“千课万人”第二届全国小学数学“学本课堂”研讨观摩会
4月17日互动专刊
为学生的发展而教
——听黄爱华老师《异分母分数加减法》的思考
“异分母分数的加减运算”，是分数运算中的难点内容,也是学生由直观思维走向抽象思维的重要一课。之前学习的整数、小数加减法可以依靠直观模型理解相同计数单位相加减的算理，而在异分母分数加减法中，直观的计数单位隐去了,只留下了相对抽象的计数单位。同时，分数单位又不像其他计数单位那样明确和统一，而且分数单位的数量也是无限的。基于此，我们十分有必要深刻理解异分母分数加减法运算的算理本质。
黄爱华老师的课堂，倡导“大问题”形式和“板块式”结构。紧扣学生的认识基础，直面学生学习的难点，关注分数运算与整数运算之间的联系，从不同角度、层层深入挖掘知识的内涵，引导学生构建完整的认知结构。践行了让学生在学习中学会学习，在思考中学会思考。在欣赏黄老师与孩子们互动对话的同时，让我们领略到了知识的力量、感受到了华哥的魅力，愿与大家分享收获。
一、为认知发展而教
掌握异分母分数加减法的计算方法，是本课的知识目标。而异分母分数加减法的实质是：分数单位统一下的分子的整数运算。分数有单位吗？对于“数的单位”学生有哪些认知基础？数的加减从原理上来解释，是因为数是有单位的，数之所以能够相加减是因为单位相同。自然数的计算单位是1，任何一个自然数单位都是由若干个1组成的。如，2是由2个1组成，5是由5个1组成……同样，分数也有单位。同分母的分数之所以可以相加，是因为分数单位相同。异分母的分数单位不同，所以不能直接相加，要通分转化为同分母的分数再相加减。
对于“通分”的本质，学生能理解吗？他们是怎样理解异分母分数加减计算的过程的？带着这两个疑问，黄老师首先与学生分享了数学家的两句话：分数是个新朋友、分数是个大家庭！通过寻找与1/3相等的分数，激活学生原有的认知结构，使知识产生广泛迁移，易于学生理解和记忆。在黄老师与孩子们深度对话中，引出“有的时候，用最简分数不是最简便”的话题，让学生在认知发展过程中显现出新、旧知识成分的矛盾状态，创造学生“最近发展区”，凸显分数加法运算的本质属性——分数单位统一下的整数运算，促进学生的认知水平发展。
二、为思维发展而教
黄老师执教的“异分母分数加减法”一课，将发展思维能力作为重要目标，并贯穿于整个数学学习的过程中。在以往教学中，较多地从计算技术的层面来考虑“分数运算”的教学。这样只关注分数运算的个性，而不从整体考虑，就会将分数的运算与整数运算割裂开来，使简单问题复杂化，增加学生的学习负担。
黄老师首先引导学生回忆：整数、小数加减法的一般方法，归纳出“相同计算单位的个数相加减”的规律。通过数轴的呈现和“神奇小尺子”的直观演示，在知识的再发现、再创造的活动中，通过尝试、思考、交流……逐步归纳出一个模式：
从而自然地、巧妙地将整数运算与分数运算在这里得到了沟通，渗透了化归思想。在构建数学模型、知识动态生成的思维过程中，把数学方法作为进一步学习的基础（基础包括两个方面：知识和方法），重视数学方法的训练，逐步形成良好的思维方式和运用数学的意识。
三、为能力发展而教
黄老师执教的“异分母分数加减法”一课，以问题解决为核心，充分利用数学材料展开思维教学，加强基础，鼓励探索，促进学生数学能力的发展。具体表现在：
1．概括数学材料的能力
用数轴图引导探索异分母分数加减法，学生更容易理解。因为在数轴上分数的“具体量”含义清晰、直观。同时，在数轴上学习分数，能体验统一分数单位后的累加过程。学生是否能透过这些具体的材料抽出最本质的数学属性，是一种数学概括能力的体现。
2．发展数学推理的能力
“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”，是《数学课程标准》对推理能力主要表现的阐述。这就是说，学生获得数学结论应当经历合情推理—演绎推理的过程。“异分母分数加减法”一课，有这样一个环节：
这个教学过程，是一个经历观察、猜想、归纳、证明的过程，既有合情推理又有演绎推理的过程。因而数学教学必须给学生提供探索交流的空间，经历数学活动的过程，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中，才能更好地发展学生的推理能力。
黄爱华老师的课堂让我们深刻地体验到：教育的真谛——教是为了不教！如果我们仅仅把小学数学教学看作是数学知识的教学，那么当学生独自面对一个新问题，他将何去何从？因此，我们要创造一个有利于学生主动发展的数学学习环境，让学生在学习中学会学习，在思考中学会思考。为学生的发展而教。今天的教是为了明天的不教！
（浙江省 邵虹）
自主探究学习 彰显学本课堂
——听
在“千课万人”第二届全国小学数学“学本课堂”研讨观摩会上，台湾新北市新庄区荣富国民小学
一、营造宽松氛围，体现教学民主
德国教育家第斯多惠说过：“教学的艺术不在传授的本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”在教学中，
在学习过程中，学生学会的不仅是一种数学知识，更重要的是让学生在自主探究、合作学习中感受到了数学学习与思考所带来的乐趣，体验到了数学学习成功的愉悦。
二、发挥主体作用，放手自主探究
弗赖登塔尔说:“学习数学唯一正确的方法是实行‘再创造’,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造，学生主动发展的潜能是巨大的。”建构主义认为，学生的学习是一个积极主动的建构过程，是由学生自己思考、自我建构的过程。这节课，
例如，如何复制一个长方体？
再如，如何建立长方体体积计算公式？
三、多种感官参与，发展空间观念
对于动作思维占优势的小学生来说，活动是认识的基础，智慧是从动作开始的。数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科，而小学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。借助直观形象，引导学生多种感官参与，有利于解决数学知识的抽象性与小学生思维形象性之间的矛盾。在教学中，
再如，在巩固练习阶段，设计了一道建构反应的综合实践题，用来评量学生是否理解和掌握了长方体的体积计算公式。这道题充满挑战性、开放性，富有思考性，需要学生丰富的想象力才能解决。在解决问题中，
总之，
（福建省 邱廷建）
从断开到联系，深化意义理解
——听马恬舒老师教学《周长与面积》有感
周长与面积一直是小学阶段学生学习的困惑与困难点。单学周长或面积时学生问题不大，一旦将两者结合在一起学习困难重重。究其原因，教学过程中意义理解不到位给后续学习埋下了很大的后患。马恬舒老师执教的《周长与面积》一课给大家如何更好地明晰周长与面积的意义提供了很好地启示。
一、意义理解：从断开找到联系，明晰概念
周长与面积之所以混淆，很重要一个原因是教师在教学时没有很好将一维周长与二维面积的度量工具进行有效区别，教师也更关注于公式的归纳与提炼。学生套用公式来解题的现象十分突出，公式忘了或是混淆了问题自然也就解决不了了。度量工具应该与所要度量的图形有相同的物理特征。如何让学生建立度量工具，理解一维周长与二维面积的测量工具是不同的，在此基础上再归纳公式，这对于孩子学习周长与面积的意义至关重要。
在今天的这节练习课中，教师很好地重视了意义的区别。先复习什么是周长，再复习面积。在两者的复习中教师不只是让学生说出公式，更重要的是关注公式的实质性意义。将公式意义说明与图式进行很好地对应，在此过程中再次梳理周长与面积的区别，如学生所说：周长是一条线，面积是一块。学生在阐述意义、说明区别的过程中深切体会周长的测量工具是一维的线段，而面积的测量工具则是二维的面积单位。此环节断开了周长和面积的意义，明确它们是意义完全不同的两个概念。
话峰一转，教师又追问：但它们都有哪两个字？学生：长与宽。在区别当中找相同，更是让学生明晰，虽然公式中都有长与宽，但此长宽与彼长宽所表示的内涵是不相同的。同时也为学生更好地关注如何根据意义及对应的公式来解决问题作出提醒。从意义上的断开到公式中的相同处，马老师的教学引导我们概念教学不仅关注公式的呈现形式更要关注公式的实质性内涵。表面看该环节有些重复冗长，但却十分必要，因为一切的学习发展都必须建立在良好的认知基础之上。
二、结构安排：从断开发现联系，探索关系
整节课的结构安排从整体的大布局到内部的小梯度均很好地体现了从断开循序渐进地走向联系的良好构思，最终让学生深切体验周长与面积虽意义不同，彼此间却存在着千丝万缕的关系。
从课堂大布局看，课始周长与面积意义是断开的，到了课终的回顾梳理（如下图），两者已紧紧地联系到了一起，你中有我，我中亦有你。
再来看课中各学习任务的安排，均不断设计梯度问题，引领孩子在探索思考过程中去自觉发现周长与面积的联系。如下图：
学生在用18厘米的绳子围长方形的过程中从单向的思考到发现与面积的关系，层层递进的设计再次为孩子对于长正方形周长与面积意义的深刻理解加码，更是在过程中很好地感受学习内容之间的密切联系。
对于课中的任务设计笔者也有一些建议。教学中教师将一个大的任务情境进行了细化的分解，使得问题较为简单，学生的思考力度不够。如果教师能将单任务中的思考点统整成一个大任务情境，是否会更好地体现数学思考的价值。如将上述情境调整为“周长都是18厘米的长方形，它们的面积都会相等吗？”，甚至是“周长相等的长方形，面积都会相等吗？从中你发现了什么？”这样难度更大的问题情境。让学生自主探索、合作交流，孩子会有更大的思考空间，能更有力地培养学生的思维能力，合作也显得更有意义。此过程中数学的思想方法也能自觉习得，如对于后一个问题的探索，学生需要自己例举具体的周长来进行说明，思想方法在此处就显得犹为重要。
三、数形结合：从断开沟通联系，深化内涵
本节课的学习反馈过程中，学生的学习结果呈现均是理性的算式与数据分解的过程。每次的分析教师都很好将学生的思考过程用直观的图形来进行说明。借助几何直观使得数学问题变得更简明、形象，也更好地帮助学生直观地理解意义与关系。整个学习交流的过程如马老师的名师慧语：“教学犹如一曲师生共谱的交响乐，唯静心倾听，方能奏出和谐美妙的乐章。”
从学生抽象的解题过程到教师具体形象的图示分析，整个过程将数与形、形象与抽象很好地进行了紧密联系。这不仅是简单的教学辅助，过程中更是加深了学生对于周长与面积意义的理解、周长与面积彼此关系的深刻领悟，这将有助于学生更好地解决与此相关的实际问题。
在学生学习过程中，笔者思考是否可以引导学生自觉地构建起几何直观的思路，可以让学生用喜欢的方法来呈现学习思考，有必要的话教师也可以提供一定的学习材料辅助，如方格纸。学生学会用良好的数学语言来表达自己的观点是良好数学素养的具体表现。
再次回味这节课，整体设计不仅是对长正方形周长与面积意义的深度理解，更让笔者感受到在此过程中构建起了一种联系的哲学思考。周长与面积外部公式文字的联系、内部关系的密切联系，从中很好地构建起数学学习脉络。这是一位优秀老师呈现给我们的数学教学的魅力，相信从中学生也深切感受到了数学学习的魅力！
（浙江省 孙钰红）
着眼联系 着力发展
——李培芳老师《数与形》学习体会
对数与形的联系，学生并不陌生，因为在之前的学习中，形的大小，都必须用合适的数来表达；有些数的意义，通过适当的形的直观帮助，可以深化理解等。但数与形的联系远不止于此，它们的联系具有广泛性。正是基于这一事实，人教版教材新增了这一方面的内容，以拓宽学生的视野，从而感受数学的神奇以提升学生学习数学的兴趣，发展学生思维能力，促进学生的发展。
李老师以敢于挑战的精神和勇于创新的精神，选择了本节内容进行教学，并以幽默、风趣的教学风格，平缓、舒张的教学节奏，演绎了基于数形联系而精心组织的教学内容，并努力引导学生探究，在活动中着力问题意识和递推能力培养，促进了学生的发展。以下几方面给我的印象特别深刻：
一、践行课标理念，开发课程资源
《数与形》这一课题虽是教材所定，但教师并没有照搬教材内容，而是践行“教师是课程的创造者与开发者”的新理念，组织了一组全新的素材：神奇的25及正方形数、三角形数等的探究与讲解，使学生感受了数学的神奇，计算分割的长方形面积、对长方形无限分割等演绎，使学生加深了对乘法分配律、分数的基本性质等已有知识的理解。用不同的素材演绎相同的内容，不仅深化与拓展了目标，还拓宽了受教者的视野，增长听课者的见识。
二、围绕数形联系，培养问题意识
在使学生了解数形结合多样性的同时，教师在教学中还着力培养学生的问题意识，促进学生的发展。整堂课由“25为什么神奇？”开始，在引导学生用“形”帮助观察后，就“形”提出计算25的种种方法，以问题为导向，促进学生观察、思考，在解决问题的过程中，培养了学生的问题意识，促进了学生的发展。
三、组织探究活动，促进全员参与
让学生参与教学是课程实施的核心，在教学中，李老师很好地践行了这一新课程理念。围绕本课重点——根据点子图写表达式，老师组织了两次探究活动：第一次得出1+2+3+4+5+4+3+2+1=25和1+3+5+7+9=25；第二次接着1+3+5+7+9…往下写，在全员参与的前提下，得出了阶段性的成果，尽管成果不是让人十分满意，但也为后面教学时能尽快使学生理解积累了经验，扫清了障碍。
四、引导举一反三，培养递推能力
在教学中，还有一点值得肯定，那就是着力培养学生的递推能力。从数正方形点子图的点子数看，由斜行数到按“┙”数，从正方形推及其它图形，由加推及乘，学生不断发现问题并解决问题，递推能力得到了发展。
总之，着眼于数与形的联系，教师引导学生深入探究，分享交流，逐步发现，不断总结，得出规律，既使学生感受了数学的神奇之美，提升了学生学习数学的兴趣，又帮助学生积累了活动经验，发展了学生的综合能力。
当然，在学习的同时，也有几点思考提出来与作课教师一起讨论：
一是关于目标的确定与实施。从知识目标上说，按教师自己的话说是“依形解数”，那么，简单的理解是先有“形”而后有“数”，数形相依，形助数更直观。因而，在实施时就要始终围绕这一目标。由此衡量，前期由“25”想象图形就显得有点多余；再有就是在“依形解数”方面显得扣得不紧，如：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，除紧扣图分析1，2，3，4，5等的来历外，还要重点讨论“5”为什么在加数中是最大的；还有，1+3+5+7+9=25可转化为52而不是42或62，这里的5在图中的含义是什么，再在此基础上与加式左边进行对比、抽象，找到彼此之间的关系。
二是关于素材的选取与安排。前面肯定了老师能依据新课程理念开发课程资源，但从实施情况看，觉得还可在尊重学生已有知识和经验的基础上按不同的逻辑顺序进行安排实施。如先学习计算形如
图形的面积与乘法分配律的联系及对长方形进行无限分割与分数基本性质的联系等已有知识，学生理解起来就不会十分困难，在初步感受后再讨论关于长方形的点数计算问题，效果可能会有所改善。
三是关于教师的点拨与归纳。前面分析的1+2+3+4+5+4+3+2+1=25中1+2+3+4+5的加数个数为何5最大及1+3+5+7+9=25转化为52，其中5与加数个数的关系等，除依据直观外还有一个很重要的问题就是点拨不到位；观察1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 这一式子，其“形”也给我们对称的感觉，那么，这一“形”与正方形点子图“形”的内在联系何在？与“5×5”的关系何在？由加已能数出正方形中的点子数，为什么还要用乘？因为乘更简洁，更能图形的规律……等都有点拨的空间，也有值得讨论的点拨方法与技巧……
以上几点，纯属个人拙见，不妥之处还望作课教师及各位专家批评指正！
（江西省 胡桃根）
课堂——师生任性的舞台
——赏俞正强老师《看图找关系》有感
“关系”、“函数思想”对小学生来说，是一件多么困难，多么抽象的事情！然而，俞老师就是那样的大师，总是能把那么复杂与抽象的事情说的那样的简单、清楚！没有威严，没有纪律的约束，俞老师的课堂，就像给孩子提供了一片广阔的原野，跳的、跑的、采花的、在溪边濯足的，平时什么都不干就躺在草地上晒太阳的，所有人都向一个目标狂奔，“任性”地沉浸在数学课堂当中。
一、蹲下身子，我们才能很“任性”
“欲扬先抑”！要想孩子跳得高，先得看你蹲下有多低！我们先来欣赏俞老师的引入：
师：老师带来了一组材料。（黑板上板书，出示下面材料）
早上，妈妈急着上班，只用1分钟时间就将汽车速度提高到400/分。
这段文字说了一件什么事？（教师引导学生理解题意与识图:加上横轴与纵轴的单位名称）
问：这段文字能在这个图上表达出来吗？
课堂中，俞老师只有这样的问题：“他的画法你懂吗？同意吗？有什么不同的想法？”让学生充分说明理由，呈现了三种想法后（黑板上只有一个图，为了让大家能回顾俞老师的课堂，笔者分别将三位学生的三个图呈现出来，见上），教师将第三位学生的想法描成红线，然而全班仍然有一位学生支持白线（第一图）。俞老师提问“谁来说服他？”通过让学生不断地交流、讨论，最后感悟到“红线的什么在变？白线的什么在变？”课到这里，整整用了12分钟时间，值吗？值！这12分钟解决的似乎是那样一件浅显易懂的事情，然而，细细回味，何为面向全体？何为步步到位？这里的“慢”，就是要让孩子充分的参与、理解，正是为了让他能跳得更远！孩子们清楚了，明白了，他学习的信心也不由地增强了！俞老师的良苦用心，你读懂了吗？——良好的开端就是成功的一半！
二、因为你不会，所以优先你“任性”
“师者，传道授业解惑也！”教师要做的最基本最重要也将是永恒的一件事情就是学生原来“不会”的通过你的教学变“会”了！奥苏贝尔指出：“影响学生学习的最重要因素是他已经知道了什么”！课堂上你的教学起点应该在哪儿？俞老师是这么做的：
师（板书）：妈妈用同样的速度行了5分钟。你能把这段文字变到这幅图中吗?
很多孩子举起手来。俞老师问没有举手的一位孩子。
师：“你能画出来吗？”
生：不能。
师:不能，为什么不能？
生:暂时还没有想出来
师:哪个地方没有想出来？你示范，我来画。
生:不会。
师:试试看。（学生画：在原来的红色线上延长到5分钟的位置）
师：你不是有想法吗？你支持他的想法吗？为什么不支持？
生:应该到6分钟。
还有很多学生举手。
师（问刚才画的同学）:你现在有没有不同意见？你看到这么多不同意见有什么想法吗？
学生纠正到黑板上横着画线5分钟。
彻底暴露孩子的思维过程，尊重孩子的学习起点（后面的教学也一样，俞老师经常是问“看不懂的请举手！”），让孩子在辩错、纠错的过程中学习，这才是真正的“经历”、“体验”、“探索”！这不仅给孩子带去深刻理解后的记忆，更重要的是积淀了他“基本的活动经验”。笔者想努力读懂俞老师，你呢，听到了吗？在孩子需要的地方展开学习！
三、你是课堂的主角，所以你要思考得很“任性”
要将图文融为一体，要将“语文”搞成“数学”，又能将“数学”返回翻译成“语文”，这需要想象，需要自由与开放，需要时间与空间！这样的“任性”的思考，俞老师的课堂里真是比比皆是，充分体现孩子才是数学课堂的真正主角！当然，前面的例子本身就是，我们不妨再来欣赏：
师:（教师连接第6分钟到横轴上大致6.5的位置），接下去妈妈发生什么事情了？
生:停车了。
生：到公司了。
生：堵车了。
生：撞车了。
师:谁对？
生:都对。
师:为什么都对？怎么判断的？
……
教师引导学生将刚才的事情命题《妈妈上班了》，孩子通过比较知道图文描述的是同一件事情，感受到数学的简洁美后，教师出现了他的数学作文《爸爸晚饭后》，练习《足球赛的声音》，贯穿以“你看出了什么？读懂了什么？”“怎么看出的？”“怎么读懂的？”这样的问题让孩子充分展示他的个性、依据他的生活经验合理地解读（翻译）图意。课中，俞老师问的总是那样的“任性”，孩子们答的也是那样的“任性”！这就是学习！这就是数学学习！数学学习就是让孩子们积极思考，提升思维的过程！
语文是美的！数学是美的！美术是美的！抽象美、简洁美……用数学的眼光看世界是多么的美！因为大家都爱美，所以大家都喜欢“任性”！俞老师一直就是那样地任性！
没有课件，没有任何多媒体等现代化手段的支持！粉笔，直尺、黑板也能游刃有余，真水无华，大道至简！俞老师就是那样任性地宣泄他课堂的美！
这“美”是什么？任性的背后，又是什么？难道仅仅是俞老师的幽默、诙谐、生动等带给你的笑声？任性背后的智慧是什么呢？希望我们都能感受到俞老师课堂理念中“思想”的呼唤与启迪。这样，今后，我们的课堂，也将很“任性”！
（浙江省 李加汉）
从“华美”走向 “本质”
——张齐华老师《圆的认识》一课赏析
圆的认识，如此经典的内容，几乎成为每个时期公开课的首选，被无数大家、新秀簇拥研究与精彩演绎。这些经典课例，或重“圆的生活应用”、或重“圆的审美价值”，或以“画圆”为轴心主线、或以“寻宝”为任务驱动、或以“文化”为主题贯穿。即使是张齐华老师自己，早期也曾经有过这一内容的精彩演绎，情境之丰富、语言之抒情，堪称华美。那么，如此经典的内容，目标可以拓展丰富吗？学习路径还有不同吗？学生参与可以更充分更主动吗？张老师是如何向经典挑战，进行自我突破的呢？我们一起来分享。
一、关注概念本质，凸显定义内涵
如何帮助学生建立最为本质的圆概念？其概念本质究竟是什么？这是我们老师首先思考的问题。事实上，圆的定义有多种不同的表达方式：
几何说：同一平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆。
集合说：同一平面上到定点的距离等于定长的点的集合，叫做圆。
轨迹说：同一平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹，叫做圆。
可以说，张齐华老师今天的教学，正是基于圆的本质内涵的准确把握、数学定义的深度解读。我们可以在教学中找到清晰的落点：
在“要确定一个圆的大小，最少要几个数据”的讨论中，“只要一个数据”“为什么？”“这些线段都一样长”——对“定长”的体验与感受，凸显“定点的距离等于定长的所有点组成的图形”之本质；
在“半径有无数条吗？真的都相等吗？你能用什么方法证明”任务下，学生答“圆有无数个点，圆心到这些点就有无数条”；——对“点的集合”的初步体会，暗合“定点的距离等于定长的点的集合”之定义；
在画圆方法的讨论指导中，“圆规针尖不能动”“距离要保持一致”——对“以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹”这一定义的应用。
“钟面上你能找到圆吗？”时针、分针走过的曲线——对“平面内，线段OA绕它的端点o旋转一周，它的另一端点A所经过的封闭曲线叫做圆”的这一定义的渗透。
二、巧设问题情境，促进自主建构
我们可以选择不同的角度对圆的认识进行不同的教学设计，不同设计又会有不同的教学侧重与目标定位。例如：“观察图形——探究特征——教学各部分名称——画圆——应用”，重视概念抽象；“画圆切入----画圆展开----画圆提升”强调操作中认识；“自学课本——小组交流——归纳整理——解决问题”突出自学和学生自己提出问题……各种设计均有各自不同的优势。
“当通向目标的路只有一条时，人们无法比较路的远近。当通向目标的路有两条或两条以上时，我们才有了比较的机会。对提供新路的人，应该心怀感激”。这是朱乐平老师谈到同课异构价值时的阐述。而张齐华老师，正是这样的开拓者。这一次，张老师设计了独具匠心的教学路径，以问题为驱动，将圆概念理解、圆的特征、圆心半径直径等各部分名称等教学，融于同一个问题解决中，十分巧妙！“要确定一个圆的大小，最少要几个数据？为什么”？ 问题解决中，学生边量、边画、边说，下面是学生在问题引领下的学习成果：
什么叫半径、圆心、直径；半径有无数条、都相等；直径有无数条、都相等；d=2r……大问题大空间，牵一发动全身，没有教的痕迹，有的，是学生为完成任务时的经验激活与自主表达。充分体现了学生的学习是自主建构的过程，这样的问题设计可谓巧妙而大气。
三、发展空间观念，重视数学应用
圆的认识教学，在“数学思考”与“问题解决”方面，同样具有巨大的教育价值。显然，张老师在这两方面依然给予了充分的关注，并付诸于教学实践中。
1.关注生活应用。让学生从数学的角度解释生活中的圆，例如“车轴为什么装在圆心位置”，“如果骑着轴心不在圆心位置的车轮会怎样？”学生的解释，正是对“圆心到圆上的距离处处相等”、“所有半径都相等” 等圆的特征巩固与应用。“儿子和爸爸闹别扭了，两人分别坐在摩天轮的哪个位置”，正是对“圆上两点间的距离直径最大”这一性质的运用。
2.发展空间观念。所谓空间观念，是指物体的大小、形状及相互位置关系在脑中留下的表象. 其具体表现为“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状”。张老师的课中，“根据图，你想到了生活中的什么东西？”“根据信息，猜一猜这是什么”。这样的设计，无疑，正是着眼于空间观念的培养。“半径是15cm”,可能是树轮、蛋糕、钟面……；“半径是135m”，可能是雷达、摩天轮……“直径是2.5cm，可能是什么”,学生根据信息猜测时，必然需要在头脑中形成关于大小、关于形状的表象，空间观念的培养也就有了载体与依托。
（浙江省 潘红娟）
学员课评
“大问题”教学的魅力
——听黄爱华老师关于“大问题”教学的课程、讲座有感
黄爱华，一个熟悉而又陌生的名字。熟悉是因为我早就闻其名，看过他的教学、讲座视频，看过他的书；陌生是因为我一直未曾见其真面目。
今天，在这个“千课万人”的平台上，我不仅见到黄爱华大师本人，还与大师合影留念，最重要的是得到了一个他送的礼物——“大问题”教学。
一、进入“大问题”教学课堂
初听到这几个字，我也比较迷茫：什么是“大问题”教学？“大问题”教学该怎样教？带着这样的问题，我首先进入了黄爱华老师的课堂《异分母的加减法》。
《异分母的加减法》的教学，教科书上是通过“通分”让异分母分数转化为同分母分数后，再按同分母分数加减法的计算方法来计算。如果这样教，孩子们也能很快学会如何计算异分母分数的加减法。
而黄老师的课堂上完全不是这样，他通过对整数、小数加减法的复习归纳得出，它们的计算方法是需要数位对齐，计算意义就是将“相同计数单位的个数相加减”，当讲到异分母分数的加减法时，紧紧围绕“分数加减法是不是也是将相同计数单位的个数相加减？”这个问题来学习，而这个问题就是这节课的“大问题”。紧接着，孩子们在思考、讨论、举例、汇报等一系列环节下，学会了如何计算异分母分数加减法。我也从初入课堂时的迷茫中渐渐拨开了云雾，慢慢清晰起来。
最后一个环节是本节课的一个点睛之笔，黄老师让孩子们将本节课的重点在板书上圈起来，可是圈的太多太乱，他又改为让孩子们将不太重要的知识从黑板上擦掉，最后留下了一句话“相同计数单位的个数相加减”，本节课的重点清晰明了。也让我的眼前一亮，这个“大问题”将整数、小数和分数的计算意义联系起来，原来所有的计算都是同一个问题。
二、参与“大问题”教学研究
下午一点半，今天组委会特意增加了黄爱华老师的一个讲座，他又给我们带来了一个意外，让我们一部分老师参与到他的活动中来，他让我们一起参与到一节“大问题”教学的微课研究中来，一同探究了《倒数的认识》，他当老师，我们做学生，一起经历了这个课堂。
我们作为学生提出了几个问题，他从四个角度很好的解答了。第一个问题符合本课重点，老师强调；第二个问题有点接近本节课的第二个问题，黄老师将它引导确定了；他将第三个问题合并到了第一个问题里；第四个问题的回答比较直接：“关于这个问题，当你学完了明天的知识，你就明白了。”四个不同的问题，黄老师都很自然地回答了，并且确定了本节课的两个重点：“什么是倒数？”“怎样得出倒数？”
接下来他让我们其中的一名老师与他换位当老师，重演刚才那几分钟的课。（遗憾我没能有勇气举手向前）当这位女老师重演时，语言中出现的问题被黄老师一一指出、纠正时，也让我们看到了这种教研模式的优势，看到了黄老师深厚的教学功底。
三、学习“大问题”教学
课后，我马上买来了黄爱华老师的《“大问题”教学的形与神》这本书，翻开书，看到内封面上黄老师的亲笔签名，无疑是对我的一种莫大的鼓舞，这也许就是偶像的力量吧！相信“大问题”教学这种模式会成为我努力的方向。
（安徽省 黄晓鸣）
听黄爱华老师《异分母分数的加减法》有感
早就对黄爱华老师崇拜已久，但一直以来都没有机会听黄爱华老师的课，今天有幸参加千课万人活动亲临会场听黄爱华老师的课，深感十分荣幸。大师风范近显眼前！
黄爱华老师今天上的内容是《异分母分数的加减法》，这堂课跟我们平时上的过程完全不一样，事后我才知道原来是黄爱华老师新研究探索的教学模式——“大问题”。本节课就是围绕以“大问题”为导向的课堂教学步骤：
第一：建立关系，建立教师与学生，学生与新学知识之间的关系。
只见黄爱华老师手拿着话筒，很亲切的跟学生聊起天来：“今天老师送给同学们两句话。第一句：分数是个新朋友。1/3在图上怎么表示？”学生们听了黄爱华老师亲切的声音，都纷纷抢着说出自己心中的答案。黄老师又接着问：“它还可以说成什么？”生答：“2/6、3/9、4/12、5/15……”在学生回答的过程中黄老师不断表扬、肯定学生。学生的自信心不断在增强！从这堂课的最初，老师就把问题交给学生，到学生知道分数的不同表现形式这一整个过程，基本上都是学生在思考在动脑，老师只是在一旁做恰到好处的引导，学生跟随着老师的反问而思考着，整个课堂被包围在智慧的氛围中。黄老师在课堂上的主次分明，活灵活地出现在课堂上，让我真正明白什么才是蜡烛、什么才是园丁和铺路人！
第二：提出问题，在多种方式下，师生共同提出并整理出大问题，整体呈现。
紧接着黄老师又送学生第二句话：“分数是个大家庭。”因此当老师板书加减法时，学生就很自然地想到了很多。学生自然而然的说加减法有整数、小数、分数，分数当中还学了同分母分数的加减法，学生顺势就可以说出既然有同分母分数加减法，那就会有异分母分数加减法，在这种方式下，同学们很快整理出如何解决异分母分数的加减法这个大问题，整体完全呈现出来了。我想，这就是黄爱华老师的高明之处吧，既能达到老师要的结果，又能突显学生的聪明，极大地提高学生学习数学的兴趣！
第三：尝试探究，学生依据已有的知识经验和课本内容或合作学习。
问题出来了，接着我们就可以尝试探究了，在老师的引导之下，学生们很快就能根据已有的知识经验和课本内容整理出整数和分数在计算时都是要将数位对齐，也就是将相同计数单位的个数相加减，在已有知识的基础上继而学习分数的加减法，出示1/3＋1/2=？黄老师并没有直接告知学生如何解决，而是让学生建立在已有知识的基础上相互合作讨论。发挥了学生的主体作用。此环节中教师将学习的自主权完全交给了学生，使学生最大程度的发挥自己的聪明才智，主体地位得到了充分体现。既培养了良好的学习习惯，又使学生的探究能力、自学能力得到了相应的提高，在这里，老师好像只是起着一个小助手的作用，极大的提高了学生的自信心！
第四：展示分享，充分利用黑板、实物展台或其他空间展示学生的研究成果。
接下来黄老师开始举一反三：1/3＋1/4=，1/3＋1/5=,1/3＋1/7=，1/3-1/7=，1/3+2/5=，让学生说出要解决的是什么问题？在不断的练习中让学生感悟总结出计算异分母分数加减法的方法。
第五：共同概括，师生围绕大问题及大问题的解决过程，共同参与梳理和提炼，得出结论。
从学生的回答中，黄老师善于引导学生总结归纳原来异分母分数的加减法也是相同计数单位的个数相加减，只不过整数和小数的计数单位很明确，而异分母分数加减法当中的计数单位总在变，不统一。
第六：问题延伸（通过学生与学生、学生与教师很快之间共同设疑解答等多种形式，对知识进行巩固、深化和延伸，提出后续研究的问题。
在解决了分子为1的这些异分母分的加减法，那么1/4+3/6=，4/15－1/5=同样可以用我们总结出来的规律进行计算。把今天所学知识又进一步升华，最后黄爱华老师又带着同学们一起擦黑板，其实这个过程是让学生又进一步让学生将所学知识又复习了一遍，这种形式值得学习。
随着时代的变迁，学生的教育教学方法需要教师不断更新观念，不断探索新的教学模式和方法，否则就跟不上时代的步伐，观念滞后，手段陈旧，就会被社会所淘汰。真正是学无止境啊！
（安徽省 程勇梅）
获奖信息
质疑问难奖
易向阳 （湖南省）
王 阳 （山东省）
王 慧 （湖南省）
吴继陈 （上海市）
精彩短信奖
江玉欣 （山东省）
赵清利 （山东省）
学员课评奖
黄晓鸣 （安徽省）
程勇梅 （安徽省）
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冯敏玲 （内蒙古）
姜和菊 （辽宁省）
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马晓静 （河南省）
张英豪 （河南省）
胡 莹 （河南省）
李景璞 （河南省）
周瑞花 （河南省）
许秀梅 （重庆市）
解颜铭 （湖北省）
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张 娜 （陕西省）
张 慧 （山西省）
刘新伟 （山东省）
王 栋 （山东省）
吴玫瑰 （福建省）
郑赛赛 （浙江省）
陈剑波 （浙江省）
以上老师将获得本次观摩会相应光盘
