4月22日互动专刊
专家评点
立足学科本质 聚焦数学思考
——朱乐平老师《分数的基本性质》示范课赏析
从朱乐平老师以前执教的《高》，到今天的《分数的基本性质》，我们一直感受着朱乐平老师对数学学科本质的探寻，一直体会着朱老师聚焦数学思考的实践，一直沉浸在有学生独立思考的课堂氛围里。静静的课堂，没有炫技的课件，只有非常朴素的白底黑字红字的PPT；静静的课堂，老师亲切的话语透出对学生的尊重；静静的课堂，学生静心探究深入思考，学会了在比较、推理中“下定义”。下面仅从三个方面谈谈个人听课感受。
一、深刻理解
“教师的数学学科内容知识与不教书的人的数学知识是不一样的。”朱乐平老师在《分数的基本性质》的教学中，首先是深刻理解了这一教学内容所蕴含的教学本质：两个分数之间的关系，要么相等，要么不相等。如何判断的过程就是论证分数基本性质的过程，朱老师这种基于对分数基本性质本质的把握有别于传统“分数基本性质”的教学。
深刻理解小学数学是一个有深度、宽度和完整度的领域。“教师学科内容知识的特殊特征可以从促进学生学习这个课题中获得。”朱老师从这三个方面去考量教学内容的组织和教学过程的设计：学习这个内容时学生的困惑是什么？对于本节课教学的重点是什么？教学的难点是什么？体现了从学科本质对数学教与学的揭示和表达。朱老师通过课前的前测，从学生的学习起点出发，引导学生先用举例子的方式判断两个分数是否相等，经历独立思考、同桌交流后，再逐步厘清判断的方法：倍数关系、除法求商、画图比较、交叉相乘。这样的一个学习过程，朱老师让学生从数学的角度去理解、解释这些方法的优劣，进而为后面学习“下定义”打下坚实的基础。
二、深入思考
“数学学习被认为是一个互动的、建构的、问题为中心的过程”。而在这个过程，有意义的数学学习不能仅仅只是“遵循过程性理解的教学活动”，更应该是基于学生独立思考之后的概念性理解，最终培养学生把现在的学习与将来的学习联系起来。
朱老师在这节课的教学中，多次组织学生独立思考、同桌交流，从论证两个分数为什么相等到学生任意写分数，验证是否相等，从而让学生多角度地分析、解决问题。在学生汇报交流时，朱老师对学习材料进行了分层选择，从简单到复杂，先研究2和4是否相等再思考63和76的关系；从特殊到普遍，4和8为什么相等，那49和28呢？通过这样精心的设计不露痕迹地帮助学生找到了验证两个分数相等的一般方法，也为学生创造了一个深入思考的过程。
三 、深入发展
数学学科具有严谨性的特点，它要求在数学结论的表述方面既要精炼，又要准确；在推理论证时，既要有理有据，又要符合逻辑。对于画图的方法来比较分数是否相等，是学生应用较多的。其好处在于直观，其不足在于画图的精准度会影响判断，而且很多分数不便于图示。在学生找到倍数、求商、画图等方法后，通过比较，学生意识到这些方法的局限性，但是又没能想到新的方法，这时，朱老师自然而然地提出了一个问题：“数学家们是怎样来说两个分数相等的呢？”这个问题的抛出，一方面是为了引出“交叉相乘”的方法，另一方面是为对分数的基本性质严谨的“下定义”作铺垫。所以学生能想到的尽量让他们独立思考；而学生未能想到的，教师亦有办法引导。这样的学法处理，就是朱老师的课堂教学在看似平淡中的精妙！
同时，为了进一步促进学生数学学习力的深化发展，还要注意学习结构的建立。学习结构就是学习事物是如何相关联的。在朱老师的这节课中，我们和学生一起获得了一个学习结构：
想一想：什么叫两个分数相等？
比一比：这两个分数满足相等的条件吗？
说一说：说出理由和结论。
这个“想一想”、“比一比”、“说一说”的结构，也是随着学生的学习深入而逐步建立和反复巩固的。正如数学家波利亚所说：“为了有效地但不露痕迹地帮助学生，教师应一次一次地问同样的问题，指出同样的步骤。”这种遵循规律的教学方法也应该为我们日常教学所用，使得我们的学生扎实地建构学科基础，并获得数学思考的表达格式，在今后的数学学习中持久地发挥作用。
大师课堂是智慧课堂，大师课堂是理想课堂。这节课不仅给予了学生很多的思考，而且给予了我们很多启发与思考。理想与实践，智慧与专注，是理想课堂最动人的表达。
（湖北省武汉市育才小学 关蓓）
静待“安静”的数学课堂
观朱乐平老师的《分数基本性质》一课有感
新课程实施以来，我们的课堂活跃了，我们的学生自主了，我们的教学更关注学生的独特感受了。但是，在这活跃、自主、独特的背后，却让人看到了一些不和谐的现象：数学课缺少了深层次的思考，思维变得肤浅与浮躁；缺少了一些我们传统数学教育特有的朴实和扎实，教学变得低效甚至无效；过分追求形式，数学课的数学魅力得不到应有的展现……那么我们一线教师，该如何让我们的数学课堂真正做到扎实有效，促进学生的数学发展？其间我们又该摒弃些什么，追求些什么呢？朱乐平老师的静思数学课堂也为我们提供了一种选择与思考。让我们一起来欣赏特级教师朱乐平演绎的《分数的基本性质》一课。
一、学生的“知道”与教学的追问
课始，教师打出课题：分数基本性质。问：知道分数基本性质吗？谁来说说：分数基本性质怎样的？很多学生都举起了小手，学生的回答也是正确的。可见，学生是知道或者说能背诵分数基本性质。教师面对学生的“知道”进行了有效的追问：分数的基本性质是什么意思？你能距离来说明这个性质吗？
于是，学生静静地行动起来：有学生举例：1/2=2/4，而且也解析得很好。
二、学习要知其然更要知其所以然
想一想，这两个分数为什么相等？也就是相等的理由是什么？先独立思考，在同桌交流。再次，学生进入静悄悄的思考探索之中。
生1：1/2=1÷2=0.5 2/4=2÷4=0.5，因为0.5=0.5，所以1/2=2/4
生2：1/2=1÷2 2/4=2÷4 1÷2和2÷4根据商不变的性质是相等的，所以1/2=2/4
生3：我是用分数的意义将这两个分数在等圆中表示出来，发现是相等的，所以，1/2=2/4
教师通过将用前续知识质数学习的方法，通过：想一想、比一比、说一说等环节，经历知识探究的过程，提供数学研究的方法与规范。
最后，老师为大家提供了对角线相乘是不是相等的方法，来研究两个分数是否相等。在这样的思维过程中，建立起分数相等的一半定义。可见，朱老师的课堂承载式一种数学研究的思想与理念，同时，也提供了具体的操作方法。
朱老师的课，学生是在进行一种静静地思维活动，学生有独立思考的时间和空间，“分子分母不相同的分数怎么会相等？”“分数的分子分母可以任意变而分数大小不会变吗？”这些问题都是学生在学习过程中发现的，学生在独立思考的时候，发现了一些规律，老师不满足于学生已经得到的一些规律，而是让孩子们静静地在写出一些与这些分数相等的分数，想一想，有什么规律？而在大量分数出现相同的情况时自然产生了分数的基本性质。学生没有热闹的活动场景，但孩子们的思维一刻也没有停止，思维的提升是很大的，从一开始的分类就已经为分数的基本性质研究提供了学习材料，材料来的自然，问题来自学生的思考。而探究的活动更是在静静的课堂上一步步地向前走。我们不仅要问：什么是数学活动？组织数学活动的价值取向是什么？数学活动指观察、实验、猜测、验证、推理与交流等富有“数学味”的活动，含有较高数学思维成分在里面，而非一般意义上的肢体活动或单纯的动手操作活动。它的价值取向有两点：一是让学生亲历知识的形成过程，获得结论，习得方法，丰富体验；二是在活动中培养自主、合作、探究的学习能力，并使之成为一种习惯。
三、让数学成为促进学生发展的载体
当然，数学课堂应该姓数学，但是数学教学的教育性也应更好地体现出来。让学生在数学学习过程中发展学生的一般能力。数学课堂教学应尽力为学生创造一个愉快、活泼的学习氛围，但同时也应还课堂一份安静，静静的课堂中也有活跃的思维！静能生慧，静能致远，静静的思考更是一种激烈的思维过程，它内涵丰富多彩，足以让每一个孩子收获甚丰。针对新课改中“热闹”的数学课堂，我们认为不能只追求“热闹”而缺少“冷静”。数学课可以安静些，让课堂真正成为促进学生数学发展的主阵地。
学会冷静的思维，是数学教育的一项重要任务。静静的思考是在耕耘与建构，热烈的交流是在碰撞与收获！数学课可以也应该上得安静些！
（浙江省宁波市海曙区小学数学教研员 陈亚明）
学生会下定义吗？
——听朱乐平老师《分数的基本性质》一课有感
分数运算之难，在于通分。但是学生很少去思考为什么要通分、约分，同一个分数为什么需要相互转化？其实，这里蕴含了一个很深刻的思想：分数的不唯一性和分数的等价类。全体分数，正是依据分数的基本性质进行通分和约分，将无限多个分数组成彼此等价的一类。可见，《分数的基本性质》在分数教学中的重要地位。
那么，学生对“分数的基本性质”有哪些前认知？这些基础、经验对本节课的学习有哪些帮助？朱乐平老师又会如何定位这节课的教学目标？让我们怀着期待，走进朱老师的课堂一探究竟。
一、基于真实学情，善用举例表达，关注数学倾听
朱乐平老师的课堂一如既往的安静，让学生在静悄悄的环境中凝神静思、享受学习的过程。课始，朱老师开宗明义直接抛出问题：“关于‘分数的基本性质’你已经知道了什么？”运用问题激活学生的原有认知，即时诊断、了解学生真实的已有知识、经验、能力和认知特点，从“学”的视角重构数学课堂的起点。这样的引入方式，有利于精准地把握教学目标、设计兼顾教学内容和学生实际的教学活动，也是提高教学效率的重要保证和前提条件。
当学生用朴素的语言描述自己对“分数基本性质”的理解后，朱老师用打比方的方式引导学生举例子来说明，举一个简单一些的例子，如1/2 与 2/4。我们知道，分数是抽象的数，分数的基本性质是抽象的数学概念，帮助学生较好地理解意义、性质是数学教师的基本任务，实现这个目标的一种重要手段就是举出实例。对于学生而言，举例并非是一件容易的事，如何培养举例的意识？帮助学生从会举例到善举例？朱乐平老师给出了具体的操作要求：
想一想，1/2和2/4这两个分数为什么相等？也就是相等的理由是什么？（如果你已经找到一种理由，再试着寻找另外一种理由）
这一环节，意在引导学生运用自己所学对“分数基本性质”中两个分数相等现象的一种“解读”，实现由具体实例向抽象数学概念的重要过渡。经过独立思考、全班交流，共梳理出三种基本的判断方法：
课堂上，朱老师非常关注学生的倾听，反复询问学生“听懂他说的话吗？”“听懂才能够判断方法是否正确！”“听懂他话的同学举一下手”“他是什么意思？你能重复一下吗？”“他说得怎样？说清楚了就要表扬一下”……倾听是一种很重要的学习习惯，也是获取知识的有效途径。数学课的倾听有别于其他学科，它更需要关注倾听的质量。无论是老师的讲解还是同学的发言，不但需要听清发言内容中的数学信息，更重要的是听明白两个分数之间的关系，听懂证明两个分数相等的方法和策略。
二、经历严密的下定义过程，提高学生思辨能力
“分数基本性质”的应用并不是本节课的难点，大多数学生在课前已经能独立解决这一类问题，这是否意味着学生真正理解概念了？有多少学生能够根据“商不变性质”来说明分数的基本性质？这无疑是困难的！当学生已经能举例说明什么叫做“两个分数相等”时，朱老师又引出了新问题：你们能说出一般的方法，判断两个分数相等吗？让学生经历严密的下定义的过程：
1.首先，给出一个样子：
一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，那么，这样的数叫做质数。
两个分数，如果………………………………………，那么，这两个分数相等。
先独立思考，再同桌讨论。
2.然后，全班交流经历下定义的思辨过程：
3.整体呈现四种方法：
比较四种方法，分享最喜欢哪一种的理由。
让学生在观点碰撞中慢慢体会到，“强大”的画图研究法碰到像“21/49 和 12/28，45/148 和 45/125”这样的分数时也会面临困难。那么，数学家又给出了怎样的方法呢？朱老师适时引出“交叉相乘”法，通过验证发现即便比较大的数，用这个方法也能较快速的判断，重要的是比较精准。学生从直观感受过渡到理性思考，将归纳推理适度走向演绎推理，经历概念的发生的全过程时，才能真切感受到数学定义的“伟大”。这个思辨的过程恰恰是数学人应该具备的核心能力和思考问题的方式。
三、从“知识立意”走向“能力立意”
课末，朱乐平老师和学生一起回顾学习历程，与学习“质数的定义”进行比较，提炼出了一般的下定义的研究方式：
想一想，什么叫两个分数相等？
比一比，满足两个分数相等的条件？
说一说，理由和结论。
朱老师让学生在相互交流中不断碰撞出智慧的火花，突破思维的定势，激发学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界！朱老师的课堂上处处激荡着张力！彰显着个性！传授的已经不仅仅是知识和方法，更是一种能力和思维方式，从“知识立意”走向“能力立意”。
（浙江省杭州市上城区小学数学教研员 邵虹）
让拓展乘着思维的翅膀更自由地飞翔
——观唐彩斌老师《A4纸的数学问题——点线面的平移旋转拓展课》
唐彩斌老师很厉害！他是技术达人，运用信息技术的水平绝对专业。他是课程开发专家，除了是浙教版新思维小学数学教材副主编，他自己也研发出了为数可观的拓展课程。他是创新高手，拥有国际视野，擅长兼收并蓄且自出机杼，新鲜创意源源不断。他还很会做课题研究，成果累累。能将这么多长处集于一身，很了不起！
今天观摩唐老师的《A4纸的数学问题——点线面的平移旋转拓展课》，进一步加深了我的这些印象。
唐老师课堂上播放的动画，有一种“非一般”的视觉冲击力。我尤其喜欢课一开始的那段动画《点线面的平移旋转对称》，“点动成线→线动成面→面动成体”，干干净净，灵动十足。再接着问题来了，“点与点怎么重合？”“线与线怎么重合？”“三角形与三角形怎么重合？”，随着动画演示重合的过程，“平移”“平移+旋转”“平移+旋转+对称”渐次出现，动画层层递进，思维节节有升。这一切再辅之以动感悦耳的背景音乐，视、听、思有机融合。真好！
整节课的学材是顺着“变化”的线索依次串接起来的，由简单到复杂。基本流程和教学用意简析如下：
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1.线的平移和旋转 |
（1）A4纸宽边20厘米，沿着长边方向平移30厘米，线段扫过部分的面积是多少？ （2）A4纸宽边20厘米，绕线段的一端旋转一周，线段扫过的部分的面积是多少？ |
(1)教师用A4纸演示; (2)出示两道题目; (3)学生猜测哪种情况扫过的面积大; (4)学生动笔计算； (5)师生交流； (6)动画确认，说明哪种方法更可靠。 |
比较主题：长方形面和圆面的大小比较。
核心活动：空间想象能力和空间推理能力训练，计算技能使用。 |
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2.长方形的平移和旋转 |
（3）A4纸长为30cm、宽为20cm，沿着与平面垂直的方向平移80厘米，形成图形的体积是多少？ （4）A4纸长为30cm、宽为20cm ，沿着长方形的一条边旋转一周，形成图形的体积是多少？ |
(1)教师用A4纸演示; (2)出示两道题目; (3)学生猜测哪种情况形成的体积大; (4)学生动笔计算； (5)师生交流； (6)动画确认，此处计算方法比直觉猜测、动画演示更可靠。 |
比较主题：长方体和圆柱体的大小比较。
核心活动：空间想象能力和空间推理能力训练，计算技能使用。 |
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3.三角形的旋转 |
（5）A4纸长为30cm、宽为20cm ，沿对角线分成了图形A、图形B，图形面积哪个大？
（7）研究一个直角三角形绕不同边旋转的三种情况。 |
(1)明晓题意; (2)学生推算，教师提醒要写明根据； (3)师生交流，尤其强调平面类比立体的思维风险； (4)动画演示。 |
比较主题： （1）三角形面的大小比较（同）；（2）圆锥体和圆柱体被挖去圆锥剩下部分的大小比较（异）；（3）一个直角三角形绕不同边旋转的三种情况（多且难）。 核心活动：空间想象能力和空间推理能力训练，类比思维的用与疑，计算技巧（含有推理性元素）的使用。 |
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4.梯形的旋转 |
（8）A4纸被减去一块，剩下的部分是个直角梯形，如图：AB边30cm、BC边20cm、CD边20cm，沿着AB边、CD边旋转一周，形成立体图形的体积一样大吗？哪个大？为什么？
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(1)明晓题意; (2)拓展新的思维空间。启发学生用数学的眼光去看待生活世界。 |
比较主题： 延伸到梯形沿不同边形成体的大小比较（更具挑战性）。只是提出，并未让学生去做。 核心活动：空间想象能力训练，激发学生用数学眼光看生活。 |
欣赏了唐老师所营造的别开生面的课堂后，有几点不成熟的想法提出来供大家进一步研究：
1.从数学内容的角度看，这节课主要聚焦在线的平移和旋转形成的面积大小比较、长方形或三角形旋转带来的体积变化问题，所以，我认为不必纠结于是不是A4纸。如果摆脱了A4纸的具体数据的限制，学生有可能会拥有更广阔的数学天地，进行更充分的思维活动，而教学环节的衔接会更加自然，老师的调控会更加自如。
2.这节课的问题都是唐老师提出的，是不是可以变“教师直接提出问题”为“诱发学生提出问题”？老师的某些演示，可不可以推后一点，让学生多想一会儿，多表达一下自己的所思所想？在面对复杂现象时，可不可以让学生表达一下提炼关键数学要素、构建解题思路的过程？这会使那些学习困难一点的孩子也能思考起来。
3.这节课计算量很大，可否再弱化一下计算，让学生更充分地感受（甚至享受）图形变换的趣味和神奇、数学思维的自由和伟大？
（淄博师范高等专科学校 张良朋）
大胆尝试 勇于创新:上好拓展课的必经之路
——《A4纸的数学问题》的课堂教学赏析
当前的小学数学课堂教学步入了深水区，对于前期阶段一些贯彻课标理念不好的课程内容应该深入研究，逐步贯彻落实，在深入贯彻落实核心素养的背景下，特别是在“千课万人”的“核心素养下的小学数学‘理想课堂’国际峰会”课堂教学观摩活动倡导以学为中心的理想课堂情况下，名师们更有必要对这些内容做深入的研究。比如一些拓展课还没有引起足够重视，在实践中有的因为不考而不去教学，也有的认为不重要而一带而过，还有的按教材常规内容做教学处理。对于本节拓展课，除了存在以上问题外，还有如唐彩斌老师所说的那样的困惑:为什么小学里要学习平移、旋转和对称，有时总觉得教学比较孤立，学了以后感觉也少有应用。这些问题怎么解决呢？下面我们就一起来赏析唐老师的这节《A4纸的数学问题——点线面的平移旋转拓展课》给出的答案。
特色与创新
本节课的创新和特色之处在于将图形重合的过程通过用运动变换来解释从而将图形重合和变换联系起来，而运动变换的过程实现了空间二维和三维的转换，它是培养学生空间观念的作用点，所以本节课以A4纸为例作为点线面的平移旋转拓展课是非常合适而有价值的。
1.“学生至上，学为中心”的理念得到很好落实
在课堂教学中主要有以下几方面的表现:一是关注学生的状态，累了及时休息，关心最后离开孩子的安全等；二是给学生许多的时间，让学生思考、计算、讨论等；三是关注全体学生，如，不敢举手的举手，没举手的举手；四是与学生做好约定，如何表现和展示等。
2.精选素材，精心组织，开发教育的最大价值
本节课的教学目标定位非常恰当：进一步理解平移、旋转和轴对称等运动变换的性质，并沟通数学内在的联系；能计算出点线面平移、旋转后图形的面积和体积，提高学生的空间观念和想象能力；在解决富有挑战的问题情境中，提高推理能力和批判性思维。由此可见，本拓展课从课程层面得到了很好的设计，在实施中也有很好的表现：一是选择A4纸这个载体，通过图形变换打通数学相关知识之间的内在联系。A4纸常见，往往不容易引起重视，本节课从数学的角度重新认识A4纸，有利于培养学生用数学的眼光观察现实世界，也有利于培养学生的数学学习兴趣，激发学生的对数学科学的好奇心和求知欲；二是抓住重合的过程——图形的变换这个关键，精心设计研究问题，特别是先让学生直观猜测，再让学生计算得出结果，这样的环节设计非常好。如围绕A4纸展开研究：线的平移和旋转，图形（长方形）的平移和旋转，三角形的旋转等；三是瞄准培养学生空间观念、想象能力、推理能力和批判性思维能力。在教学中意图通过精心设计的7个问题来实现。
3.信息技术助推学生各种能力尤其是综合实践能力的发展
在唐老师的课堂中，充分体现了他的“技术改变课堂”的教学理念。主要的有如下两个方面:一是动态展示过程，包括开始的放视频展示图形与三种变换之间的关系和后面的图形面积或体积计算有关的题目，其共同特点是能够动态展示过程，一体化展示结果；二是将这些技术制作的媒介手段在课堂教学中得到了充分合理的运用，收到了良好的效果。比如猜测结果与直观图形对照，主要表现为图形面积和体积大小的比较问题，其中让学生仔细观察图形形成过程，将两个图形放在一起让学生先不计算直观比较等。
研讨与建议
1.开始展示图形与三种变换之间的关系视频的教学处理
这部分教学内容包括：激活点动成线、线动成面、面动成体的经验——点线面体之间的关系；点与点完全重合，只需要（平移）；线与线完全重合，需要（平移）（旋转）；三角形与三角形完全重合，需要（平移）（旋转）（对称）——平移、旋转和对称之间的关系。这些环节在学生看之前最好先提出问题思考，看以后再让学生交流，这样不仅帮助学生复习梳理相关知识，激活已有的相关经验，从中可以发现学生理解的状况，给予及时的指导，也可为学生后面的猜测提供知识和经验基础。
2.教学比较图形面积或体积环节的处理
课堂教学中出现了至少三次这样的教学环节，建议整体设计一下。比如在学生明确题意的基础上，闭上眼睛想一下得到的图形及其特点，动态展示图形的过程，猜一下所比较的两图形的面积或体积的大小关系，然后让学生计算，将计算的结果与猜的结果相比较，让每个学生充分发言，展示猜的依据或者关注点，特别是对正确的结论做出直观的解释，这涉及到学生空间观念、想象能力、推理能力和批判性思维等多种能力的培养，是本拓展课堂的重要教育价值所在。
3.有些细节有待优化，需要给予足够重视
一是在对A4纸旋转过程中出现了两种情况，那么可以类比在平移时为什么没出现。这一方面涉及类比推理，另一方面也是数学严密性的问题；二是在学生计算出了结果，并与猜测比较以后，给学生足够的机会进行解释，我认为这是提高学生直观能力的重要契机；三是在计算过程中为了比较的准确，各比较的对象间应同等处理，否则可能影响结论，比如有的计算中间取了近似值，应说明不影响结果，否则就不能取近似值代替计算。
结束语：拓展课的基本问题
1.拓展到何程度由学生发展水平决定
适合学生发展水平的课程设计和教学实施是最好的拓展课课程教学。学生的最近发展区在下界与上界之间。高于上界，学生学也学不会；低于下界，学生不用学就会。最近发展区的教学有很大的发展空间和学与教的艺术。希望一线老师们在这方面做出像唐老师一样的更多的探索。
2. 拓展课的开发的基本过程
在课程编制理论上最为著名的是美国课程专家拉尔夫·泰勒的目标模式。 它把课程编制的过程分为四个步骤:即确定教育目标、选择学习经验、组织学习经验、评价学习结果。大家可以按照这四个基本问题在拓展课程的开发方面做出更大的努力。
（齐鲁师范学院 郑庆全）
问题引领课堂
——《三角形的边》评课稿
2018年4月22日上午，何月丰老师在千课万人的舞台上给我们带来一堂别开生面的好课《三角形的边》。在整个教学设计上这位老师充分体现“学为中心”教育理念，利用数学问题引领整个教学环节“发现—— 验证——应用——小结”，努力构建以学生为主体的探索型的课堂教学模式。具体体现在以下几点：
1、善用质疑，刺激学生发现。何月丰老师首先从三角形分类入手，抓住按边分类的结果来展开三角形三边关系的研究。通过一个最优路线问题“从A点到B点，你会怎么走？”激发了学生的思考，让学生初步感知“在一个三角形中，任意两边的距离大于第三边”，从而发现三角形三边关系的特点；
2、巧用反问，刺激学生验证。何月丰老师巧妙地利用反问“在三角形中，会有两边之和小于或等于第三边的情况吗？”，将学生带入知识的深层次思考，激发了学生求证欲望。经过一番小组交流，何老师再利用多媒体展现“10cm、4cm、5cm三根小棒搭建三角形”的过程，化解了学生“两边之和等于或小于第三边不能围成三角形”的知识难点，并且让学生具体的感知到“两边之和大于第三边才能围成三角形”的三边关系的特点。
3、妙用问题，刺激学生应用知识，将知识内化。何月丰老师在学生获得三角形三边关系的特点之后，提出了一个更为开放的问题“对于一个三角形，两边长度都是6cm,第三条边长可以是几厘米？”有些学生说是“10cm”、“11cm”、“12cm”甚至有学生说“20cm”的，老师此时并没有及时点评，追问到“还能继续变长吗？”，让孩子快速地产生了质疑和思考，并对有些答案进行纠正，让全班同学一下意识到答案的范围性（第3边不能等于或大于12），此时，三角形的三边关系的特点在孩子认知和理解中得到了升华。
4、精用问题，刺激学生反思总结。在课堂的结尾，何月丰老师一句“今天，我们学了这个三角形三边关系的特点有什么用？”，将孩子的思维一下子拉入到反思与总结，让学生在本堂课上产生质的提高。
何月丰老师的这堂课让我们看到了他不断关注学生的画面，课堂上许多精彩的提问让学生的思维不断的外显，这足以体现何老师“学为中心”的追求。以上是自己几点拙见，不足之处请指教。
（湖南省长沙市长郡月亮岛学校 陈凡德）
“探秘”之旅：这里风景正好
——全国赛课一等奖获得者管小冬老师《三角形的秘密》教学品析
管小东老师是“国手”级名师，曾获全国赛课一等奖。非常荣幸，现场观摩了他执教的《三角形的秘密》一课，倍感“惊艳”。在我看来，用“精致”“细腻”“灵动”“深刻”来描述全课特色，是极为合适的。那么，管老师究竟引领学生经历了一场怎样的“探秘”之旅呢？以下，请允许我稍作梳理。
一、指向本质，确保“探秘”的科学性
粗读管老师的教案，会很容易将这节课与“三角形三边关系”划上等号。那么，这节课所谓的“秘密”，就是“三角形三边关系”吗？显然，不仅如此。管老师是一位专业功底深厚、学科视野广阔的数学教师，他在教案中论述“三边关系的认识价值在哪里”时，有这样一段文字，读后让人颇受启发：“三角形中，边与角的联系是非常紧密的，边的长度变化会引发角的大小变化，反之亦然。这也正是三角形稳定性的本质。既然如此，我们又何必硬生生地将之割裂，只看边而不关注角呢？”正是因为管老师课前作了基于学科本质的内容深读及目标重厘，学生们在课堂中发现的秘密才能“着力于边，延伸至角”，具有了更高程度的科学性。
二、优化操作，凸显“探秘”的实证性
既然是“探秘”，显然应该强调学生主体的实践体验。因此，基于这节课的内容特点，“操作”是绕不开的学习方式。令人欣喜的是，管老师对操作材料作了蕴含“玄机”的精心设计。首先，材料易操作。宽宽的纸条便于学生取放、摆弄、拼组，教师只需对“拼合时要关注纸条边线”作出提醒。其次，材料分颜色。三种颜色既便于鲜明区别，也利于交流指认。再次，材料含区别。管老师故意发给男生“无法拼成三角形的纸条”，让他们在“pk赛”中“落败”，进而生成“解密”的迫切欲求。整个过程，在管老师善于“挑拨”的语言串联下，既饶有趣味，又耐人寻味。
三、依序交流，明晰“探秘”的逻辑性
操作过后的交流环节，同样体现了管老师的匠心。一开始，先让“落败”的男生实物展示“三根纸条围不成三角形”的场景。教师耐心地引导学生聚焦边线、确定“围不成”的事实，并设问激思“怎么摆，让人一眼就能看出围不成”，自然引出“用不等式表示三边关系”的活动。就这样，所有“围不成”的情况，都被归结为“两边之和小于或等于第三边”的客观原因。紧接着，管老师顺势提出“从围不成的情况反过来思考围得成的情况，三边需要符合什么条件？”由此引发了一位学生“任意两边之和大于第三边”的高水平观点。事实上，本课所要探索的很多“秘密”就“潜伏”在学生的操作过程中，教师设计了“反例”开道、“正解”跟进的教学路径，有利于让“探秘”过程更有序、更严谨。
四、智慧跟进，增强“探秘”的可靠性
一名优秀的数学教师，善于从学生现场的言行生成中捕捉教学推进的“生长点”，管老师也不例外。课堂上，当孩子说出“任意两边之和大于第三边”的观点后，很多听课老师都以为“大功告成”“圆满收官”。而管老师却并不罢休，故意“找茬儿”：“观察黑板上的这些信息，刚才是任意两边吗？”边说边圈出每个不等式中相加求和的两个数据，使学生发现刚才只是“两条较短边之和大于第三边”，还谈不上“任意”。这时候，学习活动就进入了一个“任督二脉”将通未通的关键点。在充分观察、深入思考后，有学生发现“既然两条较短边之和大于第三边，那么，较长边相加的话就更大于第三边了。”由此，实现了这两个“秘密”的沟通与融合，让数学结论更可信。另外，当聊到“长边的对角大，短边的对角小”“根据两边长度，猜想第三边长度”等话题时，几何画板等技术手段的有力辅助，也让“探秘”所得更可靠。
正如本文标题所述，整节课所呈现的“探秘”之旅，风景正好，令人叫绝。当然，也有两个小细节，引起了我的思考。第一个细节，男生在操作中拿到的是“无法拼成三角形的纸条”。那么，是否有这种可能：有的孩子起点较高，早对“三角形三边关系”有所了解，于是，他在操作开始前就已洞察了手头材料的“猫腻”、拼图竞赛的“陷阱”。从这个角度分析，个人觉得本课的操作活动还是稍嫌“低估学生”，将学生置于对“三角形三边关系”零起点的位置。第二个细节，当孩子说出“任意两边之和大于第三边”时，教师下意识地认为“课前已经自学”了。但事实究竟如何，学生又为何想到使用“任意”二字，是否应该留出足够时间、让她充分阐述？
（浙江省绍兴市上虞区教学研究室 叶 柱）
材料的丰富性与结构化
——以教学材料适切性的角度来看何月丰和管小冬两位老师同课异构《三角形的秘密》
教学是一个复杂的系统，系统的各部分都需要优化，只有课讲得好是不够的，例题和习题的选择也很重要，因为这是非常重要的“教什么”的问题。
德国一位学者有过一句精辟的比喻：将15克盐放在你的面前，无论如何你难以下咽。但当将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你早就在享用佳肴时，将15克盐全部吸收了。
在教学中，我们提供的情境与素材之于知识，犹如汤之于盐。盐需溶入汤中，才能被吸收；知识需要溶入情境之中，才能显示出活力和美感。在教学中，我们应该尽量选择这样的能够“八方联系、浑然一体”的题目与素材。
听完了何月丰和管小冬两位老师同课异构的《三角形的秘密》，感觉两位名师在学习材料上独具匠心，给人很多启示。两节课代表了浙派和苏派风格，各有韵味，就像著名社会学家费孝通先生总结的“各美其美，美人之美”。
一、材料的丰富性
何月丰老师的课：
何老师在提供供研究的三角形素材时，很干净利落地放手让学生自己来提供，他一口气提了三个要求：
你打算画一个怎样的三角形？
你还能画出不一样的三角形吗？
你能画出几个不一样的三角形？
把这三个问题一起抛给学生，免得问得细细碎碎，让学生有一个相对独立、安静完整的思考时间。
我们注意到：何老师希望学生画出尽可能多的不一样的三角形，这就为接下来的探究准备好了非常丰富又富有典型的学习材料。果然，学生提供了按角分类的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类的等腰三角形、等边三角形、普通三角形等。
俗话说的好：“秧好谷一半”，“题好文一半”，这些好的素材为学生接下来的探究打下了一个良好的基础。
管小冬老师的课：
管老师不同于何老师的是，素材是由管老师自己精心设计的：
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编号 |
黄色小棒的长度 |
橙色小棒的长度 |
白色小棒的长度 |
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12 |
9 |
2 |
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② |
12 |
9 |
3 |
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③ |
12 |
9 |
6 |
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④ |
12 |
9 |
9 |
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⑤ |
12 |
9 |
15 |
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⑥ |
12 |
9 |
18 |
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⑦ |
12 |
9 |
21 |
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⑧ |
12 |
9 |
22 |
这是一组精心设计的素材，有明显苏派小学数学教育的味道：
全面性：各种可能性兼顾，有能拼成三角形的，也有不能拼成三角形的；两边之和大于、等于、小于第三边的情况都有。并且，黄色小棒的长度和橙色小棒的长度是固定不变的。
管老师在设计这一组学材的时候，就有了明确的“拎一拎，比一比，联一联”目标意识。这样精心组合而来的题组，能充分发挥其整体功能,优于无组织的分散练习。因为这时候不仅仅是“散兵游勇”在“孤军作战”，而是组织得很好的“精兵强将”在“协同作战”。这样的题组能纠正错误、查漏补缺、增强能力，还能帮助学生提升思维品质、形成知识结构。
二、材料的结构化
无论是自然界还是社会领域，事物的结构在一定程度上决定了其功能或效能。就像石墨和钻石都是由碳原子构成，但是由于原子间的结构不同，两者的性质有天壤之别。
两位老师的共同之处是给学生提供一组相关联的有结构的材料，方便学生总结规律：
何月丰老师的课：
何老师的课堂用几何画板向学生动态展示了一个等腰三角形（腰长为6厘米），这两条腰所对的底边长度出现的各种可能。
1. 随着夹角的变化，原三角形从一个普通的等腰三角形变成了一个等边三角形（边长为6厘米）；
（学生直观地看到了等腰三角形与等边三角形之间的关系）
2. 最后当这两条腰成一条直线时，即6+6=12厘米时，这时候得到的是两条平行线，是拼不出三角形。
（学生直观地看到了为什么拼不成三角形的原因）
何老师在设计这个题组时，不是在原有的知识上炒冷饭，而是精心提供了一组思维材料，由易到难，步步设梯，从而引导学生的思维不知不觉跟着“爬梯”。这样，练习就有了层次和梯度，学生能收获到步步登高的愉悦感和成就感。
管小冬老师的课：
管老师抓住能拼成三角形的四组数据，这四组数据是有紧密联系的：
黄色小棒（12厘米）和橙色小棒（9厘米）的长度不变，只是变化了白色小棒的长度，控制变量，方便学生能直观地、快速地观察得出结论。
果然，当管老师把ƒ④⑤⑥这四个能拼成三角形的图形依次摆开时，学生很容易就观察到：白色的小棒长度和它所对的夹角有着密切的关联——角大，边就长；角小，边就短。
深入探究，得出白色小棒的长度是在一个区间范围内的：比12-9的差要大，比12+9的和要小。真的找出了隐藏在三角形内部的秘密。
这让我想到：我们不排斥“告诉”，而应追求“告诉”的艺术。
两位老师都为学生提供丰富而富有结构的材料，教学过程丝丝入扣，满足了学生好奇、好趣、好问、好胜、好探、好玩的心理。
（浙江省杭州经济技术开发区教育发展研究室 杨迎冬）
借助想象 破解“秘密”
—— 同课异构《三角形的秘密》教学赏析
高手相逢，各显绝技，相生相融，精彩无限！
何月丰老师，全国第十三届小学数学教学改革观摩交流会佛山体育馆场地的一等奖第一名获得者；管小冬老师，全国第十三届小学数学教学改革观摩交流会南海体育馆场地的一等奖第一名获得者。今天上午，两位冠军汇聚“千课万人”活动，同课异构，共同演绎《三角形的秘密》，让所有参会者翘首期待。果然，两位高手不负众望，各自通过精彩的课堂阐述着对教学内容的理解，用精巧的材料抵达教学的彼岸。下面就和大家交流几点听课心得。
一、关注整合与联系，丰富三角形的“秘密”
在教学四年级下册《三角形》单元，大家都会从“边”“角”的两个方面研究三角形，通常的理解，三角形“边”的秘密就是 “三角形任意两边的和大于第三边”，而有关“角”的秘密就是“三角形内角和180度”，然后用两个课时分别组织教学。而今天两位老师的课堂演绎，都明白的告诉我们，不能割裂的、孤立的教学，而要用联系的视角、整合的理念，把握三角形的秘密。细细揣摩两位老师的教学，却有各自不同的“招数”，这也许就是“和而不同”的精神吧。
且看何月丰老师的教学理解与实践：先引导学生思考“根据以前学习图形的经验，三角形可以研究什么？”然后明确本节课研究任务是“三角形的边”。看到三角形，学生最直接的反映就是三角形中三条边有长有短，因为这是可以直接观察得到，因此就有了三角形按“边”特点的分类：等腰三角形、等边三角形、普通三角形，这是指向三角形“边”的不同点。然后何老师再引导研究三条边中两边之和与第三边的关系，这是指向所有三角形“边”的相同点。
同时关注不同点和相同点，使得学生能整体关注“边”的特征，更可贵的是，这样的研究方法，学生还可以迁移到三角形“角”的研究：根据角的“不同点”，进行三角形分类，然后指向相同点，发现“三角形的内角和180度”。当然，这样的研究方法还会贯穿到后续四边形的认识。
再看管小冬老师的教学理解与教学路径：同样也是先引导学生猜测，研究三角形秘密可能与谁有关，引出基本要素“顶点、边和角”。先让学生研究“为什么三根小棒不能围成三角形”，明确两边之和不能小于或等于第三边。然后再讨论“怎样的三根小棒就可以围成三角形”，定格在“有两条边固定是9和12，第三条边分别是6、9、15、18的四个三角形”，让学生观察发现：长度是9和12两条边的夹角越大，第三条白色边就越长，夹角越小，第三条边就越短”。非常自然的让学生同时关注三角形的边和角，把“边”的变化和“角”的变化联系起来。如此设计，出乎意料，高明！将角与边联系起来后，对于 “直角三角形中斜边最长”，“等腰三角形底角相等”“等边三角形三个角都相等”，都可以在思考中得到更深入的理解。
通过管老师的教学引导，学生发现了三角形“边”的秘密有：（1）任意两边之和大于第三边；（2）固定长度两条边的夹角越大（小），对边越长（短）；（3）两边之和大于第三边，第三边大于两边之差。
总之，何老师通过教材整合与课时重组，顺应学生认知特点，让学生整体理解三角形中“边”的不同点和相同点；管老师关注数学内部互相联系的视角，让学生不仅看到三边之间的关系，还把握到边的长短与角的大小的之间的变化与联系。
二、借助想象，破解三角形的“秘密”
正如管老师在课前慎思中所述：三边关系的认识难在哪里？ 一是学具选择难，我们平常选择的学具有小棒、纸条、吸管……，都有一定的宽度，而数学中的“线段”是没有粗细的。二是观察发现难，在给定三根纸条后，学生操作时，总会自然而然地将最长的那根平放在最下面，然后将较短的两根接上去，再转动它们，使另两个端点重合。尤其是在两边之和等于第三边时，学生操作过程中总会努力让顶点靠近，造成“围成”的样子，老师也很难反驳，眼见为实嘛！
今天课堂中也真实上演了如上的困境：让学生用12厘米、9厘米、21厘米三根小棒围三角形，有学生说不可以，也有学生说“好像可以”，还到实物投影上展示出来。
如何破解这个困难？何老师和管老师的共同对策是“空间想象+技术验证”。何老师在引导研究“5厘米、4厘米、10厘米”和“6厘米、4厘米、10厘米”能否围成三角形，都让学生想象：如果围在一起，会怎么样？学生想到“5厘米和4厘米与10厘米重叠后，还差1厘米，不能围成三角形”，“6厘米和4厘米碰在一起，就和10厘米重叠了”。在学生有了充分的想象后，再借助几何画板的演示，验证学生的结论。
管老师在引导研究“两条边固定为12厘米、9厘米，第三条边可以是多长？”，让学生在脑中想象，不断拉大两条边的夹角，直至180度，然后又不断变小，直至0度（即重合），第三条边分别是怎样的状态，各有多长。先让学生努力的“想到”，再用信息技术演示，让学生清晰的“看见”。
引导学生用数学的眼光观察，用数学的方法思考，用数学的语言表达，让学生破解三角形的秘密，体会数学学习的魅力。
三、关注应用，促进思维的深刻
当学生发现三角形“边”的秘密后，两位老师又都设计练习，让学生在运用中深化理解。
何老师设计“判断下面哪三根小棒可以围成三角形”，看似极为普通，实则暗含玄机。材料是标有长度的小棒，分别是3、5、8；4、5、6；3、3、7；8、6、6。第一个目标点是：判断能否围成，想象围成的三角形，是一般三角形，或者是等腰三角形，是对三角形按边分类的巩固。第二个目标是：判断能否围成的方法，从“任意两条之和大于第三边”，到“两条短边之和大于第三边”，明白了其中的道理，深化了三角形三边的关系。
管老师设计的“如果一个三角形两边是6厘米、8厘米。想象一下，它的第三条边可能是多少厘米？”，学生很快能想到“要小于14厘米”，是不是只要小于14厘米就都可以？学生还要想到“第三边要大于2厘米”，使得学生的思考更加全面。又如 “小明、小红围三角形，判断是谁围的”（见下图），学生都能应用“边的长短和角的大小的关系”进行思考与解释，可见，学生的思维更加清晰了。
何老师和管老师的课堂值得我们学习的地方还很多，比如：何老师总是关注学习方法的引导，当学生说出等腰三角形的“腰”时，何老师即时追问“为什么叫腰”“有什么理由”，引导学生从前期学习的“梯形”中类比迁移。又如管老师的课堂总能彰显细节的魅力，学生操作材料的不同颜色，便于学生观察和表达，操作纸条的长度（两条都是9和12，另一条不同）数据的设计，都有助于数学规律的发现。另外，两位教师都能得心应手的使用“几何画板”技术，非常有效的辅助数学学习。
一点思考： 昨天听了郑毓信教授的讲座《中国数学教学的“问题特色”》，提出“问题引领”和“问题驱动”的重要性。结合《三角形边的秘密》的教学，我们往往把研究重心放在“三边有怎样的关系”上，而对“为什么要研究三边关系”，特别是“学生凭什么要想到去研究两边之和与第三边的关系”，我没有任何答案，期待同行的解答。
（杭州市江干区教育发展研究院 田小勤）
为学生发现秘密启发思路 为学生验证结论提供直观
——《三角形的秘密》同课异构教学赏析
由三条线段围成的封闭图形叫做三角形。可是，三条线段并不是围成三角形的充要条件。三条线段能不能围成三角形，还取决于它们的长度关系，这就是三角形的性质：三角形任何两边的和大于第三边。与此相关的一个基本事实是：两点之间线段最短。根据这个关于线段的基本事实，可以得到以上三角形的性质。
如果给定一个三角形，凭借经验和直觉，就可以知道两边之和大于第三边。凭借直观想象，也容易理解三条线段中，如果两条线段之和小于或等于最长的一条线段，那么这三条线段首尾相接是不能组成三角形的。但是，数学的性质不可能从一个具体的例子中直接得出，而是要从一类例子中归纳得到。此外，数学性质一般用肯定的语言描述，很少采用否定的表达形式。因此，学习三角形任意两边之和大于第三边的性质，重要的不是验证这个性质，而是经历发现与形成这个性质的思考过程，特别是归纳数学结论的过程。
何月丰与管小冬两位老师以同课异构的方式教学《三角形的秘密》，让学生经历了三角形任何两边的和大于第三边这个性质的发现、形成、验证与运用的过程。但是，两位老师在关键的教学与学习环节，教学的思路与方式有很大差异，这些差异真正体现了同课异构这种教研方式所应追求的“大异小同”的价值取向。通过对两节课教学的比较，可以获得许多有益的思考与经验。
何老师教学的思路是，把三角形边的特征与三边关系的研究联系在一起，让学生在更大的背景上研究三角形边的性质。教学伊始就启发学生思考，要研究这个三角形可以研究它的什么？帮助学生积累图形研究的思维经验，并把探索目标聚焦到边的特征与关系上来。让学生画出不同的三角形，根据边的特征对三角形进行分类，得出等腰三角形、等边三角形与普通三角形边的不同点，并为后继验证三角形的性质提供了学习材料。三角形两边之和大于第三边的结论，是以游戏的方式归纳得到的，并通过测量与运算得以验证，教师将之称为不同类别三角形边的相同点。在初步归纳出三边关系的基础上，何老师又引导学生用不同类别的三角形去来验证结论的真伪，最后，通过对它的否命题的讨论和操作实验，帮助学生从另一个侧面更加深刻地理解三角形的性质。
管老师教学的思路是，通过用小棒摆三角形的操作活动，获得三根小棒不一定都能围成三角形的经验，通过操作验证进一步明确，两根小棒的长度和小于或等于第三根小棒时，都不能围成三角形，通过小棒长度的运算比较，得到不能围成的秘密是三角形任意两条边的和小于或等于第三条边。“从围不成的情况，我们得到这样的结论。如果要围成，需要什么条件”，进一步讨论它的否命题是否成立。在归纳得到三角形任意两边之和大于第三边的结论之后，通过对“任意”的讨论，把判断能否围成的方法简化为较短的两条边之和大于较长的那条边。在此基础上，通过观察比较两边长分别是9厘米和12厘米的一组三角形，发现随着另一边长度的变化，所对的角也发生变化。进而得到三角形固定长度的两边夹角越大，对边越长，夹角越小，对边越短。最后通过课件演示得出两边长度固定时，第三边的取值范围处在两边之差与两边之和的区间里。
两位老师的教学，在发现秘密的路径设计、验证结论的策略方法等方面都有比较大的差异。何老师采用正面直击的方法，通过游戏活动和直觉判断，直接归纳得到三角形两边之和大于第三边的结论，并在不同类别的三角形中验证这个结论；管老师采用的是迂回包抄的方法，通过用小棒搭三角形的活动发现如果两边之和小于或等于第三边，就不能围成三角形。由此推理得到，三条线段围成三角形的必要条件是两边之和大于第三边，并通过固定长度的两边夹角的变化，验证这个事实。两位老师的教学也有许多共性，比如，都十分重视为学生发现秘密启发思路，都通过操作与运算的活动为学生验证结论提供直观。
（浙江省新思维教育科学研究院研究员 姜荣富）
深度学习 深在何处
——基于“深度学习”视角下来观察朱德江老师的《三角形三边关系》一课
朱德江老师一直倡导力行“学导课堂·深度学习”。那么，深度学习的课堂样态究竟是什么样的？知行合一，他用自己执教的这节《三角形三边关系》做了一次生动地阐述。
一、深度学习，深在“深度挖掘学生错误”
好的教学是能吃准学生、敢于暴露，从而激活思维，帮助深刻理解。
我们来看看学生的错误是怎样被发现、被挖掘的？
【案例一】
朱老师出示了一个三条边长分别为2、3、4厘米的三角形，学生经过探究得出结论：三角形任意“两边之和＞第三边”。
朱教师问题1：一个例子太少了，结论不可靠。是不是所有的三角形都这样？你能不能举些不符合“两边之和＞第三边”的例子（反例）？
这么一个问题放出去，状况频出，反馈回来的信息完全暴露出了最真实的学情：
5、6名同学真的画出了这样的“反例”三角形：如“1+1=2（厘米），3+3=6（厘米）”。
朱教师问题2：那该怎么办呢？
学生1：改结论，改成“有些两边之和＞第三边”（可见已经认同刚才那5、6名同学的意见）
学生2：改结论，改成除了等腰三角形之外，其他的三角形“两边之和＞第三边”（可见她注意到了“1+1=2（厘米），3+3=6（厘米）”这样的三角形是等腰三角形，她也是认同刚才那5、6名同学的意见）
学生3：改结论，改成“有的两边之和＞第三边”，“有的两边之和≤第三边”。
（可见完全认同刚才那5、6名同学的意见）
——眼见为实，看样子，学生只愿意相信自己和小伙伴的眼睛和感觉。怎么办？
中国小学数学教育的鲜明特征在于“多角度理解”。暴露真实学情之后，如何“拨乱反正”，朱老师的处理方式有二：
第一招是“测量”——请一位同学来重新测量，发现刚才的“3+3=6（厘米）”的“反例”三角形，两条边并不是准确的3厘米，而是有一条边测得是2.9厘米。——朱老师顺势解释了测量中的误差问题。
但是这样的解释毕竟有些轻飘飘，并不足以服众，有些学生的心里还存有狐疑。
第二招是“推理”——请来课件帮忙：不是用“测量”的方法，而是借助逻辑的力量，用“推理”的方法。课件动态展示当“两边之和=第三边”时，两条边只有一种“碰牢”的可能，就是两条边成180度，形成一条直线的时候，而这个时候得到的是重合在一起的两条平行线，是围不成三角形的。至于另一种情况“两边之和＜第三边”，就更加围不成了。
课件用在学生想不明白的地方，用得恰到好处，发挥了该有的作用。
这个教学环节给我的启示是：做对了,说不定只是模仿；做错了,绝对是他的原创。我们都知道，学生的错误是最宝贵的学习资源。“最好的题就是做错的题”。教学中绕不过的是学生的疑惑。最有价值的是从学生的疑惑处开展教学。学习中，有些错迟早要犯的。如果学习过程中我们剥夺了学生犯错的机会，那错误只能暴露在考试里。因此，聪明的教师不要“守株待兔”，被动地等待学生错误的自发暴露，甚至可以像朱老师这样主动出击，采用多种方法巧妙地诱发，使之暴露出来。
诚如作家张爱玲说的：人生有些弯路，你非走不可。
这还让我联想到北京华应龙老师倡导的“融错”教育，从“容”错——到“荣错”——到“融错”，包容孩子错误。有容乃大，因为朱老师包容，学生才会有心理上的安全感，课堂才会活起来，才能洋溢着生命力。
二、深度学习，深在“提炼数学思想方法”
我们注意到朱老师特别注重数学思想方法的提炼总结、适时渗透。
1.朱老师经典句式之一——“以后你们可以就用她的办法来想”
“教学之功，贵在引导”，西方谚语：“你可以牵马到河边,但不能强迫它饮水”。心理学家也认为:没有任何人能教会任何人任何东西。“教会”从根本上说都是我们创造一个学生愿意改变的环境，学生通过自己的内化而学会的。我们来看朱老师是如何循循善诱：
【案例二】
判断：9、4、6厘米的三条边能否组成一个三角形。
学生1：能组成，因为三角形任意“两边之和＞第三边”：9+4＞6,9+6＞4,6+4＞9
（用三个算式来证明，亦步亦趋，这是“会”了，模仿性的初级水平）
朱老师引导：有没有不一样的吗？
学生2：把两条最短的边加起来就可以了。6+4＞9。如果短边之和都大于长边，那么长边之和更加大于短边了。
（讲道理将推理，只用一个算式来证明，简洁实用，这是“通”了，创造性的高级水平）
朱老师提醒全班同学注意这个好方法：她说什么？你们听懂了吗？
朱老师进一步完善学生2的说法：也就是不需要三个算式，只要一个算式就行了。
并且在黑板上把6+4＞9框起来以示强调。
朱老师号召全班同学：以后你们可以就用她的办法来想。
果然，接下来另一个同学在完成下一道题时，学以致用地说：我用刚才那个同学（受到朱老师鼓励的学生2）的办法……
我注意到整个教学过程中，朱老师不徐不急，多倾听少打断，高尊重低控制，深思考能容忍，善引导促反思。因为朱老师及时有效的引导，让一个学生的好方法得以推广，全班同学的思维都得以提升。
我也发现，朱老师自觉不自觉地在寻找教学中讲与不讲的“黄金分割点”，讲究“闭嘴的艺术”“空白效应”，给学生多留一些时间和机会。
这也折射出朱老师的学生观：不仅仅只是培养考生而是真正培养学生：仅仅教结论，学技能，这是在培养考生；注重教思维，学智慧，这是在培养学生。教学生六年，想学生一生。
朱老师经典句式之二——“讲不明白的时候就举例子”
【案例三】
在判断“三条长度相等的三角形能否围成三角形”，朱老师有两次很好的引导：
一是引导学生：说说你是怎么想的？把道理说明白才是厉害；——知其然还知其所以然
二是鼓励学生：这道题里有数吗？没有数的时候，我们可以举个例子来说明。——抽象问题具体化
我不由地想到：教师的成长过程常常会经历从不会讲——很会讲（自我展示与表演）——有节制地讲这一过程。有节制地讲，讲什么呢？就像朱老师这样，讲对知识结构建构有用的内容，讲书本上常常找不到，对解决问题有用的内容，讲学生听了、用了感到佩服的内容。
一直以来，我们在课堂上都太想教了，总是忍不住、等不及、放不下，能否学习忍者神龟，退后退后退后，把舞台让出来，让学生站在正中央。朱老师目中有人，善解人意，在学生迷茫困难、需要帮助之处及时出手，在“随风”“潜入”上做文章。
三、深度学习，深在“经历完整探究过程”
接受学习—— 短期高效，中期低效，长期无效。
自主学习—— 短期低效，中期有效，长期高效。
实践证明：教育时程越长，自主式学习对于学生终生发展（包括升学）的贡献也就越大。
仅仅是教师演示讲解，是一种低阶思维水平，主要是培养了记忆、理解、应用能力；
如果让学生合作交流，是一种高阶思维水平，主要是培养了分析、评价、创造能力。
纵观朱德江老师的这节课，学生自主地完整地经历了一个科学探究过程：生活现象，提出问题——探索发现，举例验证 ——应用结论，解决问题 ，发展了学生高阶思维水平。
你看，学生自己探究，懵懵懂懂，跌跌撞撞:有成功的喜悦也有有失败的沮丧，有共通的感受也有争论的交锋。这样做的优点，将使学生在学习过程中大脑得到充分地锻炼。同时，一切都是自己动手完成，历经艰难”，熟知其中的“沟沟坎坎”，“起起伏伏”，必将印象深刻、记忆久远。有效避免“一听就懂一做就错”现象——知识和思想只有在学习的“阵痛”之中产生出来,这样才培养了高阶思维能力，才能留下深刻的印象。否则，轻易得到的也就会轻易地失去。从这个意义上来说，“过程本身就是一个课程目标”。
“我听过了,我就忘了；我看见了,我就记住了 ；我做过了,我就理解了。”“看人挑担终觉轻，事非经过不知难。”“做”中学，而学生正是在完整地做完每一件事的过程中，完整地了解实际境遇、完整地体验实际感受、完整地遭遇实际困难、完整地解决实际问题，最终完整地获得新的发现。在接触真实的情景、完成真实的任务中，必然会锻炼出处理问题的真实能力。“做”的过程是增长智慧的过程。
上官子木发表《中国基础教育省略了什么》 一文中对此问题有深刻的剖析：美国学校一星期的课程，我们只用10分钟就可完成。正是由于进度快，所以课程内讲授的知识点多，但我们的快进度是有代价的，即我们省略了动手制作的全过程，因而我们的学生不会像美国学生那样尝试到成功，也不会体验到失败；不会知道照着书上的程序做仍会遇到很多困难，包括材料的性质是否符合实验要求，也包括具体的操作细节是否有误差。在这样一个自己动手的全过程中，学生必然要思考、要选择、要寻找失败的原因、要克服各种困难。如此学到的原理，就不只是书本上的抽象定义，而是包含着自己亲身经历和真实体验的生活道理。
愿我们做教师的都能像种树的郭橐驼一样，“能顺木之天以致其性”，引导学生在做中学，学中做，经历完整的探究过程，让数学学习在课堂真正发生。一如《桃花源记》中描述：“山有小口，仿佛若有光。......初极狭，才通人。复行数十步，豁然开朗。”
（浙江省杭州经济技术开发区教育发展研究室 杨迎冬）
深度学习，在于“激思、破疑”
——特级教师朱德江《三角形三边关系》教学赏析
近阶段，关于深度学习的关注与思考，成为了一个热点。那么什么是深度学习呢？专家们还尚未形成定论。在笔者看来，对于学习者而言，深度学习应该是一种“思维被激活，疑问被打破”的学习状态。我们说，深度学习是一个目标，更应该是一种过程。在数学课堂上引发学生深度学习，也便是一个引导学生对数学问题在深入思考的基础上实现释疑，在问题解决的过程中发展思维，形成能力的过程。今天听了特级教师朱德江老师的《三角形三边关系》一课的教学，课中引导学生经历数学规律“产生——猜想——检验——结论——运用”的过程中，便是一节很好地体现了深度学习诸多特征的课堂。现结合课堂教学中的几个板块，作粗浅地解读与探讨。
一、规律初识，让学生经历从生活现象到数学表达的过程
我们说，三角形中“边”的性质其实在生活中还是有比较广泛地应用的。正因为“任意两边之和大于第三边”，所以（如下图）笑笑去海洋馆走蓝色的线比走黄线再走红线，路程要短。这也正是朱老师在课始引入的生活事件，自然而又生动。只是接下来的设计，却是很耐人寻味了。
师：这是我们生活中经常碰到的现象。今天我们用数学的方法来研究这种生活现象。你会用一个怎样的算式表示出来呢？
学生活动，自主思考，很快得到结果。
生1：量出黄色的线长2厘米，红色的线长3厘米，蓝色的线长4厘米。算式是4＜3＋2。
师：这个算式我们也可以写成3＋2＞4。
生2：还有3＋4＞2。
生3：还有4＋2＞3。
师：这样三个算式，是不是把刚才的现象表示出来了呢？
生：表达出来了。
师：什么意思呢？
生：任意两条边的和大于第三条边。（教师顺势板书）
应该说，在这规律初识的环节，学生经历了一个将生活现象抽象成数学表达的过程。从课堂上实际出现的情况来看，似乎完成的比较顺利。学生的思维从直观形象到数学抽象的过程，几乎没有碰到困难。
二、规律验证，让学生体验从质疑结论至质疑材料的过程
以新课程理念来看如今的课堂，顺畅的课堂肯定不是好课堂。有问题产生，对问题深入思考，在问题解决的过程中又有新问题产生。这样的课堂，才是体现新课程理念的好课堂。在我看来，朱老师今天的课堂之所以精彩，就在于体现“问题的产生与解决”的过程。我们来看，朱老师是怎样引导学生产生新问题的。
师：是不是所有的三角形都这样的呢？
有学生说“是”，有学生说“不是”。
师继续引导：用这么一个三角形得到一个结论，可靠吗？
生：不可靠。
师：那怎么办？
生：应该再多举几个例子。
师：好！那就请你自己画一个三角形，去验证一下。特别重要的是，你试着找一找，有没有两条边的和等于第三条边或者两条边的和小于第三边的情况。
学生进入到自主活动：画一画、量一量、算一算。
完成后，先比较快速地反馈了四份符合规律的作业。追问：有没有找到不符合的，请举手示意一下。有5、6位同学举手。
展示了两份作业：一份画了两条边是1厘米，一条边是2厘米的“三角形”；一份画的是两条边是3厘米，一条边是6厘米的“三角形”。
师：那么多的学生找到了反例，那么这个规律成立吗？
此时，教师没有急于去说明或纠正学生的问题，而是故意放慢节奏，由学生自由讨论。于是，便有学生针对规律的表达提出了质疑，有学生则尝试着调整规律的适用范围，也终于有学生开始怀疑这些举出的反例，是画错了的“图形”。
笔者以为，这样的学习才可能是有深度的，理由有二：一从知识学习的维度来看，这是学生对规律的质疑，是一个对数学规律再认知、再思考的过程；二从学习策略维度来分析，这更是一个引发学生对学习过程进行自我反思的过程，是一种元认知激活与运用的过程。当学生的元认知被激活，他们才有可能从整体上思考学习的进程，从更深层次上体验数学学习的策略路径。
三、深研规律，让学生体悟思维从浅表向深层推进的过程
研究表明，顿悟是思维在碰到困难，无法找出突破口时，突然产生的那种豁然开朗的感觉，是一种思维发生突然变化的状态。而深度思考有时候就会促使思维发生顿悟的感觉。朱老师在引导学生深入研究规律时，学生对三角形的“边”的性质的认识与理解，就有这种思维顿悟的感觉发生。我们来品味朱老师的引导过程。
师：那么，到底会不会存在两条边的和等于或小于第三条边的呢？
有学生还在说“可能的”。有一位学生则表示：我刚才又画了，我画了一条2厘米的边，再画另外两条边的时候，需要比2厘米还多一点。说明，等于是不可能的。
此时，教师借助课件动态演示，让学生感受两条边等于或小于第三条边，无法组成三角形的现象。而通过对演示过程的观察，学生不仅在直观层面认识了“两条边的和等于第三条，只会出现重叠却无法围成三角形”的现象，而且在思维层面上有了对“任意两边之和大于第三边”内涵的理解逐步走向深刻。
当课堂上的学习活动进行至此，作为观课者的我，对于“不愤不启，不悱不发”有了更为深刻的体悟。我们说，朱老师本课中的这个环节教学，不正是体现了这样的一个意思吗？也唯有让学生的疑惑达到一定程度时，再让学生看看到底发生了什么。学生在这个时候的观察，会更加地投入，思维也更能突破疑惑处，上升到更高的水平。
四、规律运用，让学生对规律的认识从直观认知上升到抽象理解
规律的学习一般不是止于得到，而是需要在运用中加深认识。也只有当学生能够真正地运用规律分析数学现象，解决数学问题时，我们认为才是理解了规律，掌握了规律。在朱老师的课中，对规律的运用练习设计得也是颇具有匠心的。
练习活动：判断下列每组的三条线段能否围成三角形。
第一组：9、4、6。学生判断后，讨论想法。出现了两种想法：一种是分别两两相加与第三条边比较，结论是“能围成三角形”；第二种想法在教师的追问下产生，只要把两条短的边加起来与最长的边比，如果和大于最长的边，那么结论就是“能围成三角形”。这组练习的功能也很好地得到了体现，即引导学生优化方法，体验三角形三边关系的“判定”。
第二组、第三组巩固认识。到了第四组、第五组：“三条长度相等的线段”和“三条线段，其中两条长度相等”的判定，则引导学生从直观到抽象理解水平。特别是第五组，学生又有两种不同的理解，产生了认知冲突，最后引导学生讨论得出结论：这种情况因为信息不充分，所以“无法判断”。
综观朱德江老师《三角形三边关系》整节课的教学设计，改变了以往从直观操作入手，以生成问题出发，重点围绕“规律的成立与否”这个核心问题，层层推进，步步深入，在引导学生经历了“起疑、再疑、解疑、释疑”的过程中，理解规律，掌握规律，让深度学习真正发生。这才是我们所追求的“理想课堂”。
（浙江省嘉兴市南湖区小学数学教研员 费岭峰）
小数据引发大思考
——评张齐华老师《“数说”淘宝》
张齐华老师的《数说淘宝》一课，紧跟大数据的时代潮流，借助与生活息息相关的时尚网购看本真数学，打开了学生视野，也带给了我们很多思考与启示。
一、关于课题的思考
《“数说”淘宝》中的“数”说，从数学教学的角度，一般都是从数字、数据的角度切入，这显然也是张老师的着眼点，但张老师并没有局限于此，将“数”引申为条目、条理，并有顺序地一一分析，以打开学生的视野，提升学生的分析能力。如对购《大数据时代的小数据分析》一书的选择，从价格、运费、评价、销量等方面广泛讨论、分析就体现了这一点。当然，课题的新颖、简洁，也给了我们很好的启示。
二、课程整合途径的启示
综观《“数说”淘宝》，应是一节综合实践课，也就是说是整合性课程。对于这一类课程，教材提供的资源相对较少，而老师总是苦于不知从何处着手，张老师从老师人人参与，学生也有的参与，即使没参与也非常熟悉的网购着手，给我们全新的启示。在整合资源方面，张老师跳出了人们对儿童的生活经验参观游园等的局限，就儿童似懂非懂的素材进行分析，利于促进学生的发展。
三、整合课程资源开发途径的思考
整合课程的思路确定后，资源开发就摆在了老师的面前。张老师围绕淘宝，选择了自己购书，淘宝关于最爱购辣椒省份和购书的城市数据等三个素材，意图非常明确。关于自己购书，怎样选择商铺，这一素材学生比较熟悉，选择过程中的要素分析，对学生是一次思辨，是一次培训；而后却反过来，你怎样认识陶宝所积累的关于购辣椒和书的数据？当学生（与观摩老师）一人又一人、一次又一次地调动自己的生活经验推理，甚至于相互讨论的结论时，真实的数据却告诉人们“合情”却不“合理”，被“数据”进行了一次全新的教育，对“数据”也有了一次全新的感受。具体讲，辣椒是常见的食品，人们对它的喜好分明，数据对人们固有思维产生了冲击，其中原因说得清却又道不明，这就是社会生活，这就是统计的意义与必要！而购书却是人们共同的追求，为何又在地域分布上如此集中呢？也带给人们对社会生活现象的深度思考。
四、关于学生观的思考
数学教学的终极目标是要促进学生的发展。而促进学生的发展，首先要目标明确，接下来就是要找准抓手，步步落实，再就是循序渐进。张老师的课在促进学生发展方面给了我们很多有益的启示：首先，在统计领域知识教学目标的制订上，正如他自己所说，跳出数据的收集、整理、描述的范畴，着力学生合情推理的认识，而这一过程是在不断引导学生猜测、说理由，也就是大家都认为“合情”的推理的基础上，再用事实数据颠覆人们的推理，使学生对合情推理有了深刻的认识；同时，猜测、说理的过程，是对学生表达能力的一次深度锻炼，因为在这一过程中，学生需要调动已有的生活、知识经验并用数学的眼光分析，同时也要注意表达方式；再就是学生各自表达的结果也能相互启发，这对学生来说也是一次积累；最后，学生交流与数据呈现的结果，也促进了学生对祖国幅员辽阔、文化深厚又地域特色鲜明等特点的认识，拓宽了学生的视野，也有助于学生激发爱祖国、爱家乡的热情。这些都是三维目标的具体实践。
总之，除上述深度思考外，张老师在课堂中的潇洒自如，善于启发与归纳的快速反应也给了我们直观的教育。
当然，由于淘宝的数据宝典中的数据对人们的推理产生了颠覆，那么，如果借助这一“宝典”对这些数据的产生原因作适当的说明以释人们的心中疑问，是否更恰当呢？
（江西省南昌市小学数学教研员 胡桃根）
