我的报告题目就叫“代数学的缘起与数学符号欣赏”。虽然我是大学老师，算高等教育，但我有一个观点，大家在基层做这一块的教学工作，我们对某一个学科的认识，特别像数学、物理、哲学，这种比较古老的学科，在学习的时候，这种知识的过程有点像整个人类对这个学科的认识过程一样。就是说，如果我们要好好地进行我们的基础教学，基础教育一定程度上是不是应该回顾一下人类早期对某种知识只是掌握的时候，当初是怎么从萌芽状态接受我们所面对的知识，如果从这儿得到启发，回头再看看孩子，应该给他们什么以及怎么样才是一种自然的状态。你从早期人类知识的发展状况得到某种启示，也许会对理解小孩知识掌握的过程有所帮助。所以当我面对一些学生，特别是低年级的学生的时候，往往会想到从早期的某个学科的发展出发，想想他们需要什么东西。即使我在大学里教一年级的学生的时候，我也经常有这样的想法。因为一年级学生到了大学，他们学的东西其实就相当于人类在十七八世纪掌握的知识的东西，所以那个时候思考人类是怎么认识知识的，再反过来看看学生应该怎么学习。作为在座的老师，你们真正面对的是人类的萌芽，就是说小孩子，一年级甚至从要最基本的算术开始。就是说人在早期的时候，甚至在公元前的时候要认识怎么从这个知识结构上走过来的。这是我其中的一个切入点。

为什么要讲代数学的缘起？就我的理解，从小学开始，代数这个词就已经出现了，但是在每个阶段，对代数这个词的理解是不一样的。然而小孩很早就接触到代数这个词了，在小学一二年级的时候，这个代数等同于算术，没有什么区别。但是严格来说，随着知识的发展，特别是到了中学、高中，真正意义上的代数就开始出现。那么，所以说小学作为中学的预备的话，如果知道一些代数学的背景，也许会对小孩理解以后的算术知识，或者进一步更高的发展，有一定的帮助。

最早是阿拉伯数学家在他们的著作里首先提到代数学这个词。就数学这一块，人类的几大文明，其实就代数这块文明贡献最大的，恰恰是阿拉伯和两河流域那一带。就几何来说，贡献最大的应该是希腊。每个民族都有它的特点，中国是相对比较封闭的，客观来说，至少对国外的早期文化发展影响并不是很大。原来代数学这个名词在九世纪阿拉伯数学家名叫花拉子米的著作里产生了以后，接着通过他的著作传到了欧洲。就像这儿说的，原来他的意思还原于对消的科学，属于李善兰是我们国家清朝非常著名的一个数学家，他翻译的代数学完全是对这门学科深刻的理解的基础上取的这个名字。所以对我们来说，直到十九世纪，一个系统化成熟的学科才形成。代数学是数学中最重要、基础的分支之一，历史悠久。随着人类生活的提高、生产技术的进步、科学和数学本身的需要而产生和发展。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。相对而言，中小学阶段的是初等代数学，抽象代数学一直要等到大学二年级才接触。初等代数学是更为古老的算术的推广和发展，应该说算术是人类最早的东西，但是初等代数学是十九世纪上半年以前方程的理论，主要研究某一方程组是否可解，怎样求组方程所有的根以及方程的根所具有的各种性质等等。代数学之前已经有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题。算术对老师而言意味着更多的东西。算术解决日常生活中各种算术问题，也就是整数与分数的四则运算，这就是小学的东西。但是从人类发展的角度看，这就是人类最早期所面对的问题，那么这些问题的产生也是有它的根源，也是有它的应用背景。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知的元素，根据问题的条件列方程然后解方程求未知数的值，那么这里面就涉及到每个人的认识阶段里面，对认知的差别。我的小孩读小学时，经常给我些题目，这些题目其实用解方程的角度，但是小孩就会说老师不允许这样做，你必须怎么样做。意思是你不能利用未知数，我不知道这样做的合理性到底是什么。从教学的角度是不是应该这么做，但是从人类发展的角度，我觉得有时候没必要分得那么清楚，因为假如学生已经到了这种认知程度，你非得让他们停留在哪个阶段，好像也不一定这样。我的这些体会都来自于我对我小孩子的中小学教材上的认识，我有时候总觉得从小孩的那些教材拿出来的题目，书上压根就没讲清楚。我为什么突然讲这个？因为从数学本身的角度，应该有严谨性，然后再考虑怎么样解。既然设一个唯一的答案，问题本身应该是严谨的，但是我发现我们现在的教材里面经常有这样的问题。我当然喜欢小孩拿来请教我做，结果我发现题目本身他就没讲清楚，或者说语言文字甚至有时候都不太通。我的理解是每个学科的发展都有它自身的根本原因。比如数学为什么会产生？为什么会发展？为什么要学数？因为老师要我学，家长要我学，或者以后要读初中，所以我现在要学小学的数学，目的不是为了别的，而是为了以后升学。但实际上在人的整个发展过程中，任何一个问题都有它根本的内在动机。比如代数学最早的发展的动机，就是解决方程解的问题，就是解方程，就是我给你一个现实的问题，然后你把这个问题通过解方程的形式解出来。代数学在十九世纪以前，整个动机都在解方程，就是继承了人类最早期的这种动机，所以特别要提的是解方程，就是代数学最早的东西。那么方程有两种，一种是现行的方程，比如ax+by=c，每个方程的元素都是一次的，这叫现行方程。假如是x平方加x加1，那么就是二次方程。十九世纪以前，西方对于这个方程的研究，主要是围绕着高次的飞信方程怎么求解的问题。在这类数学问题上早在公元前1800年古埃及的数学纸草书中有了，书中将未知数称为“堆”。我发现小学教科书上的题目经常喜欢用甲、乙、丙、丁，尽量避免用英文的这个字母。实际上道理是一样的，比如上了初中以后就用未知数X、Y、Z，但是在小学的时候，尽量避免小孩子用字母，这显得更抽象，用一些中文的所谓的文字，比如甲、乙、丙、丁，东、南、西、北来代替那些意思，实际上本质是完全一样的，没什么区别，无非是用中文字当未知源，或用英文字当未知源的区别。古希腊时期，他们也就是这样，中国那个时候也是这样，用甲、乙、丙、丁做未知数。古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在公元前十八世纪汉穆拉比时代的泥板中载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。所不同的就是那个时候，通常就是我研究一个问题就是就事论事的，比如应用题就是应用题，没有涉及后面抽象的理论。所以数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？那么这个事情相当于小学一年级开始到六年级，到底哪一年的内容可以看出是代数学，或者从初中到高中哪个阶段真正意义上是成熟的代数学内容。那么我想我们只是完成一个教学的任务，好像这些不是我们所应该想的东西，单这里面还是有一些人类对自身认识的问题。古希腊时代，几何学是占有中心地位的，几何学在古希腊科学中占统治地位。以至于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言：量被解释为长度，两个量之积解释为矩形、面积等。现代数学中保留的称二次幂为“平方”，三次幂为“立方”，就是来源于此。实际上从数学整个角度来说，代数学本身的动机在于解方程，但是代数学更大的用处在于给几何学或者别的学科作为一种工具来使用，所以这点从几何学一早发展的时候就已经体会到了。

古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。该书解决了某些一次、二次方程问题和不定方程问题，出现了缩写符号和应用负数之例。其问题构思精巧，解题方法极多，但最大的缺点是没有解方程的一般方法，所以这就是古代和现代不一样的地方，他们可以有一些很技巧的东西，但是缺乏一些系统的理论，这当然有时代的局限。然而西方文化的一个优点，恰恰就在于它的抽象能力和符号的能力。中国数学到最后发展比较落后，就是缺乏一个好的符号。在我们的文字语言里面符号化是非常缺乏的。因为我们没有这个传统，如果现在教孩子时故意回避西方人这种抽象符号化的习惯，那等于又让孩子回到清朝以前什么都是用文字去表达的数学。有时候我们低估了小孩的能力，其实他们的抽象能力比我们所认为的都要强。古代，算术与代数在很长时间内都是交错在一起的，人们只能从中归纳出具有代数特点的问题，作为代数学历史的痕迹。代数学成为一门独立的数学分支之一，因归功于中世纪的阿拉伯数学家，他们系统地研究了二次方程的解法，确定了解方程、求未知量是代数学的基本特征，建立了解方程的变形法则和特别创造了解方程的三次的几何解法。这个花拉子米的代数学传到欧洲以后，作为标准课程流行了几百年，而关于代数学是解方程的科学的观点，一直保存到十九世纪末。从现在的角度说解方程的观点，解方程是代数的动机之一，但不是唯一的动机。人类对数的正和负的理解也是很漫长的过程。在各个民族里面，中国人对正数和负数的理解已经算是比较超前了。有完整开平方和开立方的方法，在二次方程的数的解法和求根公式，这两方面对中国数学有一定的挽救。但是中国古代数学有一个特点，它就像一个过于平凡的山坡一样。到宋元的时候，中国数学家对高次方的研究取得了更加辉煌的成就。北宋数学家贾宪提出了著名的开方作法本源图，这就是所谓的贾宪三角。顺便说一下，秦九韶以前是在杭州做官的，在浙大西溪校区还有座桥，就是秦九韶当时为官时建起来的，所以以他的名字命名。

金、元之际，数学家李治研究了一元方程式的方法，创立“天元术”。“天元”这个词，出现在我们中国发明的围棋里面。元朝数学家朱世杰又把这种方法推广到多元高次方程组，创立“四元术”，为代数学的发展做出了新的贡献。中世纪欧洲，对代数学有较大贡献的是意大利数学家斐波那契，他的《算盘书》是这一时期最重要的数学著作，系统地向欧洲人介绍了阿拉伯的算术和代数。对欧洲人而言，阿拉伯的文化比中国的文化更重要，因为那个时候他们的很多文化是从阿拉伯传过来的。书中载有一个有趣的“兔子繁殖问题”（建斐波那契兔子问题），导致有名的斐波那契级数的研究，后人发现这个级数有许多重要而有趣的性质，至今仍有人在研究，美国人在20世纪60年代初还创办了《斐波那契季刊》，专门刊登这方面的新发现。这个杂志现在在高校里面，所谓的SCI杂志还是属于比较核心的。二次方程的求根公式在花拉子米时代就已经得到。16世纪上半叶，意大利数学家塔尔塔利亚首先得到了三次方程的求根公式解法。现在我的印象里，三次方程和四次方程，像这两种方程都有精确性，没有人去在意这些事，但是历史上这件事情是非常重要的。最重要的事情是什么呢？当人们知道搞不清楚五次方程以上不能有精确性时，冲击着人类对数学的认识、人类对自然界的认识。也就是说要知道一件事情可能，也许也就这样；要知道这件事不可能，还要去否定它，有时候比肯定还要困难。所以就有这么一个问题，稍后我还会聊到这个问题。在出现普遍试用的代数符号之前，方程的理论发展是很缓慢的，这里面主要是没有一个普遍试用的数学符号的话，问题不可能得到逻辑上很系统的研究。这就是我刚才为什么说，现在有一些小学的教材上，喜欢用一些语言去表述一些数学问题，故意回避一些本来应该可以讲清楚的事情，实际上反而减慢了对它的认识。人类在发展过程中也是这样的，当没有代数符号的产生之前，对方程的研究是非常缓慢的，原因就是没有好的符号。所以那个时候完全用文字叙述，没有系统的研究。印度数学家使用过一些缩写文字和记号，但是很不系统，他们这种缩写的符号相当于一种符号的萌芽。因为这种符号不是很好，所以现在的符号都是以西方的符号为主的。比如说英文的26个字母，或者说是希腊字母等等，都以西方为标准。像印度的符号早就被人淘汰掉了，但思想非常重要。在十二世纪以后，欧洲的代数学文献中陆续出现一些简写法，包括一些运算的表示，比如现在全世界都公用的一个符号——加减法的符号。这个符号的产生，实际上是十五世纪以后。符号学的最终确立是由法国数学家韦达完成的，他的《分析法入门》被西方数学史推崇为第一部符号代数学，在这本书中他自觉地系统地运用字母代替数字，用辅音字母表示已知数，用元音表示未知数，韦达还明确指出代数与算术的区别，前者是累的算术，后者是数的算术。古代的科学家们有他们发展过程，跟人类发展过程相配的认识。所以代数学具有普遍性、抽象性和广泛性。那么韦达在这方面是非常厉害的，我依旧记得我在读初中还是高中的时候，韦达定理应该算已经学过了，关于根与系数的关系，所以韦达这个词在中学的时候就知道了。到了大学，韦达定理就显得更重要。笛卡尔本来是哲学家同时也是位数学家，笛卡尔改进了韦达创造的符号系统，他的最大的贡献是什么呢？就是解析几何的事项。解析几何的事项在于什么呢？在于用代数的方法研究几何学。只要学过解析几何的人都知道怎么把一个坐标画好，然后用代数的方法列出方程，最后去解决它。这就是用代数的方法解决几何学。所以我刚才说代数的方程对人类来说基本的动机就是解方程，但还有一个动机就是对几何的刻画。就是说怎么让几何学从直观上脱离，不完全依赖于直观，要把它用量化的方式研究，这就要靠代数学的东西。当代所使用的大多数代数符号，直到17世纪中叶时基本确定。十七八世纪中期，代数学被理解为在代数符号上进行计算的科学，用来研究解与方程有关的科学。这个时期最好教科书是欧拉的《代数学入门》。其内容包括整数、分数、小数、方根、一次到四次代数方程，是对十六世纪发展以来符号代数的系统总结。说到现在，没有提到五次方程，原因是什么。十八世纪对代数学的研究时常要服从分析学的需要，许多人甚至把分析看做代数的延伸。其实这一时期代数学的发展为十九世纪的革命性变化奠定了基础，那么所谓分析学就是微积分这些东西，就是牛顿所赖以解决天文学和力学的工具，就是所谓的分析学。高斯研究了复数及其运算的几何表示，给出代数的基本定理的第一个证明。代数基本定理就是指复数上的任何一个高次方程，它至少有一个根，那么实际上是有N个根，这就是代数基本定律，这是高斯那时候解决的问题。法国数学家拉格朗日、旺德蒙德和意大利数学家鲁菲尼等研究五次以上代数方程的解法，开始认识到五次以上的代数方程用根式求解的不可能性。除了认识到，要真正证明这件事情是非常困难的。十九世纪，代数学发生了革命性的变革。首先是挪威数学家阿贝尔证明了五次以上的一般代数方程不可能用根式求解，并实质上引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念。那么阿贝尔证明了这件事情，但是他没有给这个学科带来更深刻的革命性变革，原因是什么？他还缺乏更抽象化的认识。到了法国数学家伽罗瓦，他知道高次方程不能根式求解，但是他看问题的方法变了，他用更高的层次上去看。从他看问题的角度中，产生了一个新的学科，就是现在整个科学领域里面非常重要的概念——群的概念。“群”这个概念是我今天要讲的内容。旋转、对称，具有某种对称性的东西都可以用群的结构去刻画。那么我特别要提的有趣的事情是，阿贝尔和伽罗瓦都是两个非常年轻的人，伽罗瓦死于一场决斗，只有二十岁，他是非常激进的人，他在决斗的前一夜知道自己明天可能会死，所以他就把他的事项写下来。结果他熬了一个通宵，把他的基本事项用几页纸描述出来，然后别人就围绕他留下的几页纸研究了好长时间才搞清楚。阿贝尔死的时候年纪也不大，三十出头，所以我刚才说有时候年轻人的能力往往被人低估，实际上就是这样。伽罗瓦和阿贝尔在历史上被传为美谈。结果与伽罗瓦一起工作的英国数学家皮科克发表了他的《代数通论》，其中对代数运算的计算法则进行研究，试图建立更一般的代数，他仅次符号及其满足的某些运算法则的科学，这些工作预示着抽象代数学的产生。另一项引起代数的变革的工作，是英国数学家哈密尔与德国数学家格拉斯满，前者在1843年构造出第一个不满足乘法交换律的数学对象。这些有点太专业，简单来说，人类从交换到非交换的过程的认识，其实是非常关键的认识。因为我们平时接触到的数都是交换的，二乘三就是三乘二，不会哪天说二乘三跟三乘二不相等，但是你要从这种习惯性的思维里解脱出来，是一个非常不容易的事情。就是人类对数的认识，从最简单的自然数到正整数，再到有理数，然后从有理数到无理数的认识是一个飞跃。因为大家知道，古希腊的哲学家在讨论无理数的问题，然后再到实数，再到负数。那么人类对数的认识是不是就到头了呢？这就是当时欧洲数学家想的。我们对数的认识是不是就到此为止了，是不是有了负数，我们就一劳永逸了，后来发现不是这样的。在负数之上还有别的领域。这就不同我们认为的，当你的望远镜不是足够大时，可能觉得到了太阳系，人类对宇宙的认识就到此为止。实际上太阳系之外还有银河系，银河系之外还有整个宇宙，那么整个宇宙之外还有没有什么东西，这就是个问题。那这个问题就如同在负数之外还有没有更进一步数的系统，哈密尔指出了这一点，最后他构造出数的系统，数的系统是有实际的意义的，但是它是不交换的。这个认识，作为小学生肯定不可能很准确地认识，但对中学生或大学生，我想这种认识是非常重要的，就是人类认识的飞跃，从交换到非交换。十九世纪初以来，引起代数学的变革并最终导致抽象代数学产生的工作，还可以列举一些东西。那这儿就像我刚才说到的代数数论、新意代数。新意代数是现在大学的基本的内容，就如同微积分一样。那么十九世纪末，数学家从许多分散出现了具体研究对象，抽象出共同特征来说共理化的研究，完成了来自上述三个方面的综合，代数学终于从方程理论转向为代数运算的研究。所以出现一个关键词就是公理化，就数学发展来说，东方数学缺乏的就是公理化的思想。那么就西方数学来说，因为它有古希腊文化的传统，恰恰很好的公理化思想的基础。那二十世纪以来，有一个女数学家，这也是人类至今为止最伟大的女数学家，叫诺特，是个德国人，和一个叫阿丁的。他们就把现代的代数学理论完全建立起来了。所以现在的大学生大概到了二三年级的时候，基本上也就在学十九世纪到二十世纪早期的一些知识。抽象代数学研究数字文字和跟一般元素的抽象代数运算的规律，和有这些运算适合的公理而定义的代数结构性质为其中心问题，对数学的其他领域都有重要的影响。在中国代数学的研究，所谓代数学研究应该算是在现代意义上代数学的研究，当然我们古代代数学的研究也是有的，但是真正的现代代数学的研究应该从二十世纪初，甚至到二十世纪三十年代才有重要的发展。其中第一个我这儿要提的叫郑俊志，他是刚才诺特的学生，在德国拿到了博士学位。回国工作，第一个工作的地方就是浙江大学，浙江大学那个时候在这个领域在国内是领先的。后来他到了北洋大学，结果过了两年就生病去世了，真是非常遗憾。为什么这么说？他的工作到现在为止，仍旧经常被人在相应的领域上应用。还有华罗庚、周伟良。

下面我们来谈一谈数学符号的问题，其实数学符号是躲不开的，虽然有些老师喜欢用文字来表述，故意把一个数学问题完全表述成一种文字，但是最后还是要接受用符号的表达。所以对数学符号的理解和数学符号的产生，本身也是人类认识的一个过程，有些符号的产生也是几经波折。从数学符号来说，数学符号就是数学这个领域的特殊的文字。那么最早的数学符号，就是数字。实际上就是人的整个认识过程最早，什么方面最早，什么方面的符号化最早。人类创造数学符号系统经历了漫长岁月，以“0”为例，在国际上通用的“0”虽是印度人发明的。但是中国的古代，或者说中国甚至到解放以前，我们喜欢用繁体字的那个零。如果写一篇文章，通篇都是零那么繁琐的文字的话，肯定也费劲，所以印度人用这个简单的“0”表达。在数学史上，“0”的发现曾被认为是一个划时代的进步标志。它的发现导致了今天算术的横空出世，并为数的概念的推广铺平了道路。对于0，数学家都曾给与高度评价，无穷是数字魔术的国王，而“0”这个魔术师就是国王，当0除以任何数时，不论该数多么大，都把它变成无穷小，反之当0作为除数，则又把该数变成无穷大。所以对0的认识，就如同人类对无穷大的认识一样，是意味深长的，永远有争论的地方。数字符号被赋予了丰富的文化内涵，有浓重的文化色彩，成为神秘的象征。古印度人常以0结尾的偶数来表示吉利，阿拉伯人把4朵玫瑰花视为“生命之花”。所以数字的产生，即是一种对事物的刻画，最后也成为一种文化的一部分。发展至今，中国人最喜欢“发”，好多年轻人结婚喜欢“18号”，就表示“要发”。这是把数字变成了一种文化的象征，然而每个民族对这种文化有它自身的认识。在西方，7是象征着褒义的，在中国可能又是贬义的。对我们而言，无论是老师还是同学，最熟悉的还是加减乘除这些运算符号，那么加和减是公元十五世纪时，德国数学家维德曼在一本书里面首先使用。这个看来叫贸易的最优速算法，有点像会计干的活，所以一定程度上也可以认为是那时候的会计工作促进了数学发展。直至二十多年以后，德国代数学家终于冲破了现实的束缚，率先在1544年出版了综合算术，大量使用加减并且运用自如，此后又有大批数学家响应。也就是说前面德国数学家维德曼提到的算术，加减还是一种尝试性的，没有被推广，后来被人家广泛的采用了。到了1557年，英国数学家才系统地采用了运算这个符号，1608年德国数学家克拉维斯出版的《代数与数》中也使用了符号加减。你想想，人类的知识发展那么漫长，但是加减这么简单的符号一直要到十七世纪才这么系统地被人采纳，这是一件挺不容易的事。还有要值得提的是，加减是一对符号，从哲学的角度看加和减就是对立面，那还有一个具有对立面意义的就是什么？是微积分符号，就是微分和积分。微积分符号在牛顿的时候就有了，当然这个符号非常漂亮。其实这个积分的符号、微分的符号用DX，就是表示无穷小量，那么积分的符号更是意味深长，因为积分这个符号，把它压扁了其实就是英文字母S。这个S是英文文字的的第一个字母，所以拿英文的面积的第一个字母作为积分的符号，然后把这两个符号配合一起用是非常漂亮的结构。还有一个符号，可能在小学里用的不太多，中文的意思是“因为...所以...”，老师在黑板上不写中文字的“因为...所以...”，而是写三个点。“因为”，两点在上，一点在下；“所以”，一点在上，两点在下。这些符号本质上是逻辑的符号，是数理逻辑里采用的符号，现在老师们偷懒的时候就使用了这些逻辑符号。到了1884年，德国数学家数理逻辑创始人费雷格，他就引用了我说的量词的符号，就是刚才说的一些任意、存在这些符号。那些老师偷懒在黑板上写的东西，其实都是数理逻辑的符号。哪些符号可以留下来，哪些符号会被人遗忘，这就有各种因素，我想其中两个因素最重要。首先是实用性的因素，也就是你必须真正地给人家带来方便，这样的符号才有可能留下来。还有一个从美学的观点来看，这个符号必须让人看得顺眼、漂亮，这些符号才可以被留下来。现在数学上采用的符号，既是实用方便的，又是漂亮的符号，这就是一个大浪淘沙的过程。比如绝对值的符号“||”，但绝对值的符号“||”在数学上的用处不仅仅是绝对值，在行列式等都会用到它。所以有时候符号有各种用处，不仅仅用在某一个地方。数学符号的抽象性与数学的抽象性息息相关，最具抽象性的符号语言莫过于经典的语言，不仅形式简约而且寓意深刻，数学符号的抽象性往往体现了思维能力。抽象本身就是一种能力，对事物的认识只有到了一定程度才有抽象的能力，所以符号的产生也是这么一个过程。数学符号是抽象数学世界中，人们对于客观事物发展认识的最直接简明的表达方式，即是现实世界中交流与传播数学的媒介，也是当今国际上通用的语言。数学的一切进步都是对引入符号的作为它的一个反应。我们中国数学符号是怎么样的，大家看一看PPT上的符号。第一行的“一、二、三”到“四”，“一、二、三”沿用至今，“四”现在已经不用了。我们现在的“四”，中文的写法不会就那样四横。如果按照这样的规律，五就需要写五横，六就需要写六横，那就太不方便，所以后来就有各种不同的写法。这些符号是中国甲骨文时代的符号，比如这个“百”字，跟现在的“百”字是很像。甲骨文属于象形文字，所以“一”到“四”是一目了然的手指象形数，最后五个是动植物的原始同音假借字，也就是说实际上是借鉴了动物的象形文字。在甲骨文中，十百千万的倍数有两种记法，一种称之为合数码或者合文，即由两个单数字合在一起；另一种不用合文，文学家称之为析书或分书，即用两个独立的符号来表示。其实中国古代有一个东西，虽然不能算是现代数学的工具，至少是非常有意思的，就是我们的珠算，珠算其实就是从古代的算筹转变过来的，拿一些竹棍子来做算术，这是我们比较早的工具。算筹进一步发展，其实就是我们的算盘。算筹是从商末和西周末年逐渐形成的，是一种十进制的计数法。由此可见，古代中国在十进位制计数法的使用技术上具有领先地位。在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。数字中有零时将其位置空出用算筹表示数字，后人称之为算筹数码。那么这个就是典型的算筹的写法，算筹的写法第一行就是纵式，我可以把1、2、3、4竖着放，也可以横着放，横着放叫横式，横式跟我们刚才看的甲骨文的数值是非常接近的。所以我国古代数学中，几项领先于世界的成就都是在算筹时代完成的。圆周率的计算，九章算术中的方程数，开方数，以及秦九昭的大衍求一术等。算筹运算的局限性也是很大的，比如对五个以上未知量，包括五个在内的方程组无能为力。因为算筹这个工具，虽然也是抽象化的，但毕竟不是那种文字的抽象。从三国到晚唐，古代算筹向珠算过度，即算盘，珠算是到了晚唐才开始产生。珠算到筹算是技术上的重要改革，从原理上其实是一样的，都是十进制。直至北宋，串珠算盘才文明于神州大地，到了北宋，我们现在看到的算盘才开始流行起来。元朝，就有了口诀。直至20世纪，西方笔算传入中国、印度、阿拉伯，数学符号代替珠算，并应用至今。小时候我们每个人都学乘法口诀表，但从来也没人问过乘法口诀表是什么时候产生的，以及谁发明整理的。最近好像有一个消息，中国的中小学老师到英国传授我们的乘法口诀表，这倒是很有趣。也意味着英国人或者西方人对乘法口诀的认识跟我们是不一样的，否则就不需要向我们学习了。我们经常出国交流，但从来不会问别人小时候的乘法口诀表怎么学的，似乎没有人物关心过。但是这么说起来，他们对数的认识好像和我们还是有些不太一样。我们国家是最早发现分数的国家之一。在古代，分数一般有两种计分符号，汉字记法也就是几分之几，筹算记法即标注被除数除数及商的位置，古代以十表示被除数，位子居于中间，用法表示除数放在下面，而商是在上面。中国是世界上首次认识并发现负数的国家，我们对小数的认识也是比较早的。所以我们古代在这方面得认识上也有很多领先的地方，但是最后我们这些领先的萌芽思想为什么没有给我们产生有强烈的现代意义的这些科学的进展呢？原因很多，其中有一点，我有一篇文章专门讲数学符号这个问题，重要的一点就是我们的符号化不够完善，使得我们最后走不到头，好的想法不能一直贯彻下去，所以最后都被西方人超越了。

作者：李  方（浙江大学数学系教授，博士生导师，博士后）