“千课万人”第二届全国小学数学“学本课堂”研讨观摩会
4月16日互动专刊
给知识插上腾飞的双翼
——听刘德武老师《小数的意义》有感
“带着慈祥笑容的老人和一群天真烂漫的孩子，还没有开始讲课，心中就充满了温暖和感动，期待刘老师的课！”参会指南中的这一段话道出了所有听课老师的心声。
课终意犹未尽，心中甚是充满了对老人的敬意。抽象的数学知识、教学理论在刘老师的课中显得如此形象、生动、具体，数学原来可以这么简单却又是那么深刻。大师的风范着实让我们叹服！
或许，当我们去细细品读刘老师对教学的深刻领悟时，我们才能去领会他的设计，去改进与优化自己的日常教学。让我们重温刘老师的一段名师慧语：
我们来审视老师的教学，也应尽可能做到知识、方法、情感并重。如果单方面过于注重数学知识的教学，实际效果很可能恰恰适得其反。思想方法与情感态度是知识腾飞的两只翅膀，它们的合作就是学生健康发展的坦途。
是啊，显性的知识技能需要插上隐形的双翼“思想方法”与“情感态度”才能展翅飞翔！课中我们看到三个方面协同合作，很好地构成了有效的学习活动过程。
一、关注教学目标的引领，明晰学习内容
知识、方法、情感如何形成一个互相促进的、有机的整体，清晰的目标设定是一个强有力的助推手。教学目标是教师教学工作关注的焦点与研究的重点，然而在日常教学中“教学目标”这一教学的灵魂时时被无情地忽视与抛弃。常会出现教师心中有目标而学生不知，一堂课下来学生对学习过程与收获较为混沌。本节课中，我们看到师生心中都有清晰的目标，用目标来统领教学活动的展开。
师：《现代汉语词典》中意义有两层意思：①表示什么；②价值
师：有人知道价值是什么意思？
生：小数在生活中的价值。
师：小数对工作、学习的用处与帮助，就是价值。
（板书：表示什么？为什么？）
意义本是一个很抽象的词，如果不解读，学生应该只是含糊其词地知道本节课学了意义。本节课具体学什么，学生课始就非常明确。我们看到课中刘老师和孩子们共同合作，围绕这两个学习任务不断思考、不断探究，这节课的任务就是解决这两个问题。当有了目标，前行就有了方向。只有清晰明确的教学目标来进行引领，课堂教学的思路才可能是明了流畅的。也只有这样的课堂才能为知识技能的掌握、方法与情感的渗透搭建良好的平台。
二、关注思想方法的渗透，凸显学科气质
2011版课标中提出了抽象、推理、模型这三个核心的数学基本思想。这三个基本思想不仅是对学生，即便对教师来说也存在着一定的距离感。然而今天的课堂，陌生的它们、高大上的它们，就这样毫无防备地走进了数学课堂。孩子们发现原来它们一直相伴着学习之路，只是不知道名字而已。
师：学数学知识往往关注学到了哪些数学知识，更重要的是学习的方法。这个过程叫什么（指下图）？这个过程就叫抽象。
师：抽象是具体的知识中得到概括化的认识，这就是抽象。
出示《认识10》的情境图，再次感悟抽象。
师：我们再来抽一回吧！
原来这就是抽象，那么，再来抽一回吧！课中，教师充分利用直观形象的图示为孩子具体理解意义奠定了坚实的基础，使得抽象与推理的过程自然流畅。知识技能的理解是数学思想渗透不可或缺的基石。
“三抽一推理”，小数的意义就清晰地呈现在了眼前。就这样孩子们悦纳了抽象与推理，数学思想的种子已悄然播种到了孩子们的心田，能想象着如若经常这样施肥、浇水，它们会卓越成长到何种茂盛的程度。润物无声，此刻我们的心也被撩动了，数学学习过程可以如此简洁与深刻，这是我们理想中的课堂境界啊！
教师引导学生在学习过程中逐步地分析归纳，从具体的图与意义到抽象的、概括的意义，在问题解决过程中不断积累数学活动经验、丰富数学思考，进而形成初步的数学思想。数学思想就这样浸润着课堂，孩子们在此中充分感受着数学的魅力，享受着数学带给自己的成功感。
三、关注情感态度的发展，激发学习热情
情感、态度和价值观是影响教学质量的一个重要因素。积极丰富的情感、态度和价值观，能促进认识过程、意志过程，使个性品质得到全面发展。
沉浸于刘老师的课，感觉是暖暖的，始终能激发学生积极参与数学活动，让孩子们对数学充满着好奇心和求知欲。其间不断地鼓劲激励着孩子们勇于克服困难，过程中累积着学好数学的信心。
师：会猜就是会学习！
师：学习过程就是一个不断克服自己的过程，你很棒！
师：刚才几次答不上来我以为你会没信心，没想到你一点都不怕失败，很好！
就是这些言语的力量让孩子们不断挑战自己，激情体验着数学活动中探索与思考的魅力，也激发着他们的学习潜能。刘老师就这样将自己融入到孩子们的学习过程中，师与生之间民主、平等、人文和谐的发展关系体现得非常充分。课中教师的板书、课件等任何一个细节的呈现无不传递着做数学、学做人的态度。同时将情感态度融入到知识技能的理解、思想方法的渗透中时，更是让学生对数学学习产生了极大的热情。
刘老师执教的《小数的意义》一课为知识插上了一对强劲而有力的翅膀，它们显然成为了一个协同体，三者彼此间默契地配合着，大家均衡用力，不断激发着孩子们的学习激情，为孩子们的有效学习之路开启了智慧阳光之门。
在欣赏品味刘老师的课时，笔者也有一点小小的想法，愿与刘老师商榷，也与教师们探讨。数学教学强调创设良好的问题情境，以引导学生深层思考，建构对学习内容的清晰认知。笔者认为对于小数的意义理解只是停留在表示十分之几、百分之几、千分之几的数这一层面可能还不够，如何让学生通过自己的思考更好地深刻领悟意义的内涵，可以作进一步尝试与探索。
如下图，看图写出阴影部分表示的小数。这个问题情境突破了学生的原有认知，考验着孩子们对于小数意义的深度理解。如何突围?需要他们再去回顾、梳理、反思小数的意义，从而很好地解决问题。如果将整体“1”平均分成十份，阴影部分表示0.5；平均分成100份，阴影部分表示0.50；……将小数意义的全部统整到该图中。学生通过自己的理解分析解决该问题的过程即是推理、模型等数学思想方法习得的过程。笔者仅举一例说明个人的想法，愿与大家一起交流探讨。
一位年旬七十的老人如此意气风发，不断追寻着自己教学理想，推陈出新地诠释着自己对于教学的理解，榜样的力量将助推着我们一路前行！
（浙江省 孙钰红 ）
重在培养意识 贵在形成策略
——听
在“千课万人”第二届全国小学数学“学本课堂”研讨观摩会上，上海市黄浦区卢湾第二中心小学
一、找准目标定位，培养策略意识
《数学课程标准(2011年版)》在“问题解决”目标中提出：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。”“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”由此可见，“解决问题”的教学重在培养学生应用数学的意识，让学生掌握数学思考方法，获得解决问题的一些策略。也就说，“解决问题的策略”的教学并不在于解答了多少难题，而是通过解决问题活动，让学生体验、感悟解决问题策略的作用和价值，形成策略意识，学会运用策略解决问题。
二、重视方法指导，掌握转化策略
俗话说：“授人以鱼，只供一餐之需，授人以渔，则终身受用无穷。”转化是一种常见的、极其重要的解决问题的策略，是把一个数学问题变更为另一类已经解决的，或者比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。转化的关键是要能根据具体的问题，确定转化后要实现的目标和具体的转化方法。在教学中，
1.动手操作，引导发现转化的方法。
2. 借助直观，巧妙点拨转化的思路。
解决同样一个问题，如果从不同角度去观察、思考，就能产生不同的想法，就能找到解决问题的不同路径。学习用转化的策略解决问题，关键在于把未知的问题转化为已知的问题，把复杂的问题转化为简单的问题。因此需要教师的精心点拨和指导。
这个教学过程，还通过数形的有效结合，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象和谐统一，再结合具体的转化策略，使问题得以巧妙解决，丰富了学生分析和解决问题的策略，使学生更深入地理解了数学的本质。
3.回顾总结，促进转化策略的形成。
在学生感悟了思路的转化、图形的转化、算式的转化等策略后，
三、设计变式练习，运用转化策略
解决问题的策略不同于一般方法，策略是根据事情的发展而制定的方针和对策，其实质是对解决问题方法的理解、体会和升华。因此，学生掌握和形成解决问题的策略，需要教师提供适量的变式练习，并及时提供反馈和矫正，促使学生把技能方法转化为认知策略，进而促使学生把方法策略转化为数学思想。如在巩固练习环节，
总之，张老师这节课，十分重视教给学生思考方法，让学生感悟策略、掌握策略和形成策略。他的课堂教学所蕴含的教学理念和数学思想方法给与会教师留下了深刻的印象，他高超的教学技巧、精湛的教学艺术和挥洒自如的教学风格也让与会教师回味无穷。
（福建省 邱廷建）
从“面积”中建立面积观念
——罗鸣亮老师“长方形面积计算”一课赏析
“长方形的面积计算”是一节传统的图形与几何领域的新授课，在新课改背景下，图形与几何领域的价值取向发生了一些变化，由“计算几何”向“空间几何”转变，除了教学一些计算技能外，还有一个很重要的目标就是发展学生的空间观念。因此，像“长方形的面积计算”这样的老题材也被赋予了新的内涵，在教学中除了让学生掌握长方形和正方形的面积计算方法外，还要发展学生“面积计量”的空间观念。
“面积计算”的本质是什么？本人认为，任何一种图形的面积计量，其本质都是“单位面积的累加”。罗鸣亮老师紧紧抓住这一本质，在突破难点和培养空间观念方面开避了崭新的视角，让我们一起来赏析一下：
首先，罗老师从“面积”中学习面积计算方法。教过该课的老师都会有同感，当学生学过面积计算进行面积和周长混合练习时，学生经常会出现公式混淆和单位错位等观象，深究原因会发现，学生主要是对面积和周长的概念以及长度单位与面积单位的内涵建构不到位，没有建立起上述这些方面的空间观念。因此学生很难理解：在求面积的时候，长和宽都是长度单位，怎么乘起来后就变成了面积单位呢？罗老师为了破解这一难题，采取了“从面积中学面积”的策略，一改以往告知长和宽求面积的做法，代而取之的是先告诉面积反过来猜想长和宽的思路。这样就使学生始终在“面积”概念的统领下探索计算方法，紧紧围绕在“单位面积累加”这一本质展开学习。罗老师先让学生猜1平方分米的正方形，引出单位面积（1个平方分米）。接着告诉学生3平方分米，让他们猜会是什么图形？当学生都猜是长方形时，老师却出示了一个不规则图形，让学生感悟不管是什么图形，相同单位面积累加得到的总面积都是相同的，如果再增加一个，总面积就随着增加一个单位面积。再此基础上，教学6平方分米、9平方分米时、12平方分米……，都是让学生充分地“讲道理”：每行有几个？有几行？总共面积是多少？由长方形到正方形，再到更大的长方形等，借助方格图，不断增加数量，强化单位面积的累加过程。
其次，教学的开放性有利于空间想象力的培养。课堂上从面积3 dm2到6 dm2，再到后来的 20cm2等，由封闭到开放，不断让学生进行等积变形，想象会是什么样子，学生在多样化的操作与想象中，进一步强化面积单位的累加过程，并在累加的时候建立“每排面积单位个数、排数”与“长、宽”之间的对应关系。如，在数“15×10”的长方形时，罗老师紧紧追问学生：怎么知道每行有15格？（图中只写着15分米）又如何知道有10行？图中的10分米是什么意思？又如，在数“5×4”的时候，让学生说说不摆满整个图形的情况下，怎样简便地知道一共有多少单位面积。这样的学习过程，学生不仅掌握了数单位面积个数的知识技能，更为可贵的是学生在这样的活动中，发展了空间想象力，积累了探索面积策略的活动经验，为后续探索表面积、体积等方法提供了借鉴。
最后，提出一些问题供大家思考。罗老师在课尾环节，提出了每个小方格是“1×1”而不能用“5×5”的来测量，突出在测量面积的时候要用“单位面积”来衡量才具有相同的标准。那么是否前面学生在数方格的时候，就强调让学生说出“每行有多少个1平方分米（平方厘米），一共有多少个1平方分米（平方厘米）”，并告诉学生，1平方分米、1平方厘米的正方形就是测量面积的基本工具。另外，当学生弄清了每行摆单位面积的个数与长方形“长”的单位长度个数之间的相等关系，以及可以摆的行数与长方形“宽”的单位长度个数之间的相等关系后，是否需要揭示一下，在计算的时候，只要用“单位个数”相乘，也就是长和宽相乘，就能求出一共有多少个单位面积，从而水到渠成地总结出长方形与正方形面积的计算方法，使学生切实理解为什么长方形的面积要“长×宽”。
（浙江省 陈力）
复习课，具有生长的力量
——袁晓萍老师《整理与复习：立体图形》一课赏析
“教学视野整体宽阔”、“材料设计精致巧妙”、“教学结构严谨有致”、“教学语言简洁清晰”、“教学评价直击要害”、“反馈调控自如有力”等等，是我多次欣赏袁晓萍老师的课之后留下的深刻印象！本次千课万人“学本课堂”研讨观摩会上，《立体图形复习整理》一课，依然领略到她对学习内容的深度把握、学生个体的深度关注，以及对复习教学的深刻理解。本文暂且不从袁老师的教学艺术角度作过多评点，仅从复习教学的角度撷取几个视角，与大家分享！
一、串成“线”，任务驱动中完成梳理沟通
复习教学的功能，重点应该是使知识结构化。通过“梳理、练习、应用”等方式，一方面完成知识的纵向与横向的结构化，另一方面完成数学知识的综合应用。无疑，就这两方面而言，袁老师的课，可谓做到极致。
以知识梳理为例，我们知道，立体图形的相关知识繁多，包括每类图形的特征、表面积、侧面积、体积，如何有效回顾整理？我们看到，袁老师以“物以类聚”“哪些立体图形可以和圆柱分为一类”为学习任务，通过问题驱动，实现知识激活与知识沟通之双重目的。例如，当学生将长方体、正方体、三棱柱、四棱柱与圆柱分为一类时，“体积都可以用底面积乘以高来计算”、“都是由一个平面图形垂直平移形成的”、“侧面展开都是一个长方形”、“侧面积的计算方法都是底面周长乘以高”、“都有无数条高”……学生对这些分类理由的阐述，不正顺势完成了知识的主动回顾吗？不正是对这些图形都是“柱体”这一特征的极好沟通吗？同样，分类中，通过“圆柱、圆锥、球都是由一个平面图形旋转形成的，正方体和长方体等都是由一个平面图形平移形成的”，发展空间观念的同时，对立体图形的运动意义也有了很好的再现与强化。分类“任务驱动”中，知识的纵向结构化、横向结构化已悄然实现。
二、夯实“点”，查漏补缺中直面学力弱点
作为复习课，如何有的放矢进行练习，抓什么来练，练习重心什么，可能是老师们最为关注的。一般，从内容角度，核心概念、重要方法是练习设计的一个方面；从学生角度，难点、薄弱点、易混点、易错点是练习的重要方面。无疑，袁老师兼顾两者，“着眼根本、关注核心”的同时，“着眼薄弱，关注易混”。
立体图形教学中，学生对计算公式的运用并不困难，“什么时候用哪个知识”，却是学生的能力弱项。袁老师正是针对这一关键问题、薄弱问题，设计了“打三道铁箍需要多少铁丝？”“给木桶配盖子，至少需要多少木板？”“在木桶表面涂油漆，涂油漆的大小？”“这个木桶最多能装多少水？”等问题，试图引导学生将实际问题与“底面周长”、“底面积”、“表面积”、“容积”等相应知识建立联系，以进一步明晰基本概念、巩固计算方法。
另外，等底等高圆柱圆锥之间的关系、若干个圆柱拼合表面积变化问题、沿底面直径纵切之后的表面积问题、烟囱的表面积问题，这些材料的设计与展开，同样体现了教师对学习难点的捕捉与关注，对体积、表面积、侧面积等概念有了进一步理解。
三、拓宽“面”，方法指导中实现差异发展
复习教学与其他教学一样，不应是优秀学生的舞台，也不再是把不同学生拉回到同一起跑线上训练的过程，而是使不同的学生通过复习得到不同发展的过程。显然，面向全体，促进不同层次学生的跟进与发展，成为袁老师的教学主张与行为取向。
梳理环节，当学生讲到“长方体、正方体、三棱柱、圆柱等侧面展开都是长方形”时，教师适时用实物教具进行演示，让缺乏空间能力的学生有了理解的支撑。练习环节，针对“把这段圆木削成最大的圆锥，需削去多少”、“把这段圆木沿底面直径纵切后，表面积之和增加多少”等挑战性问题，一方面，进行解题方法的指导，可以“画一画”、“标一标”、“列一列”，为缺乏思路的学生提供有效的方法指引。另一方面，进行分层要求与指导。引导有困难的学生可以借助课件理解题意或寻求老师帮助，引导优秀学生在完成任务在之后，自己编题并解决。
四、提升“体”，思路类比中实现融汇贯通
教学设计中，有一个“触类旁通”环节，由于执教班级学生的学力基础，没有完整演绎，实为一大遗憾。笔者有幸在袁老师自己执教的班级听过这节课，愿意借此评课平台，向老师们简单介绍。因为，这是袁老师立体图形复习课最为精彩的章节。
问题：（1）如下图，把这段原木切成相等的三段，表面积增加了多少？
（2）沿底面直径纵切后，表面积之和增加了多少？
（3）给这段烟囱接上
学生尝试解决并反馈交流后，教师并没有就此收手，而是继续抛出问题：
师：切、接，还有哪些图形也可以？
随着学生回答，逐渐生成下表：
师：圆柱、长方体和正方体切成几个相等的图形，表面积发生了变化，它们的变化有什么一样的地方？
生：无论是圆柱、长方体、正方体，只要是柱体，平行于底面切一刀，都是增加两个面。
师：是的，切“立体图形”，表面积变化了，都增加了两个面。那么，切“平面图形”
呢？将长方形、正方形切成相等的几个，什么变化了？怎样变化？
生：长方形、正方形的周长增加了，都会多出两条边。
师生交流后总结：周长发生变化，多出两条边。
师：果然方法可以“触类旁通”。
板书：面、边，都是“2”。
上述过程，教师给学生呈现的，不是一个“点”，而是架构了一个“立体”的“关系”
结构。触类旁通，“触”及“圆柱”，“通”至“长方体、正方体”；“触”及“体”，“通”至“面”。学生在经历了这样的方法沟通后，思维水平的提升、综合能力的提高也就有了充分保证。而学生的“豁然开朗”，得益于袁老师建构了几者之间的关系，并进行“有效引导”。
一点思考：没有完成教学预设的原因是什么？
今天的课，最终没有完成教学预设，其原因是多方面的，不排除学生知识能力的基础问题，不排除学生学习状态的困乏问题（下午第一节课，春困），不排除学生面对公开观摩场面的怯场问题，但教师在某些细节上处理得不够简洁果断，也是原因之一。
例如，讨论“生活中解决这些问题时，这些数据能直接用吗”，——“可能有误差”、“铁丝需要打个结”、“进一法、去尾法取近似值” ……
“如果给这个圆柱加一些动作，你会怎么做？”——生：“切”、“剪”、“拆”、“接”、“包”、“熔”……
这些问题的讨论显得冗长，板书显得奢侈，使得教学节奏略显拖沓。前者作为“数学知识有别于生活实际”的意识培养，后者作为环节的过渡、材料的引出，是否可以点到即止，而将教学时间留给更为重要的关于思想、关于方法、关于策略的讨论呢？
（浙江省 潘红娟）
思维，在活动中生长
——听
“数学广角”一直是一线教师比较难以把握的内容，《数学广角－推理》同样如此。推理思想很重要，事实上也是基本数学思想之一。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”对于二年级学生来说，作为一节“推理”思想的专门学习课，教材中无非是“把推理的数学思想通过学生日常生活中最简单的事例以及游戏形式呈现出来，并运用观察、猜测等直观手段解决这些问题，使学生初步了解推理的数学思想，感受数学思想的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有顺序地、全面地思考问题的意识。”
一、游戏承载：把准儿童学习的特点
数学思想，看起来是一种比较“高大上”的数学内容，对于二年级学生来说，无论是体验还是习得、掌握，都是有一定的难度的。以怎样的方式来引导学生去完成这块学习任务，值得我们去思考。
课始，呈现了一些经典游戏工具：魔方、七巧板。
师：玩这些游戏时，你有什么感受？
生：有趣。
生：还有意义。
追问学生“什么叫有意义”时，学生谈到了在数学游戏中包藏了人类的智慧，也蕴含着丰富的数学知识。这是从游戏本身的价值来思考的。当然，本节课中，借助游戏活动进行学习的价值，还在于借助游戏的规则，将解读规则与学生的思考结合起来，增加思维的逻辑性。
因为游戏是需要在一定的规则范围内进行的。于是，在研究问题前，理解规则成为了一个必要的任务。课中，教师引导学生理解游戏规则分了两步：第一次是解读“在下面的方格中，每行、每列只能出现一颗棋子”的意思，期间请一位学生上来作了实践尝试，增加直观感受。第二次便是理解例题中的“每行、每列都有1－4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次”的意思。审题，用数学学习的眼光来充分解读信息，这是数学问题解决的重要步骤，也是一种能力。而在本节内容中，是学生后面分析思路时必不可少的依据。
二、活动尝试：触发学生思维的疑点
课堂教学的起点，应该着眼于学生的问题。起于疑，明于研，应该成为学生数学学习的基本方式。本节课中，在游戏开始时，
应该说，对于二年级学生而言，彭老师呈现了4×4的学习材料（如下图），请学生自主探究，是有难度的。这从现场学生的表现也能够看出来。当老师问学生感受时，有学生说“紧张”，有学生说“非常紧张”。事实上，学生在解决这个问题时确实碰到了困难。
通过反馈后，我们基本可以了解到，学生在解决这个问题时，出现了这样几种情况：一些学生根本无从下手；一些学生会从第1行的第3格开始填，但因为这格中的数字可能是“1”，也可能是“4”，无法确定，学生只能通过试填一个，然后再来考虑另外的数；当然，还有学生可能会从第1列的第2格开始填，碰巧找到了突破口。不管是从哪一个数开始填的，学生只要是想填上数字的，一定会运用到推理的思想。“这个数可能是几？”“这里一定不会填这个数。”等等思考问题的经历，均是推理思想体验的过程，活动经验积累的过程。
当然，这个环节的最终目的，不在于学生解决这个问题，而是需要其产生问题，即思考：为什么从这格入手不能解决这个问题呢？那么应该从哪里入手才能解决这个问题呢？
三、问题引领：切中学生思考的难点
有了上一环节的活动体验，学生在解决问题中对推理思想已经有所体验了。但因为学生的学习经验还不足，对于解决此类问题确实存在困难。此时教师介入，通过问题引领的方式启发学生思考，实践尝试解决，学生的感受就会变得比较深刻。教师在此处所采用的方式是——问题引领，启发思考，引导学生切实体验推理思想的意义。
问题一：那要怎样的空格才能确定呢？
这个问题的提出是在学生经历了以上自主体验，找不到答案的基础上，教师带着学生交流后提出的。
在填首行第3个数后，教师问：为什么还要加上猜呢？生：这个方格里没有可以直接填的。
教师又指着第2行的第2格问：选一格，能确定填几吗？
生：不能。同一行和同一列只出现了2，还有1、3、4都有可能的，所以不能确定。
教师又选了几格，请学生说明“不行”的理由后，最终提出上面的问题。通过交流得出：行和列出现3个不重复的数，才能确定这格中填几。
此时的讨论，都是在引导学生体验推理思想，加深对推理思想的体悟。
问题二：那这里有没有这样的一个空格呢？
这是在以上交流之后，教师抛出的一个问题，意在让学生尝试去找。找到后再交流想法。因为有了以上的交流，较多的学生还是找到了这“关键”的一格，即为第2行的第1格。当然，在请学生说明“为什么这1格就行了”的过程中，再次让学生说明整个推理的过程。这同样有利于学生深刻体验推理的意义。
应该说，
（浙江省 费岭峰）
厚实，源自丰盈的过程
——听赵小艺老师执教“余数和除数的关系”有感
“千课万人”活动第一次推出“微型课堂”，教学时间仅为20分钟，却要求完整呈现某一个知识的教学过程。无疑，对教师而言，是一种挑战，是对教师专业功力的全面考量。赵小艺老师教学“余数与除数的关系”，是第一个微型课堂的实践者，课前实在替她捏一把汗。课毕，细细分析教学材料、回顾孩子的课堂表现、品味教师的引导与追问，脑海中不由地蹦出“丰盈”“厚实”“渐悟”等字眼，权当作对这节课的整体感受吧。
一、丰富研究材料，渐悟余数与除数的关系
赵老师教学的内容是人教版二年级下册教材第61页的例2——理解余数与除数的关系。教材的编排是借助逐渐增加小棒的根数摆正方形的活动，出现算式：8÷4=2（个）、9÷4=2（个）……1（根）、10÷4=2（个）……2（根）、11÷4=2（个）……3（根）、12÷4=3（个），让学生从上到下看出所用小棒总根数的连续变化情况、直观的看到操作结果以及余数的变化情况，从而总结出余数与除数的关系：余数要比除数小。在实际教学中，学生更容易把握的是被除数一个一个多起来、除数不变、余数有时候也是一个一个多起来等特点。因为低年级孩子的观察往往是点状，不太会关注余数和除数两个量的比较。当然在教师的引导下，学生也能理解“除数是4时，余数只能是0、1、2、3。由这么一个发现要归纳出“余数要比除数小”，两者之间还有多大的距离呢？二年级学生能否轻易地跨越？
所谓归纳指的是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。观照赵小艺老师的教学，最大的特点就是从“一组材料”走到“多组材料”。通过学生搭正方形、三角形、五边形，黑板上呈现下面三组算式：
6÷4=1……2 10÷3=3……1 12÷5=2……2
13÷4=3……1 8÷3=2……2 15÷5=3
9÷4=2……1 12÷3=4 17÷5=3……2
10÷4=2……2 16÷3=5……1 21÷5=4……1
16÷4=4 7÷3=2……1 18÷5=3……3
15÷4=3……3 11÷3=3……2
从分步讨论中，学生逐步理解到“搭正方形时小棒只能余1根、2根、3根”“搭三角形时小棒只能余1根、2根”“搭三角形时余数都比3小”“搭五边形时小棒只能余1-4根”“小棒不可能余5根或更多”……。小朋友的表达正是反映了逐渐清晰的理解过程，最后“余数要比除数小”的结论呼之欲出，水到渠成！学生只有真正了解知识内涵，才能够内化为自己的知识和经验，语言表达方能清晰准确。
一组材料得到一个结论，固然很有效率，但忽视了更多孩子、更充分的对内涵的理解过程；多组材料，慢慢推进，逐步深刻，让孩子渐悟更值得耐心等待！
二、借助几何直观，理解余数比除数小的道理
心理学研究认为，在数学教学中，有目的地让儿童进行操作活动，是符合儿童思维的认识过程，即由操作思维到形象思维，再由形象思维到抽象思维的发展过程。赵老师在课堂中让学生用小棒搭三角形和正方形，期望进一步理解有余数除法的意义，探究余数与除数的关系，笔者认为这样的操作活动非常必要。
1．明确操作活动的要求
在学生操作前，明确活动要求：（1）数一数手中的小棒；（2）想一想，搭成三角形、正方形，结果会怎样；（3）摆一摆，和你刚才想的是否一样；（4）写一写，用算式表示搭的情况。虽然任务有难度，但小朋友都能有序完成，为后续的研究提供了材料，积累了感性的活动经验。
还值得一提的是赵老师关注到了学生的差异，学生可以动手搭图形，也可以在脑中搭图形。同时又能依据教学进程，对学生提出不同的操作要求：在课始，搭三角形、正方形允许学生动手搭，到搭五边形时则要求全体学生在脑中搭，符合学生的发展过程。
2．关注直观图形与数学式子的联结
探究“余数小于除数”，是仅仅让学生观察、比较数据，得出大小关系即可？还是要联系搭图形的活动表象，以理解“为什么余数要比除数小”？赵老师的教学十分关注后者，如学生出现了“15÷3=2（个）……9（根）”，老师及时引导搭图形的过程：15根小棒搭了两个三角形，余下9根，还可以再搭。有小朋友说再搭2个，发现还余3根，还可以再搭，最后搭了5个三角形。板书：
非常直观的理解“余数比3小”的道理。课堂中这样的联结贯穿始终，如“搭正方形时为什么余数不能是4”“除以5时，余数为什么是1-4”等等，都用搭图形作为脚手架加以解释。
学生通过有效的操作之后，即便离开了实物活动的情境、过程，但脑子里却能把刚才的操作情境和过程再现出来，进而以此为中介进行抽象思维活动，将理性的数学知识和学生的感性经验巧妙结合，借助搭图形这个原型拐杖，沟通直观图形与抽象数学之间的联系，让学生知其然，更知其所以然，对数学知识和方法获得深刻理解，促进数学思维的提升。
三、体现“以学为本”，真实展现学生的思维
学习是学习者以自身已有的知识经验为基础的主动构建过程，课堂应该是不拒绝任何一个学生的参与，努力展现学生的原生态思维，在从容的交流对话中实现师生的共同成长。
（1）暴露学生的思维，抓准教学的生长点
发现学生的学习状况，再适时加以点拨，是赵老师很突出的教学策略。教学“余数比除数小”之前，学生能结合分物活动理解余数及有余数除法的意义。因此，赵老师在课始就直接提问：对有余数除法，你知道了什么？以了解学生的真实的学习起点。又如，学生在搭图形、写算式后，又尽可能多的展示学生不同的作品：8÷3=2（个）……1（根）、“15÷3=2（个）……9（根）、10÷3=3（根）……1（根）、12÷4=3（个）……1（根）、7÷3=2……1等等。这些算式有的是指向分物的错误，有的是对有余数除法中意义的不理解，有的是对于横式写法的不规范，这恰恰都是学生真实水平的反应，都是特别重要的教学资源。面对学生的思维现状，赵老师都能一一关照，适时引导。
（2）鼓励学生去发现，适时助力。
任何一个数学结论，都需经历观察、联系、比较、分析、归纳、提炼，于学生而言，都是重要的发现过程，都称得上“创造”。在课堂中，赵老师多次鼓励学生去发现，尊重学生并不完善但又真实的表达，同时又给予一定的支持。如随着对每组算式讨论后，都做如下的记录：□÷3=（）个……1根
……2根
便于学生发现与概括。
短短20分钟的教学，始于“对有余数除法，你知道什么”的提问，没有一位学生提及余数与除数的关系。同样也以问题“你发现什么”结束，孩子们却小手林立，大声说出“除数比余数大”“余数比除数小”。这足以说明教学的成效，当然，我们更在乎其中丰盈的过程！
也许是因为只有短短的20分钟，赵老师的课堂有时难免急促。特别是当黑板上呈现若干算式时，该如何有序反馈，力求发挥每组算式不同的价值。当学生有错误时，是否有必要借助现场操作，让有困难的学生直观理解。在关注余数与除数关系时，是否要适度关注有余数除法的意义及其各部分之间的关系。……，都值得我们继续思考。
（浙江省 田小勤）
让学生经历计数单位的再创造
——顾志能老师《大数的认识》微课赏析
顾志能老师教学的《大数的认识——认识更大的计数单位》，以短短的20分钟时间，引导学生十分高效地学习了作为规定的计数单位、作为规则的满十进一以及作为规律的四位分级，在落实好基础知识与基本技能的同时，让学生经历计数单位的推理和大小的感知，经历了计数单位再创造的学习过程。
整数的认识，一般从数的大小（顺序），读写、意义（组成）等几个方面入手，不同教学阶段有不同的侧重。如20以内数的认识主要是数的顺序，百以内数的认识主要是数的组成，而大数的认识主要是数的读写。无论在哪个教学阶段，计数单位都是极其重要的，是认数教学的核心。自然数的主单位是1，其它的计数单位是在按群计数的基础上发展起来的，是派生的单位（次单位）。有了十、百、千、万等等这样的计数单位之后，可以更加高效地进行计数或运算。从这个意义上说，更大的计数单位其实就是“打包”，如同码头的集装箱，提高了装运的效率。
规则——统一性。在十进制记数法中，满十进一是必须遵循的统一规则，这个规则是不容破坏的，否则就不是十进制记数法了。顾老师的教学，在几个关键节点上，让学生在计数器上经历数数的过程，把十个较低级（小）的单位兑换成一个较高级（大）的单位，重蹈满十进一的思考与经历。如，师：百万你认识了吗？是什么意思？生：是100万。师：我们一起来数一数（在十万位上一个一个拨珠子）。生（齐）：10万，20万，30万，40万，50万，60万，70万，80万，90万，100万（声音特别响）。师：可见，十个十万就是100万。学生经历这个数数的过程，知道原有的满十进一的规则，在数位扩展后仍然是适用的，建立这个统一、一致的规则，为进一步推理更大的计数单位打下了基础。
规定——合理性。十进制计数法的本质是满十进一，而各个数位的名称如何取，只是一种人为规定，计数单位的名称确定了，相应的计数单位也就确定下来了。顾老师的教学，先是让学生猜想：如果有更大的计数单位，可能是什么呢？在学生说了很多计数单位之后，顾老师把话锋一转，指出：有些计数单位是对的，有些是不一定对的。对于计数单位命名的讨论，高潮出现在万万这个单位上。生：1千万，2千万，3千万，4千万，5千万，6千万，7千万，8千万，9千万，1亿。师：9千万后面怎么是1亿呢？生：我好象知道没有万万位的。师：刚才我们数到了10千万，怎么是亿呢？这个问题在哪里呢？生：我觉得应该是进位了，没有万万。师：到底是亿还是10个千万。为什么不是10千万，而是亿呢？生：没有万万这个数。师：有是有的。解放前，我们中国有四万万同胞。吾皇万岁万岁万万岁。进一步讨论，如果不换一个新的计数单位，会出现什么问题。生：这么多个万，听起来很拗口。生：一直都是万万，没有别的数了。生：而且一直这样下去，就没有其它单位了。至此，学生已经理解了，满十进一的规则不能破坏，单位的名称可以自由规定，但如果规定不合理，也会带来很多麻烦。
规律——便捷性。规律就是序，有序的东西容易掌握。在数位顺序表中，四位分级就是一个重要的规律，把握了这个规律，可以“增强对数学知识科学性、逻辑性的感悟”。门捷列夫发现了的化学元素周期表，这是极其重要的贡献。由于这个化学元素周期表并没有十分明显的序，许多人在中学学习时，都对背化学元素周期表苦恼不已。数学家聪明多了，把数位顺序表分级排序，有规律地加以命名，这对于人类学习更大的数来说，无疑是一种福音。顾老师的教学，带领学生体会了这一数学设计的美妙之处。师：如果把这些数位写在电脑上，你会看得更清楚。（呈现数位顺序表）师：我们说的万就是1万的意思，亿就是1亿的意思。规律隐含在里面。生：一，十，百，千。师：一，十，百，千，加了一个万字又是一组，再换成亿又是一组。这样我们的计数单位就非常有规律。
顾老师的课堂教学就像一条宽敞蜿蜒的河流。因为宽敞，各种不同的声音都可以流淌，因为蜿蜒，学生经历了探索、发现知识的过程，学习了像数学家那样的思考。正如史宁中教授所说的那样：“过程的目的是帮助孩子学会思考”，某种意义上说，这与弗赖登塔尔提倡的“让学生经历数学知识的再创造”是一致。顾老师教学的这节课，对这些重要的数学教育思想进行了极其生动的实践和大胆地探索，值得我们好好学习。
（浙江省 姜荣富）
从模糊到清晰 从粗疏到精致
——葛敏辉老师《什么是面积》微课赏析
小学数学教材一般把面积定义为：物体表面或平面图形的大小叫做面积。面积是平面图形的度量属性，由于物体表面可以抽象成几何图形，因此，数学其实更多的是研究平面图形的大小，而求物体表面的大小，可以视作求平面图形大小的具体应用。这样，我们就可以把面积概念统一为：多边形或平面封闭图形所围的平面部分的大小，叫做这个图形的面积。
学生对面积概念的初步认识可能更多的来自于物体表面，因此，在教学“认识面积”之前，“大多数学生认为面积就是物体的表面”，事实上，面积的概念蕴含了积分的思想，重点是“积”而不是“面”。学生原有的理解中，忽视了面积概念的本质属性，即它的“大小”。葛老师的教学，以学生普遍存在的模糊认知作为教学起点，让学生经历了概念从模糊到清晰的学习过程。从数学科学的角度，定义面积的概念是重要的，因为有清晰的定义才能对它进行研究。但是从学生学习的角度，比定义概念更重要的是度量面积的方法。数学家设计了面积单位，并用这些面积单位把图形的大小用数量来刻画。葛老师通过让学生用不同的方法比较图形的面积，经历从直觉判断到数量刻画的过程，积累了比较图形大小的基本活动经验，学生掌握的比较方法从粗疏逐步走向精致。
从模糊到清晰。在上课之前，有的学生知道了长方形面积的计算方法，有的学生能举例说桌面是它的面积，但他们对面积的认识是模糊的，甚至可以说是错误的。大多数学生认为，物体的表面是它的面积，在这样的认识中，恰恰忽视了面积作为度量属性的本质——它是有大小的。如果说学生的描述中还有其合理性的话，那么他们所说的其实是面积的物体属性，而不是面积的数学属性。葛老师的教学，充分尊重并暴露了学生已有的认知，在学生解释了自己对面积的理解之后，并不是马上给予否定或加以纠正，而是让学生阅读课本，感悟表述上的差异，并通过举例，进一步帮助学生认识面积的本质是大小。进一步，通过图形周长与面积的比较，使学生的认知由模糊到清晰，真正地建立起对面积概念的真实理解。其中，举出具体的例子，与周长的概念进行比较，是推动学生深入理解的有效手段。
为了度量一个图形的面积，首先要选定一个面积单位，通常选取以边长为一个长度单位（例如1厘米）的正方形作为面积的度量单位，这个正方形叫做单位正方形，它的面积叫做面积单位。但是，人们往往并不直接用单位正方形去量图形含有多少个面积单位，而往往采用间接的方法，就是先量出图形中某些线段的长度，再由这些长度计算出图形的面积。图形面积的计算公式发挥了重要的作用，其实就是一种间接测量的方法。
从粗疏到精致。葛老师在教学中，通过比较一个长方形和一个“凹”字形的大小，引导学生区分图形的周长与面积，并学习粗疏的比较方法——直觉判断。学生通过辨析之后，又引导学生进行及时反思。师：现在，你最想提醒大家什么？生：周长长不一定是面积大。生：千万不要把周长和面积搞混了。进一步，葛老师又让学生比较两块缺了的墙的大小，它们的形状完全不相同，但大小却是一样的，都是5块砖的大小。这时，砖块成了临时的度量单位，比较面积大小的方法又进了一步，用相同形状与大小的实物（图形）来计数（度量）。真正走向精致的是葛老师设计的第三个图，一个长方形，从相对的两个顶点以折线分成两部分，让学生比较这两部分大小。师：哪个面积大一些，你是怎么想的？生：2号。师：你们都是2号的亲友团？你们说出来，让我心服口服才行。生：每四个点组成一个方格，2号有11个方格，1号是9个方格。学生很自觉地引用了图形中隐含的正方形（其实是格点图），借用这个度量单位，把图形面积的大小比较转化为数量的大小比较，再次“感受面积是可以通过标准图形来进行测量的”。这时，学生对面积的度量已经迈向了精致，与进一步学习面积单位只有一步之遥了。
最后，笔者认为，相对于面积概念的定义来说，我们应当更加关注比较面积大小的方法。数学概念的定义是人为的，一个数学概念的定义要符合数学内部的逻辑，而这种逻辑往往十分隐秘，不能被小学生所理解。笔者建议，象面积这样的概念教学可以淡化一些，或许学习了长方形等其它平面几何图形的面积计算之后，学生可能会慢慢地清晰起来，换句话说，对于面积的教学来说，重要的是度量而不是定义。进一步的教学，建议要十分重视让学生经历面积单位再创造的思考过程，其中对两个问题的思考十分关键：一是为什么选择正方形？二是为什么边长是1. 教学要让学生体会，以边长为1的正方形作为面积单位，是人类长期选择的结果，是数学家智慧的重要结晶。
（浙江省 姜荣富）
学员课评
让学生感受数学的内在魅力
——听刘德武《小数的意义》一课有感
今年有幸再一次见到刘德武老师，他用最简朴的语言，让学生感受数学的魅力。刘老师说得好，课堂是师生共同的课堂，教学是师生共同完成的教学。在这堂课的教学中，刘老师尊重学生，尊重生命，用自然平实、幽默风趣的语言、富有启发性的提问，及时到位的评价，肯定、赞赏和真挚的激励，激发每个学生学习数学的热情，与学生间的对话就像朋友间的交流，让学生倍感亲切，能以宽松的心态积极有序的投入到数学的学习活动。
一、在交谈中教会学生学习。能与刘老师一起上课的学生们是幸福的，因为他们在愉悦中得到收获。刘老师用他的大气和风趣感染着每一个学生，在学生的探索、思考或交流活动遭遇困难时，总能巧妙调节和引导，让学生始终在愉悦的氛围中参与学习活动，课堂上涌动着生命的活力。刘老师这一节课承载的知识很丰厚，他抓住时机跟学生渗透抽象与推理、数形结合等数学思想，跳出教材教学生。这种高于教材的教学，验证他所说的“学知识与学方法并重”。他注重知识前后的链接，把知识连成串，在学生头脑中形成印象，不拘泥于一道题，一节课，一个章节。如他巧妙地用课题中文字的第一大写字母”XSDYY”，让学生猜猜是什么字，引起悬念，学生的激情被激起。最后又呼应前面，出现了“XSDYY（小数的意义）, XSDXZ（小数的性质）, XSDJJ（小数的加减）, XSDCC（小数的乘除）, XSDYY（小数的应用）”将小数所有知识点的内在联系稍作介绍，总之，刘老师每时刻体现一种大数学观思想，课堂中展现出数学教育家的风范。我们的老师在他的课堂上学到很多书本中没有的教育知识。
二、在交谈中让学生感受数学的内在魅力。刘德武老师的《小数的意义》一课，无处不渗透着数学的内在美和数学文化的趣、妙、奇。在朴实无华的教学中，学生的积极思考贯穿整堂课，解决问题的兴趣从一而终。刘老师在认识小数时以平均分正方体为载体，从分数入手，理解一位小数，两位小数三位小数的意义，构建与分数之间的联系，在练习设计上，也是由易到难，逐层深入。适应学生的认识方式，让学生在学习的过程中扎扎实实的掌握知识。他用数学本身的理性美，逻辑美，文化美牵引着学生的注意力，激发着学生的理性思维，让学生和听课老师都能在数学的海洋里遨游，体会数学的美妙。“自然而不随便，规范而不死板”是对刘德武老师课堂教学风格的最好诠释。
总之，聆听大师的课，是一种美的享受，是一种智慧的启迪，更是激发了我对教育的热爱，对每个生命个体的尊重。
（浙江省 李修丰）
感悟数学思想，回归数学本质
“西湖春长，烟火千家都入画；桃源路近，书香十里尽成荫”
——学本课堂
4月15日，春暖还寒之时，我很荣幸参加了“千课万人”第二届全国小学数学“学本课堂”研讨观摩会,早早的来到了浙江大学华家池校区逸夫体育馆。为了坚持三尺讲台前的承诺，将一路奔波的满身风尘，安顿在朗朗的书声中，为了守候孩子眼睛里的梦想，把伏案疾书的摇曳背景，晕染在西湖的柔波里。相逢在“千课万人”的课堂，用真诚书写智慧的闪光，让岁月铭记盛会的歌声。这一路，因你的风雨同行而变的精彩！
今天很有幸听了史宁中老师关于《义务教育阶段数学基本思想理解与把握》的专题报告，我又有了新的收获。通过听讲座，我对课标的变化又有了更深的认识。课标最大的变化是“双基”变“四基”和“双能”变“四能”。“四基”即基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。“四能”即发现问题的能力，提出问题的能力，分析问题的能力，解决问题的能力。从课标的变化，可以看出课改对数学教学的要求更高了，涉及面更广了。史宁中老师强调数学思想也就是这三种，即抽象、推理、模型。在史老师看来，基本思想是指一门学科教学的主线或学科内容的诠释架构和逻辑架构。对于老师来说教好学科的基本知识和基本技能固然重要，但更重要的是了解知识的产生过程，知识间的相互联系以及知识体系的框架，从而帮助学生理解知识本身蕴含的思维形式和方法。而在我们平时的教学中，这些往往被忽略，认为只要学生掌握知识就行，至于什么过程方法都无所谓。而新课标更重视过程与方法，还有数学思想的感悟，这对学生今后的自主学习至关重要学习。
抽象是现实到数学的过程，推理是数学到数学的过程，而模型是数学到现实的过程。这三个数学思想是从现实又回到现实的一个循环的过程。数学思想是创设情境，让学生来感悟。所以情境导入与教师引导显得非常的重要，往往一堂课上的好不好，就要取决于你的导入是否到位。在这里史老师列举了一个例子，在学习负数的时候，一般人是由两个数的减法来导入。可是当我们回归到数学的本质的时候，其实早在《九章算术》的方程篇中就有过记载，说是一个人的收入表示正，支出表示负，当然这只是文字表述，还有一种就是“+”表示正，“-”表示负。当符号与数字组合到一起就是我们熟悉的负数，例如“+3”与“-3”，它们数量是相等的，意义相反。在这里史老师说道在方程中等号的作用是非常大的，给我印象最深的就是“方程的等号两边是两个故事，两个故事的量相等”，理解了这个，对于我们以后学习列方程是至关重要的。
一个半小时的精彩报告，让在座的老师们听得不知疲倦，思潮汹涌，如遇甘露，对新课标的修改有了进一步认识，对如何帮助学生在积极参与数学学习中，重视数学思想的渗透指引了方向，“儿童是活生生的人，我们教师应给予更多的尊重、理解、善待、读懂，学会期待”。而我们教师迫切需要的就是“用心读懂学生、专业地读懂教材、智慧地读懂课堂”。
（湖北省 刘清）
获奖信息
质疑问难奖
朱 青 （山东省）
梁春莉 （四川省）
贾延亭 （山东省）
李玉洁 （陕西省）
精彩短信奖
吴 玲 （安徽省）
叶 玮 （上海市）
学员课评奖
李修丰 （浙江省）
刘 清 （湖北省）
幸运奖
吕晓林 （山东省）
杨 茹 （广东省）
陈 雪 （内蒙古）
诸葛春兰 （浙江省）
吴海燕 （福建省）
马旭辉 （浙江省）
李 芳 （湖南省）
林柳叶 （浙江省）
潘煜勋 （浙江省）
钟 霞 （重庆市）
以上老师将获得本次观摩会相应光盘
