学生理性思考，课堂回归平静，彰显学科气质，这是对张齐华老师教学《小数初步认识》的总体印象。课堂上，张老师擅长的“逗哏”“撩拨”少了，指向数学思考的点拨多了；精妙新颖的情境、课件没了，替而代之的仅是一张朴素的练习纸，清晰留下孩子们学习推进的痕迹；热热闹闹的小组合作少了，多的是孩子们专注的倾听、安静的思考、理性的质疑和从容地表达。此时，我想到把“回归”作为今天教学赏析的“关键词”。

一、回归学生立场，彰显个性化思考与创新之潜能

学生立场，以生为本，这样口号式的理念早已耳熟能详，但践行起来又是极其不易。在张老师课堂中，恰能清晰地看见理念落地的些许举措。

1.根植已有经验，放手学生自主学习

    坚守学生立场，并不是要让教师离场，而是要基于儿童的数学学习，弄清楚孩子们已经到了哪里？可以到达哪里？在前进的路上会遭遇哪些困难等等。张齐华老师在设计《小数初步认识》时，非常清楚学生的已有经验，一方面来自生活经验，生活中的超市、小店铺，几乎所有商品价格都是以小数形式呈现。另一方面源自先前的学习经验，如人教版教材一年级下册编排了《认识人民币》，在“你知道吗”的板块中介绍了生活中用小数表示商品价格的方法。因此，张老师在课一开始，开门见山就问哪里见过小数，让学生尝试读写小数，通过学生之间互相纠正，掌握了正确的小数读法。

2.重视个性化表征，激发学生创新潜能

《小数初步认识》常见的是“告知式”教学，如3角=3/10元，3/10元也可以用小数0.3元表示。当然也还有推导式教学：3角就是0.3元（生活经验），3角=3/10元（基于分数初步认识），所以3/10元=0.3元。而张齐华老师反其道行之，直接推出一个极有挑战的问题：如果把下面每个图形看作1元，你能想办法在图形中表示出0.3元吗？这个看似不可能完成的任务，恰恰展现了张老师有“明知山有虎，偏向虎山行”的胆魄。这个问题能“逼”着学生尽力调用所用知识经验去解决，能充分暴露孩子心目中对“0.3元”最原生态的理解。课堂上，孩子们静静的、较长时间地去思考与尝试。从反馈中发现，孩子们有各自不同的表征（如下图）。

无论正确与否，画得是否精确，都是学生对0.3元真实的理解，这些个性化表征的经历，能有效激发学生创新性学习的潜能。同时，也便于老师诊断三年级学生对“小数”意义的理解已经到达哪里。

3.着眼学生素养，培育学习品质

  核心素养是一个热词，大家都在说，但似乎又不太说的清楚。反观张齐华老师的课堂，却时常弥漫着指向“素养”“品质”培育的用心。比如让学生用较长时间思考某一个问题的经历，调动所有知识经验去解决某个问题的能力；又如关注学生“倾听”能力的培养，指导孩子仔细的听，听听别人说的与自己想的有什么不同？你能不能理解？课堂上，孩子们听完他人发言后，能细细的辨析不同，能发现后面一个回答添加了“平均分”、“每份是0.1”等区别，还能对别人的发言提出质疑或者建议。会倾听、能思考、敢质疑，对于人的发展而言，应该也是值得关注的重要素养与品质吧。

二、 回归数学本质，遇见理性思考之静美

   摈弃高科技的智慧教育手段，关注学生的数学思考，凸显数学本质，这是张老师课堂的一大特点。

1.基于概念意义，找准概念生长点

0.3元表示什么？这是一位小数的意义，其本质就是平均分成10分，表示这样的3份。而学生已经有了什么？其一：知道了3角可以标识成“0.3元” 、1元=10角；其二：把一个图形平均分成10分，其中一份就是1/10，2份就是2/10……。显然，这两者的整合、贯通，就是一位小数意义的生长点。因此，张老师设计“如果用一个图形表示1元，你能想办法在图形中表示出0.3元”的问题，正是基于他对学生已有认知的理性考量。

2.应用几何直观，引发概念生长

  小数意义非常抽象，而图形表征则是最合适的载体，张老师更是把几何直观用到极致。首先，让学生从三个图形（长方形、线段、圆形）中选择一个表示出0.3元，从多元化表征中巧妙利用比较、改造，逐渐构建0.3元的意义。有一个细节特别值得回味，当学生分享多种表征方式后，教师及时抛出：对于第一位同学的作品（见下图），可以做怎样的改造，就更好了。学生提出“把每一段再平均分成3份就好了”，这时张老师没有评价，而是转向第一个作品的创作者：这样改好吗？你怎样理解？回答是：这样就看到平均分成10份，3份就是0.3元。可见，一位小数的意义已然撩开了神秘的面纱。然后，张老师又让学生在已有的图形上表示出其他的小数，0.2、0.4、0.6、0.7……，一次次地结合图形表达多个小数的意义。最后，张老师又让学生在线段图上表示出0.3米、0.3千克、0.3天及抽象的0.3，进一步理解了小数的意义。整节课，用图形贯通意义理解，从具体到抽象，几何直观价值非凡。

3.激发深度思考，深化概念本质

  几何直观在小数意义理解中功不可没，当然，更离不开一系列直指概念本质的好问题，随着课堂的推进，张老师先后提出：①为什么表示0.3元一定要平均分成10份呢？②图形不同、分法不同，为什么都是0.3元呢？③0.5、0.7、0.3……，这些小数不同，在表示时有什么共同的特点？④0.3米、0.3千克、0.3天，单位不同，有什么相同的地方？……一次次的叩问，即是一次次的引导学生联系与沟通。正是这些问题，把不同的图形、不同的分法，不同小数，不同的单位，汇聚起来，通过交流、辨析，实现了多元化表征与互通，深化小数意义的理解。

在听课过程中，不断感佩张老师教学设计的独到与勇气、捕捉学生材料的敏锐与灵动、指导学生学习的周全与细致，同时也有“学生不会表征怎么办”的担心、也有“学生是否有假理解”的疑惑，当然，也还有“如果这样，会不会好一些”的设想。下面就谈三点想法，与张老师分享。

（1）打通小数意义的节点，能否早一些？学生在不同的图形中表示出各自的0.3元后，张老师只呈现图形表征，默认学生表达“平均分成10份，3份就是0.3元”，而没有及时交流“你是怎么想的”“为什么要平均分成10份”等思考，以至于在大半节课时，教师提问：为什么表示0.3元，一定要平均分成10份，而学生的回答是“因为平均分成9份，很难分”。我的建议：通过交流学生原生态表征作品的思考过程，尽早明朗一位小数与十进分数的关系。

  （2）张老师让学生表征0.3元时，提供了表示1元的线段、长方形、圆形。我的疑惑：在圆形中表征有没有特别的意义？如果没有，那就放弃，因为课堂上看到了学生面对圆形而挣扎的痕迹，人为增加了表征的困难。正如张老师对学生所言“有时要学会放弃”。

  （3）在课尾，张老师还试图让学生把线段抽象成“1”，然后表示出0.3。我的探讨：是否要考虑三年级初步认识小数和四年级学习小数意义的目标序列，让学生结合具体的量来理解一位小数的意义，是不是更符合三年级孩子的思维水平。与其走到抽象的0.3，还不如让学生在1米的线段中表征3分米，以丰厚学生对一位小数的理解。

  回归，并不是简单的回到原点，而是当我们走出很远的时候，要停下来问一问：我为什么出发？而后做出理性的调整。我们都该如此。 

（浙江省杭州市江干区小学数学教研员 田小勤）
 

25分钟课堂的启迪
——俞正强《平均数》示范课赏析

 

通常，小学数学课堂是以40分钟为标准。今天，在美丽的西子湖畔，俞正强老师的“平均数”只进行了25分钟。课罢，掩卷，沉思，它带给我们全新的看待和处理问题的视角。

一、课堂依傍学情而教

依学情而教，它的关键词是“尊重”。没有课件，没有其它现代化手段，就是一支笔，一番话，一个源自学生生活事件。俞正强老师来了，他为三年级的孩子创设了一个二年级学生跑步的情境，让学生去帮助他解决问题。身边事，心中题，这是俞老师尊重学情的第一个表现。不料，课中，出现了个大问题：关于平均数，貌似全班学生都会算了，而且非常固执，绕来绕去就是两句话“这就是求平均数”、“就是要用总和除以总份数”，此时，你会怎么办？是依据自己的预设继续下去，将黑板左下角那些用于“移多补少”的红色小磁钉发挥作用？还是，尊重学生的学情，将学生原有的已被强化训练过了的，已形成知识体系的“求和平均分”这个强大的“技术力量”进行破冰？俞老师果断地选择了后者，在学生坚固的平均数模型中渗透了关于平均数统计意义这一理性的光辉，并适可而止。我想，刚开始，学生不敢相信这节课为什么25分钟就结束了，直到俞老师三次提出“下课”才明白。但俞老师恰恰是用不寻常的此举挑动起儿童疑惑的神经，让他们去思考为什么要这样留白？这可能是“史上最长的课堂留白”，价值显而易见。

二、课堂不是直接告诉

 化用苏霍姆林斯基所说“有时宽容所引起的道德震撼要比惩罚更强烈”——有时超乎常理的出牌所引发的思考要比苦口婆心的说教更强烈。在学生原有的，已经无法展现思维过程之美的，程式化、机械化解题两段式“看到‘通常’就是求平均数，求平均数就是用总和除以总份数”时，俞老师没有就平均数的意义“直接告诉”，而是始终围绕一个问题来展开“这个小朋友，就是不肯填13，谁来帮我说服他？”我注意到这个问题一共问了三次，每一次都是带领学生回到原点思考，步步推进，层层深入，在不断积蓄说服力的思辩中，引导孩子们得出“平均数是最特别的数，代表不快不慢这一水平，可能是里面没有跑过的数”这一结论，让学生经历了从“实在的数”过渡到“虚拟的数”这一体验，实现对“平均数的理解”这一跨越。

三、课堂的本质是对话

课堂对话的内涵有：师与文本的对话、生与文本的对话、师与生的对话、生与生的对话等。撷取其二分析之。

1.师与文本的对话。其实这和中科院院士李大潜所强调“培养学生的数学核心素养，教师必须深研教材”是如出一辙的。平均数是“统计与概率”领域的一个重要的概念，它刻画了一组数据的集中趋势，是描述数据集中程度的一个统计量。平均数纳入教材经历了从作为应用题到作为统计初步知识的变迁：1952年，“平均数”纳入教材是作为一种典型应用题，以建立“总数÷总份数=平均数”这样的算法模型为教学主线，使学生在“求得它”中了解掌握平均数“是什么”这一问题。直至1992年，平均数教学开始把它作为统计教学的一部分，视为统计的初步知识，回归了它的统计意义。（取自《小学数学教师》2011年第7.8期合刊《回归平均数的统计意义——练习设计一例》曹培英） 
    通观俞正强老师“平均数”一课的教学设计，引领学生从统计学角度理解平均数，溯本求源，凸显数学本质，课堂逻辑线索体现了兼容并包的“平均数理解”的三个维度：

A.算法理解，“总数量÷总份数=平均数”是学生在校外所学，俞老师作了淡化处理，着重引导“平均数”概念的原点思考。

B.概念理解，通过鲜活的事例，“真正的让每个小朋友认可13”，让学生理解平均数有虚拟性、代表性。

C.统计理解，将与平均数相关的信息融入到统计分析中，加入预估、推断等元素，渗透可能性的概率思想。

2.师与生的对话。数学的理解与推理是本节课师生对话的特征。俞老师首先开门见山，“一位二年级小朋友，60米，跑了五次，时间分别是15秒、14秒、12秒、10秒、14秒，填表——60米我通常要跑几秒？”一石激起千层浪，围绕这个问题，本课体现有四个层次：

一是数据分析：“这个小朋友先填15秒，一会后又把这个15给擦掉了？你猜他为什么”；“接着填了10秒，又把10秒给擦掉了”；“后来填了14秒，又把14秒给擦掉了”；“再后来，边上一个已学过平均数的同学跟他说填13啊，他就偏偏不填13，填了12”。

二是合情推理：因为这组数据中，15秒太慢了；10秒太快；14是出现次数最多的（渗透众数），但是偏慢的；填12秒又偏快了……

三是思考讨论：当学生提出将平均数“13”填入时，俞老师特别要学生强调理由：“不能骗老师啊”、“一共五个数，最特别的是哪个数”、“13这个平均数，不快不慢，但这个数没有跑过，怎么办？如何说服他？”

四是猜测归纳：虽然这个13现在没有跑出来过，如果让他继续跑下去，他跑第六次呢，第七次呢？再往下跑呢？跑出13秒的可能性大不大？从而得出“这个13最代表他的不快不慢的真实水平，这是个虚拟的数”。

这一逻辑主线体现了数的发展：从严肃的认识，到自由的演绎，丰富了学生对数认识的“生长”，感受到数的世界精彩绝伦。

当然这个过程中，也有一些小瑕疵，如老师语言的精准，如学生的举例：跑步60米，第一次用1秒，第二次用100秒，平均数是50秒。且不说这个平均数是否正确，就说这个1秒跑完60米可能吗？当学生举例与现实不符时，老师应该纠正之。

这节课，俞正强老师在学生固化的知识体系中，从另一个侧面打开“理解平均数”的新视窗，引领学生在“思维的体操”中体验“虚拟的数”。从中可以看到俞老师的独具匠心和理解包容，让我们感受到核心素养与儿童的精神生命的整合。课短，意蕴深!

（江西省赣州市章贡区教研室 肖莉）
 

在过程经历中走向“深刻理解”

——施银燕老师《游戏公平》一课教学赏析

 

《游戏公平》一课，作为“统计与概率”的重要内容，对于培养学生善于从随机现象中寻找规律的意识与能力，深切感受事件发生的等可能性等方面有着重要意义。通过本课学习，一方面引导学生进一步体会事件发生的可能性，并能联系事件发生的可能性相等或不相等去分析、判断规则是否公平。另一方面，让学生感受到动手实践是获得科学结论的有效方法，在活动中体验随机事件的“不确定性”和实验后对数据的分析中体会“偶然中的必然”，渗透统计与概率的思想。教学重点在于会联系事件发生的可能性相等或不相等去分析、判断规则是否公平。

今天有幸欣赏了施银燕老师的精彩课堂，让我收获颇丰，现仅就她的“问题设计”“模型建立”“教学方式”三个方面谈一下自己的收获与体会。

1.挑战性问题——让智慧迸发“火花”

好的课堂，来自于好的问题。好的问题不仅是课堂教学的核心和统帅，也是教学有效性的前提和基础。施老师的教学中，精心设计了几个极具挑战性与开放性的问题，以问题引发思考，以问题引发交流，以问题引发实践与操作，收到了显著成效。

（1）课伊始。

师：一个蛋糕，要分给两个小朋友，怎样分公平呢?

生：对半分。

师：对啊，要把这个蛋糕平均分成两份，这样每人一份，就是公平的。

师：还是两个人，但只有一张球票，怎么分公平呢？

……

（引发学生讨论，引出对“抛硬币”是否公平的深入探讨。）

（2）在引出“公平——可能性”后。

师：可能性看不见，摸不着，怎么相信它是否公平呢？

……

从“分蛋糕”到“分球票”，看似两个类似的现实情境，实际则不然，“分蛋糕”是对具体物体的“平均分”，学生理解和接受顺畅，而“分球票”则是一个巨大的挑战。“还是两个人，但只有一张球票，怎么分公平呢？”一个极具挑战性的问题，一下子激活了学生的思维，引发学生充分进行了思考与交流。对学生而言，从“可能性有大小”到“可能性相等”在认识上是一个巨大的飞跃，尤其是学生长期以来的思维习惯也决定了他们对确定事件的认知效率远远高于对不确定事件的分析与理解。施老师在把握了学生这一状况的基础上，利用“分蛋糕”，巧妙引出“分球票”，然后围绕“分球票”这一问题，全面激活了学生的思维，让学生对接现实生活，对接数学问题，对接已有知识与经验，展开了深刻思考与讨论。

2.巧建“模型”——让隐形规律“看得见”

传统的概率教学，一般重在体会与感悟，重在规律的发现与应用，而施老师的课，则在把准学生认知与理解难点的基础上超越传统，巧妙搭建了概率表达与线段模型之间的桥梁。

在线段上用小磁块记录抛一次硬币的情况，记录抛四次硬币的情况，这样一来，既让学生看不见，摸不着，不便表达的规律直观显现，又很好地积累了数据，特别是悄然建立了硬币正反面两种情况表的“模型”，深刻揭示了两种情况的对立关系与密切联系，让学生辨证理解了事件的随机性及事件之间两种量的密切关系。

3.课堂对话——让理解在表达中走向深刻

对话，简单来说就是指两个或两个以上的人之间的谈话。其意义之一就是“思想的闸门打开之后，彼此相互启发，相互碰撞，许多新的观点就会跳跃出来”。在施老师的课上，她很重视学生间的对话交流，每一个问题，都完全放给学生，让学生去表达，去交流，去质疑，去评价，收到了良好效果。

当学生将抛4次硬币的结果在线段上表达出来之后，施老师便引发学生交流与评价。

师：这样表示，你看明白了吗？看不明白哪一个？

生1：中间一个。

师：是啊，怎么会有一个在中间呢？

生2：两正两反，所以摆在线段中间啊！

生3：为什么左边有两个磁块，右边也有两个磁块呢？

……

在交流对话中，一步步澄清认识，阐明方法，分享经验，促进了学生对可能性及其表达的深刻理解。同时，充分而深入的课堂对话，也创造了一种以倾听和交流为基础的课堂文化，在倾听中理解，在倾听中思考，在倾听中感受尊重与平等，无形之中培养了学生的良好习惯与高尚品格。

问题与探讨：

从对本课深度研究的角度，提出以下问题，与各位讨教。

一是关于课堂节奏。本课由于开放度较高，教师对课堂节奏把握有些偏差，以至于课堂进行了13分钟的时候，都无法达成对“抛硬币”这一方式是否公平的共识，接下来的操作与实践也就只能仓促行进，实践机会不足，数据不充分，感知不深入。

二是关于教学重点。本课的教学中重点应落在联系事件发生的可能性相等或不相等去分析、判断规则是否公平之上，而并非围绕“抛硬币”这一操作的外显形式展开生活化、经验化的浅层次讨论。

三是关于教师作用。本课教师放手充分，以至于课伊始学生的交流与探讨完全成了他们对生活现象与个体经验的分享，教师没有及时地引拨与聚焦，让交流停留在表面，缺少了及时而必要的“数学化”过程。

四是关于认知层次。本课由于前半部分用时较多，导致课堂教学的部分环节无法实现，因此，容易让人产生层次性不强、认知过程不完整的感觉。

（江苏省无锡市连元街小学 赵国防）
 

刘伟男《游戏公平》示范课赏析

——儿童在数学课堂的中央

 

4月8日下午，北京的三位老师都执教了《游戏公平》一课，展现了和而不同的小学数学发展课堂。同课异构，是不同的教师对同一知识内容教学的多维视角和不同表达。连续两年，华应龙老师的团队一直致力于在“千课万人”活动中展示他们的研究成果，呈现研究路径，建构价值教学，启迪教育思考。聆听刘伟男老师的课，让我感受最深的是：刘老师有意地“退”到一旁，将儿童放在数学课堂的中央！整节课突出数学探究过程，关注儿童基本活动经验的积累，将“统计与概率”领域中承载知识与技能教学的刚性任务，用儿童喜欢和需要的活动作为载体，让儿童经历运用数学的思维方式发现问题、分析问题、解决问题的过程，厘清生活思考与数学思考，点燃了儿童对数学的兴趣与热情，让儿童爱上数学。

一、有意地“退”,让儿童在数学课堂的中央。

美国学者凯文.凯里说过：“未来，所有能够想象被分享的东西都将被分享。”儿童是学习的主人，更是未来的主人，其学习的过程是一个分享的过程；数学是一种先进的文化，数学学习的过程，一定是一个分享的过程；课堂应该是一个分享的学习中心，数学课堂，应该也必须将儿童放在其中央。我们有必要为每一位学生的学习，重新设计我们的课堂。

在这节课的教学中，刘老师始终将儿童放在课堂的中央，以儿童的已有经验为切入点，准确定位教学设计。开课时让儿童主动去探究“可能性的大小”与“游戏公平”之间的内在关系，通过玩摇瓶子游戏去激发童学习的内驱力，又留出足够的时空给儿童实验操作，做好记录，积累必要的数据支撑数学理解；课中通过实验记录，分析数据，体验“等可能性”和“非等可能性”；汇总数据时，教师十分巧妙地引入统计的电子表格和统计图，儿童直观地感知实验数据，进而学习运用统计数据判断，这些设计都很精巧、精道。正是教师用心在前，所以课堂灵动时，思维碰撞的火花四溅，赢得听课教师们会心的笑声和热烈的掌声；儿童静心思考时，教师自己有意地“退”到了一边，不疾不徐地静待花开。只有教师有意地“退”才能带来学生的“进”，课堂学习回归本质和规律。      

  二、有心地引导，是明鉴儿童需要的数学课堂。

统计学家C.R.RAO 提出：“在终极的分析中，一切知识都是历史。在抽象的意义下，一切科学都是数学。在理性的世界里，所有的判断都是统计学。” 游戏，是让儿童在快乐中学会某种本领的活动。生活中的游戏与数学课堂的游戏，既有相同之处，也有不同的价值追求。而《游戏公平》的教学内容，涉及到对规则公平的数学理解，对可能性有大小（等可能性）的数学理解等，不确定的现象让儿童难以理解表达，更不用说去抽象概括。所以，选择合适的游戏活动帮助儿童理解，是十分必要的，教师有心的引导更为重要，这是儿童需要的数学课堂。

史宁中教授提出：在统计研究中首先遇到的问题是如何获取“好”的数据。所谓“好”的数据是指那些能够更加客观地反映实际背景的数据，而要获取获得“好”的数据则要依赖于“好”的方法。一节课的时间有限，提供什么样的活动及实验工具呢？课后，我看了刘老师设计的瓶子，外面看不出究竟，下面有个小洞能看见小球的颜色——确实能保障“好”数据的采集，独具匠心，相信她选做这样的工具，一定是经历多次尝试的结果。

教师的有心引导，还体现在问题的设计上，例如：

“如果摇出的可能性相等，瓶子里的小球会是什么情况呢？”

“如果想知道瓶子里小球的情况，可以怎么办？”

“怎样才能使游戏公平？”

“让大家找出4个瓶子，怎么会有这么多的瓶子？你为什么要取走了7号瓶？”

“可能性相等，体现在哪里？”                               

教师的有心引导，还体现在学习素材的组织上。“摇瓶游戏”实验活动的设计看似平常，实则巧妙，“挖坑”让儿童掉进去了又自己思考“跳”出来了；科学家的实验数据转化为条形统计图呈现，直观又有新意；与生活联系，在淘宝购物的情境中体会运用统计数据分析等等。刘老师紧扣数学知识的本质，对教学内容去粗取精，从儿童需要出发，问题指向数学思考，课堂有温度，思维有深度！

参加今天的活动，不禁让我想起了顾城的诗句：

我多么希望，有一个门前

早晨，阳光照在草上

草在结它的种子

风在摇它的叶子

我们站着，不说话

就十分美好

思想的力量，是穿越时空的。在“千课万人”的发展课堂上，我们坚持探索着，静静地思考着，努力地实践着，这就十分美好！

（湖北省武汉市育才小学 关蓓）
 

精心的设计 优质的课堂 更深的思考

——课例《“一切皆有可能”——“游戏公平”》赏析

 

“千课万人”的小学数学课堂教学活动一直在向纵深方向发展着。这种发展不仅表现在活动的内容上，也表现在灵活的组织形式上。前者表现在越来越多的优质课堂教学在这里展示，更多的高层次和有思想的专家学者现场指导与交流；后者可以华应龙老师今天的这节《“一切皆有可能”——“游戏公平”》的课堂教学为例来说明，这节课不仅是作为三节同课异构中的一节，而且是作为师傅执教的一节，同时还是在活动设计中加入了个人教学反思、三人集体反思和专家现场点评等环节。这些变化对于一节课的课评也提出了更好的要求。鉴于以上变化的思考，我想课评稿的侧重点应在于全面而突出重点，课堂教学的特色以及个人教学的风格等方面。下面，我将从教学设计、课堂教学和留给我们的思考三方面与大家分享与交流。

一、教学设计

华老师教学设计的《课前慎思》把我们带到了奥妙无穷的教学思考情境中。

1.华老师抓住了核心问题着力思考，而且表述简洁直达主题，同时还是以问题链的形式呈现：教学价值——课上的玩——理想的实验——（得到“好”的数据的）好的方法——学生可能提出的问题及其教学处理（“等可能性”的理解问题和生活应用“既然事件发生的可能性是相等的，但为什么最终有的学生能得到电影票而有的得不到？”）

2.华老师较为简洁地表达出了本节课最核心的主题。可以说，“一切皆有可能”是“游戏公平”内涵的最精典解读。让学生理解“游戏公平”的丰富内涵不仅需要试验活动，更需要有老师引导和指导学生进行思考。同时还要认识到“一切皆有可能”是有前提的，具体的前提将体现在课堂教学中。

其实，“游戏公平”的实质是在同等条件下保证各种结果出现的机会公平。它是一种理想的追求，在课堂教学的操作实施中怎样尽可能的呈现这种追求理想的“游戏公平”，从而进一步达到令学生信服的相信在同等条件下达到“等可能性”的理想的“游戏公平”，这是课堂教学面临的一个重大挑战。通过华老师的教学设计可以看出他是“精于哲思、悟透课堂”的，因此在教学设计和课堂教学的关系方面，可以用“哲思定课堂”来简单概括。

二、课堂教学

这一部分从华老师课堂教学的重点突出、特色呈现和个人教学的风格三方面与大家分享。

1.重点突出在这里指的是主线索突出和问题指向核心问题。华老师的课堂教学凸显了引导学生认识“游戏公平”的双重追求：先是由啤酒盖的“不均匀”追求“均匀”，后是由“不公平”的现实追求理想的“公平”，这样的课堂教学线索很好的促使了学生逐步接近深刻认识什么是“游戏公平”；另外在板书“问题→试验→数据→推断”中引导学生不断深入也是主线索突出的表现。在问题的提出方面，点评的专家管尤跃老师提到的一些值得大家分享，比如，反面次数比较多是你们小组统计出的结果，能做出什么推断呢？根据她的实验结果，你同意她的推断吗？由正面朝上的次数多，进而推断出正面赢得的可能性大吗？这些问题不仅瞄准了学生“数据分析观念”核心素养的培养，也引出了学生思考的延续和精彩表现，比如“当面我们得出推断觉得游戏不公平，观察瓶盖思考、讨论你们的观点，三位学生的表现是：生1：正反两面不均匀；生2：正反面大小不一样（感受到说不清）；生3：羽毛球（举例）”。

2.教学特色。主要表现在以下方面：一是精于设计。比如，正对于如何获得较多次数的实验结果，华老师通过二次分组求出各组所做实验的总次数来获得，而不是让学生在课堂上分两次来做，这样既节省了时间，事实上也有利于学生理解可能性（课堂上体现不多）；二是在引导学生，应对学生的各种回答上，华老师也对学生进行了及时恰当的引导。比如在对于抛啤酒瓶盖为什么公平或者不公平的教学环节中，华老师及时进行了“刹车”，称“大家肯定还有很多想法想要表达，但是在这里由于时间关系，如果你不是特别需要表达，下面就需要老师进行总结了。”在这方面就需要他前面讲课的一位徒弟认真学习了，当然这也是大家需要予以关注的；三是对一些细节的关注和教学处理上，也是教学的重要特色。比如一开始分组中学生“平均分”的思维定势的提醒（在引发学生思考中自然解决），又比如对一组学生提供错误实验结果数据的灵活处理（在学生发现中追问如何处理，不仅促进了学生思考，而且是试验中问题解决方法的指导）；四是华老师的课堂中引导学生用规则的不断改进和优化阐释了追求理想的“游戏公平”，这也是其它两节课中所没有体现的。其价值不仅在于把更多的时间用在了促进学生的思考和引导学生思考，而且加深了学生对“游戏公平”的深刻理解。

3.个人风格。幽默、豁达和大气是大家比较认同的华应龙老师的教学风格。在这节课中也有明显的表现。比如，两次巧妙利用PPT呈现“一切皆有可能”和“下课了”，都收到了较好的幽默效果；大气表现在联系各种社会中的应用，特别是用视频的形式提供了抛硬币的方法在各种比赛中的应用；豁达表现在华老师高亢的音调，对学生各种观点的包容以及及时进行表扬鼓励等。，还有一个值得一提的是，华老师在课堂教学中特别关注学生回答中的错误或者细节，这与华应龙老师的团队研究融错有密切的关系，可以推测，这也是华老师将来逐步形成的教学风格之一。

另外，华老师课堂教学中“儿子和爸爸谁凭票去看球赛”的情境创设也比较自然，特别是运用了图片增加学生的体验，促进学生的思考，这也是值得大家关注和学习的。

三、思考分享

在华老师的这节课中，不仅创造了如上的精彩，也引出了我们需要思考的一些问题，比如：

1.如何带领学生在热闹非凡的学生活动体验（动作参与）和眼花缭乱的“数据”（观察）中进行思考并有所发现呢？这是统计与概率领域课堂需要面临的共同挑战。华老师的课在这方面不仅进行了精心的设计，而且在这方面有很好的课堂表现，大家通过回忆和回顾华老师的课堂会有更深层次的理解的。

2.利用直线概念中理想的“直”和“细”来类比有助于学生理解理想的“游戏公平”吗？这种方式是否比利用“好”的数据（况且这种“好”的数据的出现也是随机的）更利于学生接受呢?这个问题是从理想的抽象这一视角提出的，同时蕴含了极限和无穷的思想，对学生进行尝试教学效果会如何呢？这需要实践的有力回答。

3.作为核心素养的“数据分析观念”在课堂教学中是如何得到发展的？课标中对这一核心概念有明确的界定“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”对照课堂教学，可以思考哪些方面做得较好，哪些方面需要进一步优化?这无疑是一个值得思考和研讨的问题。

4.信息技术能否保证理想的试验和收集到“好”的数据呢?在华老师的课堂中运用的信息技术（一些图片或视频）主要是用来调动学生积极参与的，而对于促进学生深入理解理想的“游戏公平”似乎贡献不大，利用信息技术似乎更容易得到“好”的数据或理想的数据，同时也是好的方法。各位感兴趣的老师可以做出自己的尝试。

（齐鲁师范学院 郑庆全）

 

各具特色 殊途同归

——《游戏公平》同课异构教学赏析

 

在“千课万人”第二届核心素养下的全国小学数学“发展课堂”观摩研讨会上，来自北京的华应龙、施银燕、刘伟男三位名师倾情演绎《游戏公平》同课异构活动，他们相同的课题，基于同样的教学目标，却基于不同的思考，采用不同的教学思路，设计出不同的教学结构，呈现出各具特色的课堂教学风格，虽然“道”不同，但是“理”相同，达到了殊途同归。这三节课，内涵深刻，耐人寻味，彰显了核心素养理念下“发展课堂”教学的深刻内涵！

一、异中求同

1.解读教材——对教材编写意图的相同理解

同课异构，同的是教学内容、教学目标，异的是因人施教、因材施教、因师而导。同课异构，需要同中求异，更需要异中求同，最后达到殊途同归。因此，只有深入研究教材，解读教材，才能准确领会教材的编写意图，才能充分挖掘数学的本质内涵。

三位老师执教的《游戏公平》来自北师版和人教版的教材内容，虽然教材内容不尽相同，但他们对教材编写意图的理解和对游戏公平本质内涵的准确把握是一致的。随机现象是指在相同的条件下重复同样的试验，其试验结果不确定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现。但大量重复试验，其结果会出现一定的规律。学习概率的一个首要目标是，使学生不断体会随机现象的特点，而这需要学生亲自试验，需要通过对试验结果的分析，让学生不断体会和感悟。小学阶段学习“等可能性”，一方面要让学生在玩中学，另一方面，也要充分利用个人、小组、全班学生的试验数据引导学生分析试验结果，依据试验结果进行推测。三位老师基于这样的相同理解，因此他们确立了相同的教学目标，概括起来主要有：①通过试验、游戏等活动，初步感受事件发生的等可能性；②会分析、判断游戏的公平性；③渗透用数据说话的科学精神，积累数学活动经验，懂得看问题不要绝对化。并且这三节课的教学目标在教学过程中得到有效落实，使学生的知识技能、思维能力和情感态度得到和谐发展。

2.重视体验——从感性到理性的相同经历

“只有让学生体验数学知识产生的生活背景和现实意义，才能让学生真正感受到知识的‘生长源’，才能感悟到知识的来龙去脉，深刻地领会知识本质，这样的知识才有可能灵活运用，才有其迁移的生命力。”《游戏公平》教学内容具有活动性、过程性、体验性的特点。三位老师在教学中，都能抓住问题的本质，以数学活动为载体，引导学生经历试验、探究过程，重视感性体验和理性思考的提升。华老师的“抛瓶盖”游戏活动，施老师的“抛硬币”游戏活动，刘老师的“摇球”游戏活动，都注重让学生亲身动手做试验，感受事件发生的可能性有大小，感受事件发生的可能性不相等或可能性相等，尝试、探究游戏规则是否公平，验证游戏规则的公平性，尝试设计使双方都公平的游戏。让学生在活动中获得直观感受，从中体会事件发生的等可能性和游戏规则公平性之间的内在联系。使学生认识到，要判断游戏是否公平，关键是看它们的可能性，只有当可能性相等，输赢的机会一样时，游戏才是公平的。从感性认识上升到理性认识，提升了学生的理性思维能力。

3.抓住核心——运用数据分析的相同把握

“通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”单次试验结果的不确定性和大量试验结果的统计规律性是学生理解的难点，三位老师让学生在试验体验的基础上，利用试验数据进行分析，引发学生思考，引导学生推测，帮助学生突破难点，体现了“数据分析是统计的核心”的相同把握。

华老师提出问题：“一张篮球比赛门票，父亲和儿子谁去看，用‘抛瓶盖’的办法来决定，究竟是公平还是不公平呢？”他先让学生做10次“抛瓶盖”的游戏活动，并记录每次抛掷的结果，统计正反面出现的次数。然后引导学生汇报数据、说明游戏是否公平。接着继续引导各小组汇总数据，并比较各小组收集的数据，看看有什么发现。最后引导学生汇总全班各小组统计的数据，让学生根据汇总的数据进行分析、推断，让学生发现“盖面朝上”和“盖面朝下”的可能性不相等，进而使学生认识到“抛瓶盖”这个游戏对双方不公平。在此基础上，华老师再引导学生讨论“抛硬币”、“掷骰子”等游戏规则是否公平，体会游戏规则的公平性，设计使双方都公平的游戏。

施老师提出问题：“一张门票，分给两个人，能分吗？”引出“不能平均分，两个人中只能一个人去看比赛，但用什么办法来决定才公平呢？” 有的学生说用“石头、剪刀、布”的办法，有的学生说用“抛硬币”的办法。施老师先让学生做“抛硬币”的游戏活动，同桌每人抛4次，并记录正反面出现的次数。然后引导学生在线段图上用小珠摆出正反面出现的次数，让学生直观感受到当试验的次数不断增大时，硬币正面朝上和反面朝上的次数越来越接近，从而体会事件发生的等可能性和游戏规则的公平性。培养了学生发现问题、分析问题和合情推理能力。

刘老师提出问题：“在这个瓶子里，摇出的白球我赢，摇出的黑球你赢，这个游戏公平吗？怎样才能使游戏公平呢？”并引导学生认识可能性有大小，同时修改游戏规则。接着，刘老师提出实验要求，让学生做“摇球”的游戏活动。她先让学生大胆猜测，然后让学生通过“摇球”实验验证，每组学生摇球10次，并记录每次摇球的结果，感知摇出的黑白两种球的个数是否相等，使学生感受到试验的数据太少，不能说明问题。因此，刘老师再让每组学生摇球50次，引导学生进行观察比较，交流感想，发现问题和分析问题。在此基础上，刘老师进一步出示10次、50次、300次摇球试验结果统计图，以及历史上著名数学家抛硬币试验结果统计图，让学生进一步感受到数据的随机性，体会到随机现象结果发生的可能性有大有小，感悟到大数据下的规律。通过对数据的分析，让学生更加深入地体会到等可能性的意义，培养了学生的数据分析观念。

二、同中求异

1.教学资源——选择不同的学习素材

“创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材。”学习素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。当遇到不能确定游戏是否公平时，可以选择不同的学习素材，让学生亲身体验，动手试验，通过试验，收集数据，用数据来说明这种游戏是否公平。

三位老师虽然选择的学习素材不同，但都能揭示数学本质，也贴近学生的现实，使学生感受到数学的价值和趣味，体会到数学的作用。华老师选择“抛瓶盖”游戏活动，通过动手试验，数据分析，让学生认识到“抛瓶盖”的办法对双方是不公平的。因为瓶盖的构造不均匀，瓶盖的重心偏向盖面，所以盖面朝下的可能性比盖面朝上的可能性大。华老师选择“抛瓶盖”决定“输赢”作为教学素材，是一个用频率近似地表达概率的“非等可能性”的随机事件，引导学生由“不均匀——均匀” 、“不公平——公平”，揭示了数学的本质，通俗易懂，简便可行，承载了数学价值。施老师选择“抛硬币”游戏活动，刘老师选择“摇球”游戏活动，都是通过动手试验，数据分析，让学生认识到，所谓游戏公平，要做到可能性相等，即“输赢”的机会一样。

2.动手实验——设计不同的教学思路

“组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体，逐步学会学习。”三位老师都能抓住问题的本质，以数学活动为载体，引导学生感性体验和理性思考的提升，但他们分别从不同的视角剖析教材，设计了不同的教学思路，选择了不同的教学途径和方式，组织学生动手实验。体现了教学策略、学习方式的多样化，使同课异构彰显异曲同工之妙。

华老师的教学过程围绕“问题——试验——数据——推断”这条主线展开，先提出问题，再让学生做“抛瓶盖”的试验，然后收集数据，分析数据，最后用数据来推断“抛瓶盖”的办法是不公平的。通过可能性不相等的试验，引导学生进行反思，重新设计游戏公平规则，让学生感受事件发生的等可能性，让学生经历“不公平——公平”的实验探究过程，强化感知，印象深刻。

施老师的教学过程围绕“问题——试验——发现——结论”这条主线展开，先提出问题，再让学生做“抛硬币”的试验，然后收集数据，分析数据，发现规律，最后用数据来说明“抛硬币”的办法是公平的。让学生在活动中直观感受事件发生的等可能性，体会游戏规则的公平性。

刘老师的教学过程围绕“问题——猜测——验证——反思”这条主线展开，游戏之前，先提出问题，再让学生大胆猜测。游戏之中，提出实验要求，引导学生尝试验证、再次验证、统计数据，出示大数据试验结果统计图，体会数据的随机性，感受大数据下的规律，体会事件发生的等可能性和游戏规则的公平性。游戏之后，引导学生反思自己游戏之前的猜测，让学生自我修正错误，让学生明白正确、错误都有价值，差错能促使我们进一步思考，酸甜苦辣都是营养！

3.展示个性——展现不同的教学风格

“教师是通过各自独特的教学风格在课堂上诠释他的教学理念，而教学风格是在长期的教学实践中磨砺出来的，是先进教育理念指导有效教学实践的结晶，也是先进的教学行为体现科学的教育思想的概括。”在《游戏公平》的教学中，三位老师为我们展示了不同的教学风格。

华应龙老师致力于探索“化错教学”，形成了“尊重、沟通、宽容、欣赏”的课堂教学风格。他把课堂教学中的差错融化为一种教学资源，相机融入后续教学过程，教学生学，“化腐朽为神奇”，变“事故”为“故事”，培养学生直面错误、超越错误的求真人格，将教学活动引向心灵深处。

华老师说过：“对学生的思维成果，不该着眼于对或者不对，而更应当关注有没有价值。要善于从不良、不优中看到正确的地方，错误不是绊脚石，而是梯子，让学生从犯错中学习，让课堂因差错而精彩。”在课堂上，学生出错或出现认识偏差，华老师包容、欣赏学生的差错，给学生营造心理安全、心理自由的课堂氛围。如学生说：“少数服从多数。”华老师在鼓励的同时，引导学生纠正。在课堂上，华老师还善于捕捉、发现差错背后隐含的教育价值，引领学生从错误中求知，在错误中探究，培养了学生的自我反思和自我调控能力。

施银燕老师的数学课具有“自然、朴实、细腻、宽容、灵动”的特点。施老师这节课，在教学目标的引领下，不断寻找学生学习活动的起点与难点，寻找学生的学习起点与教学目标的距离，以及在达成教学目标过程中所遇到的障碍。在教学中，施老师相信学生，信任学生，充分调动学生学习的积极性，选择合适的教学材料、教学手段以及组织形式，给学生提供充裕的实践探究的时间与空间，给予适当的启发和引导，让学生充分体验探究过程，引领学生从起点走向终点，提高了学生的探究能力。

刘伟男老师说过：“数学就是统一规则下的游戏，小学数学课就是做游戏，让孩子们爱上数学。”刘老师的数学课具有“扎实、自然、宽容、灵动、深刻”的特点。在数学和儿童之间，刘老师善于寻找平衡点，追求浅显中见深刻的教学境界。在教学中，她该放手的时候就大胆放手，该引导的时候就及时地引导。如，当学生认识到这种游戏不公平，那么怎样的游戏才是公平的呢?此时，刘老师引导学生自己修改、设计公平的游戏规则，并让学生动手试验，探究、体验事件发生的等可能性，将事件发生的等可能性和游戏规则的公平性联系起来，引导学生经历数学建模的过程，培养了学生自主建构的能力。

总之，三位老师倾情演绎的《游戏公平》同课异构，展现了他们先进的教学理念和精湛的教学技艺，带给与会教师的是思维的碰撞，思想的提升。他们对教材的处理和教学设计的思路虽然有不同，但对游戏公平背后所蕴含的数学本质的思考却不谋而合，这源于他们的经验，也源于他们的见识，还源于他们对数学本质的独特理解。这三节课各具特色，殊途同归，值得我们学习和借鉴!

（福建省上杭县教师进修学校 邱廷建）

 

“确定OR不确定”，是个问题

——观华应龙师徒三人“游戏公平”同课异构的点滴体悟

 

“数据分析是统计的核心”。“通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。”这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对“数据分析观念”内涵解读的一部分。

所谓分析，百度百科是这样解释的：将研究对象的整体分为各个部分，并分别加以考察的认识活动。那么数据分析，即是将数据作为分析的主要材料，考察认识数据背后所蕴含的数学规律。我们知道，数据分析观念的形成与发展，当然离不开数据的收集与考察。

这次有幸在千课万人活动中，观摩了著名特级教师华应龙带着他的两位弟子就“游戏公平”这节课演绎了“同课异构”，感觉学生对于“游戏公平”一课中所体现出来的对“随机现象发生的可能性”中的一种特殊情况——“等可能性”的认识，在学习过程中似乎碰到了困难，也引发了我们一线教师就这样的内容如何组织教学的一些思考。

思考一：从“确定”到“不确定”，是学生思维过程中的一个“坎”。

在华应龙老师师徒三人演绎的三节“游戏公平”的课上，我们可以感受到一点：从数学学习的过程来看，学生从以往数学知识的确定性，到今天“随机事件”的可能性知识的学习，在认识、理解上的难度还是显而易见的。关于“游戏公平”，如果仅从“抛硬币”或者“石头、剪子、布”这类游戏的活动来看，学生似乎是有一定的经验。三节课中，都有学生说到“抛硬币时，出现正面与反面的机率各是50%”类似的意思，学生在讨论“公平”与“不公平”时，更多是着眼于对“结果不公平”的关注，他们的思维点还是在于结果的讨论。这是一种“确定”意识的反应。对于“机会公平与否”的思考，便是本节课引导学生思维展开的关键。

那么如何让学生从对“结果公平与否”的讨论，转换到对“机会公平与否”的讨论上来呢？组织学生进行相应的实践活动是一种行之有效的方法。我们可以看到，在三节课中，三位老师都有相关活动的设计。

我们看到在施银燕老师的课上，施老师组织了一个“抛硬币”的活动，让学生抛了4次硬币，然后记录下出现正面和反面的次数。虽然这个活动在“所抛次数”上值得商榷，但毕竟通过这个活动，还是让学生感受体验了，抛硬币这种游戏，每抛一次出现正面和反面的可能性都是会存在的。

在刘伟男老师的课上，刘老师则组织一个“摇瓶中球”的活动。让学生去体验，当瓶中有一个红球和一个白球（两种材质轻重大小都一样）时，每摇一次出现红球和白球的可能性也都存在。

而在华应龙老师的课上，华老师则设计了一个“抛瓶盖”的游戏活动。虽然华老师有意识采用了瓶盖这样一种特殊材料，想使学生经过活动后，由于材料的特殊性让他们体会到，抛一次瓶盖出现正面和反面的可能性是不一样的。但他想通过实践活动，让学生感受到“随机事件发生的不确定性”的目标还是很清楚的。

正因为有了这样的活动，还是让学生对原有认识中“抛硬币出现正面次数和反面次数的可能性是一样的”认知产生新的冲突，以对“随机事件”中的“随机性”的研究与探讨有更加深入的可能。

思考二：从“不确定”到“确定”，是学生思维发展中的“核”。

  我们已经知道，对于概率问题，始终是一个理论上的数据，到了实际的操作中，终究会存在偏差。正如华老师在“课前慎思”中谈到的：所谓“大数定律”，就是指“当实验次数足够大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性才小”。那么，在课堂有限的时间里，又如何让学生的思维往这个方向上走一走呢？这也是本节课学生思维的真正生长点。

我们知道，体验性活动的目的不在于得到一个简单的结论，而是引导学生体会数据出现的随机性。当产生了数据之后，基于数据的解读与分析，是引导学生对“随机事件”的不确定性认识的关键。于是，我们在三位老师课上分别看到了着眼于“数据分析解读”环节的设计。

施银燕老师的课上，当学生抛硬币获取了数据之后，她引导学生将所获得的数据，在线段上表示出来（一端表示全部正面，另一端表示全部反面，那么有正面和反面的表示在线段的两端之间了）；刘伟男老师的课上，以表格的方式呈现了各个组摇60次瓶中球所获取的数据；华应龙老师的课上，则让学生将抛瓶盖所获取的数据用了三份表格，以不同数据组加以呈现。三位老师所使用的方式虽然不一样，但意图还是相同的，就是引导学生通过对数据的分析，发现“当实验次数足够大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性才小”。

当然，如果要说这个环节的学习效果的话，我还是对刘老师课中的数据解读比较认可。因为刘老师在引导学生进行数据解读时经历了四个层次：数据较少时的分析（10次）、增加数据后的观察（50次）、以柱状图呈现实验数据不同时所呈现出来的直观表象（包括历史上相关数学家的实验数据）以及讨论总结发现的规律等，正是有这四个层次的引导，学生对“随机事件”中的“等可能性”现象理解也更加到位一些。

我们说，对于本节课的学习，学生如果感受到了“等可能性”是一种“机会的公平”，而当真正实施这个事件时，结果又是不确定的时候，我们认为，他也基本感悟到了“随机事件”真正内涵。比如“抛硬币决定先后”，理论上我们可以这么认为：每抛一次，出现正面或者反面的可能性都是0.5。但在实际的抛掷时，一是要知道，在有限次数的抛掷中，抛出正面和反面的次数并不一定是一样的（如抛50次，出现正面次数和反面次数不一定都是25次）；二是要知道，不管前面已经抛掷过多少次，在接下来的一次抛掷中，出现正面还是反面仍然无法确定的。这就是学生对“不确定”的“确定”认识，也正是孩子思维发展的关键点。

事实上，对于一线教师而言，“统计与概率”知识是难上的，而对于“可能性”知识则更难。所以从教材的编排上，已经在要求上有所降低。今天华老师三人对“游戏公平”这节内容的教学实践，一则为我们提供了三种不同的设计，以供我们一线教师参考学习；同时也给我们提出一个很值得大家去思考的一些问题，即：在类似于“等可能性”这样的知识学习中，有时候通过操作性活动获取的直接经验反而会对学生的认识造成干扰时，间接经验如何在学生的学习中发挥其作用？如何协调好直接经验与间接经验的关系，值得我们一线教师在实践中加以探索与研究。

（浙江省嘉兴市南湖区小学数学教研员 费岭峰）
 

获奖信息

质疑问难奖

湖北省黄石市铜都小学  张晓艳

湖北省武昌实验小学  欧阳竞

学员课评奖

江西省赣州市章贡区水东镇虎岗小学  何珍

精彩短信奖

山东省威海市鲸园小学  江玉欣

山东省临沂市河东区汤河镇中心小学  张静文

幸运奖

山东省临沂市兰山区新桥镇中心小学  康茂航

山东省临沂市兰山区汪沟镇中心小学  张厚永

金点子奖

湖南省长沙市高新区文轩路1号长沙市麓谷中学  龚鸽飞

以上老师将获得本次观摩会相应光盘