问，为什么8个0.1就大于6个0.1呢？因为0.1就是10分之1,8个10个之1，即10分之8,6个0.1就是6个10分之1，即10分之6，10分之8大于10分之6，所以可以得出这两个小数的大小关系。从这个例子中可以看到，真正要弄清小数大小比较的原因，还是会涉及到分数。其实小数的四则计算也一样，当要说明理由时，还是要找到祖先，否则就无法解释这种现象了，无法真正说明这种操作的合理性了。由此可见，只要对小数寻根溯源，它与分数的这种血缘关系就会清晰可见，小数也始终没有忘记自己身上永远流动着分数家族的血液。

人也应该像小数那样，无论自己地位是否变迁，无论自己身居何方，永远不要忘本，永远不要忘记自己的长辈，自己的祖先。所有的炎黄子孙都应该永远记住自己的中国心，龙传人。

作者：朱乐平（浙江省杭州市上城区小学数学教研员，特级教师）