“千课万人”核心素养下的小学数学“理想课堂”国际峰会
4月20日互动专刊
 专家评点
 

数说长征 体验历史 提升数感

  ——听李培芳老师教学《数说长征》有感

25000里长征到底有多长？我们只是觉得它很长很长，但从来也没想着去和其它数据发生联系，进行比较与描述。然而李培芳老师想到了，去思考与实践了，这真是让人叹为观止的数感。

长征是人类的奇迹，长征是无以伦比的，长征是人类有文字记载以来最令人振奋的大无畏事迹，它不该被遗忘。长征中发生了太多的故事，这些故事背后有着一个个、一串串鲜活的数据。

故事有震撼力、感染力，数据却更有说服力，尤其是被体验过、深度思考过的数据，也更能让孩子们依托数据去唤醒、记住历史长河中那段最令人难忘的岁月，从而让长征撼人心魄的精神力量能真正影响到一代代的中国人，真正成为一座精神的丰碑。李老师执教的《数说长征》一课提供了一个非常好的研究历史的视角。

那么该提供怎样的“数”？又该用什么样的方式“说”？让我们走进李老师的课堂，去领会用“数”去述说历史的方式，去感受“数说长征”带给我们的精神触动与感动。

一、提供可参照的数，学会转化着说，培养数感

长征是无以伦比的，其中有25000里、牺牲了约10万人等等触目惊心的数据。历史一定是与数据相关的，然而这样的数据太大，太抽象生硬，它们只能成为一个个苍白的、感性的、与孩子们毫不相关的数据，无法触及到孩子们的心灵深处。

25000里（即12500千米）这个数据究竟有多大，我们如何去进行形容与描述？孩子们没有头绪。李老师提供了一个很好的策略，即运用可参照的数据，用转化的方式进行表达。

教师出示：小明每天坚持跑5千米；马拉松赛程是42.195千米。算算12500千米和它们之间的关系。

生：12500÷5＝2500（天）≈7年，小明大约要7年才能跑完。

生：12500÷42.19≈300次，相当于跑300次马拉松。

通过与参照数据的比较，抽象的数据与孩子们的生活、与他们了解的现实进行了有效的对接。每天跑5千米，需7年跑完的路程，红军战士只用了约一年的时间；在常人眼里作为“坚毅”代言词的马拉松需要跑300多次。此时抽象的数据变得鲜活、具体化，甚至可视化。李老师推波助澜，又出示了《地球的红飘带》、歌词“战士双脚走天下”这些素材让他们对长征有了更多的了解，孩子们自然会对长征产生敬畏与感动。

依据可参照的数，学会转化着述说另一个抽象的数。借助于标准去感知数，于是如何“描述10万人有多少”水到渠成。在此过程中估算能力、转化思想自然渗透，很好地关注了数感的培养。

二、提供有联系的数，学会关联着说，提升数据的分析能力

对于单一的较大的数据我们可以寻找标准进行有效的参照来进行描述，使得数据更具体清晰。那么多个有着一定关系的数据同时呈现时，我们又可以怎样去进行描述呢？有一种方法叫“关联着说”，我们来看看李老师是如何引导的：

师：刚才描述数量时，用了转化、比较，还有一种方法是关联。12500千米、368天、10万人，这些数量之间的关联可得出新的数量。

生：100000÷368≈272人，每天牺牲约272人。

生：100000÷12500=8人，每千米牺牲8人。

生：368÷100000=？

师：我们可以在数量后面加单位：368天÷100000人，从单位入手思考关系，找到算式的意义。

生：这个表示每两人牺牲的时间差。

生：这个算式平均多少时间有多少人牺牲。

生：368天÷100000人=0.00368天，0.00368×24×60≈5，大约每5分钟牺牲1人。

关联着说数据，又说出了一个个令人发指的数据，说出了长征中太多的苦难、太多的艰辛、太多的牺牲。关联着说数据，使得数据赋予了新的意义与使命，这些数据承载着唤起学生认识到长征的伟大、认识到人类永不言败和顽强不屈的精神的重责。

关联着说数据，也很好地提升了孩子们对于数据的分析、数量关系理解的能力，过程中自然地发展着孩子们的数感。

听完李老师的课，不禁发出这样的感慨“数感原来需要这样培养”！让我们深切感受到课标中每一个核心能力的培养都是需要借助于一定的学习素材扎实地开展与实施的。

李老师的课也让我们认识到很多时候学生对历史素材不感兴趣是因为无法体验那段历史。而“数说”历史一定是认识历史的一个别样的角度。两者的“联姻”意义重大。

对于本课笔者也有些小小的建议，课中要求学生根据“三个相关联的数据”去得到新的数量，这些数量均与牺牲人数相关，对于死亡毫无概念的孩子们来说，这样的数据无疑离他们比较遥远。是否可以采集与孩子们年龄与生活更为相关的、长征中更为细节的一些故事中的数据，例如食物中的一些数量等，或许孩子们会更好地感知长征的精神力量。

数学作为一门基础学科，引领学生“用数学的眼光看待世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”应成为数学教学的常态，事实是我们真的比较缺乏这样的数学教学素养。李老师的“数说长征”一课无疑对我们来说有着很重要的启示。

（浙江省杭州市拱墅区教育研究院  孙钰红）
 

知识之外
——华应龙老师《我不是笨小孩》一课赏析

“言近而旨远者，善言也；守约而施博者，善道也”，这句话的意思是说，语言浅近而意义深远，方法简单但影响广泛。华应龙老师《我不是笨小孩》，正是这样一节“言近旨远”、“守约施博”的好课！“旨远”——一题一课，但一课一题所蕴含的目标价值，却极为丰富而高远；“言近”——选择设计适合儿童探究的素材与路径。前者，需要教师具有“大教育”的前瞻理念，后者，则需要教师“以生为本”的教学艺术。笔者选其一与大家一起赏析！

“我不止是数学”，是华老师的近作，也是他的数学教育倡导，从《师徒年龄》一课，我们分明看到了这一理念的彰显与落地。那么，我们来看，知识之外，还有什么？

一、价值观念、必备品格的无痕浸润

目标的视野与立意，决定着教学的深度与走向。教育要留给学生什么？这是当前“核心素养”背景下讨论的热点，在《我不是笨小孩》一课中，我们不难捕捉到华老师“立足当下，着眼长远”的目标立意，数学之外，我们还看到了关于习惯、关于思想、关于习惯、关于品格等方面的思考与渗透。

——迎难而上的精神；

——成全他人的气度；

——静静思考的习惯；

——欣赏他人的品格；

……

我们可以选取几个镜头回放：镜头1：“刚才碰到了什么困难？——“时间不够”、“搞不清楚他们究竟相差多少岁”、“条件不够多”、“我想到方程，但方程列不出来”……当孩子们遭遇困难，老师却用充满欣赏的口吻表扬：“敢于把困难讲出来，雨婷同学，真好！”这一对话，让孩子们形成一种价值认识：有困难是不用掩饰的。镜头2： “五个同学做出来了，做出答案先不说，说出来，其他同学就没有机会思考了”、“感谢憋着不说的五个同学，不然我们就没有发现的快乐了”。这是希望，学生能形成“心中有他人”的意识。镜头3：当一学生自己举例、画图、发现关系，思路表达十分清晰时，课堂安静，华老师也没有评价，而是停顿、等待，之后，掌声响起。由此，“欣赏他人并表达欣赏”的个性养成，无声渗透。

二、关键能力、方法策略的有序培养

“我不止只是数学”，表达的潜台词是，首先是数学！“师徒年龄问题”，华老师带领孩子经历了“遇到困难——束手无策——投石问路——柳暗花明”的过程，那么，从数学视角，又给了孩子一些什么呢？

笔者从解决问题能力培养的角度进行分析：

华老师捕捉了一个非教材内容的“师徒年龄问题”作为解决问题的素材：

考考你：徒弟：师傅多大了？

师父：我在你这年龄时，你才5岁；但你到我这年龄时，我就71岁了！
  请问：徒弟几岁？师父几岁？

显然，这一问题具有“非常规性”、“趣味性”、“挑战性”、“开放性”等多个特征，学生面对这一问题，没有一个可套用的公式，没有可依据的解法和步骤，更不能依赖通过识别题型、回忆解法、模仿例题等非思维性活动就能解决，于是，为学生解决问题能力培养提供了极为有利的基础。

从能力培养角度，解决问题的能力包括“阅读理解的能力”、“策略应用的能力”、“回顾反思的能力”，这些，在华老师的课中，都能看到着力培养的清晰轨迹。

1.关注“阅读理解”的方法指导与能力培养。

阅读理解，是解决问题的起点与关键，其重要性不言而喻。其中，理解信息的能力、表征信息的意识、信息联想的能力，可能是最为关键的。我们来讨论华老师在“阅读理解”过程中的“所为”“所得”。

理解信息的能力：“书读百遍，其义自见”，“哪句不好懂，把这句多读读”，“举个例子来检验你究竟读懂了吗”。过程中，题意的理解，基本信息的把握，十分关注。

表征信息的意识：当题目关系不明晰时，我们还可以采用外部表征的方式，作为理清关系的手段，比如：画图、摘录、列表、模拟等。华老师运用“举例子”、“点线图”、借助能移动的棋子，非常巧妙地将题意作了外部表征，为“关系”梳理奠定了基础。

信息联想的能力：一个人审题能力的高低，不仅要看他能否“看到”，还要看他能否“想到”，也就是能从“显性信息”中联想到“隐性信息”。课中，借助图的观察与讨论，学生们发现“年龄差不变”、“你长他也长”，发现“过去徒弟年龄+未来师父年龄=现在徒弟年龄+现在师父年龄”、“未来师父的年龄-过去徒弟的年龄差=师徒年龄差的3倍”。显然，这些过程，着力于“审题”要“从现象看本质”。

2.关注“解决问题策略”的渗透与指导。

本课中，华老师主要渗透的解决问题策略是“投石问路”。所谓“投石问路”，在数学上其实就是“假设”、“寻找和建立模型”，以及“从简单问题研究起”。

“假设”、“建立模型”、“从简单问题研究起”，与列表、举反例、画图、尝试与猜想、排除不可能选项、逆推、化归、类比等等一样，是解决问题的重要策略。所谓“投石”，就是假设。课中，华老师带着学生，假设师徒现在的年龄分别是“22岁与32岁”、“18岁和33岁”、“28岁和38岁”，推算徒弟之前的年龄、师父将来的年龄。所谓“问路”，就是“建立模型”。投“石”之后关键是要问出“路”来，“有什么规律?”学生将发现的规律加以梳理，得出“年龄差是3倍”，为问题的顺利解决，提供了必要的“关系模型”。

就如数学家张景中教授所说，“尝试与假设”，虽然是一种“笨拙”的办法，却是一种“大智若愚”的方法。相信，通过“师徒年龄”问题的解题体验，这种解决策略一定已经深植于学生心中，成为他今后解决其他问题的重要储备。

3.关注“反思”的过程经历与意识培养。

课中，我们也看到华老师多次带领学生回顾、小结，如引导观察下图：

从中你发现了什么？引导反思：投石问路的办法好吗？好在哪里？——“题试三四，定能生慧”。方法的回顾，使学生获得更为一般的策略与方法。

当然，华老师通过“我不是笨小孩”一课，所传递给我们的远不止这些，从过程视角和学生视角观察，至少还有：

1.对每一个孩子的关注与欣赏。课堂几乎叫到了多半孩子的姓名，“眼中有人”。

2.慢下来，拉长过程的体验。仅阅读理解环节，老师就经历了“默读题目”、“同桌交流”、“举个例子”、“画示意图”、“前后四个交流一下”等过程，没有匆匆过场，让“阅读”真正发生。

3.设置暂停键，促进全体学生的思维跟进与参与。常有这样的场景，“你发现了什么”？已有学生愿意回答，但教师依然“按下不表”，再次引导全班观察、思考、交流，因为，悟出来的方法比听到的方法更利于理解与应用。

（杭州市江干区教育发展研究院  潘红娟）
 

数学与体育的巧妙整合

——《地图上的方向》一课教学解读

课改强调相关学科的相互融合，使课程内容跨越学科之间的鸿沟，体现知识的整体性。整合是一个推陈出新的过程，通过整合生成新的体系。本节课教学，将数学学科与体育学科及其它一些知识联系起来，从体育中挖掘可以利用的资源来创设情境，将数学以体育训练为载体，两者互相吸取对方的优势，让学生在活动中增强体质和学习数学知识，学生既认真又快活地学到了新知识，同时培养了学生的观察能力和思维能力，也训练了学生的体育技能。让我们一起回顾一下整堂课：

1．“数学”与“世界”的沟通

一上课，教师安排了一个用数学认识世界的环节，首先教师出示一些方位单词，让学生学习东南西北在地图上的方位。在获得上北下南、左西右东的基础知识后，教师让学生了解并记住世界上某些国家在地图上的方位，然后开展活动，根据老师出示的国家名称，在地图上找出大致的位置，通过这些活动提高学生运用数学知识识别地图的能力。在认识世界的活动中，还伴有相应的动物和植物的认识。这样的活动，充分体现了知识的融合，使语言、数学、生物等知识相互渗透，从“头脑有世界”到“头脑找世界”，实现了综合能力的发展。

2.在“数学”中进行“体育”分组

教师首先按照体育课的程序，带领学生进行了热身活动。接着出示思考的问题：把场地看成一张大地图，根据数学知识确定地图上的方向。学生刚学过书本上平面图的方向位置，前一环节又通过认识世界进行了复习，现在要转化成实际生活中的方向，这一转化对学生来说是一个难点，因为生活实际中的方位比地图上的要难找，教师提供了一个参照方向，学生根据这一方向所指位置，找到了其余三个方向。接着教师将学生分成四个组开展游戏，学生分别代表东南西北四个组，站在相应的位置上等待活动的开始。本环节看去完全是一节体育课，从准备活动到队列练习都是体育课的常规要素，但这不是简单的体育内容，它是在数学知识的支撑下展开的，实现了体育和数学的有机整合。

3.在“体育”中学习“数学”知识

接下去的教学环节，教师带领学生进行了一系列的体育活动，在体育活动中巧妙地结合数学知识，如运用前进、后退、平移等口令进行体育动作训练，运用方向卡将位于中心的标志物放到指定的方向，根据方向移动物体进行速度比赛等等。这样的教学，以体育游戏和运动的方式来学习数学知识，它的目标和内容都是多元的，既发展了学生的体能，又巩固了数学知识，还训练了思维能力，使多元智能中的数理能力和动作能力得到整合与协调发展。

综观本节课，这是崇文实验学校的一个特色，是该校“2+x”教学模式改革的一个缩影，它由中教和外教协同完成教学任务，使中西合璧、取长补短，内容上多学科相互融合，目标上实现多元发展，形式上以游戏为载体进行玩中学。从效果上来看，学生兴趣盎然，学得轻松活泼。评价这种类型的课，不能简单地从知识维度去看，而要关注学生的整体发展。作为普通学校，借鉴这样的课，更多的是当成学校当下正在开展的拓展性课程来建设。当然，在开展这样的课型教学时，在活泼多样的背后也要考虑它的效度，就像点评专家讲的那样，在“形散”中要追求“神不散”，要通过不断地研究和改进，把这种课打磨得更精致一些，这才是我们需要努力的方向。

（浙江省武义县小学数学教研员  陈力）

 

好喝的橙汁  好玩的数学

第一次听外教老师上数学课，很新鲜很好奇，虽然我不懂英语，有着严重的语言障碍，但是这位来自美国的洛里昂先生所上的这节《好喝的橙汁》还是深深地吸引了我。

洛里昂先生这节数学课，将我们安排在六年级的数学知识“比”下放到三年级的课堂里，引导学生在一连串的“配橙汁”的体验活动中，完成了学习任务。他的整个教学过程，与我们国内数学老师的寻常做法，还是有很大的不同。他课堂里的一些方式和细节，更是让我们感受到了两国教学的种种差异。

1、课堂即生活，教学即活动。

洛里昂先生以“配橙汁”活动贯穿始终，引导学生认识比。感觉课堂里学生一直在玩一样：看表情、猜甜度；动手配制橙汁、尝味道；一会儿加水、一会儿加果珍，尝了又尝，比了又比……学生始终在“配果汁”的情境里猜想、实验、操作、体会、表达，老师所关注的东西，也真的就是这杯果汁，他并不像我们的课堂那么地着力于果汁背后的知识点或者提炼出多少重点难点，都没有。因此学生在课堂里并没有多少知识的压力，他们一直保持着一种轻松愉快的情绪，在活动中学习，在体验中感知。

而反观我们的课堂，其实近年来我们也很重视情境化的教学手段，但我们数学课上使用的是什么样的情境呢？常常是虚假编造的多，真实可行的少，老师们时常是为了情境而情境，而且大多是课初引入时用一下，后面则将其抛诸脑后了。我们也常常设计活动，但纸上谈兵的多，真枪实弹的少。试想一下，有多少老师会真的将这么多的矿泉水、口杯、量杯、果珍等实验材料搬到课堂里真正让学生去动手呢?能给个PPT让学生看一下就算不错的了。谁能像洛里昂先生这样实诚呢？洛里昂先生，是真的把生活搬进了课堂，用活动来贯穿教学。

2、为理解而教，形式化的东西并没有那么重要。

洛里昂先生的课，以活动贯穿始终，数学的线索也很很明确：感受比（尝1:4的果汁味道）、解释比（比是两个数的关系）、理解比（如果1匙果珍不变，水的份数越多，果汁的味道越淡）、发现比的性质（成倍扩大比值不变，数量变了但关系没变）、体会比例（创造“同样甜”）、应用比（习题纸）等等。但纵观全课，并没有我们课堂里那种严谨的知识体系、完备的练习设计，如比的前项、后项、比号等名词都没讲，和0有关的注意事项也没讲，比的性质也没有要求学生精准地总结背记，而是把这一切融合在体验活动之中。似乎少了一些东西，但并没有影响学生对“比”的理解。反而，在学生可能会有困难的地方，比如讨论“1:4=15：？”的问题时，洛里昂先生却用上了表格、象形图、示意图等辅助工具，帮助学生体会。这让我意识到：平日里我们课堂里所重视的那些知识的形式化的东西，也许并没有我们想象的重要，真正重要的东西，是那些关乎学生理解的东西。所以，我们那些人为制造的知识难点、负担和障碍，是否也可以考虑有所取舍。

3、真正的师生平等，是从骨子里散发出来的。

洛里昂先生并不像我们中国的老师那样“有架子”“有威严”，他似乎并不关注自己的师道威严。为了吸引学生，他可以全情投入而不顾形象，他有夸张的表情、丰富的肢体语言，一会儿咂舌连连、一会儿高声惊呼、一会儿逼真模拟，总之一点也不端着。特别有个细节让我印象深刻，就是他在行间巡视的时候，是真的去观察孩子的行为并与他们交流，且每次都是蹲下来与学生交谈，并不只是“弯下腰”而已。我想，洛里昂先生是真的不想让学生感受到来自老师任何压力，他是真心实意地要和学生做朋友，他这种“师生平等”、“人人平等”的意识，是从骨子里散发出来的。课上完了，要离开了，洛里昂先生拿出了一个大大的黑色塑料带，把所有实验留下的垃圾悉数收走，没有留下一点痕迹。

不得不说，洛里昂先生，真的是一个非常真诚非常可爱的老师。

（湖南省长沙市开福区小学数学教研员  易虹辉）