4月21日互动专刊
专家评点
 

 

 培养四能  提升素养

——朱国荣老师《自行车里的学问》教学赏析

义务教育《数学课程标准》（2011年版）指出，“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授。它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动。

朱国荣老师执教的《自行车里的学问》，通过设计合适的教学情境，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题，既是“综合与实践”教学的成功示范，也是培养学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”），促进学生数学学科核心素养发展和提升的有益探索。

一、培养学生用数学的眼光观察现象，发现和提出问题。

提出问题的重要性不言而喻，爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”。在现实情境中提出数学问题，是培养学生用数学的眼光观察世界的重要途径。教学时，朱老师开门见山，让学生想一想自行车里有什么值得研究的问题。学生想到了轮胎周长的问题，大小齿轮（比例）的问题。可见，学生自觉地运用了所学的知识提出数学问题。进一步，朱老师提供了两个问题：一是后轮的周长有多长？二是后轮的面积有多大？让学生讨论这两个问题哪个更有价值，并说明理由。通过比较，引导学生学习从数学的角度提出有价值的问题，帮助学生积累提出问题的活动经验。

基于数学学科核心素养的教学活动，应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流。朱老师善于创设合适的问题情境，让学生在解决问题的过程中不断地提出问题，建立假设，引导学生逐步逼近问题的最终解决。例如，我想知道1小时能骑多少？这个问题怎么探究？朱老师先让学生猜一猜，再让学生说一说你想收集哪些数据。学生的思考是很丰富的，他们用提问的方式表达自己解决问题的思路，交流各自不同的思考方法。有的说，要先知道用什么速度骑，选取变速自行车的哪种齿轮组合，一小时能骑行多少圈；有的说，前后轮的齿数是怎么搭配的，前齿轮转一圈后齿轮转多少圈；还有的说，1分钟骑多少米，1分钟蹬几圈等等。发现问题和提出问题，是培养学生实践能力与创新意识的重要载体。学生在发现问题和提出问题的过程中，不仅交流了思路，渐近深入地理解了问题，而且激活了思维，进一步激发了解决问题的愿望。

二、培养学生用数学的思维思考世界，分析和解决问题。

运用数学方法分析问题，运用数学工具解决问题，是教学需要展开的核心环节。朱老师善于根据教学的内容和学习任务的特点，采用不同的教学方式，优化教学过程，增强教学实效。例如，前轮的齿数48个或28个，后轮的齿数分别是20个、18个或16个，这些齿数怎么组合是最快的，怎么组合是最慢的？最快的理由是什么，最慢的理由是什么？在学生讨论的基础上，朱老师引导学生用数学的方法来分析：因为48÷16=3（圈），所以前齿轮转1圈，后齿轮转3圈，（前轮转动相同圈数的前提下）用这种组合骑行是最快的。

在学生掌握了数学分析方法之后，朱老师又引导学生研究普通自行车前后轮转数的关系，有的小组用试验的方法，即用粉笔在轮胎上做一个记号，然后脚蹬一圈前轮再看后轮转动的圈数；有的小组用计算的方法，即用前轮齿数除以后轮齿数。通过比较与交流，学生体会后者更精确、更科学。在此基础上，朱老师再次把问题引向深入，进一步研究脚蹬一圈，自行车走多远，引导学生展开更加深入的探究活动，并通过数学运算解决这个问题。

数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。按照设定的条件计算，从理论上1小时可以骑行32千米。对于这个数据，你们有什么疑问呢？学生的分析丰富多彩，例如，有的认为不可能每分钟都骑得一样快，人会疲劳，速度会慢下来；有的认为骑行的过程可能会遇到意外的情况等等。这些讨论对于培养学生的理性思维和科学精神有着十分重要的作用。

提升学生素养，引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维分析世界，会用数学的语言表达世界，是数学教育的重要目标。朱老师教学的《自行车里的学问》，通过创设合适的问题情境，让学生用数学的眼光发现问题和提出问题，根据学习内容的特点，采用不同的教学方式，让学生用数学的思维分析问题和解决问题，抓住关键的教学环节培养“四能”，把发展和提升数学学科核心素养的目标真正落到了实处。

 （浙江省新思维教育科学研究院教研员 姜荣富）
 

聚焦问题核心，经历思维发生的过程

   — — 4月21日听朱国荣老师的课有感

《自行车里的数学问题》是一节综合实践活动课，对于许多老师来说既熟悉又陌生。说熟悉，是因为人教版教材中有这一教学内容；说陌生，是因为许多老师根本不知道应该如何上好这节课。一线老师的心声：综合实践课，想说爱你不容易！今天，作为数学教研员的朱国荣老师，却身先士卒引领示范，为一线教师展示了一堂高质量的综合实践示范课。

课堂上，朱国荣老师激发学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界！朱老师善于引导学生选择不同的思考角度，展开思维翅膀的空间，让学生在相互交流中不断碰撞出智慧的火花，突破思维的定势，提升数学综合能力和数学思维品质。朱老师的课堂上处处充满着活力！激荡着张力！彰显着个性！

一、创设真实情境，核心问题引领

“自行车里的问题”有很多，涉及到数学、物理、工程、艺术等方法面面，如何才能让学生学会用数学的眼光发现问题？如何才能促使学生快速聚焦数学核心问题？朱国荣老师首先顺应了学生的认知规律，分别出现一辆普通自行车与变速自行车，通过比较两辆车的异同，聚焦到“变速自行车可以变速”这一特点。进而引发学生讨论：“变速自行车为什么会变速？”朱老师通过问题将学生的注意力由具体现象引向数学本质，由发散思维转到聚合思维，揭示隐藏于现象背面的问题核心“脚蹬1圈，后轮转几圈？”这一核心问题的引领，帮助学生厘清了“变速自行车是依靠不同齿轮来变速”的原理，深入了解了“前后齿轮的关系”，掌握了“速度最快的前后齿轮组合——最快前轮48齿带后轮16齿”与“速度最慢的前后齿轮组合——最慢前轮48齿带后轮20齿”。

“自行车里的数学问题”是基于真正体验和真实问题的数学情境，在唤醒学生的经验、激起学生求知欲的同时，引领学生经历了发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。“变速自行车为什么会变速？”核心问题的引领，既具有挑战性又具备开放性，促进学生更多元、更深入、更全面地进行观察与思考，提升持久研究度。

二、经历思维过程，激发理性思考

儿童天生具有好奇心，由好奇引发了各种各样的疑问，这是一种发展思维的表现。但是仅仅停留在由原始好奇引发的疑问是不够的，教师应鼓励学生进一步思考下去，必要时边实践边思考。此时疑问会得到进一步的聚焦和清晰，形成了一个研究的问题。这些问题作为目标、动力和途径推动着学习的发生和深入。

朱国荣老师设计的《自行车里的数学问题》一课，主要解决三个问题：

第一，“脚蹬1圈，后轮转几圈？”；

第二，“这辆自行车蹬1圈，能走多远？”；

第三，“1小时能骑多少米？”

这些问题层层深入，引领了学生的学习需求，引领了学生的探索发现，引领了学生的思维发展。为了体现数学实践课的特点，朱老师还在现场准备了六辆自行车，鼓励学生在动手、动脑的实践过程中，解决生活中的数学问题。

首先，学生们通过独立思考、小组交流和全班反馈，使用数齿数和看圈数两种方法都明确了现场的自行车“脚蹬1圈，后轮转2圈，32÷16=2圈”的结果。

其次，在解决“自行车蹬1圈，能走多远？”的问题时，朱老师适时追问“需要测量什么？为什么？”将自行车前进的距离与车轮的周长、直径建立联结，渗透了数学知识的实际应用，从而得出了一般的研究方法：（1）数出前后齿轮的齿数，计算倍数关系；（2）测量后轮的直径；（3）用“后轮周长×蹬1圈后轮转动的圈数”。

最后研究“朱老师的私家变速车，1小时能骑多少米？”在这个综合问题引领探究的过程中，学生由于情境与已有经验产生冲突而不断产生疑惑。经过讨论，将这些疑惑转化成讨论的问题：估计朱老师1小时可以骑多少米？（生：1公里、20千米、13千米……）研究这个问题需要哪些数据？（生：老师1小时蹬几圈？自行车前后轮的齿数？每分钟骑多少米？1小时内用的是哪个前齿轮？哪个后齿轮？1分钟蹬多少圈？……）随着讨论的深入，慢慢聚焦到核心问题中，随后根据数据得到结果：

0.7×3.14×（48÷16）×80×60=31651.2（米）≈32（千米）

问题引领学习，让学生经历了解决问题的全过程，采用独立探究与合作交流的学习方式，帮助学生建立知识之间的联系，在心中埋下一颗思维的种子，既积累了测量活动经验又积累了数学思维的经验。

课上至此，问题已经解决，但是朱老师并没有就此停滞，又抛出了新的问题“百度查询：自行车1小时行进15千米，而我们计算出来是32千米，靠谱吗？”通过反思总结，引发了新一轮的认知冲突！经过碰撞，逐渐发现计算出来的32千米与一般意义上的15千米的差异，聚焦到数学本源性知识。学生的思维和情感被深度卷入到新问题中，主动进行持续研究，这样的良性循环将帮助学生更快地获得知识、积累经验、养成品格。

三、素材多元融通，拓展课程视野

《自行车里的数学问题》一课，还原了学生的真实学习，好奇产生疑问，好思形成问题，好做提出猜想。呈现了一个发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、反思问题、提出新问题的全过程。这节课的研究素材多元融通：既有鼓励学生动手实践的真实器械，又有引发学生思考的数学问题；既有现场采集的数据，又有网络信息的分享；既有生活原型，又有数学文化……在数学、物理、工程、艺术等方面延伸。这节课不仅仅是数学综合实践活动，更是一种拓展性课程的体现，它开发了学生的潜能、拓宽了学生的知识面，开阔了学生的视野，完善了学生的认知结构。

                          （浙江省杭州市上城区小学数学教研员   邵虹）

学科融合 问题驱动 注重实践

 

——朱国荣老师《自行车里的数学》一课赏析

今天听了朱国荣老师关于“自行车里的数学”一课，引发了我许多思考。这是一节综合实践活动领域的课，它的综合性和实践性已不局限于数学学科，除了数学知识的综合应用外，还将数学与科学、技术、工程等相关知识进行融合，体现STEM的教育理念，并引领学生展开实践活动，让学生在实践操作中充分思考、积累经验、发展能力。综观整堂课，有以下几个特点：

一、解决问题：小步子推进

本节课以自行车为素材，着重研究自行车构造中的有关数学问题，朱老师首先让学生猜猜自行车里将有哪些数学问题可以研究，然后从变速自行车入手，引出思考方向：变速自行车靠什么变速？（大小齿轮之间的关系）拉开解决问题的序幕后，朱老师将这些问题细分成三个小问题：①脚蹬1圈，后轮转几圈？②这辆自行车蹬1圈，能走多远？③1小时能骑多少米？这三个问题之间属步步深入的关系，前一个是后一个的基础，后一个是前一个的进一步。朱老师引领学生解决这些问题时，充分激发学生思维的主动性，唤醒与解决问题相关的知识，通过对问题的思路分析，找到解决问题的办法，并综合运用圆、比例等知识解决问题。由于采用了小步子推进的策略。使学生降低了难度，提高了正确率。

二、实践活动：形象与抽象相结合

小学六年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，从这个阶段开始，开启了发展抽象思维能力的黄金时期。如果该阶段不注重学生思维能力的培养，到中学以后不少学生会出现不适应，导致数学成绩有较大幅度的下降。因此，在小学六年级阶段要做好小学与中学的过渡衔接工作，即辩证地处理好形象支撑与抽象学习的关系，一方面为了让学生更好地理解抽象的数学知识，要给学生提供形象直观的辅助，另一方面又不能停留在形象水平上，要不失时机地引领学生展开抽象思维活动。朱老师这节课上让学生观察、操作真实的自行车，给学生提供了直观形象的研究素材，但他并没停留在直观层面上，而是让学生对形象材料进行抽象说理，主要表现在：对需要的数据展开讨论，对解决问题的抽象数量关系展开讨论，对已列出的算式进行意义解读，对得出的结果展开辩论，等等，借助直观材料进行理性思考，既落实了知识技能目标，又发展了抽象逻辑思维能力。

三、数学建模：多学科融合

自行车里的数学属于一种数学模型，本节课学生经历了“提出问题——分析问题——建立数学模型——求解——解释与应用”的基本过程。在这一过程中，朱老师引领学生进行多学科融合，将工程技术与数学知识有机结合，将STEM课程思想运用到本节课中。STEM教育的三大核心理念是：跨学科整合、问题驱动、情景与合作。本节课上以解决自行车里的数学问题为驱动，首先要知道自行车是如何能载人前行的，这就牵涉到自行车的工程原理，朱老师为学生提供真实场景，让学生进行实物观察，并借助生活经验弄清自行车的行驶原理。在此基础上关注自行车里的数学问题，要解决实际中的问题需要集思广益，朱老师让学生开展合作学习，讨论解决的方案，实践中互相配合把问题解决掉，在这个过程中将数学与科学等知识进行整合，最后建立了自行车里的数学模型，培养了学生跨学科思维能力和综合运用知识解决问题的能力。

另外，本节课还有两个地方给我留下了深刻的印象。一是朱老师非常注重学生数感的培养，在一个活动开展之前，都先让学生猜一猜可能会是多少，猜的对错并不重要，重要的是让学生结合自己的经验对当前情境下的结果进行估计，在正确结果出来后进行修正，这样的过程就是数感丰满的过程。另一方面是朱老师非常注重数学与生活实际联系起来，将真实情景中的因素成为解决问题的考虑依据，提高学生解决现实问题的能力，这正是综合实践活动课的目标期望。

（浙江省武义县小学数学教研员 陈力）
 

“玩出来”的数学

   ——《轴对称》评课稿

著名数学家陈省身说“数学好玩”。但课堂中的数学也好玩？能在玩中学好数学？……一连串的疑问让我对“数学学习好玩”的观点产生好奇。今天在杭州“千课万人”----小学数学“理想课堂”国际峰会上，湖南省长沙市小学数学教研员张新春老师上的《轴对称》这堂课，让大家惊喜地看到了他高超的教育信息技术与课堂教学结合的能力。在课堂上带领学生玩，不但玩出了兴趣，而且还让学生在玩中获得了轴对称的相关知识，学会了数学思考。我想借李晓玫老师的“玩中有趣，玩中有思，玩中有获”的评价，从玩中有趣，趣中有思，思中有得，三方面对课堂进行回顾与总结。

一、玩中有“趣”

数学好玩，课前谈话就开始玩“写名字”，利用软件，让学生写上自己名字，屏幕上就自动生成以中间的红线为对称轴，一边是正写的名字，另一边是反写名字的轴对称图形。一下子就把学生吸引到了课堂，激起了学生学习的兴趣；课堂在导入环节，通过观看图形，比划对称轴后进行玩“想象”，学生在兴趣的驱动下，轻松的完成了由反面的图形联想数字的活动；进入突破教学重难点对称轴垂直、平分对应点的连线环节。张老师设计玩“评分”游戏，学生找出对应点，让电脑根据位置的准确程度，进行评分，激发学生的学习兴趣，让学生兴趣盎然地在进行“找点”游戏中完成教学任务；在最后的欣赏环节，张老师不但通过美的对称图形让学生欣赏对称的美，更是通过信息技术，让学生自己创造美轮美奂的中心对称的图案，使学生的兴趣达到高潮。真正实现“好玩”。

二、趣中有“思”

数学课堂，让学生玩起来容易，让学生有兴趣的玩也不难，但又要好玩，又要玩出数学味，就有点难。张老师精心设计“找点”游戏，用①这个点在哪里？②怎样才能玩好这个游戏？③估计一下，他是怎样使用工具，找准这个点的？④有什么办法，不要工具也能很快找准这个点？四个问题把“找点”游戏串联起来。在解决这几个问题过程中，怎样玩好这个游戏环节，老师在学生玩的同时，提出了具有思考价值的问题：想一个什么办法能让自己找的点的分数更高。引导学生利用数学的思维来思考生活的实际问题，达到解决问题的目的。在你估计他是怎样使用这个工具的问题环节，让学生在观察其他同学的操作中思考方法，在自己的操作中体验方法、总结方法，最后用自己的语言来表达方法，达到突破教学重难点的目标。在还有对称？还有垂直吗的追问中，对学习的知识点进行发散，提升。就这样引导学生的思维步步深入，经历探究知识的过程，让学生在自己主动探究的基础上，自主构建知识，达成教学目标。下面，我们来回放一下课堂实录：

【问题1】

师：这个点在哪里？

生1：（学生上台找点）（电脑评分：50分）

生2：（学生上台找点）（电脑评分：96分）

生3：我可以用工具测量吗？（电脑评分：98分）

师：（小结）为了便于交流，我们给它取个名字叫----对应点。其实这个游戏就是找对应点。

【问题2】

师：怎样才能玩好这个游戏？

生1：量对应点到对称轴的距离；

生2：想象反过去的点在哪里？

生3：把两个点连成线放平；

生4：画出垂直线，量出距离；

师：什么是垂直？什么是等距？

【问题3】

生1：（学生上台找点）（电脑评分：100分）

师：刚刚女孩带来了一个尺子，你估计她是怎么使用的？

生2：我来总结一下：先画出它的垂直线，再量出相等的距离。

【问题4】

师：用工具测量确实麻烦，如果在图上加上什么就找点方便了？

生1：网格

师：其实，对称轴可以不是竖直的，可以倾斜。（多媒体演示）

师：还有对称？还有垂直吗？

三、思中有“得”

整节课，张老师以怎样找准对应点为问题，精心设计教学环节，以玩为载体，以训练学生利用数学的思维来思考生活的实际问题为抓手，对学生进行培养。在游戏活动的开展中首先培养了学生学习数学的兴趣，让学生感受到了数学学习的快乐。其次是在教师问题的引领下，让学生解决问题的同时发展了思维，特别发散思维、创新意识的渗透在这节课上更是一个亮点。总之，站在学科的角度，这节课的知识目标的达成，对学生能力的训练、方法的渗透，思维的培养等方面都是成功的。

这次“学为中心”的理想课堂国际峰会中，张老师的这堂《轴对称》课真正做到了数学好玩，无疑是一颗耀眼的明星。希望有更多的数学好玩课堂的出现，让我们的学生真正体验到学习数学的乐趣，爱上数学，学好数学。

          （湖南省长沙市长郡月亮岛学校   陈凡德）
 

寓学于“玩”，以“玩”促学

——听张新春老师《轴对称》一课的感悟

“轴对称”作为“图形与变换”的内容，是小学阶段的一个难点。从知识的本质来看，“轴对称”与“平移”、“旋转”一样，都是在研究“点”的运动规律。而且“与平移、旋转相比，在某种意义上讲，我们甚至可以说，轴对称是一种更基本的变换——平移与旋转都可以通过轴对称来实现”（张新春老师语，见《“千课万人”参会指南》）。对于难点的内容，我们如何让学习过程变得有趣味，则是一线教师所希望看到的。但在很多时候，既要设计有趣味的学习过程，又要引导学生切实理解与把握数学的本质，还要能够引导学生体会知识的发生与发展过程，形成一定的数学活动经验，却是一个相当有难度的事情。今天张新春老师《轴对称》一课的教学，便是在尝试着寓学于“玩”，让学生感受“数学好玩”上做足了文章，也给了我们很多的启示。笔者现结合本节课的教学，围绕如何在概念学习“感知、体验、梳理、建构”等四个板块中寓学于“玩”上试作解读，期望能给一线老师们以帮助。

一、“趣”中感知

感知是概念学习的起点。孩子在学习起始对概念的感知是否主动？是否充分？都是影响后续学习质量的重要因素。在很多老师看来，对于“轴对称”知识学生是有相应的学习基础的（二年级时有初步认识过），只要在教学中实践了“回顾原有知识的认识水平”的环节，就觉得是在关注学生的经验基础了。正因为如此，很多时候我们教师在了解学生的学习基础中，采用的基本方法是简单的“问答”，造成了解学生学习基础的教学活动对于激发学生进一步学习的效果不大。那么怎样的设计，才能使我们在了解学生的学习基础、认知经验的同时，又能激活学生进一步探究新知的欲望呢？今天张老师的做法，便很值得我们学习。

课前谈话开始，张老师设计了一个“利用多媒体软件，写字生成相应的对称文字”的活动。这看似一个简单的游戏活动，实质有着三个层次。

层次一：写自己名字和请学生写名字，自然引入游戏；层次二：请学生观察思考，当拖动名字向对称轴移动时，哪个点会最先碰上，感受轴对称的特点；层次三：看一部分，想象另一部分。

整个游戏活动，既有趣味性，一下子吸引了学生的注意力；同时也让学生主动地、充分地感知成轴对称的图形的基本特征。从课堂效果来看，学生对这个活动相当感兴趣，投入度很高。

二、“玩”中体验

从概念学习的过程来说，感知更多停留于直观接收的状态，在大脑中留存的更多是浅表性的印象。体验则比感知进了一步，体验过的事物在大脑中留下更为深刻的印象，并能“随时回想起亲身感受过的”经历。同样，张老师在课的开始，引导学生对“轴对称”特点的感知，更多还是在引发学生的经验认知基础。且在游戏活动中，引导学生通过观察感知，在参与面受限的情况下，对“轴对称”性质的认识显然还不深入。那么，如何让学生的参与更加地充分到位，对“轴对称”性质的认识更进一步呢？让更多的学生去体验，便是一种不可缺少的环节。

由于现场硬件设施的限制，让学生人人参与动手实践有困难，张老师便设计了一个“比较精确度，现场给予评分”的活动。此活动的意义有三：

一是符合小学生的学习特点。游戏是学生比较喜欢的学习活动，如果能够在游戏中给学生一定的评价（给结果打个分数），则更能激发学生参与积极性和挑战意识，激活学生的思维。

二是引导学生体验数学知识的本质。“轴对称”的本质是点的反射。在运动变换中，找到某个点的反射点（即对称点），是有方法的。这种方法便是依据“轴对称”的特点（垂直、等距）形成的。

三是引导学生经历了数学活动经验的形成过程。数学学习的过程，是数学活动的过程，也是数学活动经验形成的过程。认识“轴对称”，体验“轴对称”基本特征的过程，需要一定的学习活动作支撑。比如怎样才能知道“移动后的点是它的对应点”呢？则需要有测量、调整等操作活动的支撑。

这样一个“移动某个点，现场给予评分”的游戏活动，再次体现了“数学好玩”、“玩中学数学”的课堂教学特色。

三、“辩”中梳理

数学概念的学习，不是一蹴而就的，是需要逐步厘清，逐步完善的。表现在课堂学习中，是对事物感知经验、体验结果的交流与整理。在张老师的课中，学生对“轴对称”性质的理解便是经历了这样的一个过程。我们来看课堂上学生的表现。

师：我们已经知道，这样的两个点叫对应点。现请大家同桌讨论，怎样找对应点才能得高分呢？

学生小组讨论后交流。

生1：用尺子量出这个点到红线的距离，再在另一边量出同样的距离。

生2：脑子里想出来“正”字反过来会是怎么样的。

生3：上下要注意，尺子要放平。

师：尺子要放平是什么意思？（学生解释，师媒体呈现连线）是这样放平是吗？

生4：点和对称轴的距离大概估一下，再估一下另一边的点的位置。

生5：画对称轴那里的垂直线。

教师展示把线放平。

生5补充：垂直线上量出长度，再量出另一边的距离。

教师板书：垂直，等距。

在交流整理的过程中，因为教师的问题指向于寻求游戏的策略。显性层面上仍然定位在“玩好”上。于是，师生的互动与讨论，将成轴对称的点的“特点”归纳与梳理，也显得游戏味实足了。

四、“练”中建构

我们说，一个概念的建构，不止于归纳特征，把握特点，还应该体现在应用概念解决问题的过程中。“轴对称”概念的理解同样如此。当学生对“成轴对称”的点的特征有了比较深刻的认识与理解之后，张老师设计了一个“画出轴对称图形的另一半”的练习。请注意，在这个学习任务的设计中，张老师仍然没有离开“游戏”背景，以“分数”评价学生的操作过程，其实质当然是在检验学生对“轴对称”的认识水平。

课堂上，张老师将这个练习设计成了两个层次：

第一层次：在没有方格的纸上找出某个点的对称点。此环节，主要是引导学生用刚才经历游戏中梳理的“找对应点”的方法，找出这个点。同样采用“给分激励”的游戏形式。实践中，这位学生得到了100分，说明这位学生相当准确地找到了这个点。此时提出问题：刚才这位同学拿了一把尺子，你知道她是用来做什么的？学生也很容易说出：“量距离”和“画垂直”两个关键动作。

第二层次：提供方格纸背景，找出另一个点的对称点（任务是找“树的形状”图中第二个点的对称点和在方格纸上画出五角星的另一半）。意图是当学生对“成轴对称的点”的特征有了比较清晰地把握之后，以方格代替尺子，相对比较快的运用“轴对称性质”解决实际问题。

以上是对张新春老师《轴对称》一课的几个主要环节的简单解读。回顾整节课，张老师采用了游戏式的教学活动，在激发学生学习兴趣的基础上，激活学生的思维，经历概念理解与掌握的过程，充分体现了“玩中学，学中玩”的数学教学特色。通过这节课，我们也应该对“数学好玩”有一个新的认识。我们说，“数学好玩”不只是停留于外在活动层面，更应该在“玩”的内容、“玩”的方法上，引导学生感知数学知识、经历数学学习过程，形成数学活动经验上下功夫。唯如此，“数学玩好”才能真正体现“玩”的价值，“学”的意义。

                      （浙江省嘉兴市南湖区小学数学教研员  费岭峰）
 

赏读概念教学的“华哥”路径

——观摩著名特级教师黄爱华《比的认识》教学有感

曾多次听过黄爱华老师的课，也做过书面课评。课堂上，黄老师喜欢学生们称自己为“华哥”。今天，在“千课万人”核心素养下的小学数学“理想课堂”国际峰会上，有幸观摩《比的认识》一课，领略到了似曾相识的“华哥”风格，但也有一些不同以往的“另类”感受。以下，仅对概念教学的“华哥”路径作疏浅整理、个性赏析，以丰富自身、求教大方。

一、问题导向：应需求，显方向。

用“大问题”指引学习，一直是黄老师课堂教学的鲜明主张。《比的认识》也不例外。课一开始，正如很多听课老师预料的那样，黄老师施展了“调侃式”的需求调研：“今天，我们要来认识‘比’。你想聊聊‘比’的哪些方面呢？”随后，耐心地“静待花开”。对此，学生们真实、丰富、有差异的学习需求得到了充分展现：“想聊比的写法”“想聊什么是比”“想聊比有何用”“想聊比的性质”……以此为基础，教师自然提取出本课学习“要干的两件事儿”，即“是什么”“有什么用”。同时，要求学生相互聊一聊，把“要干的两件事儿”印在脑海中。有了明确的“大问题”，全课学习便拥有了“导航仪”。

二、学情引领：激经验，取本质

根据原有经验，学生看到“比”，必然会率先联想到“赛事比分”。在其它很多课上，教师大都会在课尾点明“赛事比分不同于数学中的比”。而对于数学中的比所指向的“两个数相除”的内涵，则多由教师“单方面给出”。而黄老师的课，重视激活经验，加强顺势引领，让数学概念的内涵揭示更自然、更妥帖、更深刻。具体地说，教师以“你见了比，脑子里有没有想到什么东西”为引子，让学生分享了“足球赛比分”“金龙鱼调和油上的比”“洗衣液中的比”“糖水中糖与水的比”等经验材料。在此基础上，黄老师“出人意料”但又独具匠心地抽取出了学生所举例子的共同点：“无论是赛事中的比，还是液体中的比，共同点是都在比较。”以此为逻辑基础，黄老师进一步指出：“数学上，比较主要就是比大小。比大小有两种方法，即‘比相差，看大小’‘比倍数，看大小’。数学中的比，其实就是‘比倍数，看大小’。”这个本质揭示的过程，充分体现了先学后教、顺学而导的教育理念。另外，值得一提的是，黄老师一如既往地敏感应对生成信息，妙语连珠，意味深长。例如，学生举出“糖水中糖有5克，水有10克”后，教师慢悠悠地来上一句“好像太甜了”，让学生在莞尔一笑中产生了新的思考。

三、繁复描述：强记忆，促理解。

在“专家课间评点”环节，李晓梅老师提出了一点疑问：“记忆和描述的过程中，孩子们真的理解了吗？”确实，这可能也是所有听课老师的共同困惑。整节课，黄老师先后呈现了四组材料。在每组材料的教学中，教师都组织学生进行多次“繁复描述”，且是集体进行的。如“我们先看第一行，3杯、1杯是具体的量；我们再看第二行，3:1是倍数关系；我们再看第三行，是求比值的过程……”；又如“这里的比，表达的是谁与谁的倍数关系。从除法算式可以看出，谁是谁的几倍，谁是谁的几分之一。谁多，谁少……”篇幅较长、整齐划一的语言描述中，“记忆”占据了较大比重，是否有利于改善主体空间、促进概念理解，确实是值得探讨的。

当然，从丰富学习方式的角度看，笔者并不极端反对“基于记忆的数学描述”。就本课内容而言，五年级学生已经具有“用倍数、分数描述两种量的关系”的知识基础与能力储备，因此，从理论上讲，参与这种“繁复描述”是能够胜任的。而且，这种表达信息量较大，能较好促进“比”“除法”“倍数”“分数”等看似离散的知识点的对接、融汇，进而深化学生对于“比”的内涵感悟。不过，需要考虑的问题是，描述的语言是否可以精当些、简明些？表达的形式是否可以灵活性、活泼些？

四、过程流转：巧拓展，提认知。

设计一则好材料，是重要的。而更为重要的是，用足、用透这则好材料。在这方面，黄老师是真正的高手。出示第三则材料“煮米饭时，米和水的用量比是2:3”后，教师现场设计了一个“抢答”游戏：老师说“米量”，学生答“水量”。当老师说“3杯米”时，学生中出现了两种声音，一种说“4杯水”，另一种说“4.5杯水”。就这样，学生脑海中对于“比表示倍数关系”这一内涵理解的真实水平得到了客观暴露。为此，黄老师在后续的“抢答”游戏中不断强调“要感谢这个1.5倍”，持续强化“比值保持不变”的倍数本质，由此，使全体学生的概念认知达到了新的高度。

（浙江省绍兴市上虞区教学研究室  叶柱）
 

理想课堂的实现路径：新理解引领新教学

      ——《比的认识》课堂教学的三观赏析

“千课万人”的“核心素养下的小学数学‘理想课堂’国际峰会”课堂教学观摩活动正在如火如荼地进行着。各位名师们不懈努力，与各界专家用课堂对话，不断把小学数学课堂教学改革推向深入，优质课堂教学层出不穷，下面以黄爱华老师今天的这节《比的认识》为例，从宏观理念、中观问题和微观操作三个层面加以探讨理想课堂的实现问题。

宏观理念层面的认识拓展

1.“比”的新理解启示理想课堂的新尝试

同一节课可以从不同的方面来推进教学改革创新，其立足点都可以是发展学生核心素养，打造理想的以“学为中心”的课堂，《比的认识》这节课的出发点是黄爱华老师通过学习张奠宙教授的文章受到启发获得对“比”这个数学概念的新认识，这种对“比”的新认识也是本课堂的创新和特色之一。其核心内容是：一是比表示两个量之间的倍数关系，有助于比较大小；二是表示变化量中不变的关系，研究变化中的量。尤其第二个方面有更高的立意，渗透了函数的思想。用大问题来表达是：比是什么？它有什么用？整节课的设计和课堂教学都是源于这一认识。

值得提及的是，当我们给学生解释“比是两个数相除或者除法”时，学生会问“比”存在的意义是什么？仅仅是表示“相除关系”吗？王永教授认为，“比源于度量，度量解决了物体可度量的属性（长度、面积、体积、质量）的可比性，比却能够解决物体不可度量的属性（颜色、形状、质地等）的可比性。这就是比的本质。”（王永：《比是什么》，刊《小学教学》（数学版）2009年第6期）也就是说，比更多是为了表征隐含于数量之中的、不可度量的事物属性。这也不失为学生易接受的“比”的本质的解释。

2.遵循数学概念教学规律，帮助学生建立“比”的概念

《比的认识》课题属于数学概念教学，数学概念教学有数学概念教学的规律，从学习的视角来讲，主要有两种学习方式：一种是概念形成，一般用于相关知识不多的学习者；另一种是概念同化，主要是在介绍新概念后对概念的内涵进行细致解释。在本节课中，黄老师主要以前者为主，主要通过与学生对话不断促进理解的方式结合4个例子归纳概括“比”的概念内涵，帮助学生建立“比”的概念。同时侧重于激活和同化学生已有的相关知识和经验。

3.追求理解的教学理念贯穿课堂教学的始终

数学学习和教学追求理解，是指在帮助学生建立概念的过程中，通过各种方式促进学生的理解。关于这方面，黄老师的“理解到什么程度就能教到什么程度”这句话突出了他对理解的重视，反映了他追求数学教学的理解倾向。在本节课堂教学中，黄老师主要是通过许多典型例子、学生的反复阅读典型例子来帮助学生理解“比”的概念的。

中观问题层面的思维碰撞

1.问题促进学生思考和表达的教学特色明显

问题教学是黄老师这节课的重要特色。首先从学生提出的问题中归纳出两个核心问题：什么是比；比有什么用。这两个核心大问题引领的整节课的学习和教学。同时为了得到更深入的解决，黄老师精心选择了四个中观问题：一是做面包时，用三杯面粉加一杯水，面粉和水的用量是3:1，比值是3÷1=3；二是用1杯甘蔗汁加5杯水兑成甘蔗饮料，甘蔗汁和水的用量是1:5，比值是1÷5=1/5；三是一电饭煲厂家提供数据：煮米饭时，2杯米加3杯水，米和水的用量是2:3；四是2018年平昌冬奥会期间引出的国旗问题，黄老师在课堂上充分运用分析这些问题之间的关系，达到“帮助学生不断深入思考，加深对比概念内涵的理解”的目的。

2.教学中给学生更多的表达与展示机会，有利于学生参与概念的建构过程

现实中许多小学数学课堂往往成了老师展示的舞台，学生在课堂上没有足够多的展示机会，尤其是在数学概念教学中，学生表达与展示的机会就更少，从而显得更为可贵。在黄老师的课堂上，给了学生更多的表现机会，包括学生提出问题，反复诵读典型例子以促进理解，这些过程也是激活学生已有经验和相关知识的过程，加之选择学生熟悉的素材，更能调动学生积极参与。

3.学生在最近发展区内才能真正理解数学概念

对于张奠宙先生提出的“比表示变化量中不变的关系，研究变化中的量”的观点，黄老师敢于尝试，这很可贵，但是学生能理解比的这个含义吗？对此，点评的专家李晓梅老师对此表示质疑。事实上，把比的概念内涵提升到函数的层次来理解，确实给学生增加了难度，学生真正理解比较困难，但是学生会通过例子对此有浅层次的认识，当然这也需要有实践来验证，相信黄老师也会在从教学设计的方面来完善。另外，在临近课的结束，黄老师在课上提及了不同类量的比，这么短的时间学生学生很可能不理解，更谈不上掌握，况且课中用到的例子也没有突出同类量的比。这些问题都需要黄老师作进一步的探索。

微观操作层面的智慧启迪

1.聊天式的宽松氛围营造值得关注

黄老师在课前和课中注意营造宽松的氛围，努力调动学生表达和展示自己的积极性，加上黄老师恰如其分的概括和归纳，收到了良好的课堂效果。

2.反复重复在一定程度上促进学生理解

在黄老师的课堂上，有许多反复重复的方面，这些重复可以促进学生的思考，不断加深了解，比如教师和学生重复语言表达值得提及的是，黄老师与学生一起回顾了研究的过程，这很可贵，有利于培养学生的反思能力和习惯。

3.精选问题素材，突出核心内容

在课堂教学中，黄老师精心选择了4个问题，涉及到了四个方面的素材，这些素材不仅能够说明问题，而且学生熟悉感兴趣，更重要的是简单而且结构化，有利于学生理解“比”这个数学概念的内涵。

4.情境创设调动学生学习兴趣，促进学生全面发展

比如国旗的例子中幼儿园情境的创设，其作用不仅有利于学生理解“比”的内涵，而且普及国旗法知识，对学生进行爱国教育等。其他还有在第三个例子中抢答由米的用量变化得出水的用量，师生比身高的身边例子等。

结束语

“学为中心”的课堂立足于学生的学习，其核心问题是：学什么？怎么学？教什么？从核心素养和理想课堂的层面来理解，学什么指的是确定学习的课程内容和确定内容的方法，怎么学指的是学习课程内容的方法和如何选择这些方法，教什么是指教会学生学什么和怎么学。从这个视角来看，黄爱华老师做出的回答是：学习课程内容的大问题和把大问题分解为不同层次的问题的方法，怎么学是用问题引导着学和选择核心的问题来学，教什么就是把这两方面教给学生。在这单单一节课中实现这样的目标是有困难的，由此可见，理想课堂的实现还需要小学数学名师团队和专家团队做大量的工作，做出持续不懈的努力，坚持不断的长期深入探索。

（齐鲁师范学院  郑庆全）
 

整体把握  深入理解

—— 徐长青老师《分数意义》教学赏析

激情四射，热情迸发，语言幽默，语调夸张，令人捧腹的动作……，这些都是徐长青老师的教学特征，极具辨识度，这也正是徐老师深受一线老师追随的教学艺术。今天又非常有幸地观摩了徐老师执教《分数意义》一课，轻松依旧，魅力不减，在欢乐愉悦的课堂氛围中，带领孩子们探寻数学概念的本质，领略数学文化的美好，下面就浅谈几点听课的感受。

一、整体把握，构建多方面理解

认识某一事物或概念，都可以从纵向了解其发生发展的过程，认识“分数”也不例外。首先，徐老师引导学生体会分数产生的必要性及其价值。一般是从生活中分物、测量得到不是整数的结果，或者从数学计算的结果得到不是整数，引发数域扩充的必然性。徐老师正是再现古人用绳子测量物体的长度，遇到了“剩下部分不足整段”的情形，让学生真切感受学习分数的必要性。此外，徐老师还介绍了有关“分数”演变的历史过程，呈现不同时期记录“分数”的形式，从远古时代的具体复杂到现在的抽象简洁，让学生了解“分数”的前世今生，感受数学文化。

认识某个事物或概念，还要从其本身的典型特征、基本要素、不同样态等等方面进行研究。而对于“分数”的意义，若干数学教育大家都有不同维度的描述，汇总而言，一般有以下四个方面的维度。（1）比，指的是部分与整体的关系和两个量之间比的关系；（2）商，指分数转化为除法之后运算的结果；（3）测量，指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果；（4）运算，指的是将分数的认识转化为一个运算的过程。

在徐老师的课堂中关注到哪些有关分数的理解呢？具体表现有：（1）徐老师不遗余力的引导学生进一步体会部分与整体关系时，兼顾“分数”的数量比和份数比，如8张扑克牌是整副牌的8/54，就是从数量上理解部分与整体的关系；而8张扑克牌平均分成两份，一份就是整副牌的1/2，关注了部分与整体份数的关系。（2）既有常见的真分数意义的理解，又有假分数意义的初探，便于学生形成一个“分数家族”的整体认识。（3）在学生理解“分数”表示“率”的基础上，又打破定势，适时融合“1/5米”“1/2张”的理解，体会到分数也可以表示“具体的量”。（4）既关注分数有关“比”的理解，又有指向有关“测量”意义的感悟。通过对分数单位1/5的认识，理解到“由若干个分数单位的累积可以得到不同大小的分数”。

对于“分数”概念的认识和理解，徐老师运用的是先建“林”，再见“树”的策略，先勾勒出该概念的整体轮廓，学生在第一时间形成一个比较整体的认识，同时又为后续深入学习预“埋”了种子。

二、深入理解，探寻概念本质

回顾徐老师教学过程，他采用“初探”“再探”“深探”三步走。

（1）初探意义，突显单位“1”的理解。正如徐老师的课后简述“平均分是分数意义的前提，单位‘1’是重要的基础，分数单位是累计计算的根本”，课堂中非常浓墨重彩的理解单位“1”，通过圈一圈、分一分，理解到“8张、4张、2张、1张、半张扑克牌都是一个整体，也就是单位“1”，随后又出现1米长的线段、全班的同学、全杭州的人，都可以看作单位“1”。从“一个物体”扩展到单位“1”，是三年级“初步认识分数”到五年级“理解分数意义”的重要生长点。

（2）再探意义，关注“率”“量”融合。徐老师借助一条1米的线段，平均分成4份、5份，其中1份分别表示（   ）米。通过课件直观展示，学生看到1/4米、1/5米都表示具体的长度，在米尺上看到就是表示25厘米、20厘米的长度。学生对于分数的理解又有了升华，即分数不仅表示两个量之间的关系，也可以表示一个具体的数量。

（3）深探意义，“真”“假”并存，扩大外延。在大部分一线教师的课堂，分数意义的理解基本局限在小于1的分数，而徐老师却打破定势，借助数轴，找到1/5、2/5、3/5、4/5，体会分数单位的逐渐累积，但到6/5时，学生原先的认知受到挑战，即“把一个物体平均分成几份，其中的1份和几份，就是它的几分之一和几分之几，一共才平均分成5份，哪来的6份呢？”，“第6份会在哪里呢”，在这个节点上，徐老师充分应用数轴的直观，把1和2之间的单位“1”再平均分成5份，这样就找到“这样的6份”了。从局限于单位“1”的“其中1份或几份”，上升到“表示这样的1份或几份”，从“分数”都是小于1到“分数”也可以等于或大于1，无疑，这又是学生理解的一次深化，完善了分数的概念描述，丰富了“分数”的不同样态。

三、材料独具匠心，助力认知跨越

《分数的意义》一课极其经典，有无数一线教师及教学大咖们都有过不同的精彩演绎。徐老师在教学中还能独具匠心，设计操作简单、功能多元的教学材料，促进学生的认知跨越，下面就略举一二。

材料一：一副扑克牌

1.8张扑克牌，理解单位“1”。在课始，先用8张扑克牌，平均分成两份，每人几张？通过列除法算式、结合圈画，理解到“4张扑克牌”就是一个整体中的1/2，随之把4张、2张、1张再分别平均分成2份，得到每份有几张，理解到每份都是整体的1/2。根据板书中的圈画和算式中的被除数，非常自然的认识了一个整体，即单位“1”。同时，又反过来思考“半张、1张、2张、4张为什么都可以用1/2表示，引向意义的本质。

2.整副扑克牌，深入理解意义。课末，徐老师回到扑克牌的整理，一边收一边问：1张是这里8张牌的（1/8），这1张又是整副牌的（1/54），质疑“同样是1张牌，为什么可以表示1/8，也可以表示1/54？”，引导学生进一步理解单位“1”；当收回50张牌时，徐老师又提问“能写出一个什么算式”，引出了“50/54+4/54=1”，再一次理解“分数单位”及单位“1”，指向分数的本质。

材料二：一条线段

1. 如何让学生理解分数既可以表示关系，也可以表示具体的数量，徐老师做得很巧妙。从一条1米长的线段平均分找到分数，很自然地引出其中1份是五分之一，那么它的长度就是五分之一米。教学难点在新旧经验的衔接中自然突破。

    2.延长线段，成为数轴，探讨5/5、6/5的理解。数形结合，直观看到分数单位的累加，理解“假分数”的意义。

    四、一点探讨：“初步认识”已经到达哪里？到“意义理解”有多远？

人教版教材三年级下册的《分数初步认识》，学生能通过折一折、涂一涂，理解到“把一张纸平均分成几份，其中1份或几份，可以用分数表示，也就是说，基本理解“一个物体中部分与整体的关系”这个维度的意义。另外，在同一单元的《分数简单应用》中也出现如“把6个苹果平均分成3份，2份是苹果总数的几分之几”的材料，学生已经初步触碰由多个物体组合而成“一个整体”，但是还没有给出“单位1”的概念。基于以上学情分析，徐老师在“平均分8张（4张、2张、1张）扑克牌”的环节推进是否可以更快一点，或者说起点能否高一点，增加思维含量。如“8张扑克牌，可以怎么分？能想到哪些分数？”

另外，徐老师的课堂教学主要方式是高频率的师生问答，短兵相接，很是热闹，推进也很顺利。但是，课堂是否也需要学生冷静的内化思考，理性的比较与质疑，自主的顺应与构建？

此刻，不禁想起一句广告词：静能生慧，智达高远!

                     （杭州市江干区教育发展研究院 田小勤）
 

道法自然   大道至简

——观徐长青老师《分数的意义》一课有感

理想的数学课堂应该是真实、朴实的课堂；理想的数学课堂应该是归真、简约的课堂；理想的课堂更应该是人课合一的课堂。今天，我们有幸在千课万人现场聆听了徐长青老师执教的《分数的意义》一课，通过平均分这一教学基点，“浅入深究”地演绎了精彩的数学课堂。让我们再次回顾徐老师的精彩画面。

《分数的意义》是一课数学概念课，数学概念是“生活的具像”，又是具体形象事物的抽象与“升华”，针对小学生以形象思维为主的特点，徐老师没有把书本上现成的分数的意义告诉学生，而是设计了一系列的操作活动，激发学生的探索欲望，调动了学生的多种感官来参与概念学习，向学生提供了充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握“分数的意义”。

整个新课的学习，教师看似淡化了定义概念的教学，实际上引在核心处，拨在关键处，教师成了真正意义上的学习组织者、引导者与合作者，借助于课堂这个思维“运动场”，不着痕迹地引导学生理解了分数的真正含义。

一、“简约”而不简单

教师通过把学习主题转化成数学问题，把教材文本转化成活动情境，调动学生的学习兴趣，让学生认知分数的产生过程，体会学习分数的必要性。教师利用孩子们熟悉的扑克牌为载体，简约而不简单地建构了分数意义。 8张扑克牌2个人来玩，平均每人分几张？（生答，师板书算式8÷4=2，并找学生用手进行移动，这样可以看得更清楚），并在学生操作过程中纠正学生的数学表达与数学思考的规范。接着4张2个人玩呢？（板书算式4÷2=2）2张呢？（板书2÷2=1）接着想老师可能会提怎样的问题，引导孩子理解教师的教学进程与意图。1张呢？（不可以，就没法玩了；可以，从中间撕开）。将一张牌的轮廓描在黑板上，把牌拿走，这样可以分了么？留下一个长方形，由物向形的转换，将具体的实物抽象成一个图形，利用数学的模型价值去解决，这是一种数学抽象的发展，也是数学学习的发展。这样就可以列出算式1÷2=半张或0.5（张），很自然的将实际问题转化为数学问题去解决，这个过程自然而有效。

在抽象出单位“1”时，教师追问：谁可以举出单位“1”的例子？学生汇报：一个人、一组人、学校的人都可以看作单位“1”。线段能平均分吗？直线呢？你能把直线平均分成两份吗？让孩子感知单位“1”不能无限大也不能无限小。只要是不可测量的就不能看作单位“1”。突破传统课堂的局限性，发散学生的思维。让学生对单位“1”的认识不局限于眼前可见的实物，将学生的思维发散到这样的抽象概念中，更有助于学生对分数的意义的理解。

二、数形结合强理解

数与形相结合才能更好理解抽象分数的意义，并进一步发展分数的意义。徐老师通过数轴，引导学生寻找数轴中的单位“1”，即其中的一个单位。学生很自然地找到了0～1之间的一个单位，接着又在数轴中写了一个2，让学生再找单位“1”，这时学生对单位“1”的理解有了新的困惑，在这种矛盾中建构了从一个单位到多个单位的理解。

随后，在0～1中出现了五等份的线段，让孩子来指一指五分之一、五分之二、五分之三、五分之四、五分之五，并理解五分之五就是1，那五分之六在哪里？怎样表示才能找到？在追问中理解相同的单位“1”，相同的份数，每一份才是一样大。于是，找五分之六时为什么要把第二个单位“1”平均分成5份……这样的活动，通过大于1的分数让学生思考分数的意义。可谓精心设计，精彩纷呈！

三、人课合一促发展

课堂教学过程不仅仅只是一个知识授受的过程，更是一个交流和交往的过程。正是在师生双方的交流和交往过程中，教师自身的素养、行为模式、思维方式、兴趣特长等因素才转化为教育因素，并在学生默会的过程中转化成自己的素质，获得相应的发展。因此，在课堂教学中，教师对学生的交流和互动方式，极大地影响了学生现实的发展状况。

徐老师丰富而幽默的语言，课堂上感受到的是一种亲切、和谐、活跃的气氛。学生的个性得到充分的展现与培养：或质疑问难，或深思熟虑，或同学交流。师生互动，生生互动，在有限的时间内，每一位学生都得到了较为充分的锻炼和表现的机会。课堂上充满着交流、发现、挑战与思考。活跃的思维，让学生成为课堂上真正的主人。师生的情感与个性融在其中，现实的生活进入课堂，学生在互动中求知，在活动中探索，既轻松地掌握了知识，使数学学习得以实现与发展；又潜移默化地培养了能力。课堂真正焕发出它应有的活力。

徐老师的课，理性而严谨，灵动而睿智，让我们久久回味，特别是他的课堂中所蕴含的理念、思想和内涵，更让我们领略了一种“朴实、大气”的数学发展，一种“发展孩子”的数学教学，使我们品味到了其间无限的教育魅力。

（浙江省宁波市海曙区小学数学教研员   陈亚明）