“千课万人”核心素养下的小学数学“理想课堂”教学观摩活动

11月26日互动专刊

 专家评点
 

让激情焕发生机，让文化唤醒生命

——观徐长青老师《数与形》一课教学有感

今天，在千课万人现场，我们有幸聆听了来自天津的特级教师徐长青老师的《数与形》一课，我们被徐老师独特的教学艺术，幽默风趣的语言魅力再次征服。他的课堂如行云流水，激荡起伏，他的课堂是一种语言的享受，精神的大餐。不仅让我们感受到了数学教育的追求与理想理念，更让我们感受到他课堂的教学思想与魅力。今天的数与形一课，真正体现了“大处着眼、小处着手，让数学站立起来！”

什么是数学引发孩子们的思考？常见的问题却是最难回答的问题。徐老师的这样一个问题，一下子就打开了孩子的心灵和回忆。数学是研究数量关系和空间图形的科学，简单的讲：数学就是研究“数”与“形”的问题。从而将复杂的数学简单化，使孩子们清晰地感悟数学的特点和研究本质。在此基础上，通过研究正方形个数这一小问题入手，随着它的个数的增加，发现了它们之际隐藏着的数与形的关系问题。这时，小中见大，了解并理解了数与形的关系。通过数与形的结合，让孩子明白数是形的提升，形是数的直观。

一方面，通过观形猜数活动，建立数形关系，让数学联系起来。

梳理学生整个小学数学的学习生涯就会发现：他们对数学的认知过程本身就是一个“数形结合”的过程。“数形结合”以“无名英雄”的角色时刻陪伴着学生的数学学习，这是学生学习这节课的重要经验，也是教师教学的重要基础。课始，徐老师就通过“穿越”唤醒学生的记忆：“记得我们一年级的时候用小棒表示数吗？”“你能根据小弟弟、小妹妹们画的‘形’，猜出表示的‘数’吗？”学生在猜数活动中轻松地回忆出“数与形”曾经的陪伴，感悟到数与形的密切关系。

“数与形”陪伴学生的“过去”，更要相伴学生的“未来”。它需要一个契机让学生去梳理与完善自己先前的认知经验，并形成自己的方法，以便于后续的学习。而即将毕业的六年级的学生的认知能力和特点正好能为完善这一认知提供这样的契机。所以，徐老师引导学生“再次走进数与形的世界！”通过“杂乱摆的形”得出“从1始连续奇数的和的式”，又到“有规律摆出的形”，一步步地引导学生更直观地发现了正方形点阵中所蕴含的规律，并对几种规律的内在联系进行了沟通，在解决相关的具体问题中让学生体会到了规律的作用和魅力。以这一问题为载体，让学生更加深刻地认识并建构了“数形结合”的方法和思想。

另一方面，通过数学人物介绍，传递数学文化，让数学丰满起来。

著名数学家华罗庚讲：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”怎样让学生感悟到其中的“百般好”？徐老师结合练习的展开，根据1+3+5+7+5+3+1=42+32，结果就是52于是有了32+42=52这一勾股定理的表示式，在这一数与形的沟通中，进一步感悟了数学历史与文化的传承。课未的进一步拓展中提供了较多的素材，如勾股定理的证明；等差数列的求和；斐波那契数列与自然界中海螺螺线的惊人一致等，让学生更进一步地感受到了数形结合呈现出的神奇之美！

真如徐长青老师所说：“教育是唤醒的艺术。”“我们为什么只是要‘渗透’教学思想与方法，而不是要教给孩子学习的工具呢？我们要讲给孩子不变的规律。”徐老师的这节课，如一粒石子投入水中，激起了学生“数与形”的探索之浪，也激起了老师们探究“数学思想方法”教学真谛。

（浙江宁波海曙区小学数学教研员 陈亚明）
 

——赏析张齐华老师执教的《数据影响决策》一课

被别人否定，往往有伤自尊。被自己否定，则另当别论。因为那是“灵魂深处闹革命”，是一场自我教育，苏霍姆林斯基说:“真正的教育是自我教育。”

我们说：好的教学，是一种吻合了学生特点的教学（好奇、好趣、好问、好胜、好探、好玩） 张齐华老师执教的《确定位置》一课，顺应学生认知规律，满足学生心理需求，带领学生经历了完整的“经验即决策”——“数据辅助决策”——“数据即决策”过程，在不断地自我否定自我反思中，学生思维越来越缜密，考虑问题越来越周到，这是在培养高阶思维能力，在进行深度学习。

这节课始终围绕着现实性的“要想在距离600米的AB两个小区之间的街道上，建一个超市应如何选址”的问题，随着两小区人数的不断变化，他循循善诱，引导学生们分析数据，随着数据的变化不断做出调整和选择，把课堂引向了高潮。

张齐华老师做得最成功的一点是：从学生的疑惑处开展教学。学习中，有些错迟早要犯的。如果学习过程中剥夺了学生犯错的机会，那错误只能暴露在考卷里。因此，高明的教师在课堂里不仅呈现错误，乃至是诱发错误。教学主要流程如下：

老师提问一：超市建在哪里好？

多数学生想当然凭感觉地回答：建在正中间。

（这是典型的“经验即决策”）

老师第一次启发：有问题吗？（学贵有疑，这是“于无疑处生疑”）

学生回答：先做一个调查，哪边人多就靠哪边建。（有理有据，有朦朦胧胧的数据意识了）

老师补充：A小区人数2018人，B小区人数3950人。

老师提问二：加上了数据，你觉得建在哪里好？

学生回答：偏向B小区那边，因为那边人多。（有初步的数据意识了，但是还是“感觉型”的）

（这是学生第一次否定自己以前的看法。）

 

老师提醒：大家注意观察2018≈2千，3950≈4千，两倍的关系。

老师提问三：现在你觉得超市建在哪里好？

学生回答：按照人数的比例建。（有一定的数据意识了，开始朝着“精准型”迈进）

老师提问四：刚才有同学说“人多未必买的就多”，现在你觉得超市建在哪里好？

老师补充：A小区2018人有爱逛超市的老年人1000人，B小区3950人中有爱逛超市的老年人500人。

学生回答：偏向A小区这边，因为这边爱逛超市的人多。（关注数据中的有效数据，有一定的数据意识，这是“数据辅助决策”）

（这是学生第二次否定自己以前的看法。）

老师提问五：刚才有同学提出：老年人人数虽多，但是他们往往图便宜，或者只逛不买，同学们关注到了消费能力问题。我补充一下：

A小区2018人有爱逛超市的老年人1000人，每人消费20元；

B小区3950人中有爱逛超市的老年人500人，每人消费200元。

1000×20=2万，500×200=10万。

现在你的超市，“飞”到哪里好？

学生回答：偏向B小区这边，因为这边实际消费能力强。（关注数据中的核心数据，数据意识进一步增强）

（这是学生第三次否定自己以前的看法。）

老师提问六：虽然A小区有爱逛超市的老年人每次只消费20元，但是他们平均每天去4次；B小区有爱逛超市的老年人每次消费却高达200元，但是他们平均每周只去1次。

每天去4次和每周去1次！

现在你的超市，飞到哪里好？

学生回答：这要根据计算后得出。（这是“数据即决策”）

（这是学生第四次否定自己以前的看法。）

回顾一下：刚开始，张齐华老师提供了一个现实性问题，学生按照自己的想法提供了一个方案，在和同学的交流中，在老师的启发下，学生逐渐发现自己设想的比较片面，考虑得不够周到，从一开始想当然——想到调查小区人数——再到有效人数——再到消费频率——最后到实际购买力。完整地经历了一个肯定——否定——否定之否定的过程，思维得以提升。我们都知道：学生的认知不是一次完成的，只有长期实践反复思考才能得出更加合乎实际、更加接近本质的认识。这节课中，我们看到，学生探索新知的过程就是一个不断战胜错误、从相对真理走向绝对真理的过程。失败的教训往往比成功的经验对他们的教育更深刻、更难忘。错误也是最宝贵的资源，犯过错误的学生一旦汲取了教训可能变得更聪明、更成熟，增加了免疫力以后走的弯路会更少一些。

知识和思想只有经受学习的“阵痛”之后, 才能留下深刻的印象，否则,轻易得到的也就会轻易地失去。高明的教法是什么？——“先问迷糊再教明白”。即先把学生问住，将他们推到一种“心求通而未得，口欲言而不能”的愤悱状态，然后再予以点拨开导。“水至清则无鱼”，如果什么都想开始就搞得一清二楚，到头来反而老不清楚；倒不如先卖点糊涂，再引导学生从糊涂走向清楚，那才是真正的清楚。我们注意到张齐华老师在这节课中，不断地追问：“有问题吗”“有什么新想法吗”——他是在“经常给学生找麻烦”，不断制造认知冲突。同时师生之间展开对话，老师只是在中间不停地穿插、点拨和引领。学生通过对话、争论、思考不断完善着自己的认知，学生数据意识和理性思辨得以提升。整个过程中，一切都是学生自己动手完成，历经艰难，熟知其中的“沟沟坎坎”，必将印象深刻、记忆久远。

就这样，错着错着就对了，说着说着就会了，走着走着就到了。

一节课下来，学生们体会到了陶渊明《桃花源记》所描述的境界：“山有小口，仿佛若有光。便舍船，从口入。初极狭，才通人。复行数十步，豁然开朗。”

超市建在哪里好？解决这个问题，课堂上传授的是一个个知识点与技能，这只是简简单单的“术”，真正对一个人终身发展有用的核心能力是“道”——比如这节课中，“用数据说话、凭数据决策”，运用统计的意识和理性思辨的精神，它具有可迁移性、促进性和通用性，会深刻地改变一个人心智模式和思维习惯。有良好统计素养和较强思辨意识的人能从大量的信息中筛选真正有用的信息，作出独立的分析与判断，尊重事实，用数据说话，不跟风不盲从，对数据的来源、收集方法以及由此得出的结论进行有理有据地分析，从而形成自己独到的见识。

 

（浙江省杭州经济技术开发区教研室  杨迎冬）
 

——2017年11月26日上午课评

今天上午，有幸在千课万人的平台上再次观摩学习徐长青和张齐华两位小学数学名师的课堂教学，他们执教的课题分别是《数与形》和《数据影响决策》。下面将从两节课整体层面上以快餐方式与大家分享，主要包括以下几个方面。

一、理想课堂的行动探索

小学数学名师是有教学理想的，这是大多数名师的追求，也是名师的责任和使命。徐长青老师作为享有盛名的名师，他的“学校是学生梦起的地方、理性之光照耀学生和引领学生由自然人发展为社会人”的理想追求在课堂教学和课后的自我反思中进行了淋漓尽致的表达；张齐华老师作为年轻小学数学名师新秀，他的“敢于挑战、勇于探索、挑战自我、探索教学新空间”的理想追求在课堂教学中也得到了一定充分的表现。

徐老师的课堂上，意图运用高水平的提问，借助个人的激情风趣的风格和深入浅出的教学艺术，不断把学生对数与形的概念理解及其关系的认识引向深入，这一点是他在本节课中教育理想追求的体现。同时运用游戏和多种呈现形式以及变化的题目，激发、引导和促进学生对数与形的概念理解及其关系的学习。

张老师对教学理想和行动探索在本课堂上的表现是：在等待中不断鼓励和激发学生提出新想法；教师退后，让学生走向前台；多次用“有问题吗？”不断促进学生反思同时挑战学生的极限；在寻找问题中质疑问难，促进问题的深入思考；通过启发，挖掘数据中的信息，进一步深化问题。

二、核心素养的发展策略

发展学生核心素养的问题归根结底是落实到课堂教学当中，尽管大家对概念理解可能没有达成共识，但是在实践中落实的关注与重视还是较为一致的。核心素养的发展策略需要名师们去开发和挖掘。从两位名师的课堂上，我们都有哪些值得学习和关注的方面呢？

在徐老师的课堂上，他不断通过提出问题并且不断追问让学生思考，注重培养学生的关键能力，在教学过程中同时让学生动手和表达，对学生的必备品格进行了塑造，运用了多种策略力求发展学生的核心素养。

张老师利用了开放性的真实多元的整合问题，在复杂情境中通过引导学生探究、不断启发、运用小组讨论和及时的指导，循循善诱，让“发现问题、提出问题、分析问题和解决问题”的四能培养落地，这样大大促进了学生核心素养的发展。

三、捕捉名师的教学智慧

每一位小学数学名师都有丰富的教学经验，同时也有高超的教学智慧，这两位名师在今天各自的课堂上都有哪些表现呢？

在徐老师的课堂上，有许多良好的表现，其中最为典型的主要有三个方面：一是对两位学生同一问题的两种解法进行了适度的评价，同时突出了利用解题的基本活动经验的积累的作用；二是利用了两位数学家的经典描述让学生充分感受到文化传承的重要性；三是单一到复合的数的结合产生的规律进一步联想到有关的图形。其他的还运用了其他已学习过的相关例子，以联系经验，另外还运用的科技馆里的动态呈现，这些也反映了徐老师的智慧。

张老师在课堂上的典型表现有：一是选择了在两小区建超市选址问题的开放性问题作为上课的素材，为学生的思考提供了广阔的空间；二是通过循循善诱，典型的启发式教学，不断引导和指导学生探索各种条件（人数、有效人数、消费能力和频次）下的数据，并据此进行分析处理，从而不断得到问题的更好结果；三是让一位同学整体讲解这一问题的一种情况（在离B区200米处）的完整解答，特别是引导了如何向其他同学学习，还自然地将当前问题与学生的现实生活相联系，不仅有利于解决问题，更重要的是拉进了与学生的情感距离。

四、感受名师的独特魅力

1、徐长青老师的个人教学魅力充分彰显，有力地促进了学生的课堂参与

徐老师的个人教学魅力在本节课中也得到了充分的展示，文字的阐述永远赶不上大家现场的体验，我们只能用“激情四射，热情迸发”这样的语词来表达我们的现场感受。徐老师的语言魅力、幽默动作和巧妙追问是这些魅力的重要组成部分，学生在徐老师创设的这种学习情境中，积极思考。同时，徐老师用商量的口吻规范学生的语言表达和学习行为表现更加证实了这种魅力促进学生学习和发展的作用和效果明显。

2、张齐华老师的循循善诱和不断把问题引向深入，提高了学生数学学习的兴趣

张老师的课堂是把“在两小区建超市选址”这一开放性问题不断引向更合理解答的优化过程。在课堂中，张老师尽可能启发，循循善诱，让学生独立思考，发现问题、提出问题并分析解决，这一过程中不怕学生的冷场，为我们展示了学生对这一问题的真实探索过程。其中张老师“敢于挑战、勇于探索、挑战自我、探索教学新空间”的理想和魅力得到充分展示，提高了学生学习数学的兴趣。

五、值得思考的教学问题

教学问题是发展和思考的起点，同时是推进教学进一步优化的主要因素。个人观摩了许许多多小学数学课堂，其中也有许多知名的小学数学名师，对这些课堂进行思考，我总结了四个问题需要名师们进一步解决：如何扩展到学生全体？如何把握学生学习的深度？学科内外的关系如何处理？如何增加学生提出问题的机会？在徐长青和张齐华两位小学数学名师的课堂中对这些问题处理得怎样呢？还有哪些问题值得关注呢？

在张老师的课堂上，对“如何扩展到学生全体”这一问题有所突破，主要表现在多次关注没有举手或者对没有反应的学生给与重点的关注，而对于开放性问题的教学处理上如何让学生获得必要的指导需要进一步思考；在徐老师的课堂上，启发全班学生的深入思考做得较好，但关于学生提出问题的机会这一问题似乎需要进一步关注。可能还有其他一些问题，这里仅探讨以上四个起抛砖引玉作用，更多的问题期待大家进一步思考和研究。

六、结束语

我们应该向两位小学数学名师学什么？

首先，作为一名普通小学数学老师，要为自己定好位。主要包括个人目前专业发展的水平及情况，通过名师来为自己照镜子，更全面深入地了解自己的专业发展。

其次，要在自己的视角中认识名师。了解名师在理想课堂的追求下不断实现的过程，关注名师对发展学生核心素养的探索，高度关注名师的教学智慧，深刻领悟名师的个人教学魅力，深入思考。

最后，结合个人的定位，在思考的基础上向名师学习借鉴，努力提高个人的教学水平，促进个人的教师专业更快更好地发展，要明确：思考是发展的前提，行动是发展的起点，只有发展才是硬道理。

（齐鲁师范学院副教授 郑庆全）
 

从概念开始，经历算法获得的全过程

——赵小艺老师《长方形、正方形的面积计算》观感

长方形、正方形面积计算，虽然属于几何计算的问题，但它与平行四边形面积计算不同。某种意义上讲，长方形面积计算方法，是面积与面积单位的概念直接推论。就是说，当我们如此定义面积和面积单位后，长方形、正方表的面积计算就已经清楚了：面积是指一个面的大小。我们又把一个单位正方形的大小定义为1，此时，长方形的面积就是长方形包含单位正方形（面积单位）的数量。于是一个长方形（首先是长与宽都是单位正方形边长的整数倍的时候）的面积就是长与宽的积。

正因为如此，赵小艺老师《长方形、正方形的面积计算》，从具体问题出发，以测量为基础，让学生经历算法获得的全过程。

赵老师从“数学簿封面的面积有多大？”这样一个具体问题入手，从估测到用一平方分米的正方形（面积单位）去测量。在测量的过程中，又出现了新的问题：如下图,黄色长方形相当于数学簿的封面,两个正方形为一平方分米的单位正方形。为了精确的测量出封面的面积,需要用到低一级的面积单位。

在进一步测量中，(教师提出的任务是测量右边那个小长方形的一半，即一个长为10厘米，宽为３厘米的长方形的面积)教师为学生准备了丰富的学工具。教师在设计这些学具时是颇具匠心的。

（1）方格纸。即边长为１０厘米的正方形，被分割成了１００个边长１厘米的小正方形，用这个工具可以直接测量出被测图形的面积。

（2）单个的１平方厘米的单位小正方形。但个数不足以直接测量出这个长方形的面积。

（3）尺子。

正因为有了丰富的学具，学生的测量方法也非常丰富：

 

上述从１到４这些测量方法，越来越趋向于间接：第一种方法，直接测量；第二种方法，使用这种方法的学生，其主观上是想直接测量，但由于单位小正方形不够，没能实现直接测量，最后只能借助想像确定被测量长方形的面积；第三种方法，主动测量每一行能摆几个，总共能摆几行，并用乘法计算面积；第四种方法，将测量每一行能摆几个，能摆几行的问题，通过测量长与宽的长度来解决。

在此，我们只要对第四种测量方法进行概括，面积的计算方法就自然的产生了。正因为此，赵老师适时提出：为什么用尺子测量就可以了，你看到了３０个平方厘米了吗？

至此，长方形面积计算的问题实际上已经解决了。为了揭示上述多种测量方法之间的联系，从而揭示这些测量方法与面积计算方法之间的联系，赵老师再提出一个问题：这些测量方法有什么共同点，与１０*３有什么联系。通过下图所示的比较，进一步理解了面积算法的意义。

 

获得了面积算法之后，计算长方形的面积就成了一种基本技能，技能是需要通过练习进行巩固的。赵老师设计的练习也很有特点。

一方面，她提出“是不是所有的长方形都可以通过长与宽相乘来计算面积呢？”并要求学生在点阵图上画出长方形，加以验证。事实上，这个验证的过程，也兼有巩固算法的功能。同时，借助学生画的图形，揭示了长方形面积与正方形面积算法之间一般与特殊的关系。

另一方面，回到原来的数学练习簿封面面积的问题。在此，长与宽相乘，将会是一个学生没有学过的两位数乘两位数，为了解决这个问题，教师又鼓励学生将数学书的封面分块计算。这是对面积计算方法的灵活运用。

此外，教师还设计了一些较为灵活的练习题。

至此，一节致力于让学生经历算法获得的全过程的长方形、正方形的面积计算一课，得以完成。

 

（湖南省长沙市小学数学教研员 张新春）