数学是一门思维的科学，对数学思维能力的研究是数学教育研究尤其是数学教育心理学研究的重要课题，也是现代小学数学教育研究的重要项目。随着数学学科自身的发展，数学本身已逐渐成为一种普适性的技术，数学能力的意义和结构等问题研究的影响已渗透到多个领域，不仅是当今国内外教育界非常重视的问题，也是科学界重视的问题。研究小学数学能力的结构及其构成因素，更是能力心理学的一项重要任务，能力结构的研究从理论上可以进一步揭示能力的概念，深入认识能力的本质。

能力与数学能力

能力是一种心理特征，是指能够顺利完成某些活动所必须具备的个性心理特征，即能力可以直接影响活动效率，确保活动的顺利进行。

什么是数学能力？布莱克韦尔认为数学能力是：“在定量关系(定量思维)范围内选择性思维和演绎推理的能力。”瑞典心理学家魏德林在《数学能力》一书中指出：“数学能力是理解数学的问题、符号、方法和证明本质的能力；是学会它们并在记忆中保持和再现它们的能力；是把它们同其他问题、符号、方法和证明结合起来的能力；也是在解数学课题时运用它们的能力。”他认为数学能力包括记忆、联想、推理、概括、迁移以及解决数学问题等成分，核心是逻辑思维能力。

21世纪前，我国数学教学大纲将数学能力界定为计算能力、空间想象能力和逻辑思维能力三大传统能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力。

实施新课程之后，关于数学能力的各种说法就多了起来。《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出了“四基”和“四能”；《普通高中数学课程标准(实验)》中涉及的能力包括“空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建”等诸多方面；美国数学课程标准(2000)提出了五项数学素养；TIMSS、PISA等也都给出了数学能力和素养的界定。

数学能力是在数学学习活动中，直接影响活动效率，使活动得以顺利完成的个体稳定的心理特征。它的形成和发展贯穿整个活动，并且个体的表现也是比较稳定的。我国自20世纪80年代开始关注数学能力的研究并逐步深入，近几十年有研究从更精细的分支进行，如将数学能力分为数学元认知能力和数学认知能力等。

而数学思维能力，从属于思维与能力的一般范畴，但又具有一些数学学科的特殊性。从数学学科学习中，结合学生学习数学所需要的条件，在一定的思维品质上形成的能力，就是数学思维能力。

能力为重的小学数学

人们常说：“把所学的东西都忘了，剩下的就是教育。”类比到数学教育中，如果学生把所学的数学知识都忘了，剩下的又是什么呢？是思维能力的发展。没有人否认“能力”为重，就像我们平时朴素地说“让孩子聪明起来”，但是怎么才能培养学生的能力呢？需要落实在每一个普通的课堂上，落实在每一个学生的身上。

对于“不同的人学习不同的数学”这一基本理念，唐彩斌这样理解：（1）数学不可替代的作用，是发展学生思维和创新的作用，而不是选拔与甄别；（2）减轻学生的课业负担，是科学设计课程难度，而不是一味地降低难度；（3）不同的数学，不仅表现在教材的不同版本上，还表现在内容的选择以及学习同样内容不同程度的要求上；（4）不同的数学的内涵，从双基到四基，从三大能力到十大核心词，变化不是否定过去，而是传承与扬弃。

因此，他指出：（1）厘清必要的基础数学，确保人人都要掌握的数学，优化双基，落实四基；（2）应用大数据，建设数学能力标准，为每一个孩子科学设计适合的数学课程难度；（3）借助新技术，促进信息技术与数学学科的深度融合，让不同的人学习不同的数学成为可能；（4）倡导阅读，为不同的人学习不同的数学，丰富内容，提供更多增长的学习线索；（5）建设新班级，让不同的人学习不同的数学，让走班在义务教育阶段成为可能。

所以，在核心素养下深化数学课程改革要有四个意识：（1）育人目标的整体意识：学科教学中也要关注跨学科素养；（2）学习内容的核心意识：聚焦核心，改造内容，减负增质；（3）教学方式的未来意识：发展个别化、信息化、全球化的学习方式；（4）学习评价的全面意识：多样式多维度地评价学习过程和结果。

如今，“能力”随着教学的改革，内涵也在发生着变化。理想的数学教学坚持“能力为本”，《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》提出了四个坚持，其中一个就是“坚持能力为重”，这是国家教育改革的方向，也是数学教学与研究的重点。

数学教育传统的三大能力“运算能力，空间想象能力和逻辑思维能力”，进而演化为课程的“十个核心词”(数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识)。站在国际视野下，PISA又为我们提供了数学素养的多种成分与水平。然而，无论如何，每一种核心素养都需要深入细化，进行务实可操作的实践与研究。能力的培养不能停留在观念上，而是需要落实在具体的内容上，落实在日常的课堂教学中。

数据告诉我们：对于学生来说，那些基本的、机械的、按照程序进行的“低层次的技能”已经达到了比较高的水平，而对于“合理灵活计算、多种方法解题”等“高层次的能力”还处于比较低的水平。在信息时代的今天，决定着学生数学素养的，不再是题的数量，而是质量，衡量一个学生的获得也不再是题目的多少而是思维能力的发展。万变不离其宗，“宗”就是学科核心素养。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了数学的十个核心素养，为我们的教学指明了方向。不管我们教什么，布置学生做什么，都应该有整体的对应，我们在发展学生的什么素养。

结合对数学能力的理解与分析，可以发现抽象、推理、建模是数学的学科核心素养。那么从教学内容角度来说，对于小学数学来说，最为重要的是三大能力：运算能力、空间观念、解决问题能力。从数学学习内容上说，这三大能力篇幅最多；统计观念虽然重要，但篇幅相对较少。从数学构成来说，数与形两大部分对应着运算能力和空间观念，综合能力就是现实生活对应着的解决问题能力。

数学家华罗庚曾有一首脍炙人口的数形结合诗：“数形本是相依偎，焉能纷作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微。”如果能够在数学教学中恰当地渗入数形结合的思想，不仅能丰富学习过程，让学生感受到数学内部之间的巧妙联系，也能促进学习更有效地发生。对于运算能力的培养也是如此。

如何在运算能力培养中渗入数形结合思想，用直观的图形来帮助学生认识数概念、理解算理、体会不同的算法以及探索运算规律，让学生养成数学思考的习惯，学会以形释数、见数思形，做到心中有数，数形兼备，这是值得我们思考的。

把抽象的数概念直观化

对于儿童来说，与具体的实物相比，数概念要抽象许多，这包含着一个符号化的过程。如果在数概念的形成过程中，有直观或者半抽象的图示或物件来支撑，就能在学生学习数概念需要帮助的时候找到助力点。

比如“5以内数的认识”。在教学时，一般先出示实物，让学生数一数。为了建立起实物和数“5”之间的对应关系，通常我们会出示计数器，让学生在计数器上拨一拨，用一个珠子表示一个实物，学生边拨珠边数数，在脑子里形成直观图的表象，逐步建立一个实物、一个珠子、数字1之间的对应，逐个过渡到四个实物、四个珠子、数字4相对应。

心理学研究表明，5以下实物的数目容易分辨，当物体的数量多于5之后，就超过了人目测数群的能力。因此，对于小学生来说认识“5～10”是数认识的一次飞跃。一堆石子是8个还是9个，往往一眼看不清。在教学中，除了使用小棒、计数器、手指等实物直观支撑，我们还应该倡导用具有中国特色的计数器算盘来认识数，一颗下珠代表1，一颗上珠代表5，5和1是6，5和4是9，有了上珠5，就更容易直接分辨了。

算盘的引进，既帮助学生认识了单个数，还渗透了数的组成；不仅强调了1对1(1个珠子代表1个数)，而且还过渡到了1对5(即“一对多”)的对应关系，当数域扩展到两位数时，还自然形成了“1对十”，这为学生理解数位、位值等数概念的核心要素直接积累了重要的活动经验。

数概念的建立关键除了数字和数位，还有进率。在小学阶段，我们主要学习的是十进制计数法。为了让学生更为直观地体会到“满十进一”，也可以通过“点线面体”的直观图示来表示。

使运算意义和算理形象化

小学阶段学习的四则运算，在学习的初期，也可以通过直观的图示来帮助学生理解运算的意义。比如认识加法，就可以借助直观的小方块的拼组，4个小方块和3个小方块拼在一起，就和7个小方块一样多了，所以3+4=7。也可以借助直观的数轴，加法就是向右继续数，减法就是向左数。这些操作性的描述，在某种程度上都能促进学生对运算本身的理解。              

运算过程需要算法和算理的支撑。算法是让学生知道怎么算，算理是让学生知道为什么这样算，正所谓“知其然，知其所以然”。在实际教学中，学生通过模仿性的操练记住了算法，却忘记了算理。通常我们以为理解算理是为了掌握，从培养学生运算能力的角度来说，理解算理本身也是运算能力独立且重要的组成部分。为了帮助学生更好地理解算理，有时需要借助直观图形，用形说理。

让运算中的数学思想更深刻

“运算律”是“运算能力”中的一个重要内容。如果在学习的过程中，能给运算律找一个几何模型，引导学生借助图形来解释运算律，会让经过抽象提炼的运算律变得可视化。

比如乘法分配律。长方形的面积就是一个能很好解析乘法分配律的学习材料。要求出长方形的面积，可以先分别求出两个小长方形的面积3×7和3×2，然后相加：3×7+3×2；也可以先求出这个大长方形的长7+2，再求长方形的面积3×(7+2)。同一个长方形的面积不变，因此两个算式的结果相等。即3×7+3×2=3×(7+2)。

让运算中的数学思想更深刻

在“四基”教学目标的影响下，在培养学生运算能力的过程中，教师除了要关注基础知识、基本技能的形成，也要关注基本活动经验的积累和基本思想的渗透。

比如在20以内进位加法的练习中，将20以内进位加法与方格图中线段长度和相结合，9+4=13，就是线段的长度：9格加4格等于13格。同样：6+7=13，5+8=13。

教学时，可以让学生边计算边画线段，通过观察比较还能发现加数、和之间的关系；发现其中的函数关系，一个加数变大，另一个加数变小，和不变。

让学生惊叹的是把这些线段的交点连起来就在同一条直线上，并且这条线段再延长，与横轴和纵轴相交的点所对应的数便是这个不变的和13。

算式与图形相结合，激发学生的学习兴趣，渗透坐标思想和函数思想，直观的“一条直线”刻画了“和不变”的规律，让蕴含着的数学思想变得深刻，在孩子的思维活动中留下印记。

教学建议

用“形”释“数”，“形”不是手段，有时也是目标

数形结合应该包括两个方面，包括“用形释数”，也包括“用数解形”。在此主要是培养运算能力，因此偏向“用形释数”。但即便这样，“形”也不应该只是作为手段，用形来帮助解决运算的问题本身就是一种重要的能力。

比如，比较67×98，66×99，哪个乘积大？有的学生用计算出这两个数的乘积的方法来比较，而有的学生则能用一个形象的图来说明它们的大小关系。用图形思考的这种方法“想起来复杂，比起来简单”。

能用形来解释两个数的乘积的大小关系，不仅需要把两个数的乘积利用长方形的面积进行语言的转译，而且还需要借助图形得出结论，综合了多种数学素养，更能促进学生高层次思维能力的发展。

数形结合，不能依赖形，去图形化正是数学化

数学是抽象的，数形结合是为了直观。但是从培养学生的角度来说，作为教学过程，“数”与“形”的先后顺序不是一成不变的，教师应该根据具体问题确定两者间的关系。简单的题目先“数”后“形”，繁难的题目先“形”后“数”(当然也可以让学生直面挑战)。

低年级学生以形象思维为主，教学时先“形”后“数”；随着年级递增，学生从形象思维逐步过渡到抽象思维，教学逐步过渡到先“数”后“形”，发展学生的抽象思维能力。数学运算中包含的数、算式、算法、运算律等都是抽象的、无形的。

数形结合发展运算能力，是将抽象的数学问题形象化、具体化、直观化。在学习之初，结合直观图形，有助于学生理解和掌握运算技能。学生不能一直依赖直观图形，应该引导学生适时地摆脱对直观图形的依赖，从“有形”到“无形”，从具体到抽象，“去图形”的过程恰是“数学化”的过程。

例如，能被3整除的数的特征。在学习之初，我们可以为学生寻找理解规律的直观模型，便于学生发现并理解能被3整除的数的规律。但是一旦领会了规律，在判断的时候，就没有必要每次都画出图来思考了。“形”是思考的拐杖，需要用时再用；不是必备的棍棒，不用也背着就是负担了。在“无形”中进行运算，走进抽象的数学世界，也正是数学学习的更高追求。

有把远大的理想落实在一个个微小的课堂，才能切实提高学生的素养，培养创新人才才有希望。都说方向对了，就不怕路远，让我们一起坚定“能力为重”的数学教学方向。