今天我要和大家谈谈数学教学心理，全名叫《小学数学教学心理学》。什么叫数学教学心理？课程标准指出：“课程设计要充分考虑学生学习的特点，要符合学生的认知规律和心理特点，激发学生的学习兴趣。”其实这是一条教学原则，说得很原则、很概括，因而也很空洞。课程设计要充分考虑学生数学学习的特点，那学生数学学习的特点是什么？我们怎么去充分考虑学生数学学习的特点进行教学？要符合学生的认知规律和心理特点，那学生的认知规律是怎样的？又哪几条认知规律？学生又有怎样的心理特点？也就是说，儿童的学习性心理是怎样的。怎样教学才符合学生的认知规律和心理特点呢？怎样激发学生的学习兴趣？标准语很概括的三句话，而这些，恰恰就是数学教学心理所研究和阐述的内容。在数学上的心理是揭示儿童学习心理和怎么样进行数学教学的心理学，有人通俗地把它叫作“学”与“教”的兴趣。就是告诉我们，学生怎么学和教师怎么教的心理学。心理学不同于我们在师范学校里学的那些“厚骨头”的普通心理学、教育心理学、发展心理学。里边有许多抽象的、晦涩的概念，很难懂。有人称为玄学。数学这心理学是接合地气，接合我们教学的。所以，我们掌握了数学教学心理学的话，就能够帮助我们读懂儿童和引领我们的教学了。多少年来，许多老师在数学教学领域之所以富有成效，教得好、教得精彩，其实都是数学教学心理引领的结果。但是，近十多年来，随着新课程的新起，人们对新课程的理念比较关注。大家又热衷于新标准的一些新的理念、思路，如“四基”、“四问”、“大核心理念”等。数学教学心理的微观理论也就渐渐地淡出了人们的视线，人们也已经不太习惯或者不自觉地从心理学的角度来关照我们的数学教学。

我们不妨留意一下，最多十多年来，省级以上的教育报刊载所刊载的数学教育论文当中已经很少见到教学心理学的核心词儿了。偶然也还会有，但也还是很成问题的。比如表象这个词，居然得出表面现象这个意思。表象是心理学的概念，它是客观事物经过主体感知以后留在脑子里的形象。今天我作为一个客观事物呈现在你们的视线之中，你们对我进行感知，以后你们听到张兴华，或者在杂志看到张兴华这三个字，脑海中就浮现出我的样子了，这就是我在你们脑海中留下的表象。所以表象怎么会是表面现象呢？还有一个词——变式，变化的式子？人们就喜欢这种简单地、望文生义地去理解心理学概念。变式哪是变化的式子呢？稍后我会专门讲解。有的老师认为这套数字变式了就是变式。比如45/9=45*3/9*3，这么一变化，后面的数字就是前面这个数字的变式。那是乱弹琴！又如每个杯子18元，买5个杯子共需多少元？那么就是5个18，18*5或者5*18。或者一支笔是12元，买8支笔需多少钱？8*12。都是用乘法解决问题。因此老师在后半课时，设计了一个题种，这个题种两道题非常相似，但实际上是不同的。第一题：小朋友种树，分成了4组，每组种5棵。一共种了多少棵？第二题：小朋友种树，一组种4棵，另一组种5棵，一共种了多少棵？这组题目出得非常好，打破了那种原来不动脑筋运算的定式。介那位老师把它归为变式。那就错了，那是对比，不是变式。

但是耐人寻味的是，每每经典的、引人注目的精彩教学片段、教学设计后面都会有一个教学心理的理论支撑着。我们不妨一起看看张齐华老师上认识分数，三年级第一学期，认识分数的一个片段。一开始，通过分蛋糕和简短的讨论，让学生知道把一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。接着，他就让学生拿起课前发给每个学生一张长方形纸，让他们动手折一折，涂出它的1/2。学生又折又涂，交流的时候，有的学生横着对折，涂出了它的1/2；有的学生竖着对折，涂出了它的1/2；还有的学生斜着把它平均分成了2份，涂出了它的1/2。这时候，张老师指着这些不同形状的阴影部分，问学生，这些阴影部分的形状都不同，怎么就都是这张纸的1/2呢？学生一一回答。有学生说把这张纸对折，就是把这张纸平均分成了2份，那么一份当然是它的1/2 ；有学生说把这张纸竖着对折，就是把这张纸平均分成了2份，每份当然是它的1/2；斜着折的并涂出了1/2的学生说，我虽然是斜着折的，涂出来的阴影部分跟他们也不同，但是我也是把这张平均分成了2份，每一份当然是它的1/2。形式不同，但是本质都指向了1/2。最后老师总结：不管怎么折，不管这个阴影形状是什么样，只要把这张纸平均分成了2份，每一份就是它的1/2。通过这样的教学，学生对1/2这个分数的理解就达到了入木三分的程度，非常深刻。学习1/4亦是如此。学生对1/4这教材里的规定认识的第二个分数的理解达到了越来越高的概括化程度，这已经设计到心理学了，越来越高的概括化的程度就是理解地特别深刻。那学生为什么理解得这么好？就是老师教学的精彩，精彩在哪儿？老师运用了变式原理。何为变式？

这个企划是在黄山参加全国比赛得一等奖的一些课，当时和老师们交流时发现他们对这个环节比较关注，当时很时髦、很时新地叫作学习方式的变化、变更，或者改善，有的老师说学生动手实践能力挺强，动手折出那么多的1/2、1/4。这没有涉及到它的理性背景。还有的老师说这是因为老师组织学生自主探究得好，真是办法多样化、涂法多样化、折法多样化啊。这也是很牵强。还有的老师说这是老师组织小组合作学习得充分。他们的关注点放在折得多，就不知道变式。可见这几年老师的数学教学心理素养已相当贫乏了。四五年前，我在人民教育发了一篇文章《重启数学教学心理》。数学教学心理可真是个宝，几十年前好多老师都是因为它的引领使教学风声水起的。当年这篇文章影响挺大，唐彩斌老师还总结了这是当年的十大教育的实践之一。但过了不久，氛围又淡下去了，毕竟教学心理比较抽象，形成不了气候。今天我借此机会，再提一下数学教学心理，想说几个心理学问题，就讲讲变式。

什么是变式呢？瑞士著名心理学家皮亚杰，把7-11岁的孩子称作为具体运算阶段的孩子。他指出，具体运算阶段的儿童，“他们缺乏抽象思维，他们的思维带着很大的具体形象性。但是，他们也不是非常被动地停留在具体形象的思维上，他们能够凭借具体形象的支撑，进行抽象思维，进行逻辑推理。”既然他们能够在具体形象的支撑下进行抽象思维的话，那么我们要让他们理解抽象数学推理的话，就应该为他们多提供一些具体形象的感性材料，帮助他们获得数学概念。这就是根据他们的思维特点而进行的教学。但是我们提供的材料也不是多多益善，越多越好。要提供广泛众多的视频，学生凭借这些事物感知到一定的数量，感知到一定的程度，他们的抽象思维就开始了，抽象概念就理解了。那么变式就是提供感性事物的有效方式。“变式就是变换事物的非本质特征，从不同的角度来组织感性材料，在事物的各种表现形式中来突出事物的本质特征”。拿张齐华老师认识分数那个案例来说，变换事物的非本质特征就是，纸张1/4的纸不同，折法不同，涂出的阴影也有大小、形状不同。但是本质特征有没有变？平均分成了4份，是它的1/4，它是从不同的角度来组织这些感性材料，然后在事物的各种表现形式中突出事物的本质特征，这就是变式的心理学。那么，理论的光芒是普照的，这个变式理论可以普遍地用于我们每一位老师的教学中。例如，教垂直这这一课时，老师开始就提供了垂直的标准图形，而后让学生观察这个图形得出：相交成直角的两条直线互相垂直。这个概念有问题吗？相交成直角的两条直线互相垂直？确实有点问题。凭着这个标准的垂直图形，孩子们观察图形时容易使概念增加内涵。学生会觉得原来垂直是相交成直角的竖直的水平的两条直线互相垂直。会不会这样理解？老师当然不会这样理解。但孩子们会不会这样想：相交成直角的，水平的竖直的两条直线，互相垂直。那么这时候你建立的这个垂直概念显然是有失偏颇的，他们对碰到斜方向的两条直线相交成直角的就不认为是垂直，因为老师教学时的那个图形，水平的竖直的两条直线才是互相垂直。而且这也会影响到过直线外一点或者过直线上一点画垂线，他们只知道给水平和竖直方向的直线画垂直，这直线一斜怎么画？进而影响到以后认识三角形、平形四边形、梯形的高，和画它们的高，特别是钝角三角形外面的高，肯定会手足无措。懂得变式理论的老师就不是这么回事了，而是一下子出示了三种直线。请同学们自己观察，这三种相交的直线，看看它们有什么共同的特点？每组的两条直线都相交成直角，相交成直角的两条直线不管是水平竖直的还是斜着的，只要相交成直角的两条直线就是互相垂直，这个概念就建立得比较准确，内涵也不多不少。所以这个概念教学当中，一般我们都要提供变式，帮助学生深刻地理解。

我在实验小学做校长的时候，学校里举行了一次竞赛，内容是三角形的内角和，老师通过各种手段，证明了三角形的内角和是180度。接着老师问三角形内角和多少度？学生一起回答是180度。老师又问现在把这个三角形缩小10倍，那这个三角形的内角和是多少度？有好几个学生马上说18度。有的老师脸上的表情马上变了，学生最信老师，看到这个表情那就是答错了，自己也不思考，连忙说不对。而有的老师很沉着，面无表情，这在心理学上叫做延迟评价。延迟评价就是不马上做出评价，留下时间不表态，留下空间给孩子们思考。老师退一步，学生就能进三步；老师马上表态了，就等于取消了孩子的思维。这样延迟评价，此时无声胜有声，学生心理是翻江倒海，有学生就领悟到缩小后的三角形虽小，但每个角的开口度跟黑板上的内角开口度是一样的。这时老师也依着学生的意见，把这个角跟另外一个角重合，果不其然是一样大小的，因此得出结论这个小三内角的还是180度。最后老师总结：不管什么三角形，大的、小的，只要是三角形，它的内角和一定是180度。另外一些老师也用了变式，方法不同，第一个三角形的内角和是180度先告诉学生，接着出示一个等腰三角形，问它的内角和是多少？学生回答180度，然后沿着等腰三角形底边上的高把这个三角形平均剪成了两个三角形，问这两个三角形的内角和是多少度？有学生回答90度的，老师也不予置否，面无表情地等了一会儿。有一个老师也这么上课，学生没有反应。老师便说世界上还有内角和是90度的三角形啊，故意把这个错误夸大，让学生去感知。原来的等腰三角形的180度平均分成了两个三角形，每个三角形平均分了90度，经剪刀一剪，每个三角形分别多剪出了一个直角，所以它还是180度。从这里可以知道，不管是什么三角形，分的合的、大的小的，只要是三角形，它的内角和就一定是180度。在心理学上叫“规则的教学”。规则的教学跟概念的教学类似，通过变式的运用，学生对这个规则会认识得特别深刻。

在概念教学当中说到变式，就要说反例。现代心理学已经把反例整合到变式中去了，成为变式的第二种。为了说明、表达清楚，请允许我仍然用反例的说法。反例倒是可以理解为反面的例子，但是反例心理学意义显然不能简单地叫反面的例子。什么是反例？反例是故意变换事物的本质属性。刚才变式是变化事物的什么？非物质属性。这是折法、涂法、纸张不同，而平均分的两份，每份是它的1/2这个本质没变。现在反例是故意变化事物的本质属性，本质属性一变，面目全非了。它是质变，使之质变为别的事物了。然后我们再引导思辨当中他事物和子事物，事物的思辨当中反之为事物的本性。在教材里边常常要用到反例，而我原来的观点是，反例就是说一般要在正确知识形成以后提供，不要一开始就提供，不然学生容易先入为主，建立错误的概念。那现在怎样运用反例呢？反例的意义就在于变式的深度，它就是以反衬正，从反面投射它的正面意义。今天张齐华老师就运用了投射，他是从高处往下投射，变成平面的。我们的反例是从反面到正面投射出来。刚才我说反例一般是新的知识初步形成以后跟变式一起运用来辨别的。北京东路小学有一位老师，叫吴显，相当有水平。有一次他讲授正比的意义。我先说他以前怎么上，一般老师怎么上的。一般都出示一张表，让学生观察，其实就是在公路上行驶的时间和路程，然后在空格里填上数字。学生观察后在空格里填好数字，老师举例式地让学生写出几组路程和时间的比，并且算出比值，接着问学生发现了什么？学生发现了路程和时间相对应的数值的比、比值是一定的，于是乎就得出了正比关系的意义。吴老师说我以前都这么上，总觉得课上得很平板，平铺直叙。苏格姆雷斯基说，“这教师和他的教育对象每一次接触都要激起学生心灵的热情。”像正比的意义，我这样从正面平铺直叙的教学，牵着学生预设的轨道有序地行走，激发不出学生心灵的热情，引起不了学生对正比例特征的选择性。因此吴老师一开始就出现了两张表，请同学们观察这两张表中汽车行驶的时间和路程这两个量的变化情况，然后在空格里填上恰当的数字。有学生很快就说，表二填起来有点困难。老师反问这表二为什么不好填？难道老师真的不知道这表二难填吗？老师其实就是要把反的意思问出来！有学生就回答，因为表二中以汽车每小时行的路程一直是变化着的，第1个小时行80千米，第2个小时行140千米，也就是每小时行70千米，第3个小时行225千米，也就是每小时行驶75千米，那第4小时不知道行多少千米。这不就是反例！那表一的空格可以填吗？学生说表一的空格可以填。那么从反面说到正面来了，对比多鲜明！老师说那又是为什么呢？学生说因为甲汽车第1小时行80千米，2小时共行驶160千米，说明第2小时也是行80千米；3小时行240千米，说明第3小时也是80千米；所以第4小时一定也是行80千米，所以容易填。一个学生说得更加耿直，因为甲汽车每小时行的路程与速度一直是不变的，一直是80千米，所以，4小时行320千米，行400千米要5小时，6小时行480千米，非常容易。这时那位老师并不是夸学生说得真好，而是说真的吗？并让学生把每一组路程和时间的比即速度写下来，并说说比值是不是不变的。这样把正比的量的变化规律又突显得更加鲜明了！学生马上就写了以下算是：80/1=80；160/2=80；240/3=80。说明不变。最后老师总结可以用数字来表示上面几个量的关系：路程/时间=速度的正比的关系。表二不容易填，因为以汽车每小时行的路程不确定，而表一容易填，反过来投射的表一容易填，反衬出正比例的两个特征。以反衬正、以反激正、以反投射正，正比例的量的特征更加突出和鲜明。变式和反例，我喜欢反例，反例能激起学生教育对象的心灵的热情。

这就是关于变式的教学故事。

作者：张兴华（著名特级教师）