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“千课万人”核心素养下的小学数学“理想课堂”教学观摩活动11月25日互动专刊
作者：千课万人发表时间：2018-01-10

“千课万人”核心素养下的小学数学“理想课堂”教学观摩活动

11月25日互动专刊
专家评点

数感，是这样丰满起来的

——读俞正强老师《负数的认识》

听特级教师俞正强老师《负数的认识》课之前，建议要先读他的文章《数感，是如何丰满起来的》（《人民教育》2012年第8期），不强调先入为主，而是为了走近再走进。

俞老师认为，数感的第五个阶段是“从数的绝对性到数的相对性阶段”。因为在学习“负数”之前，数大多表示“多”与“少”，而到了负数的学习过程中，“数”不仅表示“多”与“少”，更表示一种状态。他指出，数感的突破，最明显地表现在“0”的认识上。在这之前，“0”通常表示没有，而在负数的认识中，“0”则表示为一种可以作为区别的状态，所以“0”也可以作为是一个标准。他是这样研究的，也是这样实践的。

起承转合教学如作诗

还是老样子，俞老师的课，一般不作什么铺垫，开门见山，直奔主题。首先他设计了四个层次的设问，与学生在谈笑间植根负数内涵，匠心独具，大气开合。

层次一：“听说过负数吗？”当学生回答“负数就是零以下的数；负数就是‘1-2’减不了时，就出现一个负数来了；听说过负数表示的温度……”后又追问道：“刚才这两位同学是怎么写负数的？”此处开课，简洁明了，充分利用学生的已有的经验。而“负数一定是先写一个负号，一个负号后面带个数，这样就把负数写出来了”，强调了负数符号化的表征。紧接着，俞老师又问：.“这个负数会读吗？先读什么？再读什么？”回归学习的原点，强调“读写结合”，课堂真实、朴实、扎实。

层次二：“这些负数在什么地方碰到的？表示什么意思？”如果说刚才学生写、读的负数只是自己的一个朦胧的感受或者说是在其它学科渗透中已有的一定经验，那么，此时此刻，“负1是减出来的，负4是在温度里碰到的”的感知就变成了“负数在一定的场合，表示一定的意思”的体悟。而接下来的多元化的举例以及“1-2不够减，还欠一个，记作-1” 既反映出学生真实的理解水平，也体现了学生对负数产生必要性的一种理性认识。

层次三：“黑板上同学们写的的-1和-4，谁更大？负数的大小通常怎么判断？”此时，学生的思维火花精彩绽放，教师的点拨因势利导。

生1：-1更大，因为-1是“1-2”得来，而-4是“4-8”得来，-1表示欠1个，-4表示欠4个，他们之间差了3个。

生2：-1更接近0，-4离0更远，所以-1更大。

生3：负1更靠近整数（注：学生在学负数之前，认识的整数）

生4：如果-1和-4都加同一个数的话，结果就更好比较，比如-1加4就是3，-4加4就是0，3比0更大，所以-1更大。

师总结：比较数的大小有两种思路，一种是“欠”，即“1-2”欠1，“4-8”欠4，欠得越多，越小。第二种思路是找一个标准“0”去比较。负1离0相差一个，负4离0相差4个。负数中的数字越小，意味着与0越接近，这个数就越大。

层次四：“一个数如果不是负数，它可能是什么数？怎么写？怎么读？表示什么？”学生对照着负数的例子写出正数。在举例的过程中，学生对“+”、“-”，以及“正负号能否省略”、“正负数的读法”再一次获得了更为明晰的认知，数学符号的抽象性、概括性和简洁性也让学生在体验中得到了升华，逐步培养了孩子们的符号意识。特别是他在关键处引发讨论，“为什么负号选择用减号？为什么正号选择用加号？”“因为用0作标准，负表示小下去，正表示大起来，与加减的意思是一样的。”这样的结论由学生“动脑想”得出，表现出理想课堂的生命张力。而这种“由负及正”的教学思路，贴近学生的认知，符合孩子学习数学的规律。

元代范德玑的《诗格》：“作诗有四法：起要平直，承要舂容，转要变化，合要渊水。”无疑，俞正强老师是作诗的高手，起承转合的教学方式，让学生在唤醒、勾连、感悟、思辨的过程中水道渠成地理解相反意义的量，对负数的意义有一个深刻的感知，非常具有数学蕴味。

变式开放授人以渔场

美国教育家杜威曾说“教育即经验的改造和改组”，而要实现改造和改组，变式中的学与教很重要。

有经验的教师，都善用变式。所谓变式教学，是指用不同的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征，从而对一事物形成科学的概念。（顾明远，《教育大辞典》，1999）

变式题可以是老师的预设，让学生在做题中感受思路的豁然开朗。亦可以是让学生成为变式的主人。无疑，善用类比举例进行变式教学的俞老师是高手。他首先让学生跟着示例思考“若为0，则为正，为负，例：冰水混合为0，（零上）水为正，（零下）冰为负，你能说出类似的例子吗？从这个例子中能得出什么结论？”由此展开话题，引导学生对正负数概念形成经历一个由特殊到一般的认知过程。诸如：以地面为0，则地上为正，地下为负；以平均分为0，平均分以上为正，平均分以下为负；以1米身高为0，1米以上为正，1米以下为负；以合格线为0，优秀的为正，不合格的为负；以十人为一组为0，十人以上为正，十人以下为负；以我的体重为0，比我重的人为正，比我轻的人为负；以免费为0，收钱为正，贴钱为负；以不赚不赔为0，赚钱为正，赔钱为负……使学生深刻的认识到：只要是具有相反意义的两个量都可以用正负数来表示。

授人以渔，也授人以渔场，学生在“渔场”上调动自己的思维，从0表示没有，突破0还可以表示状态的分界，负数和正数之间一定有一个标准0。0既可以是静态的，也可以是动态的，由静态0向动态0漫溯而去：以虚化的数轴上某个数为0，左边为负，右边为正。他让学生明白：脑子是用来想的，“数感”绝不是一个笼统的东西,它是鲜活的,是持续生长的……

一个好的数学教师,其教学过程绝对不是“简单的告诉”，而是学生在开放的教学环境中思辨习得，同化顺应，渐次丰满！

俞老师的课给人最大的特点是非常有温度，他总是站在最贴近学生思想生花的地方开始精耕细作，我认为这是他的过人之处。俞老师的课又特别像他的同乡丰子恺先生的漫画，多以儿童作为题材，往往是寥寥几笔，就勾画出一个意境。几许自然，几许淡泊，几许温暖，几许意蕴！

（作者：广东省深圳市布心小学，特级教师肖莉）

因为需要“数”，所以需要“分”

——听著名特级教师华应龙老师的《小数的意义》一课有感

关于“小数”的教学，一直是许多名师、特级教师比较喜欢研究的内容。从三年级的“小数的初步认识”到四年级的“小数的意义”，都有精彩的演绎。而今天华老师又在四年级这节“小数的意义”一课的教学中，展现了他的理解与诠释，让我们再次感受到了名师对经典课深入研究的精神与风采。

一、关于“小数”学习，需要引导学生从“情境认知”到“数理认识”

谈到华老师的“小数的意义”，我想首先想聊的是这到底是一节怎样的内容？我们知道，在四年级开始系统学习“小数”的相关知识前，学生已经在三年级对“小数”有过初步的认识。那么，四年级的“小数意义”教学，需要引导学生在三年级对“小数”的初步认识基础上，有什么新的生长，新的认识呢？

以人教版教材为例，从教材编排来看，三年级下册的“小数的初步认识”一课虽然安排在三年级上册“分数的初步认识”之后，但引导学生“结合具体情境解释情境中某个具体小数的含义”，借助学生丰富的生活经验（如“人民币单位”、“长度单位”间的进率），初步感知“小数”与“分数”之间的联系，是这节课的重点教学内容与具体策略。而四年级下册中，教材有意识把关注“一位小数、两位小数以及三位小数与十分之几、百分之几、千分之几之间的对应关系”，作为引导学生理解“一位小数表示十分之几、两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几”这一本质内涵的重要过程，充分体现了教材编写者利用数学知识内在的逻辑结构，帮助学生理解“小数即是十进分数的另一种表示形式”的意义这一意图。

显然，三下教材“小数的初步认识”更多关注了借助具体情境引导学生初步感知小数与分数之间的关系，是对小数的一种“情境认知”；四下教材“小数的意义”则注重了“小数”的数学层面上的理解，应该上升到“数理认知”的层面。

二、如何引导学生在“数理”层面上理解与掌握“小数的意义”

我们说，三下“小数的认识”是基于情境的解读，那么四下“数理”层面上理解与掌握“小数的意义”又该通过怎样的学习路径来实现的。从今天华老师这节课的组织教学来看，我们可以读出这样的两条线索：一条是以“单位”度量的感受为重点的认识线索，即引导学生体会0.1与0.01这样的“计数单位”，是在计量的过程中产生的；另一条则是以观察、操作为主的活动体验线索，即让学生在“平均分成10份、100份”的过程中，感受“计数单位越小，表示的越精确”的过程，积累数学活动经验。接下来我们对课堂上三个比较有特色的数学活动进行深度解读。

活动一：数一摞纸。

教师呈现一摞纸，请学生猜“有多少张”。学生乱说了几个数，因为受到课始导入情景的影响，有学生说的数不太靠谱。提出问题：要想知道这摞纸到底有多少张怎么办？引出“数”。

师生一起数。先数100张一叠的，数出了3个百；再数10张一叠的，数出2个十；继续数1张1张的，数出8个一；最后取出不到一张的那张纸片。引出话题：这不到一张的纸该用一个怎样的数来表示？

从学习的发生来说，这个环节具有明显的效果，即引导学生在学习的过程中产生了认知冲突：当前面的可以用单位“百”、“十”、“一”等计数单位来表示后，这不到一张的纸片，又可以用怎样的数来表示呢？引发学生的数学思考。

活动二：解读0.3。

教师呈现一张一部分涂了色的纸片，请学生观察后，提出问题：这是多少？

学生凭感觉说出这样一些答案：0.3、0.2、0.25、0.333。

师：那么到底是多少呢？请你动手去验证一下吧。

学生自主活动，测量比较。

反馈展示。在对折后，通过一半中涂色部分和空白部分的比较，得出：涂色部分占了3份，所以是0.3，空白部分占了2份，所以是0.2。教师给予展示，确认：当把这张纸平均分成10份，每一份是0.1，涂色的部分包含了3个0.1，所以是0.3；而空白部分其实是7份，所以应该是0.7。

这是一个引导学生自主探索一位小数的意义的活动，目的是帮助学生建立起0.1与十分之一、0.3与十分之三之间的关系。从认识水平上来看，学生已经跳出了以具体量来解释0.1的水平，上升到了以平均分某个图形，用图式的方式来沟通0.1与十分之一、0.3与十分之三的水平了。

活动三：探讨0.34。

当讨论了一位小数0.3之后，教师提出问题：有没有其他可能？有学生说到了0.31、0.32等等，老师顺势呈现了一张涂了3条还多一点的纸片，让学生观察：这里的涂色部分大概是多少？

一位学生展示说：这是0.34。理由是：把这里竖着的每一条再平均分成10份后，发现，这多出来的部分正好是4份。此时，教师特别引导学生讨论：这个4份是多少？

生：0.04。

呈现0.34的图示（如右图）

引导学生理解：当把一个正方形看作“1”，把它平均分成100份后，其中的1份就是1/100，也就是0.01。现在有34份，所以是34/100，也就是0.34。而空白部分是66份，所以是66/100，也就是0.66。

当然，在这个过程中，华老师为了让孩子能够深刻理解0.01就是1/100，还通过板书，这些小数和分数的后面添上一个单位“元”，引入了“元、角、分”的内容，以便帮助学生建立起两者之间的联系。这样的过程，为学生真正理解两位小数就表示“百分之几”的分数，提供了切实的支撑。

综观以上三个层次的数学活动，其核心便是引导学生从原有“情境认知”的维度认识小数，走向了“数理认知”的维度。原来，“小数”是计量的需要。因为在整数计量时，我们从单位“1”出发，因为量的增加，产生了计数单位“十”、“百”、“千”等等。而今天，因为出现了不到“1”的量，需要产生一种新的计数单位，于是便有了十分之一，而当我们的计量需要更精确，更小时，则又产生了百分之一；相信随着计量需要更为精确，还要小时，便又会产生更小的计数单位——千分之一、万分之一……整节课的设计，华老师以“度量单位”的感受为线索，引导学生用观察、操作等活动体会小数产生的过程，理解一位小数、两位小数的意义，颇有创新的意味。而且华老师的课，在关注学习的趣味性方面，总会有让人意想不到的设计。比如今天的课以微信中与马云有关的一个话题切入，颇让人意外，也确实引发了孩子们学习的兴趣。

最后提两个不太成熟的想法，与大家探讨：一是在解读0.3之前，对于0.5的解读需不需要？如果能直接将那张不到“1”的纸片换成0.3,会不会更贴合本节课研究的主题，更有利学生去思考小数与分数的关系？二是在关于“0.34”探讨中，能否展开得更加充分一些，步子再小一些，从而让更多的孩子经历“此时仅仅用十分之一来描述这个量又不行了，需要产生更小的单位”的过程。

（作者：浙江省嘉兴市南湖区小学数学教研员费岭峰）

统一规定 建立规则

——听刘伟男老师《用数对确定位置》一课有感

在数学中，点是位置的抽象。刻画一个物体位置的方法就是选取几个物体作为参考，按一定的方法来标明这一物体与它们的相互位置关系。在有了一定的度量单位之后，相互位置关系通常是用数来表示的。在直线上，取定一点记为0，取一长度单位，再取定一个方向，直线上的任意一点P，都可以用一个数来标明它的位置。为了确定平面上点的位置，先在平面上取两根互相垂直并选定方向的直线，一根叫做x轴，一根叫做y轴，于是平面上任意一点M的位置，可以用数对（x,y）来表示。

刘伟男老师执教的《用数对确定位置》一课，让学生在解决问题的情境中学习以上数学方法，并通过知识问题化与问题知识化的回环，使学生体会到统一规定对于交流的重要性，并藉此学习用数对确定位置的数学规则。学生学习的不仅是表层的数学知识和方法，还有深层的数学精神和思想。

知识问题化。魔法石在哪儿？刘老师的教学从这个简单的问题开始，在联系且有变化的问题串中，引导学生逐步深入地思考如何用恰当的方法刻画魔法石的位置。在5个一行排列的魔法石中，刘老师给出一个数字2，让学生确定真魔法石的位置。学生讨论了两种可能，或从左数起第2个，或是从右数起第2个，在解决这个问题情境中，学生体会到要确定位置，仅有一个数字是不够的，还需要确定方向。进一步，刘老师变换问题情境，引导学生在5行5列的排列中，讨论如何确定一颗真魔法石的位置，把核心知识设计在解决问题的情境中，学生不仅体会了知识的产生过程，而且也了解了新知的应用场景，当然，这个问题情境也激发了学生进一步探究的欲望和更加积极的学习情感。

问题知识化。魔法石藏在什么位置？刘老师给出了2和5两个数字信息，还不能确定，怎么办？学生想到了还要统一方向。方向的信息不是由老师直接地告诉的，而是给出了三组数字，分别是4，1；5，2；2，4。让学生依据这三组数字，分析数数的方法，确定共同的方向，即从左往右数，从下往上数。这个分析判断和推理的过程，是符号意识、空间观念、推理能力等多种数学能力复合的思维过程，不仅比较开放，而且富有挑战性。学生在解决这个问题的过程中，建构起用数对确定位置的知识和方法，体会到形数结合（数字和方向形成合力）的威力与价值。在这里，问题是知识的载体，学生在解决问题的过程中获得了知识，完成了对知识的意义建构。

用有序数对可以确定位置。事实上，从逻辑上来说，这个序不是唯一的，既可以先列再行，也可以先行再列，既可以从左边数起，也可以从上面数起，……。数学上作出统一的规定，无非是为了交流的方便，使得一个数对确定一个位置。这里所说的确定，是指任意一个数对都有相应的点，反之亦然，也就是有序数对与点的位置一一对应。或者换个角度说，这个点存在且唯一。这是数学要遵循的重要规则。如果一个数对对应的点不唯一或不存在，那么这种数学方法的作用就大打折扣了，甚至连存在的必要性都没有了。从这样的角度来思考，笔者建议：老师给出三组数（如前所述）让学生推理“共同的方向”，给出的数对可以有差别且有联系，如（4，2）；（4，3）；（2，4）；这样调整之后，使得（4，2）与（4，3）联系密切，方便学生概括“共同的方向”，缩短在黑暗中摸索的时间，并且有机会比较（4，2）与（2，4）确定了不同的位置，在比较中体会数对确定点的位置是唯一存在的。

（作者：浙江省新思维教育科学研究院教研员姜荣富）

映日荷花别样红

——观朱国荣老师《古罗马人的数字》一课有感

今天，西子湖畔，在千课万人核心素养下的小学数学“理想课堂”教学观摩活动现场，聆听了知名特级教师朱国荣的《古罗马人的数字》一课。朱老师的课堂真诚本色，朴实无华，清新自然，让我们置身其中、感悟精彩。场外是秋冬的西湖，场内却感受到六月西湖之美，真如宋代杨万里所书：

毕竟西湖六月中，风光不与四时同。

接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红。

一

数学家康托尔说：数学的本质在于它的自由。因为数学是一种发明的活动，而发明的本质就是自由与创造。今天朱国荣老师的《古罗马人的数字》一课，时时处处体现着这种自由的创造与发明。课始，在学生回忆生活中哪里见到过罗马数字？之后，从有趣的画面中了解了古罗马数字1、2、3的表示方法为I、II、III，推测出数字多1只要多一个I，随后发现，这样的思维方式会导致写较大数字的时候需要写满几张纸，在一片笑声中，孩子们自然而然的进入了研究的状态，跟随着故事的发展层层深入，逐渐揭开古罗马数字的面纱。于是，进入了第一阶段的创造。在已知的基础上，让学生还能继续写吗？

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I	Ⅱ	Ⅲ

随之，形成了罗马数字建立的规则。这种规则的建立更是一种创造，这种自由创造应该体现合理性、统一性和应用的广泛性。

第二阶段是让学生独立思考，完成11-20各数的创造，第三阶段，随着对31-40各数的创造，拓展了基本数字符号，创造出新的数字符号L，于是，有了C、D、M的产生，从而创造出大大小小的罗马数字。最后，对比阿拉伯数字的书写，所发现的“位值原则”就是一种更为简洁的发明与创造，这种发明与创造才使得阿拉伯数字更具广泛的应用价值。可见，今天朱老师让孩子们经历发明创造的过程性价值更值得我们学习与思考。

二

探究未知是生命最大的乐趣和理由。这也成为教育教学的一种追求。今天，朱老师以激发学生探索为宗旨，经历了1-10罗马数字的探索、规则的探索、11-20罗马数字的探索、基本罗马数字符号的探索等等；这些探索活动，让本节课出现了思维的激发、灵感的凸显、学习的顿悟。当孩子们在研究过程中碰到了种种困难，通过绘本画面的帮助和老师的引导，攻破了层层难关，创造着有规律的古罗马数字……，学生在尝试、交流、展示、争论的过程中逐渐形成了罗马数字的拼写规则，而这种规则的发现就是一种探索活动，在这种规则的引导下，学生创造出了更多的古罗马数字。特别是针对11-20各数的创造，学生碰到了14的不同表示，当地选择哪种方式呢？朱老师为学生提供较为充分的时间和空间，促成探索活动的有效达成。

同时，结合1-10，与11-20两列数的特点，让学生整体观察，发现了什么？从而整体思考数字的形成过程和排列规律，这样的观察与发现，有效建构了罗马数字的结构。

三

绘本与数学课程的拓展，提升了数学教学的宽度与深度。传统小学数学内容和教学形式过于拘泥，缺乏趣味性和延伸性，有时难以焕发小学生的好奇心和探索热情。今天，朱老师为我们提供了一种新的教学方式与路径。数学绘本是符合数（形）图结合理念，透过数学绘本中蕴含的生活元素、数学元素,可以有效激发小学生的学习兴趣，教师通过数学绘本的课堂互动,可以全面促进小学生的探究能力。如果从数学绘本教学角度来看，怎样发挥绘本的作用，怎样通过绘本实施教学，值得进一步思考与探索。

其实，朱老师的这节课更多地是数学拓展性课程内容，他所呈现的绘本内容与价值不大，一些画面所呈现的可以说是一种知识点的介绍。所以，我认为，朱老师也可以把这节课去除“绘本”两字是不是更为妥当。

（作者：浙江省宁波市海曙区小学数学教研员陈亚明）

从数学本源构建理想课堂

——11月25日上午半日课评

11月25日上午，观摩了由俞正强老师执教的《负数的认识》、华应龙老师执教的《小数的意义》、刘伟男老师执教的《用数对确定位置》、朱国荣老师执教的《古罗马人的数字》四节示范课，围绕核心素养与理想课堂的深度呼应，来自浙江和北京的4位名师分别从不同的视角、不同的选材、不同的教学风格为切入点，始终不忘数学本源，始终“以学习为中心”，为我们构建了理想课堂的形态。

《义务教育数学课程标准（2011））》关于“数感”的表述是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。” 所谓数感是一个人对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法做出数学判断，并为解决复杂问题提出有用的策略。数感是一种数学素养，它包括将数与生活背景联系起来，用数学的方法思考问题。它使人眼中看到的世界有了量化的意味，当人遇到可能与数学有关的具体问题时，能自然地、有意识地与数学联系起来，用数学的思想方法来进行处理和解释，是一种主动地、自觉地或自动化地理解和运用数及运算的基本能力。上午有两节课是涉及数感培养的，两位老师的教学都有一个共同之处：就是将教学内容思精理熟之后，用自己基于对儿童认知规律的把握和对学习节律的掌控，化繁为简地落实于40分钟的课堂教学之中。

俞正强老师《负数的认识》一课中，“哪个负数在什么地方表示什么？举个例子”以学生提出的-1和-4度作为学习素材，初步认识负数的合理性，并学习负数的读法、写法，体会正、负数之间相对关系；再举“以冰水混合为0，0上为正、0下为负”例子，让学生独立思考，以此类推，举一反三，在自己的思考与同伴的交流、以及教师的点拨中逐步明确“0”是区分正数和负数的标准，正数比0大。负数比0小，在数的体系中找到了负数的“位置”。俞老师注重引导学生经历负数产生的过程，教师不疾不徐，学生的数感建构是螺旋上升的，体会到负数的价值和现实意义。我们不禁为俞老师的课报以热烈的掌声!

华应龙老师对《小数的意义》的教学内容有着独到的见解，这节课中他以学生估计出的小数为素材，以学生自主探究小数的单位为主轴，给予了学生充分的时间和适合动手操作的学具，给予了学生独立思考的问题和合作交流的话题，通过思考许多的“为什么……”将小数的单位与十进分数的单位、整数的单位建立了一个新的知识链接，再纳入学生的认知系统，认识新的数——小数。可见，数感的建立与培养，一定是基于儿童的基本活动经验和学习体验，华老师的课堂，不吝时间，不吝思考，不吝研讨，不吝探索——真心学生学习立场！

刘伟男老师执教的《用数对确定位置》，横跨了代数和几何领域，从数形结合的场域，为学生建构了新的视角。在一条线段上，描述一个点的位置，只需要用一个数，这是一维空间；在一个平面内，要描述一个点的位置，需要几个数呢？两个数，这是二维空间。学生通过情境中的问题驱动引发的探索，由“魔法石到底在哪？”到怎样确定某个点的位置，教师设计了环环相扣的环节激发学生不断去思考，不断推翻自己的想法又再次重构自己的思路，课堂有趣又轻巧。

数字、文字和自然语言一样，都是信息的载体，它们之间原本有着天然的联系。对于不同位数数字的表示，中国人和罗马人都用明确的单位来表示数字的不同量级，中国人是用个十百千万亿兆；罗马人用字符I代表l，V代表5，X代表10，L代表50，C代表100，D代表500，M代表1 000，再往上就没有了。这两种表示法都不自觉地引入了朴素的编码的概念。首先，它们都是用不同的符号代表不同的数字概念；第二，它们分别制定了解码的规则。在中国，解码的规则是乘法。200万的写法含义是2×100×10000；而在罗马，解码的规则是加减法——小数字出现在大数字左边为减，右边为加。比如IV表示5-1=4，VII表示5+2=7，IIXX表示2 0-2 =18。这个规则不仅复杂，而且很难描述大的数字和分数。罗马人要写100万的话，恐怕要MMMM……地不断写下去，写满一整块黑板。虽然他们后来发明了在M上用上划线表示一千倍8，但是如果要书写10亿的话，还是要写一黑板。描述数字最有效的是古印度人，他们发明了包括0在内的10个阿拉伯数字，就是今天全世界通用的数字。这种表示方法比中国和罗马的都抽象，但是使用方便。因此，它们由阿拉伯人传人欧洲后，马上得到普及。只是欧洲人并不知道这些数字的真正发明者是印度人，而把功劳给了阿拉伯人。

朱国荣老师执教的《古罗马人的数字》貌似认数，其实更多的是让学生推理。教师以绘本为载体，设计了一张表格，用于学生推理尝试。这张表格，既是学生自主探究的素材，又是推理验证的论据。从1-10的古罗马数字的编写，朱老师巧妙地抓住5、9、10这三个数的编写，引导学生逐步掌握了其编写的原则，也能运用类比推理来加以尝试；再到11-20的数编写时，学生的推理能力得到了很大提高，独立思考、应用知识，特别是讨论14、19的写法时，学生的思辨和表达都很到位，体现了课堂教学优化带来的学生发展。而朱老师，则从课堂的主导者，变成了学生学习的引路人和合作伙伴，深刻思考教学问题，从容应对课堂生成，课堂朴实又有深度。

法国哲学家、作家阿尔贝•加缪说：“对未来真正的慷慨，是把一切都献给现在。”今天四位老师的教学，给予我们的不仅仅是一场数学教学的饕餮盛宴，更是为未来课堂教学改革扬帆领航。期待着，从“千课万人”携手走向理想课堂的教师会更多。

（作者：湖北省武汉市育才小学，特级教师关蓓）

多维视角 专业解读 深度赏析

——以王洋《身上的尺子》的课堂教学为例

本课题是来自北京版教材二年级上册数学实践活动课《身上的尺子》，其涉及的是义务段数学课程标准中设计的课程内容中的四大主要内容之一——“综合与实践”，它也是在教学实践中推进最慢且感到最难的内容之一。下面以“多维视角专业解读深度赏析”为题，即通过理想课堂之维、核心素养之维、特色创新之维和综合与实践之维的多维视角，通过“综合与实践”类课程的内容特点和课标要求，通过认知心理学等专业理论来多维解读赏析北京市房山区北京小学长阳分校王洋老师执教的本节课。

一、理想课堂之维

“综合与实践”这类课程内容在当前可能实现的理想就是忠实执行课程标准中实施要求，这些探索工作需要一线的名师来做，作为新一代的小学数学名师代表的王洋老师这节课就很好地贯彻了这些要求。义务数学课标指出，“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。由此可知问题和学生自主参与是课标的核心要求。课堂教学中许多环节体现的正是由学生和教师提出了许多的问题（特别是创造机会让学生提出问题），还有两次小组合作进行实际测量的实践活动等。课标在教学建议中指出，“综合与实践”的教学，重在实践、重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。重在综合是指在活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。这一要求也在课堂教学中得到了很好的贯彻和执行。因此可以说，王洋老师的这节课实现了义务数学课标设计这类内容的理想。

在王洋老师的教学反思中，她将本节课的重点突破和成功之处归结为帮助学生积累两类数学基本活动经验：一类是实际测量经验，另一类是思维经验（解决问题思考的经验），这可以看作是她对这节课的理想追求。她的教学目标“在解决问题过程中，……积累实际测量和解决问题的经验”中也有所体现。因此，可以说这节课是王洋老师实现自己教学理想的初步尝试。同时，本课题针对的是小学二年级学生，在课标第一学段的内容要求中指出，“通过实践活动，……获得初步的数学活动经验”，这同时也是课标要求落地的表现。

二、核心素养之维

在核心素养甚至是素养的概念上，有不同的理解，但从培养的实践层面上来理解，我个人很赞同杨向东教授对“素养”的如下描述：素养是在特定情境下，或者是经历了一系列不同的情境后，个体建立起来的、能够灵活运用的那些东西和当下情境建立关联的那些东西。对本课《身上的尺子》的数学测量内容来说，就是要让学生在不同的情境中，建立起能够灵活运用这些包括测量的方法在内和当下情境建立关联的那些综合的东西。因此，就本节课来讲，发展学生核心素养方面，主要是通过多种情境来实现的，主要有三种情境：一是数学绘本的文本情境。主要是通过阅读绘本，发现身上有许多尺子；二是数学绘本中的拟实践情境。这列情境主要是一些具体的问题。如测量大树有多粗、测量湖边长的步数和解决是否挪衣橱的问题等，这些都是以适合小学二年级学生的直观形象的方式在课件上呈现的；三是真实的实践情境。主要包括两次小组活动：一次测量身上尺子的长度，另一次是用身上尺子测量身边的物体。

三、特色创新之维

本节课实际上是学习的数学课程内容的测量，教材中用的是学生情境《身上的尺子》的素材，这一素材的特殊性是与学生的身体有关的“身上的尺子”，即通过身体来学习数学，这与当前国内外心理学家研究的具身认知理论密切相关，这一理论强调“认知在本质上是具身的（即与身体密切相关的），身体在认知的实现中发挥着关键作用”，本课堂可以看作是一个典型的案例。课堂中可以看到学生用自己的手臂、手脚等身上的尺子来测量物体从而解决问题的过程，这些具身的学习活动是具有特殊意义的。作为二年级的小学生，在数学课上经历这样的实践过程，不仅仅能实现课程标准中的课程目标，而且让学生认识到自己身体某器官的解决问题的作用，建立自己的个人经验，而且更深刻地零距离感知和体验数学课程内容中的测量知识。

四、综合与实践之维

义务数学课标的教学建议中指出，教师在教学设计和实施“综合与实践”时应特别关注的几个环节是：问题的选择，问题的展开过程，学生参与的方式，学生的合作交流，活动过程和结果的展示与评价等。通过本节课堂教学，可以说这些方面都得到了较好的体现。下面以课堂教学中提出的众多典型问题为例梳理如下：身上的尺子在哪里？有多长？这棵大树有多粗？怎么量的？一庹长不够了怎么办？怎么量得更准呢？测量时要注意什么？对不同的人来说，身上的这些尺子一样吗？为什么不一样？等你长大了，身上的尺子会怎么样？怎样选择用什么样的尺子？身上还有哪些尺子？还能解决哪些问题呢？……这些问题凸显了“综合与实践”这类课程内容的特点，促进了学生的思考，同时培养了学生的应用意识、创新意识。

五、结束语

首先，作为“综合与实践”这一类的课堂教学来讲，时间的控制是最大的挑战。这不仅表现在总体时间的控制方面，也包括在时间的节奏控制方面。其中首要注意的是要详略得当，重点突出，有些环节和方面要利用现代信息技术快速处理。王洋老师的课中有些典型的环节需要突出，有些环节需要淡化，比如怎么量和要注意什么以及结果的展示与评价等重点核心问题要突出，对于一些耗时的比如通过身上的尺子具体计算物体长度的环节要淡化，这样可以节省时间，以至于有更多的时间处理后面的环节，让学生有更多的思考时间。

其次，在“综合与实践”部分内容课堂教学中，要注意针对不同的过程采用不同的教学处理方式。有些过程是要让学生明白的，这时要通过呈现间接经验来处理就可以了，比如本课中学生测量身上尺子多长时就没有必要在课堂上进行（据调查二年级学生已学过测量物体长度的内容了）；而有些过程要让学生亲自经历，通过直接经验来处理，比如本课中第二次小组用身上的尺子来测量身边物体的活动。当然这要根据学生已有的相关经验来确定。

最后，在“综合与实践”部分内容课堂教学中，还要注意注意在实践中突出思维，在综合中凸现焦点。这类课题教学的一大特点是需要大量的实践，但这些实践是为促使学生思考服务的，其中的问题对促进学生思考很重要，所以大量提出问题是很重要的，特别是要突出核心问题。本课中王洋老师提出了大量的问题，但是核心问题似乎不太明显。综合的内容往往是不容易分离出部分的，但我们可以启发学生聚焦热点问题，这不仅是突出思维的需要，也是进一步综提升的需要。本课中，让学生对身上的尺子的作用有一个完整的认识是非常重要的，是需要凸现的焦点，在课堂教学中似乎突出不够。

（作者：齐鲁师范学院副教授郑庆全）

大气似“海” 细腻如“盐”

——走进何月丰老师的《认识比》

这是一节刚刚在中国教育学会小学数学教学专业委员会举办的第十三届小学数学教学改革观摩交流展示培训活动中荣获一等奖第一名的课。正如执教者何老师所在地名（浙江海盐）一般，大气似瑰丽的大海，细腻如柔软的白盐，真真的实至名归。

一、有广度，有深度，大气似海

1. 有广度，去伪存真

说到“比”，正如何老师的课前测所反映的，在数学情境中，学生眼中的比常常是一种相差关系。在生活情境中，孩子最为熟悉的，莫过于比赛中的比分。

然而，“比”“比”各不同，“比赛中的比分是一种双方得分的记录方式，这与数学中的比是不一样的”。显然，这是学生学习“比”这一数学概念不可回避的一个疑难点。

必须把“比分这个学生认识比的疑点，请出去”，把“非同类量的比是学生认识比的未知点请进来。”

如何帮助学生破解这个疑难点？何老师从生活背景引入，用面粉和水做馒头的典型比，引导学生充分地进行分析、比较、讨论、综合等活动，使之初步感受：面粉和水的变化过程中，两者的2倍关系是不变的，这个比就代表着两数相除。

其中最可圈可点的是何老师带着孩子们一起来进行模拟的足球比赛，紧紧围绕“体育场上的比分”究竟是不是数学上的“比”？这一核心问题展开创新教学，引导学生在情境中利用已有认知对两者进行辨析，在自主思辨、讨论交流中，逐步理清“比分”与数学中的“比”的区别。并通过比分“1:0”、“2:0”这一反例，带领学生质疑讨论，进一步厘清比的本质意义，真实地展现了学生学习“去伪存真”的过程。

2. 有深度，由表及里

引导学生区分同类量的比和非同类量的比，是理解比的意义的重要内容。

同类量相比，比值是一个倍数；非同类量相比，比值是一个新的量。关于同类量的比，学生虽然比较好理解，但何老师并不是轻描淡写，而是通过举例子的方法，让学生将相关知识勾连，这四个具有典型代表而丰富具体的例证（1.做馒头时，面粉和水的质量比是2:1。2.一张照片长和宽的比是4：3。3.足球比赛的上半场结束了，场地上比分是2:1。4.搅拌混凝土，石子、沙子和水泥的质量比是5：3：2。）分别代表着质量的比、几何的比、生活的比分、连比，通过孩子们的厘清与思考，逐步理解比的本质内涵。

而理解非同类量相比的比值的含义，也是学生学习的疑难点，何老师直面这个难点，并不是直接给出例题，而是继续又举出4个信息（1.目前我国新生婴儿中，大约115名男婴对应100名女婴。2.婴儿的头长约占身高的四分之一。3.某小区的总户数和车位数一样多。4.爸爸用50元钱买了5千克苹果。）让学生从中找到比，并写出来。由表及里，由同类量的比过渡到非同类量的比，让学生去辨析、去思考并注重比的本质特征。其中，“爸爸用50元钱买了5千克苹果能否写成比？”学生的分歧是真实的，思考是到位的。当学生说出“100元可以买10千克苹果，有相除关系，可以写下比来”时，何老师引导学生得出这个比值虽不是倍数了，却产生了新量：单价，进而得出这样的比在数学中是有意义的。整个过程显得水到渠成，为后续学习非同类量的比做了铺垫。

二、有温度，有态度，细腻如盐

1.有温度，儿童立场

凡事预则立，不预则废。作为“比”的第一课时教学，传统意义上是在比的意义之后，教“比的各部分名称，求比值，比与分数、与除法的关系”等知识。但是何老师在课的设计过程中，基于“儿童立场”，深入研究学生的起点，改变“蜻蜓点水”式的面面俱到，关注思维的深刻性，对几个显性的知识点进行弱处理，经过短平快的“课前习”检查，将“前项、后项、比值”等内容一笔带过，而是着重解决：理解生活中的“比分”和数学中的“比”是不一样的；在情境中体验并逐步理解同类量的比和非同类量的比。整个教学设计开合有度，简约厚重，体现了教学设计的儿童立场——会的不用多讲，不会的重点研究。

2.有态度，关注思维

课堂不是直接告诉，编制有结构、有思想的学习材料，并给予学生充足的学习空间与时间，是本课的亮点。

何老师始终注重孩子思维能力的培养，课堂留白放手让学生去探究，去辨析，对于“比”，学生经过两组共八个材料的自主辨析，经历了从“认可到不认可”，“从不认可到认可”的思辩论过程。比如，虽然大数据背景下，男婴与女婴对应的比，学生的生活经验不足以支撑它，且跟刚才生活中的足球比分信息题发生干扰，但教师能循序渐进地引导学生得出结论，体现了比的生活应用价值。再比如,和面问题的引入，让学生自然发现，什么是可以变的，什么是不变的，变中不变的思想由此渗透，课已停，但思考却没有停。

用数学材料中所蕴含的数学思考、数学思维方式、数学之美来吸引学生，是教学的高境界。无疑学生的思维之花是绽放的，他们的知识体系是完整的。

《论语·为政第二》说：视其所以，观其所由，察其所安。说的是“知人”的三个方面。同样“知课”亦是如此，何月丰的老师的课堂对此做了很好地演绎。

（作者：广东省深圳市布心小学，特级教师肖莉）

随机观念的有效启蒙

——邓颖洁老师《可能性》一课观感

听江西邓颖洁老师《可能性》一课，笔者感觉这是在进行一次很好的随机观念的启蒙。

五年级“可能性”的教学，具体的目标包括认识事件发生的确定性与不确定性，学会用“一定”、“可能”与“不可能”等词语来描述事件发生的可能性，初步体会随机现象的统计规律性。简单的说，就是要进行随机观念的启蒙。

我们所生活的这个世界上的各种各样的事，其结果是在这些事发生之前就都已经确定了呢，还是有一些事是否发生、如何发生是不确定的？这似乎是很容易理解的。但研究表明并不如此。关于确定与不确定，即对随机性的认识，其实还有很多认识误区。

在此，我们举一个科学史上有名的例子作为佐证。法国著名的数学家拉普拉斯是古典概率论的集大成者，可就是这样一位古典概率论的专家，他甚至根本不承认有随机性。他有一个著名的“拉普拉斯妖”的说法。在他写的一本非常重要的概率论著作的导论部分，拉普拉斯写道：“我们可以把宇宙现在的状态视为其过去的果以及未来的因。如果一个智者能知道某一刻所有自然运动的力和所有自然构成的物件的位置，假如他也能够对这些数据进行分析，那宇宙里最大的物体到最小的粒子的运动都会包含在一条简单的公式中。对于这位智者来说没有事物会是含糊的，而未来也只会像过去一样出现在他面前。”拉普拉斯所谓“智者”，后来就被人们称为“拉普拉斯妖”。在拉普拉斯看来，我们说某件事发生与否是不确定的，并不是这个事件本身的属性，只是我们没有那位智者的本事。比如用这个观点来看抛硬币，之所以我们不能确定它将会哪个面朝上，只是因为两个方面的原因：第一，我们对相关的数据没有全收集到，比如抛的角度大小，使用的力的大小方向，当时风的大小等等等等。第二，就算我们收集到了，我们也还没有办法处理这么许多数据。换一句话说，只要数据收集到充分全，数据分析的能力充分强，那么，什么都是决定了的，没什么随机性。爱因斯坦也说：“上帝不掷骰子！”经他们这么一说，您看看，是不是似乎很有道理呢？事实上，这种观点一定时期还有很多人拥护的。

让我们回到课堂，其实，今天在课中，学生中有相当一部分也是有这种认识的。我们举一个例：

几个小组掷一颗特别的骰子（五个面上标有6，一个面上标有1），得到如下数据——

老师提出，我们看到，第二、三、六、八组的数据一样，你有什么说的吗？这时，学生的说法就有点拉普拉斯的味道了。他们有的说，应该是他们几个组抛的力度都一样，有的说应该是他们抛的角度都一样，还有的说，骰子本来就一样。这些说法，事实上就是在说，掷骰子的结果是由力度、角度，以及骰子本身的情况所决定的。

也许我们应该认识到，要让学生真正对随机现象有一些理解，体验是不可缺少的。我们需要象邓老师一样，设计象摸球，飞行棋等活动，让学生参与，让他们在期待与失望、兴奋与沮丧等情感体验中认识随机性。

仅仅有操作、体验也是不够的。对于随机实验而言，次数较少的实验，其结果有时反而不利于理解。这时，为了促进学生的理解，需要借助想象。在本节课中，邓老师反复说的一句话：如果让你再摸一次球……，如果让你再掷一次……，如果让你再做一次实验……，这就是想象，在想象的过程中，借助初步的理性，学生努力避免主观臆想，老老实实的承认：情况不确定，都有可能。这就是理解。

随机观念的形成，离不开数据，离不开对随机实验的数据的分析。邓老师的课中，对数据的挖掘也是很到位的：分组实验，形成数据；全班统计，得到更多的实验次数；分析各组数据中的特例（20次实验结果全是6的）等等。有时候，这种对实验数据的分析可以成为理解随机性的门径。

充分体验，注重理解，注重数据，正是因为这几个方面的特点，我们认为，邓老师在给学生进行随机观念的良好启蒙。

（作者：湖南省长沙市教育科学研究院张新春）

猜想·验证·反思

——陈玉华老师《毫升与升》一课赏析

改进学生的数学学习方式是本次“课改”的重要目标之一。不同的价值取向会导致不同的教学方式和学习方式，陈玉华老师在“毫升与升”这节课中，引导学生在“动手操作、自主探究、合作交流”的学习方式中，亲身经历“猜想、验证、反思”的过程，通过实验、推理等方法，初步建立了毫升和升的量感，培养了学生严谨、科学的态度和探索的精神。

纵观整节课，陈老师把“过程性目标”凸显了出来，使结果性目标和过程性并重。“新课标”把过程本身作为一个课程目标，让学生在数学学习活动中去“经历……过程”。经历过程会带给学生探索的体验、创新的尝试、实践的机会和发现的能力，这些比那些具体的结果更重要。基于这一理念，教学中没有将结论直接告诉学生，而是创设了一个“猜想——验证——反思”的平台，让学生自己提出问题，自己通过探究去分析问题和解决问题，教师只是以组织者、引导者和合作者的身份出现。

1.在情境中猜想

问题是引发探索的导火索，教学伊始，陈老师给学生创设了一个生活情境,在这个生活情境中，在问题地驱动下，学生根据自己已有的生活经验判断提出了猜想（需要眼药水的瓶数，需要喝水的杯数），猜想是否正确并不重要，重要的是它是根据自己已有的知识经验提出的，能够自己提出问题已经向探索迈出了可喜的第一步。“新课标”中指出，让已经存在于学生头脑中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，使他们从中感受数学发现的乐趣，使人的理智和情感世界获得实质性的发展和提升。

2.在探究中验证

接着教师让学生通过动手操作进行试验验证，在操作中教师有意识地设计一些障碍，并及时指导学生寻求跨越障碍的办法。没有一定挑战性的活动是不值得探究的，没有在探究中战胜困难的经历，其探究能力是难以获得实质性发展的。当然，为了使探究活动富有成效，教师要充分发挥引导者与帮助者的作用。首先，通过思路点拨来引导学生探究（实验前师生一起讨论方案），然后在具体探究过程中教师又以“参与者”的身份给予更具体的指导，以保证探究活动不被“卡壳”。为了验证猜想是否正确，学生通过合作（先组内合作再组间合作）想出了多种办法，体现了探索活动的多元化和开放性，学生通过实验加计算的方法完成了实验，并通过汇报交流使问题逐渐明朗化，得出结论的同时引领学生充分建构1毫升和1升的大小概念以及两者之间的进率关系，这是本节课知识技能的重点和难点所在，学生在形式多样的验证活动中得到了有效落实。这样的学习方式着力于概念形成的探究过程，使学生在获得知识的同时发展探究学习的能力。

3.在交流中反思

当学生通过亲身体验和探索验证了原先的猜想时，教师及时引导学生对自己的学习结果展开反思与交流活动：为什么实际结果与猜想的出入有那么大？通过反思学生明白了由于猜想时不清楚1毫升有多少，所以猜想缺乏标准而造成了大误差。陈老师还让学生回顾探究过程，体验一下怎样能科学合理地进行验证？学生总结出了实验加计算的方法、借助参照物来估计的方法等等。通过这样步步深入的反思活动，学生对知识理解的深刻性是可想而知了，更可喜的是它突出了“数学思考”方面的目标，使学生对自己学习过程和思维活动的监控能力得到了训练，批判性思维能力和主动学习的意识获得有效发展。

总之，通过这些充分体现主体性的数学活动，不但有效完成了“知识技能领域”的目标，更为可贵的是使“过程性目标”落到了实处，使学生初步学到了“猜想——验证——反思”这一问题解决的方法，它着眼于学生的可持续性发展和终身学习的愿望。一位教育家曾说过，通过亲自探究获得的知识是儿童自己主动建构起来的，是儿童真正理解、真正相信的，是真正属于儿童的。

（作者：浙江省武义县小学数学教研员陈力）

经历“三度”认知，建构图形表征

——听管小冬老师《认识圆柱和圆锥》一课的体会与思考

立体图形的知识，对于小学生来说，看似简单，实则属于比较难的内容。因为，在引导学生学习此类内容时，我们需要思考：学生达到怎样的认识水平，才是对相关的立体图形是认识了，是把握其本质了？以“圆柱”为例，知道了圆柱有两个底面和一个侧面、两个底面是面积相等的两个圆、侧面展开后是一个长方形，就算是认识了圆柱的特征了吗？显然，没那么简单。那么，怎样的目标定位与教学组织，才是真正体现学生对“圆柱”的认识是到位了呢？今天江苏管小冬老师的教学，似乎给了我们提供了一条通往目标的可借鉴路径。在管老师的课中，我们能够看到一些帮助学生深入认识立体图形的一些方法策略，现就课中的活动设计与教学组织谈一些体会与思考。

一、直观层面：基于观察的经验唤起

观察是认识图形的重要方法之一，它可以让学习者从直观层面对观察对象有初步的感知。而认识立体图形，观察是必不可少的一种学习活动。当然，因为对于圆柱和圆锥的学习，虽然教材将其放在六年级，但学生对这两种图形的认识经验不是零。特别是圆柱，学生不但在认识平面图形之前，就已经有过直观地认识，而且在生活中有大量的接触，有着充分的直观感知经验。于是，在本节课中，管老师将观察实物的学习任务设计成一个自主、合作的环节，由学生独立完成。然后进行展示与交流。

生：我们组发现圆柱有3个面，上面是一个圆，下面也是一个圆；旁边这个面，切一刀拉开后是一个长方形。还有两条棱。还有，从侧面看是一个长方形，从上面看是一个圆。

师：这位同学说了好多……这是他们的发现。你们有这样的发现吗？

生：这两个面的面积是一样的。

师：也就是说这两个面是一样的。你们是怎么发现的？

生：我们量了两个圆的直径，都是大约12厘米。

师：研究时，不仅仅是观察与发现，必要时还得用数据来判断。

当然，为了让学生更为准确地把握“直观层面上的圆柱的特征”，教师还提供了一个“腰鼓”作对比。通过比较分析，让学生形成更为清晰的直观形象。

在学生观察圆锥了之后作了同样的展示与交流。

当然，这些用眼睛看到的特征，只是一些表面的东西，还只是直观感知的结果而已。认识图形的特征，不应该仅仅停留在表面之上。对于六年级学生而言，这样的观察结果，本来便是进一步深入学习的基础。

二、方法层面：在乎图形要素的真正把握

新课程理念下的数学学习，已经将目标从单一的知识技能习得扩展到了三维目标。也就是说，对于一个知识的学习，我们不仅仅关注知识内容的掌握与否，还需要对学习过程与学习方法的经历与体验，从而积累相应的数学活动经验，发展数学思维。事实上，对于图形的认识，同样需要有方法层面的目标要求。本节课中，我们可以很清晰地感受到，管老师在三个不同的时间节点，强化了方法层面的引导。

1．起始阶段，明确视角，引发有目的的研究。

在课的起始部分，当管老师说明了本节课的学习内容后，提请学生们思考：想一想，我们可以从哪些角度进行研究？有学生答：有几条边，有几个面。教师归纳：我们可以研究它的面，还有棱。还有吗？生答：有几个顶点。

师：研究中，还有哪些方法？生：这些面，我们可以摸一摸。师：还有吗？生：有纸的话，还可以剪开来。

这个时候，老师再次作了适当的归纳：刚才的方法我们都叫操作，除了操作，还有吗？生：观察。师：用了眼睛，用了手，还可以用什么？生：脑子。师：是的，我们还需要思考。

从以上的交流，我们可以感觉到，教师有意识地将学习方法提炼出来的，目的在于引导学生有方法地进行探究，有目的地进行思考。

2．深入阶段，组织比较，求同求异中认识“高”。

在高的认识环节，教师设计了一个“圆柱大变形”观察比较活动。当学生说明前面两个不是圆柱后，对三个圆柱进行了比较。发现有的圆柱高，有的圆柱矮。而圆柱的高就是指两个底面间的距离。为了更加直观的认识“高”，教师特意呈现了一个装满了牙签的圆柱形牙签盒，通过牙签的长度理解圆柱的“高”。这个设计，颇有成效。

3．内化阶段，设计活动，促使学生整体认识。

当学生对圆柱、圆锥的特征有了比较充分地认识之后，教师组织了一个“试做圆柱”的活动。材料：一张纸，若干个大小不一的圆片。学生以小组为单位进行活动。这样的活动，价值有二：一是通过活动，促使学生对圆柱特征的认识由零散到整体；二是在比较不同操作方法的过程，深刻认识圆柱的特征，丰富表象。

实际的课堂上，学生对圆柱的认识也确实在初步认识的基础上升到了深层次的认知。当有学生呈现了一个用长方形纸和两个圆片做成的圆柱后，有学生提出了问题：你选的纸的长与圆片的周长相等吗？这是关于圆柱底面与侧面之间关系的问题。此时，教师顺势以课件演示，作了强化。

关于“如何搭圆柱”的讨论时，有学生说：直径一样的圆片叠起来也是一个圆柱。更有学生说：拿一个圆片，就是一个圆柱。学生有了这样的认识，应该说，对圆柱的特征已经有了很充分地把握了。此时，教师也作了恰当的评价：这种方法不但简单，而且还很有数学的眼光。

以上三个阶段，教师始终围绕圆柱的特征要素在引导学生讨论、思考，交流学习的方法，帮助学生形成图形认识的活动经验。

三、系统层面：着眼图形间的关联

我们说，图形表象的建立，是图形认识的重要目标。而将单个图形的认识放入到系统层面来认识，则是图形认识中另一个重要的维度。圆柱、圆锥的认识，也不应该例外。如何将圆柱、圆锥的认识与已经学过的平面图形建立起联系，也是本节课中所需要引导学生去体验与感悟的事情。

本节课的最后，管老师连续提出了“用长方形可以形成一个圆柱吗”和“以一个直角三角形和一个直角梯形绕着一条边旋转之后可以形成什么图形”这两个问题，引发学生想象。我想，这样的环节，旨在通过“面动成体”的动态演绎，既起到原福建省教研员彭晓玫老师说的适度拓展的作用，同时也有效地帮助学生建构起立体图形与平面图形间的联系，让学生对圆柱和圆锥的认识回归到图形的系统中。

综观整节课，管老师从三个维度引导学生对圆柱、圆锥的认识，完成了从直观层面，到要素解构层面，最后到系统层面的认识过程，比较好地帮助学生理解与把握了圆柱、圆锥的特征。如果要有所改进的话，建议将“圆柱大变形”的活动设计成“从不同形状的实物中抽象出不同形状的圆柱模型”，然后借助这些模型来实现本课中采用的“变形”后的圆柱材料所要实现的目标，似乎更为合理。

（作者：浙江省嘉兴市南湖区小学数学教研员费岭峰）

深度学习，让思维真正发生

——11月25日下午听课有感

今天，有幸走近五位全国大赛一等奖的课堂，聆听名师们的理想课堂。课堂上学生的思维是鲜活、灵动的，教师善于引导学生选择不同的思考角度，展开思维翅膀的空间，让学生在相互交流中不断碰撞出智慧的火花，突破思维的定势，提升数学综合能力和数学思维品质。处处充满着活力！激荡着张力！彰显着个性！

一、创设基于真实问题和真正体验的数学情境

今天下午的五节课，都创设了基于真实问题和真正体验的数学情境。所谓真实问题，应该来源于学生的现实生活，能够唤醒学生的经验，激起学生的好奇心和求知欲。真实问题还具有开放性，包含丰富的信息，可以供学生从多方面、多角度进行思考，激励学生持续思考的愿望。

《身上的尺子》一课，王洋老师创设了一个符合二年级儿童特征的、具有一定挑战和有数学意义的真实问题：“这棵大树有多粗？”“怎样才能测量大树一周的长度？”带着问题，王老师通过绘本阅读和视频教学，鼓励学生观察身边的尺子，帮助学生初步建立一拃、一脚、一步和一庹等生活中的度量单位，积累实际测量和解决问题的经验。

《比》一课，何月丰老师在充分了解学情的基础上，遵循学生认识规律和数学知识的内在逻辑，提供了现实的、丰富的、典型的感性材料。如，面粉和水，照片的长和宽，足球赛的比分以及石子、沙子、水泥的配比，这些材料既有数量比、几何比、生活比，还有连比，大大丰富了研究的素材，为学生明晰“比”的概念积累了理性思考。

《可能性》一课，邓颖洁老师设计了系列“摸球活动”，从透明盒子摸球→不透明盒子摸球，构成一个完整的问题情境，引导学生发现和提出问题。体验事件发生的确定性和不确定性，学会用“一定”“不可能”“可能”来描述事件发生的可能性。

《毫升与升》一课，陈玉华老师提出了富有挑战性的任务：“游泳课后，老师要给每个学生滴4滴眼药水，如果50人一个班，老师需要带几瓶眼药水呢？”在任务驱动下，学生体验到学习度量单位“毫升”的必要性，通过大胆猜想，初步建立度量的概念。

《认识圆柱和圆锥》一课，管小冬老师基于学生对圆柱圆锥的丰富生活经验和直观感知，鼓励学生通过观察、操作、比较、联想、一般化等思维方式提出新的问题：研究圆柱和圆锥的特征，可以从哪些角度研究？可以用哪些方法研究？四人小组为单位，通过看、摸、比，研究圆柱圆锥分别具有哪些特征。

五节课通过真实情境，引领学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。这个的设计，激发了学生学习兴趣和自信心，使学生逐步学会“用数学的眼光观察世界，用数学的头脑思考世界，用数学的语言表达世界”。

二、创造激发深度参与和持续思考的问题空间

儿童天生具有好奇心，由好奇引发了各种各样的疑问，这是一种发展思维的表现。但是仅仅停留在由原始好奇引发的疑问是不够的，教师应鼓励学生进一步思考下去，必要时边实践边思考。此时疑问会得到进一步的聚焦和清晰，形成了一个研究的问题。

《身上的尺子》一课，视频的学习已经知道“一课大树粗2庹4拃”，问题又来了，“2庹4拃”到底有多长呢？不同的孩子身上的尺子长度相同吗？有何差异？……在问题解决过程中，一系列的现实问题接踵而至，王洋老师引导学生一边实践一边思考。通过运用刻度尺测量身上的尺→运用身上的尺测量更多的物体，通过制定方案→静静思考，在孩子心中埋下一颗思维的种子，既积累了测量活动经验又积累了数学思维的经验。

《比》一课，何月丰老师直面学习疑难点，充分暴露学情，引导学生在情境中对比面粉与水之比和足球赛比分之比的异同。在模拟足球比赛记分过程的环节中，激发学生深度参与：“比赛记分与刚才的比有什么区别？”“比赛记分可以出现0，比中能出现0吗？照片中可以出现0吗？”在发现和提出问题的思考过程中进行了情景联想规律驱动和观点思考。这不仅仅是一个去伪存真的过程，更是学生真正理解比的意义的重要途径。课上至此，学生已经对同类量的比有了深刻理解，但是何老师没有就此停滞，又抛出了“爸爸用50元钱买了5千克苹果”的现实问题，继续引领学生思考这里有比吗？引导学生区分同类量比和非同类量比的本质。

《比》的课堂教学结构图

《可能性》一课，让我印象最深刻的是“飞行棋游戏”环节。首先，邓颖洁老师出示了飞行棋的游戏规则：掷到6的一方拥有出发权，并可以再掷一次。引导学生“天马行空”地设计飞行棋的骰子，让自己的棋子尽早出发。游戏前，教师并没有出示预先准备的实验记录单，而是创设了一个开放的研究环境，鼓励学生积极投入到统计活动中。经历数据收集、数学整理、数学分析的全过程，促进了统计观念的发展。同时，邓老师针对学生游戏活动中的特殊数据,提出质疑与思考,培养学生判断和推理能力，获得初步的随机思想，初步建立数据分析能力。

在男女生飞行棋对抗赛中，创造持续思考空间：女生掷骰子后结局有几种可能？每种可能性有多大？通过实践再次让学生体验每一次掷骰子的结果都是不确定的，这就是可能性最大的魅力！

《升与毫升》一课，陈玉华老师十分重视度量概念和度量单位的建立过程，通过提出任务→大胆猜想→质疑猜想→实验证明的过程，帮助学生建构度量概念，激活生活经验，形成直观支撑，调整和选择来确认多样化的标准。小玉老师的课堂，创造了丰富的度量体验，引导学生深度理解度量的概念。

《毫升与升》的课堂教学结构图

《认识圆柱和圆锥》一课，精妙的设计随处可见。当学生已经从定性的角度探究发现了圆柱和圆锥的特征后，管老师让学生比较“圆柱大变形”，从定量的角度刻画圆柱的特征。如，当学生回答变化后的圆柱比原来的圆柱“粗、细、高、扁”的时候，管老师引导学生思考“粗、细、高、扁，都是生活中的说法，数学中它们分别指什么意思呢？”“圆柱底面的直径越长圆柱就越粗，圆柱底面的直径越短圆柱就越细”；“两个底面之间的距离就是高”……在试做圆柱的环节中，学生创造性地提出了三种方案，既夯实了圆柱特征的知识，有拓宽了对圆柱空间形式的深度认知。最后，《认识圆柱圆锥》一课，在想象旋转中落下帷幕。学生随着思维和情感深入、持续的参与，经历了一个从“平面——立体——旋转体”的过程。好奇产生疑问，好思形成问题，好做提出猜想。这个过程真正体现了学生的高阶思维的发展。