“千课万人”第二届全国小学数学“学本课堂”研讨观摩会

4月19日专家课评

 

从感性走向理性

——评刘伟男老师执教的《长方体的认识》一课

《长方体的认识》是人教版数学五年级下册的教学内容。对图形认识的要求，小学阶段主要包括对图形自身特征的认识和对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。刘伟男老师在这节课的教学中，基于学生已有的知识经验，通过观察、分类、操作、讨论等活动，感知“点、线、面、体”的空间维度变化，思考表象背后的数学本质，掌握长方体、正方体的特征，充分体现了“从实物到图形是抽象，从图形到实物是想象”的空间观念发展过程，学生的学习能力得到了发展。

一、抽丝剥茧，找准切入点。

长方体、正方体都是学生熟悉的形体，在生活中随处可见。这节课的开始，刘老师从点入手，点动成线，线动成面，面动成体，引出今天要研究的长方体。长方体有哪些构成元素呢？这是学生有别于过去观察长方体的视角，从这个角度再去审视那个熟悉的长方体，就会有更贴近其特征的发现，从而开启了探究长方体特征之旅。刘老师将点、线、面作为研究体的切入点，带领学生进一步了解长方体的顶点、棱、面的数量、关系、形状等，在不断的想象、操作、思考、表象、叙述中穿梭，逐步脱离实物感知，走向对图形特征的本质把握。

二、理性分析，习得好方法。

这节课如果按照过去传统的教法，学生就会被动地去记忆图形的特征：有8个顶点、12条棱、6个面。至于这些特征之间有什么关系是不受关注的。而在刘老师的课堂上，学生不仅要从数顶点、数棱、数面的过程中厘清有序思考，更要思考长方体特征各元素之间的关系，理性分析得到了较好的体现。教师由点、线、面，再到体，带着学生去研究其数量、关系、形状，有比较，有辨析，有独立思考，有合作讨论，完成了长方体特征的表格，习得了研究方法。学生再利用这样的研究方法独立思考正方体的特征，水到渠成。在整节课的学习中，学生学得积极，学有兴趣，感受着数学的严谨和思考的乐趣。

三、举一反三，培养思维力。

刘老师在新授内容学习之后，设计了一个练习：长方体家族到海边度假，沙滩上留下了形迹，长方体家族可能有几人？至少有几人？课件中呈现的是3个不一样的平面图形，也留给学生思考的空间：要想确定长方体的形状，需要知道什么？只知道长方体的长、宽，无法确定长方体的形状，必须知道长、宽、高，才能确定长方形的形状。尽管时间的关系，这个题学生没能更深入地去研讨，但是练习设计的开放性与综合性，值得学习借鉴。

意识的培养取决于价值的认同。从这节课的教学中，我们不仅有很多新的发现，而且将在今后的教学中，更加积极地引导学生去体会数学的价值和作用，让学本课堂为学生的终身发展奠基。

（湖北省  关蓓）

 

如何从名师的课堂中学习

——以华应龙老师《找次品》的课堂教学为例

多次参加“千课万人”的活动，我本人也在这个超大规模的学习共同体中成长，所以我首先对“千课万人”的领导和工作人员表示深深的谢意！我想，作为参加活动的每位老师，大家也是带着在参与活动中快速成长的期望来到这里的。那么，怎样在“千课万人”的这样的文化氛围中学习以促进自己的专业成长呢？无疑，“千课万人”为所有参会的老师准备了丰盛的专业“营养大餐”，那么，面对这“营养大餐”，老师们因人而异的选择是首要的。但是，不管怎样选择，善于从名师的课堂学习都是重要的和基本的，如何从名师的课堂中学习？下面，我就以华应龙老师执教的《找次品》这节课为例，谈些自己的观点和看法，以期对大家有所启示。

在此之前，我首先说明两个问题：一是，与大家一样，我听完华老师的课后也很激动，也很急切想要表达的自己的整体感觉：华老师的《找次品》这节课，是一堂有思想、有研究、有方法、有深度的成功的学本课堂的典范实践课，是一节有知识、有方法、有生活、有境界的优质课。因此，与大家进行交流的价值就更大；二是，提醒大家在观摩学习课堂之前，要注意有备而来，这些准备专指为了从课堂学习而做的准备，比如，要注意熟悉听课的课题、搜寻自己的有关经验，查找他人上课的资料或者有关研究等，更重要的是要有所思考，比如，预设课堂看点、寻求观课视角，甚至必要的观课工具等等。

学习之一：教学目标是怎样确定和实现的？

教学目标的确定是复杂的。不仅有表面的课程要求和内容，而且有对教学经验的无意识运用，更有教师观念的强烈影响。所以，我们要善于从多方面收集关于名师以及这节课方面的信息，包括名师的个人教学经历（简历）、教学风格、教学主张（名师慧语），名师本人提供的教学预案以及他人（特别是学员）对名师的评价等。

针对华老师的这节课，我们可以清楚地看到他确定教学目标的过程：教学预案的3个“三”——存在的三个问题（一是目标太多；二是心太急；三是不甚明了）；这节课的三个难度（一是难在理解题意；二是难在图示表达；三是难在逻辑推理）；需要推敲的三个方面（一是思考操作的价值；二是待测物品的数量；三是思考教学目标）。值得关注的是，华老师的材料中特别强调他用心观察了10多节《找次品》的现场课，竭泽而渔地搜索60多篇有关《找次品》的文章之后（他的报告中也提到过），制定的《找次品》第一课时的教学预案，其中包括确定的三个教学目标（与实现一并呈现）。

这里的三个教学目标是怎样实现的呢？ 1、会“一分为三”地解决简单的“找次品”问题。在课堂中，我们可以清除地看到，分三段探究，利用“回头——再回头——小结——总结”策略，不仅探讨了“一分为三”的方法，而且也进行了灵活运用。2、会用“如果……那么”、“接下来……中找”数学的思维。华老师通过“自己和学生语言讲、自己板书写、要求学生交流，逐步实现了确保了学生的数学思维。3、发展想象力，积累数学活动经验，感受数学的魅力。在这一方面，在教学的许多环节都有所体现，特别是运用有趣有层次的问题和个人魅力（大气、爽朗的笑声、磁性语言、幽默风趣），调动学生积极主动参与，更加保证了这一目标的实现。

学习之二：教学环节是怎样划分和实施的？

通过华老师提供的书面材料、他的课堂和所做的报告中可以看出，《找次品》这节课教学环节的划分是经过深思熟虑的。教学环节的划分，不仅与教学目标有关系，也与难点有密切的关系，更与学生的实际水平紧密相关。在华老师的课堂上，我们可以看到明显地三个环节：提出问题、分析问题 、解决问题，其中在分析问题环节，又以两个“回头“为标志划分为两个环节：一是 “2个和3个中有一个次品”；二是“4个、8个和9个中有一个次品”。其中贯穿着用“两个回头”和提出问题（比如，8个中有1个次品，能不能也称2次？）发现问题解决的基本方法，从课堂上可以看到，这些方法是需要在分类枚举情况下，师生共同逐步总结提升出来的，而且特别以“小结”加以强调。

名师怎样运用教学预案？这个问题在这里也一并提出。通过华老师的课堂教学、他的报告和他提供的教学设计，我们可以清楚地看到，他的课堂实施与教学设计主要有两个明显的不同：一是把“81个中有一个次品”的问题先提出来，以便给学生明确的目标和思考的时间；二是“机动：26个”课堂上没有采用。当然课堂中还运用了一些激发学生兴趣和有助于学生寻找方法的提示（比如老子的“天下难事，必作于易”），由此可以看出，华老师是根据学生的实际学习情况灵活机智地运用教案的。

学习之三：怎样从课堂的重要或特色细节中学习？

什么是教学细节？关注教学细节的实质是什么和它与课堂教学的关系怎样？教学细节，是指课堂教学过程中所发生的细小环节或情节，或是一个细小片段，它有待于教师钻研、反思和突破。关注课堂细节，其实质是精致教学流程，突出教学重点，凸显教学亮点，提高课堂教学质量，绽放个性和魅力。课堂教学就是由一个个的细节构成的．对教学细节的处置，蕴含、折射着教师的教育理念、文化底蕴、教育策略和人格魅力．细节虽小，却能透射出一位教师教育的大理念、大智慧，所以，成功的教学必定离不开精彩细节，也应该引起学习者足够的重视。

细节在哪里？细节的怎么开发与怎么教学利用？在学生那里——困难时的帮助、迷茫时的指点、失败时的鼓励、成功时的共享、出错时的包容；不闻不问、视而不见、漠然处之；一个行为、一句言语、一个错误；即时性行为（现场发生的行为）及延时性行为（由于教学的影响后续发生的行为）；在教师那里——一句话、一个眼神、一次动作、一个表情；教师教学的指令、教学言语、教学方法； 在师生之间——互动的行为组合，师生对话合作行为、交流互动行为；在教学过程中——它的变化、生成和创造。开发和利用就是让细节充满张力——规划细节，明确导向；舒展细节，动态建构；做亮细节，凸显方法；放大细节，提升能力。

下面结合华老师的课堂谈些细节，同时注意思考和学习。当然，华老师课堂中一些个人风格的方面就不再谈了，比如，华老师大气、幽默风趣、声音浑厚、语言磁性、爽朗的笑声，善于从学生的眼睛里捕捉来自学生的信息等。下面主要从以下几个方面来谈。

细节1：难点是怎样突破的？分三段探究，利用“回头——再回头——小结——总结”策略。这一策略是促使学生不断反思，同时跟进有教师的追问，帮助学生逐步进入深度学习，同时利用图片激趣（有文字有人物图）和问题引领，循序渐进地解决了难点问题。

细节2：怎么奖赏做出精彩回答的学生？华老师首先给出“非常棒！”然后询问他叫什么名字，并进一步与学生一起解读回答，其中包含着追问。这样的奖赏不仅是被关注和肯定答案，而且给了学生与教师单独交流的机会。

细节3：华老师是怎么对待“学霸”的？ “学霸”是学习非常优秀的学生，对他们的回答处理不当，往往会伤他的自尊心，同时可能“忽略”一些老是想解释或者与学生交流的重要内容。华老师的处理是：我知道你很厉害，但是你要把问题讲出来。这样的处理，既肯定了“学霸”，保护了他的自尊，同时给他提出了更高的要求：不但自己会做，而且要会讲给别人听。

细节4：华老师课上“如果……那么”发挥了哪些作用？ “如果……那么”既是启发学生思维的语言，又是表述学生思维的语言。华老师的课堂上，一是提醒学生运用它来表述，同时让学生马上运用交流，同时用于帮助学生推理。

细节5：华老师课上“9个中有一个次品”的“4、4、1”是怎样用适合学生的水平解释的？“9个中有一个次品”有一种情况是“4、4、1”，若是不平衡的情况需要称3次，平衡就需要称1次。而对于“9个中有一个次品”的结果是“至少称2次”，华老师给学生的解释是“因要保证找到，而需要称1次的可能性很小”，从而帮助学生解释，这样的处理是符合小学五年级学生认知水平的，事实上，可以用概率来说明对于“9个中有一个次品”的结果是“至少2两次”。

另外，华老师在课上用彩笔突出天平，及时提醒学生独立思考，出示附有文字或者人物的图片启发学生思考，特别突出是 “可能”还是“一定”，强调“是一次不是两次”，以及对于板书内容的选择（列出各种情况，并用枚举的图示呈现答案），特别区分要分平衡和不平衡两种情况来讨论等等，还有许多，相信我们智慧的老师还能找出更多。

学习之四：如何处理个人在课堂情境中的思考？

与大家一样，在听课的过程中，我也会想到许多有关的经验和知识，同时会提出一些值得思考的问题。华老师精彩的《找次品》更是能让大家引发更多的思考。有哪些问题我们暂且不说，而如何处理是我们主要探讨的。首先要重视，并认识到这些思考和问题的重要性，它不仅提升了你的思考力，而且在改善着你的经验和知识结构，同时有可能在潜意识地改变着你的一些不当的乃至错误的教学观念。所以，我们一定要认真对待，最终来改善自己的教学行为，提升自己的专业发展水平；其次，要认真梳理，找到自己的兴趣点和关注的问题，积累一些自己的教学主张与思考；最后也是最重要的，要注意把这些思考和问题与自己的教学结合起来，改变自己的教学行为和思考方式。要时刻认识到，将学习及所感所悟迁移于自己的专业行为是硬道理。

结束语：“有境界”成功的学本课堂的典范实践课

华老师的《找次品》这节课，是一堂有思想、有研究、有方法、有深度的成功的学本课堂的典范实践课，是一节有知识、有方法、有生活、有境界的优质课。这节课的突破在于清晰化了课程内容的核心问题，精心设计了适合于学生的操作活动，选择了利于学生学习的表征方式，有力地促进了学生的数学思考，从而确保了课堂上学习者全体“以学为本”的现实。同时，华老师的课堂更是“有境界”的课堂。境界反映了华老师对待生活、社会和世界的态度，反映了他的职业操守与职业精神，体现了教育者对理想与崇高的追求。期待华老师的境界激发老师们境界的专业发展。

最后，祝愿大家通过学本课堂吸收到更多的感兴趣和需要的专业“营养”，从而有利于老师们在专业水平上有更好更大提升！

（山东省  郑庆全）

 

思考与改变

——评唐彩斌老师执教的《植树问题》一课

改变的过程是与思考相伴同行的过程。唐彩斌老师执教的《植树问题》一课，是人教版数学四年级下册的数学广角中的内容。课题是“植树问题”，实质上是让学生掌握解决问题的策略，从而解决类似一些以植树为题材的数学问题。因此，对于数学广角教学的定位，不是仅仅为了解题，更为重要的是学会数学地思维，探究解决这一类问题或者是类似问题的策略。从唐老师执教的这一节课中，我们能感受到他的思考，他的研究，以及他致力于数学课堂教学改变的实践与成果。

一、舍得下“笨功夫”，其实是真智慧。

数学教学总是基于一定的素材展开的。上课伊始，唐老师并没有让学生马上领到植树的素材去探究，而是设计了“思维热身”环节：看图说一说“几个钉子几幅画？”在观察并叙述钉子与画的关系的过程中，学生进一步体会“一一对应”和“不对应”的情况。这个环节貌似花了一定的时间，但这却是今天学习过程中学生非常重要的“支架”，正所谓“磨刀不误砍柴工”，在新课中，学生数棵树时，“一棵一段、一棵一段”的对应关系信手拈来，能运用“一一对应”来帮助思考问题，不突兀，不生硬。在例题的教学中，先从“在长20米的小路植树”开始研究，情景呈现的方式上也采用了新的形式，即用故事叙述的方式让学生入情入境，这也比直接呈现情境图更花时间，但是唐老师的这种设计更有利于学生分析问题，找到主攻方向，促进学生审题能力的培养。另外，整节课中，唐老师留给学生很多“静悄悄的时间”，让每一个学生都能独立思考，独立探究，独立练习，呈现出个性化的思考——植树问题中“两端都种”、“只一端种”、“两端都不种”的情况，都是学生思考的囊中之物。尽管课堂不是热气腾腾的，却一定是一个学习数学的课堂！整节课中，教师精心设计板书，精心设计问题，收敛起成年人聪明，从数学的角度引导学生自主思考，自主解决问题，并提炼解决问题的策略……于细微处，教师真舍得下功夫，或许不一定为人所喜，但之于学生，却是极好的！

二、学会数学地思维，改变我们的课堂。

如何帮助学生数学地思维？在让学生交流独立完成的作业时，动画图的出现是在教师引导学生说算式、画线段图分析之后。这样的设计，一方面是让学生进一步掌握用线段图分析问题方法，用算式呈现解决问题的步骤，另一方面教师在规范书写、单位名数、语言表达上帮助学生学会数学地思考。在学生理解掌握了植树问题中“两端都种”、“一端种一端不种”、“两端都不种”的解题策略和基本模型后，唐老师将例题进行了拓展：在全长200米的小路一边装灯，每隔10米装一盏，一共能装多少盏？能否一一罗列三种情况？在接下来学生独立思考完成的过程中，一一列举三种不同的情况，既是学生领会数学思考的体验活动，又是逐步“去情境化”地数学思维，探寻数学知识的本质。新授课后的练习题，既巩固了新知，又留给学生思考。一节课下来，学生收获多多，观摩的同行收获多多。

唯有思考，才有改变，才能让我们的课堂充满生机与活力，让我们感受生命的速度与激情。

（湖北省  关蓓）

 

“植树问题”的“昨天、今天和明天”

——由郦丹老师执教的《植树问题》说开去

我想顺着几个问题谈谈“植树问题”的“昨天、今天和明天”。

一、昨天：“植树问题”为什么从“奥数”中走来？

“植树问题”曾经很火，是“奥数”中的经典问题，常被拿来测试或培养资优学生的解题能力，学过“奥数”的必然要闯过它所构筑起的数学“丛林”。自新课程改革实施以来，人教版教材将“植树问题”编入教材，由此，它实现了“小众”型、可选项走向“大众”化、必选项的地位转变——学生唯有直面它，征服它，别无选择。教材编写者为什么做出这样的改变？我想，教材编写者最为看重的正是“植树问题”特有的数学思维价值，期望通过学习“植树问题”让学生普遍地获得其思想方法的滋养。说得直白一点就是，“植树问题”富含数学思维营养，值得每个学生消化它、吸收它。走进教材后的“植树问题”，果然是不同凡响，迅速成为众多教师的关注热点，“备受众多专家、特级老师的青睐，曾经无数次被搬上‘舞台’演绎出许多经典课例”（郦丹语）。早在2007年11月的浙江省小学数学优质课比赛，郦丹老师就执教了“植树问题”并喜获一等奖，2014年在华东六省一市小学数学优质课评比中她执教重新磨过的“植树问题”大获成功，当时与之同课异构的著名特级教师俞正强的演绎更是被称为“幽默风趣、妙趣横生，但内里又彰显着深刻的教学智慧”。

二、今天：“植树问题”为什么引起如此多的论争？

尽管有些教学演绎被奉为经典，但今天的“植树问题”还是引发诸多争议，对这节课“教什么”“怎样教”的争论十分热烈。朱国荣、丁杭缨、邵陈标、张卫星等名师都有评论发表，郑毓信教授对此更是做出了鞭辟入里的深度分析。或许是大家关注的角度差异使然，或许是教学实践的复杂性所致，问题依然存在，争议依然频发。有时候感觉认识到位了，一实践又暴露出了新的问题，似乎先前的认识还存在没能觉察和解决的缺陷。特别是来自学生学习效果的信息反馈，让我们不断陷入尴尬！比如：（1）“套型”解题。在不封闭线路上植树有三种情形: 两端都栽，棵数=段数+1；一端栽树，棵数=段数；两端都不栽，棵数=段数－1。当学生绞尽脑汁记忆公式并按图索骥，这时植树问题的解答过程实质就异化成为“判断题型→搜寻记忆图式→运用对应图式解答”的机械套用过程；（2）更让老师感到烦恼的是：由于三种情况内容关联，规律相近，只教学一种（两端植树）时学生还能条分缕析，但当三种情况混杂在一起,什么时候加1,什么时候减1,什么时候应该乘，什么时候应该除…… 学生就完全迷糊了。老师不教学生倒还明白,老师越教学生倒越来越糊涂!（引自刘全祥、刘莉老师文章）就今天唐彩斌、郦丹老师的不同演绎，也是各有所长，各有取舍，老师们的看法也是众说纷纭。

郦丹老师这节课的整体设计很有特色。一改惯常采用的将“植树问题”作为一类典型问题，采用一一对应的思想，在理解“间隔数和棵树”关系的基础上帮助学生建构数学模型，判断数学模型，然后应用数学模型解决问题的传统教学模式，而是从除法的意义入手将“植树问题”作为用除法解决问题中的一类特殊情况处理，引导学生逐步建构“商+1、商、商-1”的植树问题模型，并使学生在解决问题的过程中学会具体问题具体分析，形成解决问题的一般策略。从除法的意义入手，基于不同情况对商作针对性处理来解决“植树问题”，这是我此前从没有过的想法，可谓独具匠心。细细想来，这样处理让“植树问题”有了一个安稳的数学依托，数学发生发展的逻辑脉络也很清晰，教学起点得以降低使学生应该更易于适应，将三种情况合并学习利于学生从整体上感知和把握植树问题。但新的疑惑也随之产生。比如，课伊始，从学生根据“20÷5=4”编的两道题和教师出的两道题对比引入，用意较深，题目又多，学生把握起来似乎难度太大，是否可以简化一下？郦老师采取的直观图似乎流连于具体形象直观而缺少抽象层次上的提炼，这使得学生的识别能力和思维深度受到了一定的局限。再有，将教材中的“种100米”改为“种20米”，不进行“化繁为简”的活动，舍弃了让学生体验“将复杂问题转化为一个简单的问题来研究，再运用所发现的规律来解决复杂的问题”的过程，是否有些可惜？还有，是否提炼出“段数”和“点数”这一更具一般性的说法后，强调运用一一对应的思想方法弄清求“段数”和求“点数”之间的变化关系，更利于学生掌握先识别不同情况、再有针对性地处理商的数学本领呢？这样做后，类似路灯问题、锯树问题、爬楼问题等与“植树问题”有着相同数学结构的问题在孩子们的数学眼光下会否变得更加条理分明，易于掌控？

三、明天：“植树问题”能否成为愉悦畅快、思维激荡的数学之旅？

“植树问题”还应该变得更好。比如，学生不再成为被记忆“挟持”的机械规律的使用者，思维开始变得有判断力，能随机应变，因“题”制宜；学生感受到了数学思维的神彩，在思维神彩的照映下挥洒心智，愈加愉悦畅快，哈，数学呀妙不可言，数学呀自由驰骋；学生喜欢上了“植树问题”，不需要老师处心积虑地激发与牵引，自己就拿起题目，想啊想，画呀画，算啊算，一次不行来两次，两次不行还有第三次，n次不行还有n＋1次，都过了好长时间了，忽然间，灵光一闪，脑洞大开，自悟自得！如果这样的场景不是发生在课堂上，是在苹果树下，是在闲谈之中，是在某个酣睡之后的朦胧的早晨，是不经意间的豁然开朗……那，岂不更好！

（山东省  张良朋）

 

为理解而教

——评黄晶《可能性与公平》一课

“概率是一个既难教又难学的内容,毕竟因果关系更习惯,逻辑思维更清晰。……在概率中,无论是概念,还是比较简单的应用或者其他非常核心的部分,到处都有令人困惑不已和违背直觉的说法。”弗兰登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中如是说。

“课程标准”修订以后，小学数学中的可能性内容已经减少了很多。第一学段的内容已经移到了第二学段，第二学段的内容移到了第三学段。整个小学阶段都只对可能性大小作定性研究。即客观世界中，有些事情在一定条件下必然发生或不可能发生，这些都是确定事件。而另外一些事情则在一定条件下可能发生也可能不发生。这些被称为不确定事件，不确定事件发生的可能性是有大小的。小学阶段到此为止，不再考虑用具体的数表示事件发生的可能性的大小。

《可能性与公平》一课，涉及的内容是“课程标准”修订以前的教材内容。在本课中，学生应该能学会用分数表示简单随机事件发生的可能性的大小，能初步体会游戏规则的公平性。

整体来看，黄老师的课设计精巧，教师个人风趣幽默，课堂氛围好，教学效果好。在此，笔者着重谈一个观点。即本课为理解而教。

对于用分数表示简单随机事件的可能性这类问题，其关注的模型与分数的意义所关注的模型极为相似。无论是古典概型或几何概型，莫不如此。因此，在这样的课中，往往会出现一种状况，即学生学习起来似乎没有任何困难，每个问题都能顺利回答。但这也同时告诉我们，这样的课往往上了和没上差不多。黄老师这一节课为破解这种状况，促使学生的真正理解，作了不少值得借鉴的设计。这里仅举两例：

其一、于似无问题处设问。

对如下一个转盘，若问转到红色的可能性是多少？几乎每个学生都能说了四分之二或二分之一这样的分数来。同样，对于另外两种颜色，学生也能没有任何困难的说出四分之一这样的分数。每个学生都认为这个转盘不公平。选红色的占优势。此处似乎没有问题。

 

但黄老师正是在这一似无问题处设问：转一次，必然会转到红色吗？

对于这个问题，学生似乎也没有困难。都相信不一定。教师连续转两次，一次蓝色，一次红色。果然如此。

看起来，这里又没问题。

但黄老师继续于无问题处设问：既然可能转到红色，也可能转到黄色或蓝色，为什么选红色的占优呢？为什么转到红色的可能性大，红色就占优呢？如何让人感受到选红色的优势呢？

在这一系列的追问与讨论中，学生慢慢理解，红色的优势无时不在，但只有通过多次实验，才能明显的体现出来。意识到多次重复实验后，转到红色的次数应该会更多一些，并体会这一结果与选红色有利之间的关系。体现转到红色的可能性是四分之一到底意味着什么。

其二、充分利用计算机模拟。

计算机模拟随机实验，本是一个常用的手段。甚至发展出了一个以赌城蒙特卡罗命名的蒙特卡罗方法。计算机模拟有一个明显的优势，那就是效率高。成千上万次实验，瞬间完成，从而提供了大量重复实验的结果。对大量的重复实验的结果进行观察与分析，是学生理解概率必不可少的环节。但对小学生而言，这一方法与存在一个问题：直观性不够。黄老师在本课中的创造性设计，有效的突出了计算机模拟的优势，又较好的解决了其直观性不够的问题。

以下即是计算机模拟400次转转盘实验的界面。

 

在计算机模拟的过程中，右边的转盘始终在转，随着实验的推进，左边的400个小格逐步显示实验结果。中间的表格显示实验数据。这一兼顾效率与直观的设计，值得借鉴。

回顾黄老师的课，在这里，应提一提关于儿童对概率的错误认识，对此，学者们就作了很多有价值的研究。以下是两个典型：

1、儿童会认为可能性大小不能比较

比如：

抛一个硬币，关于硬币落下后朝上一面是的情况，说法正确的是：

正面的可能性大。

还是反面的可能性大

两个一样大

不能比较。

有学生认为，因为硬币落下来有时是正面,有时是反面,如果是正面就是正面可能性大,如果是反面就是反面可能性大,这只能看你运气好不好,所以无法比较。

还有学生认为：为在没有落地之前,我不会知道。落地之后,正面可能性大或反面可能性大,所以不能比较。

2、儿童会有等可能性偏见。即倾向于认为每一事件发生的可能性是相等的。

如：一堂数学课上有13个男生,16个女生,每个学生的名字都写在一张纸条上,所有的纸条都放在一个盒子里并搅匀。老师在不看的情况下摸出一张纸条。下面说法正确的是:

A、摸到男生名字的可能性比女生大

B、摸到女生名字的可能性比男生大

C、摸到男生、女生名字的可能性一样大

D、无法比较

对此，一位三年级学生给出的回答是:

答案C

理由因为只有男女两种,要么男生,要么女生,所以一样大。

另一位六年级学生是这样回答的:

答案C

理由一共只有两种可能，男或女，都是1/2，所以一样大。

（以上两个案例源于杭州师范大学高海燕硕士学位论文《6~12岁儿童对概率概念的理解》）

本课在纠正儿童认识概率的若干错误观念方面，已经做了一些努力。同时，这也是需要进一步努力的地方。一方面，需要进一步加深对儿童概率错误认识的了解。另一方面，要进一步思考如何在课堂中暴露学生的错误想法，并努力纠正之。

（湖南省  张新春）

 

整体学习观提升核心素养

——听《避开恶猫的方法》的思考

以往评价一堂课，我们一直在思考好课的标准，继而探究学生学习的有效性，总能从教与学的角度寻找到几个观察点。而今天听完这节数学阅读课《避开恶猫的方法》，却让听课老师和孩子们一起经历了一次难忘的体验，深深的触动不是简单的评价能概括的，带给我们更多的是对整体学习观带来学生核心素养的提升的思考。抛开所有对整节课标准化的评价方式，我们不妨整体来观察这节课孩子们经历了什么？

好情境激发真经验

课堂情境的创设是学生进入学习状态的前提，只有贴近学生的兴趣和最近发展区的情境才能激发学生真实的经验。本课用童话故事为载体，让孩子们经历了一个完整的思维过程。小老鼠为了避开恶猫想出了各种五花八门的招数，在每一次发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程中。孩子们在角色扮演中，感同身受，激发了内在的情感和经验，引发了一次次思维的挑战。

好的情境是一个有效的学习场，它将激发每个学生经验，在交流中不断产生思维的火花，积累更多的生活和学习的经验。“面对危险即将降临，老鼠们内心是什么感觉？”老鼠们的内心活动，是孩子们在这个特殊场景中真实的情感表露。“谁也说服不了谁，又该怎么办？”“投票”——两个字无疑激发了孩子们在面对多样选择时的生活经验。……这样的片段比比皆是，难能可贵的是这个情境贯穿了整节课，孩子们在这个微缩的生活场中，以问题解决为动机，分享着各自的经验，又积累了更多的解决问题的经验。

好问题促进真思考

能否一眼看清楚两队投票的数量的多少关系？在几个孩子不同角度的思考中，终于有人提出用对齐的方式，并强调要横竖对齐。小老鼠们为什么没有一直用排队的方法？摆栗仁等方法？……“太累了，有点不稳。”孩子们的回答很真实，他们内在的思考更精彩，这个问题同时也让孩子们明白了在面对不同问题的时候可以用不同的应对策略。当孩子们创造的图表和小老鼠们的图表比较中，我们又发现了不同样式的图表，却能表达同一个意思。

整节课，精彩的问答时刻闪耀，每一次都是那么自然，学生因为那些是小老鼠的问题，也是孩子们面对这些情境产生的问题，于是每个人都进入了积极主动的思考活动中。看着学生们骨碌碌转动的小眼睛，时刻闪烁着智慧的光芒，时而有困惑和迷茫、时而灵光闪现、时而自信满满。这就是课堂中最精彩的风景，预示着小脑袋中思维的枝丫正在生长、抽芽呢。

好体验引发真学习

课堂中创设了排队模拟小老鼠投票的活动，体验了自由表达，有效表达个人意愿的过程。又让孩子们经历了改良小老鼠统计表格的活动，孩子们根据自身的理解和水平，对图表的直观性、一一对应的思想、计数的功能、简单概括的特点进行了改良和表达。既是孩子们做数学的有效体验，更是学习经验的生动表达，好的体验为孩子们积累了真正的活动经验。也为孩子们创设了体验数学发展史的机会。要感受数学的美，必须经历它从原始粗糙走向不断改良的过程，并且永无止境。

真正的数学学习，不再是数学结果的堆积和记忆，更是从头到尾做数学的过程，只有当孩子们关注数学知识产生的源头，经历发展过程的时候，才能在内心留下学习的痕迹，产生进一步研究的动力。

好情境、好问题、好体验，这些观察点能让我们感受到教育者帮助学生核心素养提升作出的有效努力，更是整体学习观的体现。为学科而教，不如为做人而教，人文背景是一切教育活动的底色，值得铭记。

情境产生问题，问题激发经验，经验引导思维，让思维经历整个过程，指导孩子们的决策和行动。一堂好课正是值得深思的课，更是让每一个教育者思考我们“为什么出发？”的好范例。

（浙江省  陈亚明）