关于分数教学的几点思考
 

我做一点才有胆量来讲一点，所以要感谢最近我们在做的这件事情——香港大学和义乌义亭小学做的几堂小学分数的课，围绕这个课，我们就想了一些问题，讨论了一些想法，所以今天我也只是把这些问题和想法和老师交流一下，把这些问题供老师思考一下。

前言简单讲一点，最近这些年听了很多小学的课，有一点是小学的课堂老师的教学方法，课堂的活跃程度是大学和中学不可比的，无法相比，但是热闹之后就想数学该怎么上这个问题。数学应该这样讲吗，到底怎么讲比较好。当然我们也没有注意小学到底该怎么去讲，大家也知道现在我们在做高中课标，在北京，关于数学核心素养我们已经讨论一年多了，关于数学我们讨论很多，关于数学课该怎么上，我有个基本想法，就是能不能把数学教的简单些，这个简单有时候甚至是少一点，或者教的晚一点，比如四年级学生学的很痛苦，那我们能不能放到五年级去教？东西很多，一会儿教这个，一会儿教那个，能不能少一点？少一点的目的是我们把数学的道理讲的明白一点。这个事情两年前我们在和复旦大学的资深院士李大千做访谈，讲了大半天，他反复讲说现在中小学在抢跑道，小学不要跟初中抢跑道，初中不要跟高中抢跑道，中学不要和大学抢跑道，这是第一个意思。第二个意思他说：“我做了这么多年数学”，李先生也80岁了，“我总在想能不能在某一个时段少弄点东西，反复去想，也许能把这里的道理想得明白一点，我们有没有可能做到这一点，想明白干什么呢？我们还是希望让学生的思维更加合理一点，或者说更加灵活一点。”从这个角度我们在讨论分数的时候就在想，为什么选择分数概念呢？分数是小学里最难教的一个内容，而且也是最重要的一个内容。我有一个被很多人认为是偏见的东西，总觉得小学四年级之前算数是最重要的，其他的像几何玩一玩就可以了，统计用一用就可以了，主干应该是算数，其他不过是挂在树干上的一些东西而已。这不一定对，但是我们从国际比较，从很多角度来讲可能也有它的道理。所以我们就选择了分数来研究问题。研究分数一个是很难，另外在西方人眼里分数是教不会的，学生学不会的，现在很多成人也不会的。为了这个事情，我的一个朋友在美国也是终身教授了，他特地要我在国内帮他找三所学校，前后来了两次，第一次二十几天，第二次来了十几天，就想研究我们中国老师怎么把分数概念讲清楚的，他说美国老师怎么也讲不清楚，自己也不清楚。我们选择这个课题也是想把这里面的一些问题想想清楚，但是发现也是挺难的。第二个在研究上来讲国外很多，在国外很多心理学家研究对象都是小学，但是中学他做不了，高中更做不了。大量心理学家研究对象，研究的载体都是小学，而小学数学里面分数很多，关于分数的研究始终是一个热点，几十年过去了这个热度还没有减，所以正因为这样，我想在座的老师都是很有经验的，能不能围绕一些问题把这件事情稍微想得清楚一点，我们教的可以简单一点，这里面的道理让小孩子想的明白一点。这就是选题的原因。

这里有几个引子很快就过去，第一个蔡金法，是我们浙江人，现在在国际上影响非常的大，1996年做过这样的研究发现让学生算3/4-1/6=2/2就是把分子减一减，分母减一减，有这种错误算法的中国学生是0，美国学生有1/4，就是1/4的美国学生是这样把分子相减分母相减。这是96年的一个例子。3/8÷4=3/2用分母去除以4的，这个当然是错误的，中国学生有5%，美国学生有1/3；算5/11÷1/9=5/99把底下相乘分子不动，这样错误的，中国学生有2%美国学生近40%。这是第一组研究。

第二组研究是马立平的研究，99年，就是让老师和学生去算一又四分之三除以二分之一是多少，美国的数学老师怎么来解答这个问题呢？我们看下结果，算法正确，答案正确的只有43%。算法正确道理又讲清楚的只有43%，算法正确答案错误的9%，算法与解答都不完整的19%，算法模糊没有解答的24%，算法错误答案错误的5%。这是中国数学老师，因为他当时在做国际比较，中国老师是全部正确，没有任何问题，在解释算法的时候做了中国老师、中国学生和美国老师的比较，有的用除法来解释，有的用图形来解释，但是你可以看到中国的老师和中国的学生是非常接近的。这个问题的另外一个解答，因为这个问题蛮有典型意义的，做过好多的国际比较，这是另外一项比较，也是求这样的问题的，结果美国、上海、香港、韩国中，正确答案的上海和香港都是100%，韩国也是100%,美国只有43%是正确的，讲道理的美国只有4%把道理讲出来，上海的学生可以90%把道理讲清楚，香港67%，韩国50%。我举的这个研究有意思的在什么地方呢？这都是在90年代，那个时候还没有新课改，我们有时担心新课改以后再做这样的研究，这样的数据会发生什么变化。我上小学、初中的时候都是文革期间，我现在根本不记得当时分数是怎么学的，总觉得好像没有遇到过任何的问题，我也问过我的很多同学，差不多年龄的当时学分数我们有过困难吗？好像不记得了。那今天我们知道分数这么难学，这么难教，到底什么原因？是不是我们研究人员把这里的难点暴露出来以后，反而我们老师不知道怎么教了？这件事情我们希望把它理一理。另外一个是美国课堂的一个片段，我这里知识举一个有趣的例子，老师问：“汤姆，你说说看什么是分数？”汤姆说：“分数就是上面一个数，下面划一条线，下面还有一个数，上面的数比下面的数要小一点。”这是一个很有代表性的解答。那怎么会这样？小孩子学完分数以后为什么会这样？

正因为有这样几个引子，我希望我们可以把这里面的讨论清楚。所以我准备了四个方面的想法，但是今天我最多可以把前两个大概的一些问题、想法跟老师交流一下，余下的那些问题像加法，乘除法我里面有些问题，请老师们在茶余饭后或者做研究的时候想一想，有什么想法的愿意跟我交流那也很欢迎，我前面第一张就有我的邮箱地址，欢迎老师一起交流这些问题。我大概把前面两个问题跟老师交流一下就差不多了。上次我在千课万人第一次讲的是变设教学，当时我们是希望学习空间来营造这样一个变设的活动，以后凡在听课时间我都画一个空间，分数的学习空间什么样的呢，我们大概的画了画，供老师们参考，关于分数的学习有这样几个关键属性：第一个关键属性就是它的意义与表征，在国际研究里大家公认的关于分数有六种意义：一种可以看成等分除的商；一种可以看成小数，小数就是分数；一种是比值，比例，比率；还有一种可以看成数轴上的点，也可以看成图形中整体-部分，当然也可以看成离散集合的子集和它的全部。不同的意义在分数的学习中用处是不一样的，那我们需要考虑问题就很多了，我们按照那种意义来引入分数是比较合适的，学生比较容易学的。我们先引入，然后六种意义让学生慢慢的去理解，排序怎么排，六种意义先理解什么，后理解什么。包括我们课程都需要讨论问题，后面我会简单介绍一下不同国家的，特别是美国，我们中国的他怎么排序，怎么设计的。当然不同排法要照顾学生的年龄特征，也不完全是逻辑的。这六种意义里哪些是更重要一点，对以后的学习都有帮助的，或者是那些用哪个意义来解释分数的什么活动更加方便，更加好理解一点，更加简单一点。比如在引入分数加减法的时候，我们要按照什么意义来引入分数加减法是最简单的。在教乘除法的时候又按照哪种意义教乘除法是最简单的，这是我们需要考虑的问题，这是第一个纬度。第二个纬度当然就是运算，这个运算包括单位分数，分数加法，乘法，比较，转换，估算等等，这里涉及到运算的一些问题。我始终觉得小学四年级之前运算是最重要的，运算是必须熟练的，运算里隐含了高等数学的很多思维方式。小孩子在这个年龄段把运算弄熟了对以后数学的学习是很重要的，这是第二个。第三个推理，推理在小学里可以加入什么？上次在千课万人讲的就是推理，什么是数学呢？就两个字一个是算，一个是证。这个是李卫民先生说的，我觉得很有道理。在小学阶段分数这个层面上我们可以引入什么样的数学推理。最后就是我们用什么模型来帮助学生理解和学习分数的概念以及分数的运算，包括分数的推理，就是我们有什么模型去解释可以让学生理解的更好，这也是需要我们去想的。所以我把这个叫做我们分数学习的大空间。

我们再来看一下主线的问题，应该什么来教，按照什么顺序来教比较合理呢？当然这不是我们老师能改变的，课程是这样，就这样去思考，有的时候稍微换个顺序对数学的理解可能会不一样，由于时间紧，有很多例子包括黄老师的方程教程处理的连续剧，换一个片段对数学方程意义理解可能会更好一点。我们看不同国家分数是怎么处理的，这是美国的，这里有两个数量“1”表示年级，1-9表示一年级的第九章，美国从一年级的第九章就在为分数做准备，单位就进来了，长度单位，重量单位，体积单位,非标准单位就进来了，到了11章以后又涉及到量的单位，钱币的，总数与零钱的，就是为以后铺垫，钱币的单位，到了二年级的第九章就开始引入分数，引入分数时候首先出来的就是单位分数，然后再来讨论其他分数，第一节教单位分数，把单位分数也看成是前面延续下来的一种单位，这是数的单位不是两的单位，前面讲的都是某一个物理量的，某一个测量单位，这里实际是数的单位，然后在介绍其他分数，再利用模型来解释平分，图形离散结合。到了三年级又重新分数，开始用等值，总数，比较大小。三年级开始分数与小数的关系。四年级就是分数的大小比较，加减，带分数就进来了，到了四年级还这样。老师们回去可以看一下，这套教材是美国加州的，这是五年级，五年级是美国分数学习的重点，大量的课，第三章，第五章，第六章，第八章连续四张都涉及到分数。这里面分数与小数，分数加减法，分数乘除法在五年级基本完成。到了六年级开始把代数的量加进来了包括字母、分数的应用、比率与比例、百分数的应用，七年级又开始把百分数这几个统起来了。这是美国的跟分数相关的发展次序。这里面我不知道老师们有什么感觉，我的感觉就是太散，这也是美国研究下来的结论，他们分数为什么学的不好的原因是太散，太杂，不够集中。尽管刚才说五年级是重点，但是前面学习原来做铺垫的螺旋上升的实际上有很多干扰，当学生脑袋被弄糊涂以后再来学这个东西学不清楚。人教版有长度单位，测量，分数的初步认识，到四年级开始小数的意义小数的加减法，然后是小数乘法，小数除法，分数的意义与性质开始，分数的加减，分数乘法，分数的除法人教版相对集中一点，这样的顺序是不是合理？作为一个问题请老师思考。

最后在引入百分数和比例。上教版，从某种意义来说可能是德国的一套小学教材，很多做法是借鉴了德国的教材。但是德国小学只有四年，上海小学有五年，不一样，这个小差别在很多方面意义是比较大的，在很多国家他分数的核心内容在初中教的，上海的六年级算是初中了，所以上海初中是六到九年级。到初中在学分数概念它可能不一样，字母代数，字母的东西带进来了。所以我们可以看一下，一到五年级是准备，包括度量关系，单位，分数的初步认识，三年级。四年级数与量，分数的初步认识二，小数，五年级还是小数加减，小数符号表示，小数乘以整数，小数色四则运算，六年级才开始学分数的意义与性质，分数与除法，分数的运算，就是加减乘除在六年级一起出来，六年级在上海算初中了。当然还有比，有理数，有理数的运算，这种形式老师们可以考虑一下。我们觉得上海有他的优势，到了初中再讲分数味道是不一样的，有了字母以后很多是要讲，是不一样的，当然这件事情我不能说哪个更好一点，老师们可以去思考这个问题。所以这里需要讨论的问题有这些：第一个分数到底集中教还是分散教比较好；第二个是先学小数还是先学分数比较好；第三个分数的六种意义的发展顺序大概怎么处理比较好；第四个就是什么时候引入字母表示，这个在美国很早，一二年级字母就进来了，那么字母表示进来以后给我们的教学带来的影响是好的影响还是不好的影响，怎么处理会更好一点。我刚才跟朱乐平老师再说，他说字母引入太晚，可以更早一点，就目前的小学教材，我很同意，就是字母什么时候比较合适，因为有的字母的分数表示加减乘除很多东西我们就讲的更加明白一点，就不用很多复杂的图形去表示。这是第一。

第二分数概念的理解，分数难学主要是概念不好懂，难在哪里？我们怎么帮助学生分数概念理解的更好一点，这里也有些想法跟老师们交流一下。这段话我蛮喜欢的，就是让小孩子理解一件事情少一点没关系，学的少一点没关系，但是让他真正理解这非常重要，如果他不理解那我们宁愿不教、少教一点，但希望他能够明白其中的道理。第一个就是单位分数在分数学习中的作用我们怎么去把它发挥出来，无论从历史上还是数学逻辑上还是从心理学上，这个都最重要的，就是单位分数的概念是最重要的，所以我们看到不管哪个教材，在学习分数之前关于单位已经有了铺垫，不管是测量的单位还是货币钱币的重量单位都有一些铺垫的，那么单位分数这个概念该不该强调，怎么去处理？这里有很多相关的研究，我这里就举最经典的皮亚杰的几个观点，我觉得今天来看仍然有道理。皮亚杰当时的研究有这样几个观点：第一对单位量的认知是处理分数问题最重要的一件事情，最重要的就是对单位量、单位分数的感知，熟悉。当时我们在教整数的时候，数的分解、合成我们花了很多时间，这对我们后面分数的加减乘除没有什么问题的，如果分数有问题的话，那我们可能在分数单位上做的不够，这是第一个，皮亚杰的观点，供老师们参考。第二个他说具有等分割的概念对学生来说是很重要的。第三要理解部分与整体间的关系。第四个叫确认单位分数。学生要能够认识什么是单位分数，无论是分割还是整体分的时候都涉及到。5/7单位分数是什么，有多少单位个单位分数，比如说有5个1/7，那么1/7就是单位分数，有5个1/7那就是5/7，这样的认识可能对后面的学习从研究角度来说非常重要，老师们在你们的教学中是否关注过单位分数在整个分数学习过程中的意义。请老师们关心一下，从研究角度来讲单位分数非常重要。从历史角度来讲我们最早的分数只有单位分数，以前没有其他分数的，在很多国家包括古巴比伦古埃及只定义了单位分数，其他分数就看成几个单位分数，没有其他分数概念的，这和我们人类的认识有关，早期只有单位分数，所以我们小孩子学习是不是重点先把单位分数重点讲清楚，历史上也是有依据的，所以单位分数的概念基础不用讲了。

那么这里需要讨论的问题就是如何帮助学生建立单位分数的概念，包括如单位分数在分数学习的那些地方可以发挥作用，是乘法，除法，还是导数。在那些地方是可以发挥更大的作用的，比较大小，这里我列举了几个，不一定完整，这是第一个问题。第二个问题就是那些模型更有助于理解分数的概念，现在有些课听下来好像老师们的模型蛮多的，花样蛮多的一会用这个模型一会用那个模型的，模型很多，所以我在想在分数学习的不同阶段，不同内容用什么模型是最合适的，这是我们要考虑的，因为东西太多了，一会用这个，一会用那个就乱掉了，原来简单事情就弄复杂了。很多时候我们前面用过了到一定时候，这个是脚手架，我们是要拆除掉的，要让学生摆脱这种直观的东西的。那什么时候该让学生摆脱这种模型，不用模型都能解决这样的问题，这是抽象的，数学本质上是抽象的，所以模型什么时候用，什么时候该把它摆脱了，什么时候用哪个模型，这是我们需要讨论的。从心理过程看，分数概念的直观模型有助于学生对分数概念的理解，这是笼统的观念，但是用的不好会产生很多误解的，就是你模型用的不好会导致学生误解甚至是思维上的混乱，这些例子我们老师自己也会找到一些。

等值分数的理解我就不去讲了，我想讲的是直观的也会引起某些错误，比如说这是美国的一项研究：在下面的图形中阴影部分表示1/4，这个正确率有81%。这个只有一半。一张A4纸的1/2和一张A3纸的1/2是相同的吗？我们通常讲一张纸的1/2没问题，那这张纸到底是A4的还是A3的，如果A3的1/2和A4的1/2是一样的吗？那为什么不一样，小孩子能想明白吗。再比如一个苹果的1/2是什么意思，一个人的1/2是什么意思，图我可以把它对折，这个正方形可以对折以后告诉我们这一半叫做1/2，也可以说面积1/2，也可以说什么1/2，但是你一个苹果1/2是重量的1/2，还是形状的1/2呢，所以用模型来解释的时候有些问题是不是反而把学生弄得不明白了，这些是课上听的东西，不一定有道理。一个人的1/2是什么意思。所以这里需要讨论的问题是数学概念学习的基本途径是多角度理解，这是没有问题的，问题是不同的直观模型有什么不同的意义。我在认识这件事情的时候我用这个模型可能是比较恰当的，但是我在认识这个东西其他面貌的时候再用这个模型可能不一定恰当，那么什么时候是恰当的，我们老师去想。有些例子因为时间比较短我就不讲了。第二个是我们数学概念理解的基本过程是实物操作，表象操作，符号操作。因此什么时候要摆脱直观模型是需要考虑的问题。有时经常看到到了分数的乘除法了还在用一些帮助学生理解分数概念的模型来理解乘除法，这样我觉得会引起混乱，老师们可以思考这个问题。就是什么时候你该摆脱这个，在抽象层面上去处理一些数学问题可能更加准确一点，更加不容易引起混乱，更加简单一点。第三个就是如何避免直观模型引起的歧异，误解和错误，这件事情在分数里面也是很重要的。第四个能否用整数的除法引入分数概念，这是很多数学家提的问题，因为从逻辑角度来讲除法的概念不管分数整数除法就是乘法的对称化的需要来引入除法的，而分数概念就是个除法，从逻辑上来讲就是两个整数相除就变成分数了，分数就是两个整数相除，逻辑上来讲是没有问题的，逻辑上是最简单的，这样引入，很多数学家就跟我讲难道就不能这样引入吗？我也在想这个问题，如果我们只是从整数的除法来引入分数的很多东西，那这样会不会有问题，会不会简单一些。

最后一点关于分数概念可以设计那些探究性的活动，分数是很有意义的一件事情，意义很丰富，至少有六种，这六种意义怎么让学生去探究出来，让学生体验到分数的不同的意义，你需要活动让学生去体验，那怎么去设计这种不同的活动，在活动中让学生慢慢体验到分数是有这种意义的，这在分数教学里出了运算以外还需要考虑的一个问题，这里有一些我们当时讨论下来的一些想法供老师们参考，比如说我们可不可以有一些构造分数的活动，让学生构造，那一块代表什么分数，可以直观想象的一些活动。比如说分数机，这个在国外蛮流行的，东西进去以后就被瓜分了，分出来了。那么这个机器怎么操作的，1/2这个分数机，道理是什么呢。我们知道分数的意义它是个算子，你用一个分数乘以某个数是可以把它变大变小的，数学上我们称之为算子，这很重要，分数是可以起变化的，相当于一个变化，可以把数变大变小，这就相当于一个机器，分数不止是一个数还是一个工具，还是一部机器，什么数经过分数以后就可以把你变大变小，这样的活动有没有可能呢。包括估计的活动、比例的推理、日常生活中的运动、古巴比伦的分数表……刚才我讲了古代只有单位分数，所以古巴比伦很早公元前就列出了一个单位分数的表，有点像我们的口诀表，这个分数表的意义在什么地方，如果我们把这些点全排到数轴上去，你会发现它的特点，蛮有意思的，因为以前只有单位分数，所以就列出一个这样的分数表。当然还有推理活动，我们都可以让小朋友去尝试一下。

作者简介：鲍建生（华东师范大学数学系教授，博士生导师）