叩问概念本质，从算术思维迈向代数思维
——《方程的意义》赏析
“方程的意义”是小学数学的重要内容，它标志着学生从算术思维迈向代数思维的转折点；但“方程的意义”也是学生学习的难点，太多的实践表明：学生在辨认方程、等式和不等式困难重重，小学生学习了方程后却不愿意用方程解决问题。因此，我们应该沉浸下来思考：方程的本质是什么？学习方程的价值何在？如何让学生真正地体验到方程的优越性？
今天，有幸走近名师课堂，聆听刘燕老师与五年级孩子的真实学习过程，有三点体会，愿与大家分享！
体会一：同一情境的不同表征经历方程发生的过程，体会方程的优越性
我们都知道方程是解决实际问题的有效方法之一，在用方程解决实际问题的过程中，学生需要“从错综复杂的情境中，将最本质的东西抽想出来……”，这一抽象概括的过程就是学生经历方程发生的过程。课堂上，刘老师出示了一年级的图式应用题，唤醒学生已有的认知基础，用“小华”、“小明”两个虚拟的学生形象，分别从算术思维和代数思维两种方法解决同一情境的数学问题。在问题情境中让学生感知“未知的数”可以用□、用（）、用△等符号来表示，而学生朴素的思考与数学家韦达的想法完全一致，但是为了表达和交流的方便，数学家笛卡尔又进一步提出了可以统一符号，用字母x表示未知的数。因此，8-2=6与x+2=8可以表示同一个情境，而同一个问题也可以有两种不同的表征方式。这是一个从用多种符号表示未知数到用统一字母表示未知数的过程，也是一个数学化的过程。有了符号的抽象，刘老师依次呈现2-5年级的问题情境，引导学生用两种不同的方法解决：
8-2=6 x+2=8
3+7=10 x-7=3
36÷3=12 x×3=36
320+56-31=345 x+31-56=320
（145+10）+5÷2 x×2+5=145+10
随着问题情境的复杂程度加深，用算术方法解决的难度也在加大。通过对比，学生自然比较出了两种不同方法的异同，分析算术方法的错例时，感知到“小明”的方法是“顺着题目的意思，按顺序写出的算式”，而“小华”的方法需要倒着思考，比较容易出错，亲身体会到方程正向思维的优越性。
这个环节的设计精当之处，就在于刘老师让学生经历寻找实际问题中的数量之间的相等关系的全过程，学生在问题情境中对比、探索、研究、寻求已知与未知之间的内在联系建立数量之间的相等关系，把日常语言抽象成数学语言（等量关系），进而转换成符号语言（方程）。同时也让学生深切体会到方程思想能逐步将复杂的问题简单化，这种简单优化的思想对于人的思维习惯的影响是深远的，这也正是方程思想的本质所在。
体会二：寻求未知数与已知数建立等量关系的过程，理解方程的本质属性
张奠宙教授曾在“数学概念教学，要融入中华文化出陈出新”一文中谈到：方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”这样的定义，把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数；方程乃是一种关系，其特征是“等式”，这种等式关系，把未知数和已知数联系起来了。而我们以往的教学只关注含有未知数，却没有关注未知数地位的变化，忽略了“未知数享有和已知数同样的地位”这一属性。刘老师充分利用了“爸爸今年36岁，小红年龄的3倍刚好和爸爸的年龄一样，小红今年多少岁？”等真实情境作为素材进行分析：算术方法36÷3=12，是从已知的爸爸年龄36出发，除以3，得到接近小红的年龄12岁；代数方法：x×3=36，是从未知的小红年龄x出发，建立和已知爸爸年龄的关系，根据关系解出未知数的x。这样的对比分析，不仅经历了方程是从现实生活到数学的一个提炼过程,一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。也刻画了算术方法与代数方法的本质区别，前者是“摸着石头过河”探索未知的目标，而后者是先建立一种等量关系，然后利用这种关系寻求未知的数，两者的思维方向是相反的。
体会三：借助天平经历方程建模的过程，提高用方程思想解决问题的能力
方程思想的核心在于建模、化归。方程的学习,从一开始就应该让学生接触现实的问题,学习建模,学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言,得到方程,进而解决有关问题。课中，刘老师巧妙借助四组“天平”（平衡、不平衡、含有或不含未知重量物体的天平），辨析什么是方程？什么不是方程？并辅以手势动作表示天平的平衡状态，实现图像表征向数学符号表征的转化，强调方程“=”两边等价的属性理解，经历了方程的建模过程。在课末“变化天平”的方式创造方程的活动中，刘老师又一次激发了学生的学习欲望，学生根据天平两边的等价关系，从现实情景到用自然语言等价地表达出来,这是一次重要的抽象,也是方程建模的关键。
陈省身先生说过，数学有“好的数学”和“不大好的数学”之分。在“好的数学”一类里，他所举的例子就是方程。当然，数学课也有“好的数学课”与“不好的数学课”之分，在我看来刘燕老师《方程的意义》一课，凸显了方程的本质，渗透了建模思想，实现了算术思维向代数思维的转变，体现了为学生的思维发展而教的理念，是一节名副其实的好课！
（浙江省杭州市上城区教育学院 邵虹）
以绘本名义，叩数学之门
——王炜老师绘本课《寻找消失的宝石王冠——找规律》一课赏析
当游戏课程、魔术课程、实验课程、绘本课程、戏剧课程等创意课程向我们袭来的时候，我们已然感受到了的课程改革对基础课程的冲击。但是，这些创意课程的基本特质是什么？目标定位有什么区别，教学方式有什么差异？其实我们还并不清晰！
王炜老师“数学绘本化”、“绘本数学化”的理念，无疑为“绘本课程”标注了鲜明的标签，而《寻找消失的宝石王冠——找规律》一课又为这一理念提供了鲜活的案例。我们一起来欣赏！
一、寻找“故事激趣”与“数学本质”的平衡
当“绘本”与“数学”相遇，将会发什么？
绘本，以其情节有趣生动、画面童真精美，受到孩子们的喜爱，《寻找消失的宝石王冠——找规律》一课，以大鼻子侦探发现国家博物馆的王冠已被调包，寻找真正的王冠为线索，设置了一系列寻宝任务，故事之生动、情节之跌宕，令师生心弦紧扣，至此，“故事激趣”的目的已经实现。
但是，数学呢？数学绘本课程，有别于儿童绘本阅读，必然承载着数学的认知目标，事实上，王老师《找规律》一课显然是“借儿童绘本叩数学之门”的典范。我们不妨分析其中数学认知的目标，至少有：
①“规律”的内涵与外延把握；
②找规律的方法形成与经验积累；
③观察、推理、表达能力的有机培养。
首先，着力于“什么是规律”的意义理解。“一组一组”、“重复出现”等关键词伴随着王冠、图纸、画作、小路、保险箱中的红蓝宝石、多边形、儿歌等具体实例，通过分析交流，得以内化，学生关于规律的内涵理解十分到位。
其次，感知“规律有哪些”，即规律的外延把握。教师提供了“颜色的规律”、“形状的规律”、“数字的规律”、“方向的规律”，让学生对具有“规律”属性的对象，有了极为丰富的感知。
第三，学会“如何找规律”。探索过程中，教师多次设问“我们是按什么来找规律的？”为学生提示了找规律的角度，“有序”、“横着看”、“竖着看”、“斜着看、“循环”提示具体方法。
另外，伴随着“找规律”学习活动的展开，“仔细看”、“认真想”……等基本学习方法融于其中；“有目的地观察”、“有根据地推理”等观察能力、推理能力、抽象能力等目标也悄然实现！
二、寻找“绘本内容”与“结构材料”的平衡
本课中的学习材料有两条线，一条故事线，以绘本方式呈现；一条知识线，用数学材料承载。故事线中，卡通形象、精美画面、童声画外音，可谓萌味十足、惟妙惟肖！但细品知识线中，我们不得不佩服王老师在数学材料构建中所体现的“精致度”与“结构化”。
所谓结构化材料，是将所要学习的认知目标镶嵌于其中，有着丰富内在联系、蕴含某些关系和规律的教学材料的组合。从王老师的课中，主要呈现以下几组材料：
材料1：蓝宝石、红宝石
材料2：六边形、三角形、五边形、正方形
材料3：左、上、右、下
材料4：儿歌：逐渐变大、五颜六色
材料5：扑克图案：梅花、方块、爱心
如果细品分析，从一维到二维，从单一到组合，从封闭到开放，落点清晰、逐级递进，可见匠心！尤其是最后的扑克图案材料，为不同角度找规律提供了开放的空间，角度1：学生可根据颜色找规律：红、蓝、红、蓝……；角度2：根据形状找规律:梅花、方块、爱心、梅花、方块、爱心……；从观察的方式看，可横着看、可竖着……看显然，“绘本数学化”，从结构化材料的构建角度，《寻找王冠》一课做到了！
三、寻找“自主探索”与“有效导学”的平衡
教师怎样引领学生展开规律的自主探索？孩子们参与思考的程度如何？教师怎样发挥“导学”的力量？这是一节好课绕不过去的话题。无疑，王老师极好地做到了“以学为主”与“以导为方”的两者平衡。
每一个任务给出之后，教师均将学生置于“侦破”的主要地位，观察、表达、相互讨论、生生质疑，规律的发现是学生“自主发现”的过程。但由此，是否就可忽略教师的作用呢？“有效”，很大程度上依赖于教师发挥“导”的功能。那么，王老师的课上，有哪些“导”的作为呢？
“导”在问题启发时——“刚才我们是按什么来找规律的”？“除了形状之外，还有什么规律？”这样的问题，引领学生思考的角度，驱动抽象地表达。
“导”在板书总结时——第一组材料反馈时，教师将绘本中的红蓝宝石贴于黑板，随着师生互动，适时用方框框出一组：板书“一组”、“重复”，揭示规律的本质；后面材料讨论后：板书“颜色”，“方向”“数字”等关键词，揭示规律角度。
“导”在方法指导时——呈现较为复杂的规律，当学生出现困难时，教师带着学生用手指着图有序观察，边指边说，致使规律明晰。
四、进一步思考
当然，王老师的课，可圈可点处颇多，限于篇幅，不做赘述。欣赏之余，一点思考与大家探讨。
情景的变换，情节的跌宕，无疑为学习增添了乐趣，但是，我们也看到，由于故事情节的需要，使得非数学的元素较多：画面、人物、对话……，且场景与物件也随之不断转换，学生就显现出“应接不暇”之感。从学习心理的角度分析，情节的强刺激与认知的弱刺激相比，显然故事占了上风，学生很难实现恰当的注意力分配。因此，能否减少场景与情节转换，减少教学环节，部分材料成组呈现，放下去让学生静静思考之后再交流呢？
培养阅读能力应该是绘本课程的重要目标，怎样留出时间，引导学生静静阅读，自主搜集信息、理解信息、筛选信息，或许也应该是值得进一步思考的问题。
（浙江省杭州市江干区教育发展研究院 潘红娟）
戏剧数学 多样课堂
——听王昆杞老师上课有感
王昆杞老师带来的《认识数字、十以内简单的加减》一课，终于让我看到了期待已久的、传说中的戏剧数学课堂。戏剧教育，多么小众的一种课程模式，如果说，她和语言类的学科结合在一起，我们可能还不会大惊小怪，可是，数学是学科边界分明、条清缕析、容不得半点含糊的一门学科,假如植入充满艺术色彩的戏剧,将会是一番怎样的场景呢?让我们一睹为快…….
场景一:空间秩序变了。
首先冲击我们眼帘的是:壁垒森严的座位方式变了。不再是一人一桌,也不是几人围坐,桌子都没了!黑板也不见了!学习场所变成了一块空地,学生可以在里面无拘无束、自由自在、随意走动。上课的教室不再仅仅是个遵规守纪的地方、似乎在鼓励孩子们释放天性、展现自我。当我们为自己的班额大、人数多而着急时,王老师解释:一般戏剧课程以12人为最佳,于是,我便释然了。
场景二:学习内容与方式不同了。
全课以小红帽看望外婆为戏剧主线,有三场主要的戏:用身体表演数字面包、按水果个数分组抱团、买卖奶牛,三场戏分别对应着数形、数义、加减法等几个数学知识点,但似乎又并不止步于此,当老师问,小红帽的外婆收到这些礼物时可能会说些什么?又更多让我们看到一种情感的浸润,似乎老师在力图达到认知与情感的完美结合。全场下来,老师并不讲解什么,学生也不练习什么,要达到的任务大多是用身体语言完成,有时是口头语言,也有表情、神态和想象,学生或躺或抱、或游戏或表演或对话。这和我们平日里逻辑严密、体系完整、答案明确、技能清晰的数学课确是大不相同。原来，数学还可以这么“玩”！
场景三:交往方式变了。
王老师不愧是科班出身，青春靓丽、充满活力、富有张力, 一张口、一举手、一投足，满满都是“戏”，紧紧吸引着孩子们一起入“戏”。虽然面对的是一群一年级的猴孩儿,但王老师好像没有刻意地去组织教学,平日里那些老师对学生提的各种纪律要求,此刻都变成了“剧情需要”；即使要批评要反思,也变成了“老板娘生气了”。处处都是戏啊!在剧情的推进中,孩子们或两人为伴、或三人一组、或四人抱团、或师生对戏,一会儿化身小红帽,一会儿变身为老板娘,抑或又穿越成了外婆,入情入境,和谐互动。
以上种种,确实为我们打开了一扇新的窗户,让我们看到数学课的另一种可能,从而感受到了戏剧走进数学课堂的价值:她让学习不再枯燥，让数学不再冰冷，而是变得更丰富、更有意义、更贴近学生；数学戏剧，关注了孩子学习的兴趣、体验、情感，关注孩子的表达能力、合作能力、解决问题能力，关注了数学学习对孩子的价值与意义。
但是,边听边笑,边享受边思考,我仍留下几点想法与问题:
1.课程如何定位?
若作为一种校本课程开发,我自无需多言。因为戏剧教育本身是一种全人教育的综合课程,更适合一种整合性的教育模式,但若以数学学科课程的标准来衡量,她似乎还有一些欠缺的地方。所以下面的讨论是站在数学教学的角度产生的:
比如,数学的学习目标还较单薄:虽然关注了数的外形,但只关注到个别数字；虽然也涉及数的意义,但显然理解并不到位,特别是对数的抽象特征没有体会；除此以外, 数数、数的顺序、数的大小、数的组成、数的读写、数的多种表征方式、数字产生的文化与历史、自然数背后的对应、集合等数学思想等等,这众多知识点的落实,单靠几幕戏剧恐怕还难以涵盖；还有,虽然也涉及到加减法,但凭几场戏剧,显然学生是无法掌握算法的,计算能力很可能是无法达标的(请原谅我的鼠目寸光和这抱残守缺的固执,动不动就谈知识点和技能的落实)。所以,单就这节课来看,从目标和效能来分析,还不能等同于数学教学。当然,我也注意到王老师提供的教学预案中,并没有呈现教学目标,我更愿意猜测是漏写了,而不是没有教学目标。
再综观整个课的过程,我个人认为:学习的成分也并不多,因为并没有体现学生从不知到知,或者从生涩到熟练的一个过程,也看不到思维的发展,而更像是学生已然学会了上述知识,再用戏剧的形式来玩一玩罢了,所以,这节课的主要任务,就是玩一玩。
因此,会有听者认为此课更适合幼儿园小朋友,而不是一年级学生。因为单薄的知识容量、滞后的技能要求,对该班学生而言,已不具有挑战性。如果说最后学生注意力有些涣散,固然与学生人数过多有关,但也不能忽视缺乏知识挑战性的因素。实际上老师本人的能力已经足够强大了,若换作是我等,情形只会更艰难。
戏剧数学,听起来很美好,实践起来不容易啊!分析至此,戏剧之于数学,偶尔尝试,未尝不可,若要大面积移植,还需斟酌慎行。特别是,师生的付出与收获,能否成正比,也是一线老师不得不掂量的—个问题。
2.创意课程:形式大于内容?
戏剧仅仅是一种教学的形式,任何一种形式的引进和创新,我想都离不开对内容的理解与把握,这二者是相辅相成的。若硬要分个主次,我更愿意相信内容决定形式,教什么比怎么教更重要。所谓皮之不存,毛将焉附。而今天这节课,戏剧的影响犹在,而数学的结果,却并不能令人满足。也许我过于功利,也许我局限于狭隘的学科主义,但我理想中的数学课,仍然是内容与形式的完美结合。我期望我们在开发创意课程、创新形式的时候,不要忘了对内容的钻研与追求,那是数学教学之根本,也是改革能走得稳、走得久、能持续发展的根本。
感谢千课万人这个平台,给了我们一个广阔的平台和丰富的视角。
最后,我也提醒自己:不能这么狭隘。世界是多元的，数学是丰富的，数学的学习也可以是多样的。一切从儿童本身出发的教学试验和教学探索都是值得尊重、值得学习的。如果，你觉得戏剧之于数学教学，还有太多的局限性，那么，即使“我”不能做戏剧，那我能做什么？戏剧能启发我什么？除了戏剧，还能有什么？魔术？游戏？实验？阅读？绘本开发？…
从数学课，走向数学课程，到底还有多远？我们又可以做什么？
(湖南省长沙市开福区教育科研培训中心 易虹辉)
合并重组 系统建构
——听《百千数的认识》有感
乍一看到《百千数的认识》这个课题，多数老师还以为是课题写错了。——在我们熟悉的“数的认识”教学系列中，只有“百以内数的认识”、“千以内数的认识”等课题。随着课堂的展开，教师们恍然大悟：原来这是江萍老师别具匠心的创新之举，是对“数的认识”的一次大胆尝试！把《百以内数的认识》、《千以内数的认识》合并在一个课时内进行教学（以下简称“合并教学”），好处在哪里？有什么弊端？江萍老师在课堂上如何处理？笔者试着从个人的理解角度对此做些解释。
一、合并教学有利于帮助学生系统建构数的概念
首先，在小学阶段整数的认识过程中，要经历“10以内的数”、“11—20之间的各数”、“百以内的数”、“万以内的数”、“多位数”等几个阶段，各个阶段循序渐进，螺旋上升，经过多次循环逐步完成整数的基本认识。各个阶段“数的认识”都是从“数数”活动中得以扩展的。其中，“20以内的数”是按个计数，“百以内的数”是按群计数，“千以内的数”也是如此。从“百以内的数”到“千以内的数”，是类比、迁移的结果，有助于学生推理能力的发展。
其次，每个阶段的“数的认识”，都有着类似的教学任务和活动，如：数数；读写数；认识计数单位；知道数的组成；感受数的大小；理解各数位上数字的意义；等等。把“百以内的数”和“千以内的数”合并教学，可以更有效地提升活动经验，提高学习效率。同时，把计数单位十、百、千同时在一个课时里呈现，学生更容易理解这几个计数单位在数数中的作用、彼此之间的十进关系，以及各自的位值概念。
在教学中，江萍老师通过数数活动，十分自然地把数从“几十几”扩展到“一百”，进而扩展到几百几十几、一千；从一个一个数，进而到一十一十数、一百一百数，引出计数单位十、百、千；比较相同数字在不同数位的意义，帮助学生理解位值的概念。用写一写、圈一圈、画一画等活动，来驱动教学任务，教学组织系统、高效。
二、如何解决合并教学带来的体验实践活动受限的问题
万事有一利必有一弊。四十分钟里，知识点的教学时间增加了，势必造成学生体验活动时间的减少，这是很难两全的。但在低年级“数的认识”中，动手实践、亲身体验又是培养数感、建立数概念的主要学习方式。对此，江萍老师有着清醒、正确的认识，通过巧妙的设计在教学中实现了最大程度的优化。
1．激活已有经验，直奔教学主题。如：课堂开始时，通过师生共同数数，激活数数经验，直面“拐弯数”易错问题，及时进行口头练习；开门见山，引导思考“1”和“10”中两个“1”是否一样，激活对计数单位“一”、“十”及相应数位的学习经验，使课堂迅速进入学习热点。
2．运用数形结合，进行多元表征，用实物和图示解释数的组成。课堂上组织学生自由写数，然后在小棒图上圈一圈，在计数器图上画出珠子，并进行具体的展示、解释和辩论，使学生深入理解数的具体意义，感受位值概念；同时采用“一捆一捆数”的策略，有助于形成“按群计数”的意识。
3．重视计数器的演示作用。如：在计数器具体演示从99到100、从999到1000是如何进位的，对理解数位、计数单位、满十进一的概念十分有帮助。又如：计数器已拨“100”，要求再加一颗珠子，猜猜会是什么数，设计巧妙，结果开放，学生从中深刻体会到相同数字在不同数位的不同意义。
4．运用各种材料，揭示计数单位之间的关系。教学中采用了小棒、白纸、文字、线段等各种载体，组织学生观察和比较，用语言和动作来描述对十、百、千这些计数单位的理解，让学生真切感受了这些计数单位之间的数值关系，积累了丰富的感性经验。
按孙晓天老师的说法，“数的认识”要完成计数单位、数感、十进制关系（算理）三方面的教学。在合并教学难度提高、时间紧张的情况下，江萍老师的教学可谓表现出色。
三、对合并教学目标定位的肤浅建议
合并教学的本意并不是为了节省时间（两课时合并为一课时），而是为了促进学生对计数单位的认识有更好的整体感知、系统思考。如何既能实现这一初衷，又能让低年级学生有较为充分的体验实践？笔者以为可对本节课的目标定位作一调整。如前所述，“数的认识”所涉及的知识点和技能点较多，勉力在一个课时内完成势必顾此失彼。合并教学要以系列设计为前提，诸如读写数、数的组成、数的大小等目标完全可以在后继教学中去完成。作为第一课时的“百千数的认识”，可以把目标锁定在极小的几个点上，如：通过数数活动，认识计数单位十、百、千，感受十、百、千之间的十进关系。学生亲自动手的“数数”要成为第一课时的主要学习活动。
在具体的数数过程中，第一，让学生体验数数策略的多样化，经历数数策略优化的过程，也就是从按个计数到按群计数的策略形成的过程，这也是十、百、千等计数单位形成的过程；第二，随着数的扩展，数数的难度增加，不少学生往往漏数或跳数，拐弯数的数数是一个普遍的难点，必须要当堂增加专项练习；第三，在数数的过程中要渗透估计、猜测等数学思维，培养估数的意识，发展学生的数感。
总之，笔者肤浅的建议：合并教学的第一课时，尽量减少“面向抽象”的数学活动，如读数、写数、数的组成，等；尽量增加“面向具体”的数学活动，如对实物（小棒等各种学具）的数、捆等操作，在计数器上拨珠，各种图示等。
（浙江省宁波市鄞州区惠风书院 朱志敏）
把认识概念提升为关系理解
——评郭骥老师教学“倍的认识”
数量具有可分与可比的属性，两个数量的比较关系包括差比关系与倍比关系，倍比关系的本质就是比例关系。倍数是联系广泛的数学概念，在乘法中倍数相当于乘数，在除法中倍数相当于商，不仅如此，在倍数关系中，一份的量通常作为比较的标准，这个标准与测量中的度量单位本质上是一致的。
郭老师教学倍的认识，设计了联系且有变化的问题情境，让学生在比较中学会分析倍比关系的基本方法，发现如果其中一个数量变化，两个数量的倍比关系也会发生变化。这个设计的创新之处在于把概念理解提升为分析关系，让学生在较高的观念起点上学习倍的概念，是一种有益的教学尝试。笔者分析，有如下两点特别值得学习与借鉴。
一是把学生的认知缺陷转化为学习的起点与动力。许多学生在课外提前认识了倍，但他们对这个概念的理解是存在缺陷的，甚至可以说是一知半解的。当老师呈现2只蝴蝶与4只蜻蜓时，一些学生能说出蜻蜓是蝴蝶的2倍。但是，当老师追问2倍是怎么来，让学生讲道理时，学生的说法却是五花八门。有的说是飞来的，有的说蜻蜓比蝴蝶多2只，还有的说原来是1倍现在又多了1倍就是2倍了。除了第三个答案存在一些合理性之外，前面的两个答案都是在“无意义”的联系中产生的。由此可以说明，学生虽然知道倍的概念但并不真正理解它的内涵。郭老师以此为契机，让学生解释你是怎么看出2倍来的，把分析倍比关系转化为分一分、圈一圈的操作活动，确立了一个基于学生现实基础的学习新起点。学生也在解释说理的任务驱动中，产生了新的学习愿望和动力。
事实上，现在的数学课堂教学常常面临这样的困境，许多学生超前学习某些知识，但并没有形成真正的理解，教师如何面对与尊重这个事实，既帮助学生找到合适的学习起点，又激发学生学习新知的兴趣，是教学设计不能回避的挑战，也是教学实践需要发展的智慧。
二是在连续变化的问题情境中引导学生理解两个量的倍比关系。在新课教学中，郭老师事实上自始自终只用了一种素材，即分析蜻蜓与蝴蝶的数量关系。一个数量发生变化，这两个数量的倍比关系也发生了变化。正是通过这种变化的活动，使得学生建构倍的概念渐进深入，并触及概念的核心与数学的本质。郭老师在安排教学序列时，对于两个数量变与不变作了精心设计：先是蝴蝶2只，蜻蜓4只；再是蝴蝶只数不变，蜻蜓增加到6只；最后是蝴蝶增加到3只，蜻蜓只数不变。当比较量不变而一份量变化时，需要对比较量进行重新划分，这是一个挑战性的数学任务，学生的思考是不一样的，有的说蜻蜓是蝴蝶的2倍，有的说蜻蜓是蝴蝶的3倍，还有的说蜻蜓是蝴蝶的1.5倍。经历对不同思考的比较与辨析之后，学生对倍的理解取得了突破性的进展。学生的解释是十分合理的，如蝴蝶是3个一份，蜻蜓也要3个一份。又如，蝴蝶有3只，蜻蜓有6只，6里面有2个3，所以蜻蜓是蝴蝶的2倍。部分学生在抽象层面上进行了分析之后，郭老师要求学生移一移蜻蜓，通过操作直观来解释2倍是怎么来的，清晰地展示了重新构建一份量的思考过程，进而深刻地理解确定一份量的重要性。在学生获得理解的基础上，郭老师又进一步提出更有挑战性的问题：刚才又飞来一只蝴蝶，同样是6只蜻蜓，怎么一会儿是2倍，一会儿是3倍呢？把学生的理解进一步引向深入。纵观郭老师的教学，其主要的教学手段就是让学生在比较中逐步感悟，在变化中建构理解。
最后提出一个建议。笔者理解，两个数量的倍比关系是不带量纲的，在教学最后阶段，可以把一份量用抽象的图形来表示，如上行是1个三角形，下行是3个三角形，下行是上行的3倍。在这里，三角形可以代表什么呢？三角形可以表示某种物体，可以表示某些是数量，还可以是更抽象的数。不管三角形代表什么，但每个三角形代表的数或数量应该是一样的，在这个前提下，下行是上行的3倍这个关系是不变的。这样教学，不仅可以提升学生对概念的理解，而且还有利于发展学生的符号意识、数学抽象等重要概念或核心素养。
（浙江省新思维教育科学研究院 姜荣富）
善于举例 善于提问 善于比较和优化
——从袁晓萍老师执教的《准确数和近似数》来看数学教师的三项基本功
如果我们换一种有趣的视角，用语文教学反观数学教学：数学与语文到底有何不同？
安徽省合肥市第62中学小学部语文名师薛瑞萍老师说得很形象：“语文和数学的不同，在于语文是可以混着拖的，是可以在不求甚解中慢慢明白的。”“语文不比数学，有课外阅读作暖窝，生柿子是可以捂熟的。”——数学不能不求甚解，是捂不熟的。
南京大学哲学系郑毓信教授说得很深刻：“如果说语文教学是一种以情感带动知识学习的‘情知教学’，那么，数学教学就主要是‘以知贻情’”，即是希望通过数学学习“帮助学生养成一种新的精神；一种新的认识方式；一种新的追求；一种不同的美感；一种深层次的快乐：由智力满足带来的快乐……。”——数学主要是培养学生的理性精神。
既然如此，那么数学老师与语文老师相比，需要突出哪些特殊的基本功？
南京大学哲学系郑毓信教授认为数学教师要有特殊的三项基本功： 善于举例、善于提问、善于比较和优化。这个观点精辟而独到，影响深远，它集中反映了数学与数学教学（教育）的特殊性。
听袁晓萍老师执教的《准确数和近似数》，受益颇多。想通过这节课来分析一下数学教师的三项基本功。
一、善于举例
1.举生活中常见的例子，引发思考
袁老师开课，就举了这样的例子：
我的学校是学军小学，校区有许多个班级，有许多名同学呢！我们最爱去的是阅览室，数学读物就刚好有许多本，每周大约有许多本图书出借，是小书虫的天堂哦！
这里出现了4个“许多”，表意含含糊糊。学生提出加上数字，袁老师顺势而为，改为：
我的学校是学军小学，校区有36个班级，有大约1600同学呢！我们最爱去的是图书馆，数学读物就刚好有2000本，每周大约有2000本图书出借，是小书虫的天堂哦！
【分析】：比较“刚好有2000本”和“大约有2000本”，通过学生在数轴上的练习，学生体会到：一个是准确数，对应着数轴上一个点；一个是近似数，对应着数轴上一个区间。 这种“从点到线”的突破，是认识上一次巨大的飞跃。
乌申斯基认为:“比较是一切理解和思维的基础,我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”日常生活并不能为学生提供这些经过高度结构化处理的素材，有良好数学基本功的老师会寻找具有浓厚“数学味儿”的素材，它可以避免学生走太多的弯路，耗费太多的时间。
2.举有数学味的例子，方便探究
第二个例子，不仅仅是学生常见的，更是有着浓烈的数学味道。
数学书封面的宽为187厘米，它可以有两个近似数：190、200，为什么可以有不同的近似程度？
【分析】学生们在探究的过程中，使用了两种不同的尺子：一种是“标准是10”，另一种“标准是100”，也就是说：十个十个地数，187接近190；一百一百地数，187接近200。——原来是标准不一样。
概念教学，学习材料的设计深刻地影响着学生对概念的理解与掌握。好的教学，与其说是找到了好的方法不如说是设计了好的学习材料。如何用较少的素材使得课堂丰满起来？需要像袁老师这样，“选材求少，用材求丰，组材求优”。
二、善于提问
1.在需要辨析之处提问
（1）同样是187，哪个是近似数，哪个是准确数
一件衣服187元；杭州到千岛湖187千米；一本书187页；三年级共187人；救援队进入灾区已经187小时。
（2）数学书封面的宽度是187厘米，如果给它包书皮和给它配个文具袋，宽各是多少比较合适？
【分析】源自于生活的素材，需要具体情况具体分析，灵活运用所学知识，激活了学生的生活经验。
2.在需要预防之处提问
针对187是准确数还是近似数，老师给出了两种错误的观点：近似数一定是整十、整百、整千的数；前面加上“大约”的数才是近似数。
【分析】这两种观点似是而非，是学生非常容易犯的错误。说明学生对近似数的理解还比较肤浅，没有理解近似数的本质。老师特意提出这样的问题，加以预防，说明老师对于学情把握准确。最有价值的是从学生的疑惑处开展教学。学习中，有些错迟早要犯的。如果学习过程中剥夺了学生犯错的机会，那错误只能暴露在考试里。因此，高明的教师在课堂里反而呈现错误，乃至诱发错误。
三、善于比较和优化
“大约有2000本”，学生在数轴上练习找符合条件的数，袁老师展示学生作品时，展示的顺序很有讲究：先展示的第一个学生，他认为小于2000的又靠近2000的那一段，是大约2000本，这是认识不全面不到位的表现。
先展示有缺陷的作品，有利于引发讨论，通过对比，发现问题，提升认识。数学思维不可能自发地得以形成，数学学习也必然地有一个“优化”的过程，或者说，数学教师的又一重要职责，是帮助学生很好地实现思维的优化。
最后袁老师为学生准备的一段小视频，也是点睛之笔：姚明身高2.26米，另一人身高1.72米，近似数都是2米，但是差距大着呢！
为什么有了准确数还要有近似数？——有时候是无法得到准确数；有时候是不需要得到准确数......这样的拓展阅读提升了学生的认识境界。在学生能够接受的情况下，伸长“学习的触角”，进行适当的延伸，让学生收获能“带得走的东西”。
总之，像这样的一节课，经过探究，学生认识由浅入深，由表及里，由相对真理走向绝对真理。教育就是引领人们从狭隘走向广阔，不断完善自己的过程。
（浙江省杭州经济技术开发区教研室 杨迎冬）
在活动中探寻策略 从策略中提炼思想
——徐长青老师“解决问题的策略”一课赏析
不止一次听徐老师的课了，但还是第一次给徐老师写课评，每次听徐老师的课，都会被他的口头及身体的语言艺术所折服，不管是学生还是听课老师都会在爽朗的笑声中体会到数学课的魅力。在笑过之后我们要学会思考，在幽默风趣的课堂背后到底体现了什么理念？有哪些东西值得我们总结借鉴？笔者带领大家一起来思考思考。在《数学课程标准》正式稿中提出了“四基”要求，其中新增的两点就是数学思想方法和数学活动经验。徐长青老师“解决问题的策略”一课属于活动类课程，在数学教学中，解决问题是最基本的活动形式。任何一个问题，从提出直到解决，需要具体的数学知识，但更多的是依靠数学思想方法。因此，在数学问题的探究解决过程中，要精心挖掘数学的思想方法。小学数学教材中，蕴含了许多数学思想和方法，如符号化思想、数形结合思想、极限思想、集合思想、转化建模的思想以及猜想、验证的方法等。
处理数学内容要有一定的方法，但数学方法又受数学思想的制约。离开了数学思想指导的数学方法是无源之水、无本之木。因此在数学方法的思考过程中，应深究数学的基本思想。徐老师的课给我们一种启示，思想决定策略，策略产生方法，方法得出答案。下面让我们一起来赏析一下整个学习过程：
徐老师在教学中创设了一个情境：通过魔术表演，让学生根据信息进行思维，撕成了几片？学生纷纷说：一片、两片、三片、四片，并说出自己的想法，只要能自圆其说的，都是合理的。确实，只要是自己想法得到的就有可能是正确的答案。接着徐老师创设了一个认知冲突：如果每张纸都撕成4片，能撕成2016、2017、2018片吗？徐老师独具匠心的设计，将学生以极其高涨的热情引入到数学探索活动的境地，使学生想探索、敢探索。面对这一问题情境，徐老师教给学生“知难而退”、“退而思进”的策略：当你遇到难题时就要学会退，但不能只是退，还要回头看，这样就能找到解决的方法。
在学习“以退为进”的策略时，徐老师带领学生退回到起点，从小数据的现象入手，从中发现规律。在这个过程中，徐老师让学生在经历过程中充分积累活动经验。数学基本活动经验有两个层面，从静态上看，它是一种从属于学生自己的“主观性知识”，是学生经过数学学习后对整个数学活动过程产生的认识，包括体验、感悟、经验等，虽然这只是学习个体主观上粗浅的、感性的认识，或者是不那么严格的隐性认识，但这种经验是有意义和有价值的。从动态上看，它是过程，是经历。积累数学基本活动经验更关注过程的教学，“经历过程”不仅仅是让学生经历知识产生的过程、知识的呈现方式，而且更是指探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等等，从而积累观察、操作、猜想、归纳、推广等活动经验。
当学生初步掌握了“退、退、退；进、进、进；回头看，找规律”的策略后，徐老师让学生运用该策略解决先前情境中的问题，学生体会到该策略方法的优势，这比简单地找到一些具体问题的答案要更有意义，因为数学思考是数学活动中最有价值的行为，有思考才会有问题，才会有思想，才能真正感悟数学的本质和价值，也才能在创新意识上得到发展。数学基本活动经验的核心，就是如何思考的经验，既发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验，也就是最终学会运用数学的思想方法进行思考。
总之，徐老师的课给我们的启发是：重视加强对学生进行数学思想方法的教学不但有利于提高课堂教学效率，而且有利于提高学生的数学文化素养和思维能力。但是，学生对策略方法、活动经验的积累不是一朝一夕就能见到效果的，而是有一个细水长流的过程。因此，在教学过程中，要有机地结合数学知识的内容，做到持之以恒、循序渐进和反复训练，才能使学生真正地领悟和应用数学思想方法、增长数学活动经验。
（浙江省武义县教研室 陈力）
获奖信息
精彩短信奖
山东省临沂市汤河小学 管其艳
临沂市河东区汤河镇中心小学 王玮玮
幸运奖
浙江省台州市仙居县白塔镇中心小学 吴宜泽
福建省福州市福清元洪师范学院附属小学 翁程颖
微信公众号添加奖
浙江省台州市杜桥镇炮联小学 寿琴琴
质疑问难奖
安徽省黄山市歙县新安小学 胡芳芳
金点子奖
浙江省台州市椒江区人民小学 苏娇
浙江省温岭市箬横镇中心小学高龙校区 叶鑫辉
以上老师将获得本次观摩会相应光盘
