“千课万人”第二届核心素养下的小学数学“发展课堂”研讨观摩会
4月9日互动专刊
专家课评
小步子 大目标
——朱乐平《用字母表示数》赏析
缘于千课万人，我已多次带着任务欣赏朱老师的课了，渐渐地品味出大师的风采。朱老师今天在课堂中与大家展示《用字母表示数》时所表现出的沉着、冷静的教学风格；善于倾听、以学生发展为本的教学理念；明确且多元的目标设定及层次分明且环环相扣的细腻结构设计都给我们留下了深刻的印象。下面从几个方面谈谈自己学习的体会。
风格彰显理念。朱老师在课堂教学中所表现出来的主体风格是沉着、冷静。结合老师在课堂中具体教学行为的分析，我认为这很好地彰显了朱老师以学生发展为本的教学理念。我们可以从以下两个细节中加以体会：第一是停顿。当老师提出一个问题后，并不是急于找学生回答，而总有一个停顿的过程，我想，这一定是老师有意给学生领会、理解题意的时间；而当学生对某个问题有了精彩的回答后，老师也不急于评价、肯定，也总有一个停顿的过程，我想也是有意给学生消化、吸收的时间。第二个是追问。老师提出问题给学生讨论，讨论后的回答与老师的要求有距离是常态，每当这时，老师并不是急于自己评价学生的回答而着急去找正确答案，总是追问：“听懂了吗？”引导学生相互进行讨论、分析、判断。这些都是朱老师以学生发展为本的教学理念在具体课堂教学中的刻意所为，彰显了朱老师以学生发展为本的教学理念。
目标体现素养。先进的教学理念为促进学生的发展提供了方向的保障，而基于老师扎实的综合素养及专业素养所带来的对数学的理解，更为学生的发展提供了实实在在的帮助，彰显了老师以学生发展为本的教学理念。从所周知，本节课的大目标是使学生获得代数思维，理解从具体确定的数到用字母表示抽象可变的数给人们带来的便利，而老师没有在深度上过多纠缠，也没有就此停留，我想，这是基于老师扎实的综合素养及专业素养所带来的对数学的理解：一方面是由于代数思维的获得是一个长期而复杂的过程，今天是第一节课，只要有初步感知就好，同时，在帮助学生了解用字母表示数的来历的过程中，可以引导学生在“推理”中进一步深化理解。如：老师在教学过程中设计了“a+15=16，k-8=1，5×y=20，x÷4=2”等四个算式以帮助学生了解“字母可以与数进行运算”，在老师引导学生了解了“a与5一起进行加法运算及根据”后，要求同桌说说其它三个，这就是引导学生进行推理，并在推理的过程中进一步熟悉。另外，关于J，Q，K所表示的数是11，12，13，学生也由推理得出，可能是本堂的一个意外收获吧（因为在我们看来这是生活经验。这也说明成人生活经验与学生经验的差异所在）。
细腻源于功底。本堂课的一大亮点就是设计细腻，而这正体现了老师深厚的教学功底。首先是对学生已有知识的激活细腻，如既从学生在生活中常见的扑克牌着手，又深入挖掘学生学习历程中与此相关的材料帮助学生深化理解。在激活学习历程中已有的知识时，又层层递进：如不仅设计“0，1，2，m，4，5，6”，以帮助学生理解式中的m可以表示数，设计“a+15=16”式中的a可以参加运算等；还通过更细腻的设计，引导学生理解：字母可以表示数，那可以表示哪些数（通过三个算式的针对性设计，指向整数、小数、分数）？字母可以参加运算，那可以参加哪些运算（同样通过四个算式的针对性设计指向加、减、乘、除）？这些对学生已有知识有层次的激活，在帮助学生理解新知的同时，也使学生受到了思维有序性与深刻性的熏陶。
当然，前面所述老师对已有知识的激活，一定是源于老师对新知的深度理解与把握。也就是说，对新知的把握与设计也体现老师高深的功底：细腻、有条理、有层次。从字母可以表示数，到可以表示整数、小数、分数，再到可以表示所有数；到字母可以进行运算，可以进行加、减、乘、除及所有运算；再到可以表示关系；从字母能表示确定的数，到表示变化的数…环环相扣，层层递进。
本堂课属铺陈式的教学设计。也就是说老师为帮助学生理解与掌握新知，一直在为学生铺路架桥。这给奋斗在课堂教学一线的教师一个很好的案例启示！
（江西省南昌市小学数学教研员 胡桃根）
言近而指远 淡中趣独真
---试析施皓耀教授《成份》一课的启迪
《孟子•尽心下》认为善言者应“言近而指远”，而《礼记•学记》指出善教者“其言也,约而达,微而臧,罕譬喻”。施教授的课堂，师生所言皆为身边之事，但事事皆指向数学理解。期间教会学生用数学的眼光去看世界，并在解释世界的过程中，学会思考、学会抽象，理解比的本质意义，其立意可谓深远。施教授讲课没有“语不惊人誓不休”的华丽,但简约朴实，娓娓道来，句句皆有深意。所以，施教授确实善言、善教。
一、教学定位的另辟蹊径直指“比”的本质意义
比是什么？ “两个数相除又可以叫两个数的比”（ 苏教版教材）、“两个数的比表示两个数相除”（人教版教材）、“两个数相除，又叫两个数的比”（ 北师大版教材）。这三版本教材在我国具有较普遍的代表性，均强调了比与除法关系密切，但两者一样吗？关于这点，张奠宙教授在《返璞归真，正本清源》一文中作了全面分析:“比”不是除法，“比” 是一种关系；“比”是为比例做准备，其含义远超 “除法”。《几何原本》中对“比”的界定是：“比表示两个同类量之间的比较关系。”可见，“比”是数学概念，其概念实质是对两个数量进行比较，表示两个数量间的倍数关系，当然也可以表示三个甚至更多的量之间的倍比关系。
施教授的教学以描述身材、柠檬水口味、制作窗户、冲泡牛奶等为素材，在不同层次交流中，让学生体会到“谈一件事情时，我们会先把跟它有关的项目一一罗列，这些项目的表列就是比”；“冲泡口味相同牛奶，在增加奶粉、水的数量时，心里要有一个配方”突出了比的“除法”之外的“比较”关系，凸显比是表达数量之间的关系，紧扣“比较”的本质。或许在课堂上，施教授并没有像上述教材那样揭示比的意义，但在师生交流中，学生发言展现了其对“比”的理解：“比表示两个数量之间的一种关系”“饮料中如果只有一种材料，就不要说比”……这些发言反应了学生对“比”本质的体会，我想这比起空泛总结“两个数的比表示两个数相除”更具价值吧？！
二、丰富情境的分层应用恰当搭建概念发展平台
在课后交流中，施教授提出“生活中许多的平平常常的素材中都可以感悟到高层次的数学”，确实从本课中，我们也清晰体会这点。如上所言，从数学的角度讲，比是量与量之间的一种抽象关系，为理解这种抽象关系，获得丰富的生活原型的支撑是必不可少的。创设熟悉、亲切的教学情境，体会陌生、抽象的数学知识，在良好学习内驱力推动下润物无声式走向学习、走近知识、走进数学。
施教授联系学生的已有经验和新授知识密切相关精选典型情境，从描述身材、柠檬水口味、制作窗户入手,让学生体会到“比因思考问题而产生”“项目表就是比”；冲泡牛奶问题引导学生体会“在增加数量时，心中要有一个配方”，关注项目间的倍数关系；饺子皮与内陷的数量问题则组织学生应用数学解决生活问题。这些具有浓厚生活气息的素材增强了学生对数学内容的亲切感，且将比的概念发展过程隐含于“生活话题”之中，帮助学生经历了为何谈比——比的核心概念——比的型态——比的诠释——比的运算的由浅及深认知发展过程。这些生动、丰富的素材，令现场的师生们感慨到“比是如此丰富”，生活化的数学课堂让学生在“生活”和“数学”的交错、交融中感悟数学、理解数学。小小的成份问题，造就一个大大的比的世界。
三、有效问题的层层剖析引领学生思维走向深刻
学生的思维活动往往始于问题，发展于解决问题中。在科学定位教材，选用恰当素材后，授课中教师要善于设计问题，以恰当的问题适时提问、追问的时机，及时启迪思维，把握学生的思维走向，从生活中引发思考，令学生从说生活中想数学。
课堂中的施教授好比优秀的谈话类节目的主持人，在毫无痕迹之间，在看似低效的闲聊间，捕捉信息，组织对话，从似乎漫无目的的生活闲谈中迈向数学，并逐步令思维更具深刻性。如在“冲泡牛奶”问题，“如果想冲泡出一样口味的牛奶，在写奶粉与热水时，你心里应该在想什么”“泡一大瓶牛奶，倒在不同大小的杯子，每个杯子内的牛奶的味道有改变吗”“把几个杯子的牛奶再集中到进一个大杯子，味道有变得不一样吗”“要维持相同的口味，当奶粉增量或减量时，热水怎么调整”……一系列的问题串层层深入、步步挖掘，围绕项目变动下的不变与变，慢慢引导学生体会到不管具体数量怎么变，但两个量之间的关系始终没变，这就是比的核心概念。
浓处味常短，淡中趣独真！施教授在课终时说到“学知识别急于计算，慢慢来，要想想你在想什么？在做什么？”，倡导在师生互动中经历概念的发展过程，先发展直觉，再慢慢形成知识。虽然在课堂上如此大容量要在40分钟内完成（施教授私下交流时提到这些内容计划是用两三课时完成），再加上两岸文化差异（如课堂上教师提到1分钟跑100公尺、三维28、38、28，这里“公尺”“寸”我们学生平时都没有接触），造成容量与时间的矛盾，预“慢脚步”实“快节奏”，以及沟通中的障碍，令部分学生的脚步跟不上教师的步伐，但相对于重视“四基”“四能”，提倡严谨、有效的大陆数学课堂，一定能给我们带来别样的思考与启迪。
（福建省福安市小学数学教研员 林锦城）
从生活步道，走向心中的步道
——评洪雪芬老师《数学步道》一课的教学
步道是指不能行车而只能徒步的小径，它是我们通往目的地的途径。而数学步道，它不是铺着小石子的散步步道，它既是一个概念又是一种教学理念，指用现有的、在地的场景，设计出一系列的数学体验以及挑战的活动，提升学生的数学素养。洪雪芬老师执教的《数学步道》一课，很好地体现了这样的教学理念，让我们亲身领略如何透过生活化的素材提升学生数学眼光、如何通过一系列数学活动，发展学生数学思维、数学多元智能，带给我们耳目一新的观课感受，引发了久久回味。
一、培育数学眼光，寻找生活的步道
与以往我们所看到的数学教学不同，洪雪芬老师执教的《数学步道》不是我们教材中常规的教学内容，它是基于教材知识体系、学生认知基础与现场实际问题分析，教学内容取材于学生熟悉的西湖小学情景，是根据学校的实际情景临时提取决定的，这给洪老师和学生们都带来了一定的挑战，但也充满了趣味。美丽的校园，许多人只看到了它的一栋栋高大气派的教学楼，宽敞明亮绿树成荫。却看不到其中的数学元素。而洪雪芬老师能够敏锐地从中捕捉到运用于数学课堂的素材，并且带领着学生去观察、去发现、去探索，“屋顶的面积有多大？”“怎么求柱子的侧面积，体积……”这能够很好地培育学生的数学眼光。有过这样的经历与体验，学生在生活中就能处处“看”到数学，感受到数学。有了这样的数学眼光，就能感受到数学好玩，感觉到数学是散步时可以做的游戏。
二、发展数学思维，探索数学的步道
在洪雪芬老师的课堂教学中，我们能够深刻地感受到学生探索未知、寻求解决，生动活泼的学习过程。平时的课堂教学中，孩子们经常是在老师的指导下，亦步亦趋地完成每一项学习任务。而在洪雪芬老师的这节课当中，问题的呈现，怎么解决这个数学问题，得由孩子们自己去想办法。黄老师以小组讨论:“根据校园情景，如何给低、中、高年级出数学问题 ”为切入点，让学生通过独立思考、交流讨论等方式，创设问题，寻找到解决问题的途径。
活动中黄老师以一系列追问，点拨引领学生活动进程“树叶是一小时落一片吗？”“用布尺能测量水池深度吗？”“你提的‘花坛环形面积求法'是六年级学生学习的内容要四年级学生解答，四年级学生有困难怎么办？”“你下过学校操场的象棋吗？你用什么方法求棋子周长？棋子直径大约多少？”这些追问，使学生认识到提出的问题要符合生活实际，符合同学的知识基础。解决问题方法要优化。
结合具体场景，依靠自己发现问题，提出问题，并寻找到合适的、便捷的解决问题的途径，这种能力正是我们的学生当前最缺乏的素养之一。学生在实际的生活情境中找到数学问题，这是找到了“生活中的步道”；学生想办法解决问题的过程，正是他们从生活步道走向数学步道的过程。学生在这个过程中获得体验，积累经验、提炼方法，这些对孩子们而言是弥足珍贵的，都将成为他们学习过程中宝贵的财富。也许，我们从课堂教学中并没有看到显性的知识点的教学，但这节课的教学带给孩子的，是比知识点教学更重要的东西。
三、形成应用意识，走向心中的步道
美国心理学家布鲁纳认为：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远从问题开始的”。本节课，当学生们经历了这样一场有意思的学习活动之后，可谓收获满满。但如果不进行持续不断的“再应用”，学生可能会淡忘了这节课带给自己的冲击。洪雪芬老师正是意识到了这一点，所以在课的最后部分，她组织孩子进行了“再创造”活动。即，建议学生凭借刚才在活动中获得的体验和方法，自己从西湖小学再次寻找问题。做个“数学步道”作为毕业礼物，留给母校。这个建议激发学生极大的兴趣，因为有了刚才一次成功的体验活动，学生们的数学视野更加开阔了，他们可以提出更有价值、更有挑战的数学问题。虽然限于时间的关系，孩子们不能在现场一一去解决。这些问题可以留待他们课后去探寻，去摸索。更重要的是，有了这样的“再创造”过程，有利于学生形成了心中看不见的“数学步道”。即，在生活中就能主动地用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界。这就是“数学步道”的教学魅力所在。
（福建省厦门市小学数学教研员 林至元）
数学的价值在于掌握技能之上的思维的培养与运用
——观吴恢銮老师执教“撒绿豆测面积”有感
“撒绿豆测面积”是在教学长方形、正方形、平行四边形的面积公式之后安排的不规则图形面积计算的内容。由规则图形的面积计算到不规则图形的面积计算，是认知过程中由特殊到一般、由易到难的过程。
这节课主要达成的教学目标，是让学生经历计算规则图形的面积到计算不规则图形的面积的体验过程和思维过程，帮助学生建立起规则图形与不规则图形面积、计算之间的关联、转化的意识，掌握估算不规则图形面积的方法。对于小学生来说，这节课教学的难度特别是学生思维跨越的难度相当大，相应地是教师不好教、学生不好学。
鉴于难度的考量，在小学阶段对计算不规则图形面积的要求是达到“估测”，其常用的教学方法有两类：第一类是将不规则图形转化或近似地转化为已学过的规则图形后用面积公式计算。第二类是以某一标准进行实际估计，这种估计又有两种常见形式：一是利用计量单位进行估计，二是以某一物体为参照物进行估计。
吴老师这节课课前的谈话交流环节别具一格，创意新颖，而且紧扣课题，针对性很强，效果很好。在新课导入环节里，反映出了学生对传统的两类教学方法已有所掌握。可能基于这种考虑，吴老师未采用以上两种方法，而是尝试性地创造了一种新方法——“实验估”的办法，即把学生分成8个小组，每个小组提供若干绿豆、印有叶影的长方形纸（长15厘米、宽12厘米）、底面与长方形纸大小相同的类似无盖长方体器皿，让学生往器皿里“撒绿豆”并分别统计出每组落在长方形纸上和叶影上绿豆的总粒数，再将每组的统计数求和，计算出长方形纸上绿豆总数（540粒）与叶影上绿豆总数（319粒）的比数，认定为接近2：1（这种认定有些勉强），从而由长方形面积（15*12=180平方厘米）推断叶影面积为90平方厘米。这个“实验探究”的整个环节，围绕寻找落在长方形纸上和叶影上的绿豆数量多少与图形面积大小的数据关系而展开，生成了一个寻找数学规律的原始探究活动。
绿豆是人们日常生活中常见的农产品，以它作为教学工具拉近了学习与生活的距离，让学生获得了满满的亲近感；用撒绿豆做实验探究活动，让学生获得了满满的体验感。基于这种获得感、体验感基础之上的探究学习，犹如自助餐式的选择吸收、消化，是一种肌体内需、快乐体验相结合的享受。活动是感知的源泉，是逻辑建立的前提，是思维发展的基础。吴老师以活动为依托，根据学生的兴趣关注点，鼓励学生尝试用自己的方法去操作实验，收集数据、分析数据，让他们在数据分析中收获体验、掌握知识、感悟方法，这一点创意，难能可贵，精神可佳，也是本节课区别于其他课堂用常规的两类方法教学该内容的亮点所在，其过程的意义远大于结果的意义。
用创新的教学方法拓展学生的创新思维，是数学教育的价值追求，是发展课堂的价值追求，也是培育学生数学核心素养的价值追求。吴老师在教学过程中，着意引导学生亲身经历实验探究，以探究激发思维，完成知识任务的教学，出发点非常好，但课堂调控的难度非常大。从数学知识的系统性、逻辑的关联性、认知的规律性的要求来看，这个实验探究本身受到了主观、客观条件因素的制约，学生的实验操作难以规范到位，采集的数据难以准确可靠，学生的前置知识背景难以满足，这直接影响到了课堂教学的效果，创新设计的预期效果也就没有达到，在某种程度上偏离了数学教育的价值要求。
此外，在提供的教学预案里，有个环节设计虽没有采用，但有一小问题提出商榷：绿豆是近似球体的颗粒，绿豆的底部应是球体与平面的接触点，“底部面积”一说有损表述的准确性、严肃性。建议将“绿豆的底部面积”改述为“绿豆的投影面积”。
（《江西教育》编辑部编审 廖肇银）
玩出“数学味”
——刘松老师创意课《玩转三角形》赏析
刘松老师的课一如他往常的风格特色——宽松和谐的氛围，平等自然的交流，幽默风趣的语言，连连爆棚的笑声。能在这样的环境下学习的孩子们是快乐、幸运的。我想，刘老师这种课堂特色除了有他个人性格、风格方面的因素，更有他所秉持的教学理念的因素：要关心“谁在学”，学习是否真正发生；要让学生在“学”上出彩。为此，他不仅在营造课堂学习氛围上着力，更在学习内容的设计与学习方式的选择上着眼、着手。《玩转三角形》一课正是他基于日常教学经验积累和对数学教学的深度思考下，对数学学习内容和学习方式的一种创造，一个匠心独具的创意！
刘老师用《玩转三角形》作为课题，既点明学习的对象，也蕴含了学习的方式——在玩中学。当然，数学课的“玩”只是手段，重要的是“玩”后要达到的目的，“玩”后学生在学科本质方面的收获。从我个人观察，刘老师这节课至少有以下亮点：
一、创意高
本课的设计立足于培养学生空间观念这个高度，借助于对三角形这一素材的“玩”（把三角形分别绕不同的边旋转，形成各不相同的圆锥体），进行二维和三维空间的沟通、转换。对学生而言，这既有新颖性、趣味性，能激起探究学习的欲望，又富有科学性、思考性，有利于体验、感悟事物之间联系与变化的辩证关系。当然，它还有利于学生“跳出平面”，培养空间想象能力，发展空间观念。
二、数学味浓
作为数学课来说，“玩”是激发学生学习兴趣的一种方式、手段，更重要的是在“玩”中让学生学到数学。本课的“数学味”不仅仅在三角形和圆锥这些知识上，更体现在探索活动的过程中，学生在老师的引导下经历观察、比较、想象、分析、判断等活动，以及经历转化的过程（如：学生通过画辅助线，把一般三角形分割成两个直角三角形，从而想象出两个底部重合的圆锥体）。学生由此获得数学活动经验的积累，数学思想方法的感悟、升华以及数学思维方式（有根有据地思考、判断）和数学能力的形成（如：在本课高潮阶段，三角形不断被切割、变化成某种不规则图形后，学生会根据对平面图形变化的分析，去想象和判断它旋转后形成的立体图形的样子）。所以，课堂上学生除了愉悦的情感体验，在数学学科本质方面的收获也是丰富多彩的。
三、教师巧引导，学生思维活
课堂上，刘老师除了用有自己风格特色的语言、动作、表情去感染和激励学生积极投入学习，更重要的是抓住一些关键点，用具有激励性、思考性的问题去引导学生。比如：
课一开始就“激”学生：用三角形，你想怎样玩出创意？——鼓励学生作创新思考。
在猜测三角形转动的结果后提出问题“圆锥与三角形有联系吗？”在准备绕三角形的斜边转之前提出问题“绕斜边旋转后，结果会是什么样？”——引导学生展开想象。
在学生猜测出绕斜边旋转后会形成两个底部重合的圆锥体时，刘老师追问：你能用什么方法，让人听得明白吗？——逼学生想出了“画辅助线”的方法，把三角形分割成两个都是绕直角边旋转的。
这样的例子在本课上还很多。找准关键，抓住核心来激励、追问或质疑，这是引导学生数学思考的重要手段，刘松老师用得是炉火纯青。正因如此，课堂上学生的思维十分活跃，常常爆出闪亮的火花，除了上述的例子，“上胖下瘦的两个圆锥”，“添上辅助线后就变成直角三角形，还增加了一个小的直角三角形，所以旋转出的是一个圆锥底下剪下一个小圆锥”，“中间掏空了两个（底部重合的）圆锥”等等，都是学生此刻精彩的表达。
对于这节课，我也有以下一些建议，提出来跟老师们探讨：
一是，空间想象离不开直观（包括原有直观经验）的支撑，刘老师一味强调“不要动手，只靠想象”可能对于想象力基础弱的孩子是不利的，此时不作“一刀切”是否会更好？或者在学生想象后，老师用教具（如：一边夹着小棒的三角形）演示旋转，可能比课件演示的效果要好（毕竟屏幕上的立体图形还是需要学生空间想象的）。
二是，全课对三角形是玩得很“嗨”很透了，那么课末可否布置学生在课外去尝试“玩转其他图形”，适度拓展，对于沟通平面图形与旋转体的关系，对于提高学生探索兴趣都是很有意义的。
（福建省福州教育研究院小学数学教研员 刘自强）
获奖信息
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以上老师将获得本次观摩会相应光盘
