数学教学，当直面学生的思维发展

——赏胡允社老师《平行四边形面积》有感

《平行四边形的面积》是一节经典的“老”课，尤其是浙江对这节课的研究可以追溯到10年前，宋刚、朱国荣、顾志能、袁晓萍等都曾做过不同的精彩演绎。胡老师今天选择上这节课，本身就是莫大的勇气，笔者由衷钦佩，无法不为你点赞。至少这种思维的碰撞，给我们的启迪是要从各种束缚、禁锢、定势和依附中摆脱出来，达到心灵的接纳，情感的交融，享受精神的愉悦，成长的幸福，从而使我们在教学理论上有所提升，在课堂实践中得到提高，进而实现理论与实践的日趋接近，直到零距离。

胡老师整个板块的设计大致是：辨析明理，平行四边形的面积不是邻边的积；实践验证，平行四边形的面积等于底×高；变式操作，平行四边形可以通过不同的方式转化为长方形。板块脉络清晰，先把学习的主动权交给学生，让正方、反方孩子通过交流、讨论从而产生思维碰撞，通过辨析，希望学生自我反思，主动调整知识结构以达到“顺应”的学习效果；其次，胡老师的“白板“技术操作炉火纯青，让孩子用不同的方法将平行四边形转化为长方形，发散了学生的数学思维等等，这些都是广大数学教师有目共睹的；再次，胡老师也提出了许多好问题，如：“刚才要求平行四边形的面积，为什么求长方形的面积就可以了呢？”等等。感谢胡老师带给我们的智慧分享。

但是，由于该课浙江的研究已经上了比较高的层次（至少笔者这么认为），因此笔者对胡老师的要求与期望自然也高了。以下仅是学术讨论与个人观点，若有不当之处，敬请胡老师见谅。

纵观整节课，给人的感觉是胡老师一直在一步一步地实践着自己的设想，虽然板块的设计是开放的，然而效果却不甚明显。究其原因，整节课在逻辑的安排上，学生的思维挑战性不够，笔者认为，数学教学的核心是促进学生思维的发展，关注学生的数学思考是促进学生数学思维发展的重要手段，否则，即使是开放的设计，其效果可能还是低层次与低水平的徘徊，学生的数学思维并没有得到真正的发展。

一、数方格在本节课应该有怎样的地位与作用？

我们不妨来回顾胡老师课中辨析明理的片段：

正方：长方形可以拉成无数种平行四边形，不管怎么拉，长和宽是不变的。

反方：面积公式是底×高，第2个拉开后是24平方厘米。

反方：可以用切图法，通过切图法可以计算出面积是24平方厘米

反方：平行四边形的两个角可以先去掉，拼成24格的长方形，每格是1平方厘米，24格就是24×1，是24平方厘米。

师：他们总体的想法是怎样的？

生：他们用了切割法。将平行四边形分成一个三角形和一个直角梯形，然后拼成长方形。（师课件演示）

师：长方形的面积是怎样算的？长表示什么？宽表示什么？

生：长表示一行的个数，宽表示这样的几行。

    师：再听听正方的意见。

生：我现在还是觉得6×5的方法是正确的，因为周长不变。

师（不知道无奈，还是没听清楚）：是谁让这个平行四边形的面积变了呢？

……

细致斟酌，反方的三位孩子的数方格都是唤醒经验的过程（面积的度量），又是分享经验的过程，通过割补巧妙地数出面积。课堂中教师似乎将教学重点引向了割补法，笔者认为：这里的重点应该是怎么数出面积，割补是为了数出面积用的，只有当孩子发现数出的面积不一样的时候，才能确定平行四边形的面积不能用邻边的积计算，数的次数越多，数的方法越巧妙，孩子积累的经验才会在后续核心环节的学习中发挥出重要作用。

二、如何处理“是不是所有的平行四边形能否都转化成长方形呢？”

胡老师的教学是：动手画一个与刚才不一样的平行四边形，想办法将它变成长方形，并让人看懂你是怎样变的？

经过浙江的研究，如果让孩子自己画平行四边形，多数学生画的是有一个内角是50°到70°的平行四边形，这样的归纳的局限性是很大的，而对孩子来说，真正疑惑的应该是那些“斜而长”的平行四边形。因此，笔者建议，这时候胡老师是需要让孩子经历不断思考，数出“高的、矮的、胖的、瘦的、倾斜得特别窄的”等平行四边形面积，才对孩子的思维有更大的挑战性，因此现在问题不妨是：在方格纸上动手画一个你认为很特别的平行四边形，但是你同样能数出它的面积。并说说你是怎么数的？

三、如何对待“用不同的方法将平行四边形转化为长方形？”的教学

课堂中，胡老师让学生用不同的方法将平行四边形转化为长方形，课中演示不同的高的割补，笔者也是赞同的，但是在课的后半节用白板将平行四边形转化为长方形，笔者真的十分不认同。在笔者看来，这时候与其说是“技术”辅助教学，还不如说是教学展示了技术，因为实际课堂教学中，学生的思维层次水平反而降低了。笔者认为，这里的教学首先应该关注的是怎样用最佳的方法将平行四边形割补成长方形，其次要培养孩子的空间观念，让孩子观察平行四边形，在脑子中抽象，说说割补后的长方形长成什么样子，建立长方形的表象，真正发展学生的空间观念。至于这课堂中这时候多次逐一割补，然后数方格，唤起对平面图形的面积的概念理解，笔者认为已经是把学生从高水平的思维拉到低水平的思维层次，课堂的程序与逻辑就造成了混乱。与其这样，不如教学一开始就让孩子实践操作，那时候才是学生需要的。

以上拙见，仅供胡老师批评参考。

（作者：原浙江省台州市椒江区小学数学教研员  李加汉）