我的标题叫运用变式教学拓展学生的学习空间。主要讲这样几个方面的内容。
第一，什么叫我中国传统的变式教学？我们一直说我们有广泛的实践经验，那么可以请老师们想一想，为什么变式教学在我们数学课上特别好用？答案我想网上都有。
总的来讲，在传统上有两种变式。一种叫概念性的变式，一种叫过程性的变式。为什么概念性的变式对我们很有用呢？我想跟数学的特点有关系，它是一种外沿性的概念，所以有很多产生各种各样的概念的变式，有标准变式、非标准变式。它的目的是帮助学生多角度地理解数学概念。那么过程性变式是顾林源老师在青步实验中提出来的一种重要的、涉及到过程和问题解决的变式，包括精致练习、铺垫教学、解题三部曲。特别是解题三部曲，我印象非常深刻，还是1986年的时候，当时杭州学军中学的一位特级教师叫赫元泰老师给我们上了一堂课，之后他说他把这样教学方式叫做解题三部曲。实际上我们一直沿用的是赫老师的这个说法。到今天已经快整整三十年了。换一个角度，我们可以怎么样利用这些经验？
再回头看，我们今天的变式教学有哪些问题？我们希望从问题着手，看能不能把这种传统的教学经验做得更好一点。我个人觉得有这样几个问题。第一，我们一直认为变式教学，我们是具有广泛的实践经验，但从听课以及和老师们的交流中，发现很多老师都是在不自觉地运用这种教学策略。这是一件很正常的事情，因为很多的教学知识，都是慢慢摸索会的，隐含在老师的经验中。今天我们要把隐性的东西说清楚、说明白，我们要通过讨论研究把变式教学变成老师们自觉的行为。第二，今天我们的变式教学，包括青步实验，实际上它的基本思想是让孩子们学得聪明一点，但是很多的变式教学已经变成了一种单纯的变式训练或者变式练习。我们怎么改变这种现状，回到原来的变式教学？通过变式教学，我们的目的是拓展学生的思维空间。第三，许多老师都觉得变式教学挺好，但不容易设计有效的变式问题。老师在课堂上临时想，可能有时候有点困难，那我们能不能找到一种工具，或者一种途径，让它变得容易做，并且它又是有效的变式教学的设计策略。这也是我们这几年在考虑的问题。所以今天我要谈的重点是要从这三个角度分析。
那怎么解决问题呢？有一个切入口，所谓“他方之石可以攻玉”。从马丁的“变易理论”说起，可能有部分老师也知道马丁和顾林源老师的故事。当初马丁到上海，参与一堂小学的课，叫做《分豆子》，教带余除法。顾林源老师在很多场合都讲过这件事情，当时就跟马丁有关系。马丁是一位有国际影响力的瑞典著名心理学家，长年在香港大学担任兼职教授。3年之前，我们在新加坡偶遇。当时就想合作做一个关于变式教学的研究，由于马丁教授主要是在小学领域，我们开始研究小学变式教学。这个项目主持人是香港大学教育学院的院长，叫裴民辉教授。之后我们在上海、香港上课。去年年底，又到香港，我们讨论的目的是找到这些案例、课例的分析，但更主要的一个想法是希望找到马丁的变易理论和我们中国的传统教学之间的一种联系。能不能把这种联系建立起来，那时可能会把我们的一种经验说得更明白一点，道理更清楚一点。和马丁教授的交流很有收获，在这和老师们交流共勉。
按照马丁的变易理论，他说为了认识一件事物，必须注意这件事物与其他事物之间的不同。为了注意这件事物与其他事物在某种属性上的不同，这种属性必须在某个维度上发生变化，在所有其他属性都保持不变的情况下，这个差异才可以被识别出来。我觉得这是马丁变易理论的一个基本思想，但这段话说得比较抽象，我们要做的就是用案例来说明这样的事情。接下来就通过案例和老师们交流探讨。他的这些属性，怎么样在每个属性维度上让它变起来，并且拓展学生的思维空间？变式教学是我们中国的传统经验，而变易理论是一种心理学的理论。怎样建立这两者之间的联系？首先从出发点看，这两者的出发点都是为了有效地教学，无论是变式教学还是变易理论，都是为了老师的教学行为更加有效一点，这是共同的出发点。在这个出发点的基础上，两者的关系以及它的含义是什么。从变式教学角度看，更多的是从学科的角度，它要考虑到学生的数学知识结构，包括认知结构，它要突出数学的思想方法，重点是培养学生的学科能力，这是变式教学传统意义上地的基本目的。而变易理论，它不止是数学的，所以它强调的是这样三个方面：第一，要让学生学得更灵活一点，学生的思维更灵活一点；第二，要让学生学会适应各种变化，因为未来世界是变幻莫测的，所以马丁一直说要让学生在学校里面通过适应各种变化来应付未来生活的变幻莫测；第三，变化的目的是要创造。所以这是变易理论的基本目的。那这两者我们能不能合在一起=？我相信老师们也感觉到它们之间有很多内在的联系，只要把这样的联系变得更加明细一点，具体一点，联系就建立起来了。为了建立联系，变式教学的基本思路的做法是什么？它通过设计不同的变式的任务，就是数学任务的设计，然后达到我们数学的三个基本任务或基本活动，分别是概念理解、技能训练或技能的习得、问题解决。也就是说变式教学的基本思想是通过设计各种形式的变式的任务，通过这三个方面的活动来形成完善知识结构、思想方法和学生的学科能力，这是我们变式教学传统上的一种想法和做法和目的。那变易理论怎么做呢？它是希望能够拓展学生的学习空间，它并不是从任务着手的，而是希望通过各种关键属性的维度拓展学生的学习空间，也就是说它的目的是把学习空间阐释得更清楚一点，空间包括整体、部分、属性、样例，这样便可以达到学生思维的灵活性、适应性和创造性。这是马丁的理论想法。我们要找到这两种理论之间的联系，最初的出发点是一样的，希望后面的途径也能够找到，叫殊途同归。怎么建立联系？我们找到一条途径，这也是和马丁商量完以后，都觉得这条途径可能比较好操作。
学习空间有四个方面，但是其中最重要的叫关键属性。我想我们可以从这个角度把中国老师的经验和马丁的这种变易理论联系在一起，把它叫做基于关键属性的教学设计，它的出发点叫拓展学生的学习空间，今天我们重点聚焦在学习空间的关键属性上，想办法找到通过关键属性形成它的几个维度，因为空间是通过维度来支撑的，我们数学里面叫二维空间、三维空间，都可以建立坐标系。在数学中，坐标系一旦建立以后空间的定位就非常清楚了。这是我们的一个想法，通过关键属性找到几个维度。目的是为了把空间变成多维度的学习空间，这是马丁的想法，那么怎么样和变式教学联系起来呢？从目的上来看，它的目的是为了这样几个方面，通过拓展，支撑这样一种学习空间，我们希望至少能达到这五个方面的目的：第一，可以尽可能扩展一堂课，或者说课堂上，或者说学习中，拓展学生的思维空间，那学生就有充分的思考余地，就有很大的弹性，就可以帮助他思考；第二，我们要定位，通过空间来定位，使学生的学习恰到好处，要准确地把握教学的目标；第三，最近发展区，我们可以通过这个思维空间帮助我们确定这堂课的最近发展区，包括我们教学上的一种定位；第四，我们希望通过这种维度的表达使我们的课堂教学聚焦数学中的核心概念，或者称大概念（big ideal）这样的东西；第五，因为它本身是空间结构，所以我们希望通过这样一种学习可以有助于学生构建本身知识结构，包括形成网络，甚至是内化的知识结构和网络，通过这种空间的拓展学习，最终达到这样的目的；最后，我们希望，希望通过理清这种数学问题的维度，加深学生对数学的理解。一方面学生可以自由地活动，有很大的弹性；另一方面老师的定位可以把握得更好一点，对数学的焦点可以更明确一点。这样它就变成了老师变式教学设计和研究的工具，包括变式教学设计的工具，也包括我们课堂教学研究的工具。那次我们确定思路以后，每次在听课，不管是小学、初中、高中，我通常都会画一个空间，我要找到这堂课的几个维度，几个关键属性，尝试着把这堂课的学习空间画出来。有些时候你会发现，画出空间、思维已核可以让你豁然开朗，会觉得这堂课有很多的东西可以教。
接下来，我重点讲一讲几堂课的学习空间是怎么画出来的，又是怎么帮助我们进行教学设计的。我希望通过一个典型的案例，通过这种工具，一方面找到东西方的理论中一些契合的地方，另一方面希望老师们在教学设计的时候在进行课堂讨论、课堂分析的时候至少有一种工具，帮助老师们想得更清楚一点。去年年底，我们在浙江省义乌市的义亭小学待了几天，朱向阳是这所学校的校长，也是老朋友了。我们在那里讨论几堂课，朱老师的一个课题叫做《基于学情分析的变式教学》。这几堂课我们都画了空间，然后把这个空间跟老师们进行交流讨论。今天重点介绍一堂课的空间是怎么画出来的。第一节课，课题就叫数图形。是北师大版数学上册93-94页，四年级，上课的是杨姣萍老师。我相信这堂课老师们都非常熟悉，老师们想一想这堂课的内容是什么，要想办法把它的关键属性画出来。这是我们最终画出来关于数图形这堂课的学习空间，稍后我会具体解释的。这个空间是怎么拓展出来？怎么利用这样几个关键属性，形成各种各样不同的变式？这堂课叫数图形，有三个维度：第一个维度，因为这是一个图形问题，几何图形一个最基本的属性当然就是维度，从一维、二维到三维，甚至可以把点看作0维。维度上的变化会产生什么呢？第二个维度是情境，这堂课的情境上怎么变化？变了以后它的目的是什么？教材中给出的是一个故事——《鼹鼠旅行》。除了故事以外我们是不是可以通过其他途径帮助学生理解今天要讲的数学思想，还要考虑到鼹鼠旅行有多少种不同的走法。这就是典型的一种所谓计数的问题，计数很重要的就是它的算法，怎么去算才更加合理一点，不容易出错？所以从数学上，我们画出了这堂课的这样一个学习空间，当时叫三个关键属性，在后来的讨论中也不止三个，还可以找到其他的关键属性。我们是怎么围绕刚才的关键属性进行变式教学的设计的？这堂课叫鼹鼠钻洞，它里面有四个洞，任选一个洞口进入，它只能往前走，不能往后退，但是可以从前方的任意一个洞口出来，问小鼹鼠有多少条不同的线路？这是一个有趣的问题，很形象，虚拟了一种场景。记得当时上课前有个老师说这堂课没什么好讨论的，觉得是一个简单的问题。我想能不能把这个简单的问题通过空间维度的建立，让他觉得这是一片很大的天地呢？让好多聪明的学生走得更远一点，普通的学生也可以找到自己准确的定位。围绕这个原题，刚才讲了三个维度，我们从每个维度的角度看看是怎么设计的。第一个关键属性叫维度，原来的问题是菜地上有4个洞，我们把这个洞划归为点，形式化。第一步4个洞变成4个点，这是一个抽象的过程，是为了方便讨论，这是数学中最常用的做法。在这个情景中，小鼹鼠能钻得进去，我们也可以把小鼹鼠看作是一个点，这是第一步的抽象。为了让这4个点表达更清楚一点，数学里通常还会用字母来表示这4个点。那原来的问题就变成什么问题了呢？变成了这4个点从A过去到B出来，到C出来，有多少种不同的方法？那变成点以后，我就可以把4点变成5点、6点、7点，就是我们从A点进去，从C点出来；从A点进去，从B点出来，那么有多少种不同的方法？划归为点了，讨论就比较方便。第2步，有了点以后可以把点变成线，既然是点就可以连起来，连起来就变成了ABCD在一条线段上有4个点，那原来的问题就变成了什么呢？变成了这样4个点可以组成多少条线段？别小看这个变化，从点到线段后就可以拓展很多的思路了，因为有了线段以后就考虑基本线段，符合的线段，而且线段我不用考虑方向，在我们这里不用考虑方向，在前面鼹鼠里我们要规定、要往前走不能往后退，现在就可以不用考虑方向了，而且它可以划归为基本线段的方法，所以这个变化实际上在数学里面是非常有意义的，就是从点变成线段，也可以从一维变为二维。现在我们讨论以后，我们可不可以变成这样一个图形？这是一个二维的图形，原来是一个线段。那小朋友能不能发现这个维度变化，这个问题的本质实际上并没有变化。如果小朋友能够发现，尽管这个维度上变化了，从线段变成了长方形了，但是问题的本质是没有变化，能够看到这点，我觉得是挺好的一件事情。还可以这样变化，一个线段，也是4点，线段外面有一点，可以组成多少个不同的三角形？是不是发现这个问题本质上还是没有变化？如果能发现，我觉得这种思维空间至少在让学生直觉的空间感，一个基本思路就是降维的思路，我们把立体几何的问题转化成平面几何的问题，把多维的问题转化为三维的问题，这是在学习几何很重要的出发点就是降维，把维度降低了，那么降下来它本质不能变。像这几个问题跟刚才线段的问题，尽管维度上是不一样，但是它本质上没有变化，所以可以在维度上你可以变化。也可以这样变，就是我有这样几条射线，共点的4条射线，可以组成多少个不同的角？那这个问题跟刚才是不是一样？那怎么去化归为前面的线段的问题呢？当时有小朋友提出来，他说只要画一条交线就可以了，它就可以转化为变式4，还可以转化为前面的线段问题，有多少条线段就有多少条角，就有多少个三角形，就有多少个长方形。这种多归一的事情是变式里面最重要的，形式不一样，最后发现是一回事情。从一维变为二维，这个方法是不是原来还可以用？那就有点问题了，新的问题也出来了，这样的二维和前面的线段有相同的地方，也有不同的地方。那我们还是划归为前面的思路，这是数学的基本想法，叫划归。如果小朋友能够体会到这种变化，这种回归、划归的方式，我觉得也是很好的思路。也可以这样变，从一维变到二维，因为现在是平面了，平面不止是直线，所以我可以把这条直线弯过来，在平面上就更大了，就可以把这条线段弯起来，原来的数法现在是不是还可以这样用？原来的问题变成什么了？它的计数的方法是不是原来可以用？我们还可以这样交叉弯。那么变式9和变式8的区别在哪里？小朋友能不能看出来？这两个变式区别在什么地方？包括变式9和前面最初的变式，它们现在有什么联系？算法是什么样的？能不能看出来？记得当时的讨论很有意思，小朋友说变式8的时候好办，分两段数就行了。那变式9呢，小朋友说我也分这样两段数，加起来就可以了。可不可以呢？还有小朋友说分成四段数，这里数一段，这边数一段，分四部分数，数完以后把这四部分加起来就可以了。我记得一个小朋友提出来以后，其他小朋友说肯定是不行，为什么分四段数不行，而分两段数就可以呢？小朋友如果能把这个事情看清楚了，那就很有意思了，这是变式9。还可以把这条线段弯曲，为什么不可以把它弯起，变成一个首尾相接的圆弧上的4个点，圆周上的5个点。这个时候有多少条不同的圆弧？那这样的问题和前面有没有变化呢？变化变在哪里，这个变化影响了什么？可以把它弯起来，圆弧能不能弯成正方形？弯成其他的形状怎么样？这是一维到二维，还可以从二维到三维的。我可以把这条线段变成一个小的长方体，那这样有多少不同的长方体？到三维空间以后，本质上有没有变化？需要小朋友去想。那如果变成这样呢？小朋友能数出来吗？什么年龄的小朋友能数出来？少一点能不能数出来？或者改个模型能不能数出来？甚至给他模型，我们数起来还是有困难，因为里面看不见，看不见怎么数。所以你会发现拓展到三维空间以后，它的这种变化需要的不只是技术问题，还有想象和对空间图形的理解。在第一个关键属性上，我们可以产生这么多的变化，有变化之后，我们就知道这堂课可以定在哪里，定在哪些变化上了，然后可以给学有余地的同学、小朋友一个拓展更大的变化，让他课外去做，去讨论。这是第一个关键属性。
第二个关键属性是情境。情境上可以产生哪些变化呢？这是一个故事情境，非常有趣，尽管是虚拟的。那能不能把这个情境拓展到其他各种情境呢？其他情境是不是适合呢？我相信老师有很多的主意，很多很多办法，很多很多的故事，甚至故事都可以编个几十个。如果原来的情境上说，小鼹鼠只能往前跑不能往后走。假设我们规定它也可以往前走，也可以往后走，好像更合理一点，这样这个变化在哪里？就是这个问题的最后的结果，它的旅行路线的多少会产生什么样的变化呢？记得当时讨论时，一个老师一下就点出了这个问题的一个本质的数学概念，其实这就是是排列跟组合的问题。如果想到这是排列组合问题，那后来的变化空间就很大了。但我也可以加上一个定量关系，比如假设前后两个洞之间都相距10米，那么小鼹鼠所有路线都跑了一次后，总共要跑多少米？这就有点难了，那能不能算一算呢？再如，如果4个小朋友，每两个小朋友两两握手一次，总共握了几次手？这个问题看起来和前面完全不一样，小朋友能不能看出来本质上这两个是同一个数学问题呢？如果是的话，小朋友应该亲自试试看，4个小朋友站起来，大家握一只手，做一个游戏，每个人握一次，看可以握几次手？如果小朋友能够发现这个问题和旅行、线段的问题是一回事情，都是几何问题，那我觉得很了不得。小朋友能发现不同的故事在数学上是同一个原理，是一件很了不起的事。在情境上，我们还可以这样变化，在图形上变化。你可以从线段到直线、长方形、三角形、圆弧等等。因为数学里有各种各样的图形，平形四边形、正方形、菱形，图形我们在数学里面很多。刚才只是线段，只是点，能不能变成其他的图形上的问题呢？那会发现这个空间太大了，甚至我可以找一个高中生讨论起来都有点难度的问题。第三个情境上的变化，就是变化。我不清楚4年级小朋友对符号的认识会达到怎样的深度？因为最终它不是用符号表示的。到了初中、高中以后，所有的数学问题，我们都希望用符号来表示，这是数学的一个基本思想。记得我们以前有一项研究，小学到初中过度的时候，即衔接教学的时候，小朋友最容易出现问题的就是字母代数，这一关如果出问题，就影响到初中或者高中以后的学习。那到小学阶段，我们能不能让学生先适应一下符号的变化。比如我给你这样4个点，A、B、C、D，可以组成多少条线段？我不给你图形。我不知道这个问题小朋友会怎么想，初中生、高中生想的问题是什么？这4个点的位置在哪里？因为如果我给出了4个点的线段，那它就在线段上面了。所以到了初中以后，最重要的一种思想方法叫做分类讨论。为什么要分类讨论？因为它可能会出现不同的位置。一旦我给了图形，位置就给定了，当然就不用讨论了。这4个点可能会有哪些不同的位置，小朋友能不能讨论这样的事情？4个点可能的位置会有哪些？当然它可能在线段上，这4个点就在当初的那条4个线段上，除了4个点以外，可不可能变成这样的4个点？可不可能想到这是空间4面体的4个顶点呢？空间大了以后，小朋友能不能想到这样4个点很重要了，因为到了初中以后，我们不只是讨论形状，在几何里面更重要的是讨论是几何图形的位置关系，这是在初中高中最重要的一件事情。要让小学生也学会这种分类讨论，至于他们能不能想到，老师可以一起启发交流。你还会发现这里面也有很多的思维空间、符号。因为符号是抽象的，为什么会产生这么多变化呢？因为这是抽象，没告知这4个点在哪里，所以才要确定它到底在哪里，那就会有不同的情况，如果具体的给了4个点的位置就没什么讨论了。小学里面主要的应该是很具体很直观的情境，当然有些时候把这种具体跟直观稍微抽象一点，你会发现空间很大。
因为毕竟抽象也是我们后来数学的最本质思想，我相信史校长昨天上午也是重点讲的，我想小学生有没有可能把具体得东西往后退一点点，抽象一点点就可以了。看看能不能拓展一下空间，如果不行就不要为难学生了，行的话我们就试试看。这是第二个关键属性的拓展，你会发现情境的变化也会使得问题产生很多种的变化，有的情境抽象以后变难了，有的情境抽象以后把问题变得更清楚了。
第三个关键属性叫算法，当然这是这堂课最本质的工作。找算法，这是我们这堂课最核心的问题，从数学上来讲，是最基本的数学思想。那算法该怎么做？我们回到原来的问题，怎么去计算小鼹鼠有多少种旅行方式？我们假设从A进去，从B可以出来，从C可以出来，从D也可以出来。找到一条的旅行线路对哪个小朋友都不难，难在什么地方呢？要把所有的旅行方法都要找出来。这样的题型贯穿了在整个数学学习，哪怕数学家在高等数学做研究都在做这种题型，叫穷尽一种算法。这是数学最重要的工作，哪怕是在初中、高中、大学，要把这里面所有情况都穷尽了，讨论完了。问题是我们怎么样才可以做到不重不漏，数的时候数几条没有问题，但是我要把全部都数出来而且数得有条理，不漏数也不重复，这就需要方法，而且这个方法在数学里很重要，对以后的数学学习也很重要。看看怎么数，小朋友才最容易理解。第一种，我们从进口算，数的时候要有条理、有规律、有计划、有顺序。那按什么顺序去数呢？实际上可以从维度考虑数的顺序，数学里有了维度，空间定位就很清楚了。那我们从第一个点进去，从进口考虑，有这样几种走法：可以从A进去，可以从B出来，可以从C出来，可以从D出来；从B进去，它可以从C出来，可以从D出来；那么从C进去呢，只能从D出来，因为不能往后走。这个图看起来很简单，但这是一种很重要的数学方法，我们把它叫做树形图。树形图在计数问题中是非常有用的，帮助我们看清哪个是树干，哪个是树枝，画得清清楚楚，这样就不容易漏掉。哪怕在排列组合的数列里，我们都会用到这种方法。可以从进口数，当然也可以从出口数。出口数的时候可以从D开始数起，按顺序，从头尾开始考虑，头从哪里进的，尾从哪里出来的。这个头尾，就是我们常用的思路。从D出来，它可以从哪里进去呢？从这三个洞口都可以进去。从C出来的话，那有两个洞口可以从C进去，从C出来，最后从B出来，只能从A进去，所以这是第二种树形图。只要小朋友把这种树形图学会，那题目中多几个点也能画出来。这种数法条理很清楚，不会有问题的。
这是最基本的数学思想，但数学里我们通常要优化。学数学我们通常不停留在最基本的方法上的，我们要改进，那有什么办法可以让这个树形图表达得更清晰一点，规律发现得更明显一点？让小朋友去想。很重要的一种是图表，图表是树形图的一种拓展，因为图表，我们可以把其中的差异看得清清楚楚。比如，可以把这个线段图形看清楚，然后把它分解了，我们一个图形把它分解，分成了点数，叫基本线段数，然后线段的总数，就变成这样几类，那这样看规律就很清楚了。画了图表以后，当有两个点时，基本线段只有1条，线段的总数可以看成1+0=1，当点数是3时，基本线段数是2条，线段的总数是2+1；当总数是4时，基本线段是3条，总数是3+2+1；当点数是5时，基本线段是4条，总数是4+3+2+1，这个规律一清二楚。这个规律怎么总结？可以横向考虑这个规律，也可以纵向考虑这个规律。这就是图形的好处，有两个维度了，可以从行来考虑它的规律，也可以从列来考虑这个规律。在数学里面大量使用图表，可以把数学的结构、规律、关系看得更清楚一点。我想我们在中小学教学里，要大量地帮助学生学会使用图表去发现规律。还可以怎么考虑？这个问题本质上就是一个组合问题，组合问题就是N个点里面取两个，问有多少种类的问题。组合数公式对小学生来说，自然是高深莫测的，但是把它具体化了以后，小朋友可以理解组合数的一种思想，说不定基础好的同学就可以理解了。还可以有一种算法，叫递归。在计数这类问题里面最本质的思路是递归算法，而不只是改做公式。找到递推关系这样的问题，这是解决这类问题最本质的思路。比如，我现在找到4个点，那再加一个点，怎么办？那我画归为4个点，假设这个点没有看到。如果我们把4个点的所有线段数记为a4，那么当有5个点时，我们可以分两部分来考虑：第一部分，由前4个点组成的所有线段数a4；第二部分,以第5个点为右端点的线段数4；所以5个点的线段总数是a5=a4+4(an=an-1+n-1)。我们肯定没有试过小朋友们能不能理解这样的事情，如果能够理解的话，这就是在所有数学思想中最重要的，叫递归式。目前为止我们找到了3个关键属性，找到了一种拓展的变式，我们希望这种变式能够帮助老师分析这堂课，小朋友可以做哪些事情？可以做什么程度？哪些东西是合理的？哪些东西是不合理的？我希望这样一种关系变成一种公式来分析。这是第一堂课的案例，我就讲到这个程度。
第二堂课叫作常见的数量关系，是王礼英老师上的课，我们找到了4个关键属性。这堂课上完以后，我们画出了这样一个学习空间。它涉及到4个关键属性，在每一个关键属性上我们都可以产生各种变化。老师们有兴趣可以画画看，听完课以后看能不能把这堂课的学习空间画出来。画得不完整也没关系，大家互相讨论、互相补充，学习空间会越来越完整。这是第二堂课的学习空间。
第三堂课是胡老师上的，叫负数的认识。老师们想一想这一堂课在上课之前涉及到哪些关键属性。关于负数的认识大概有哪几个关键属性，每个关键属性上有哪个，又有哪些变化。当时我画的是这样几个，第一个叫做从表征角度来看待，第二个是模型，第三个是运算，第四个是意义。这堂课当时我们讨论得很有意义，比如老师们可以想想用什么模型来引进负数的概念比较合理。胡老师用的模型是什么？用方向的模型。他说小朋友站在某个点上，向右走表示正的，向左走表示负的，向右走一格表示正一，向左走两格表示负二。课本上好像也是用这样类似的例子引进的，你们觉得这样合理吗？如果不合理，那应该用什么例子、什么模型引进更好。为什么都用方向引进？因为这是最直观的，小朋友可以亲自示范，三个小朋友一个在中间，一个向右走，一个向左走。把方向作为负数的引进模型是非常合理的，但从数角度来看，方向这个圆点我们叫零点，这个零点不是绝对的零点，是相对的零点。会造成什么问题呢？到初中时负负得正，我碰到很多学生出问题。这例子的引进是不是一定恰当，我们另当别论。从数角度上是有点问题，但从学生角度来讲这个引入非常好。这时候老师就要有取舍。
第四个课例是刘老师上的叫除数是整十数的除法。这是一个除法算法的，这一堂课的学习空间包括哪些关键属性。当时我画了这样一个空间：第一个关键属性是算式，第二个关键属性是模型，第三个是运算，第四个是算理。算法的问题，最核心的是算理。这样四个纬度上看起来这个题目问题很简单，就是除数是整十数的除法。老师们都上过这样的内容，但是这样的内容你会发现它仍然有很大的拓展空间。从数学上讲，除数是整十数的除法，这堂课是没有必要的。那为什么要教这堂课呢？第一，作为铺垫；第二，整十整百是一个很好的作为估算的标准，在估算的时候整十整百这样的数字称为是好数，它的算法很简单，所以围绕整十整百的运算要熟悉。还有一个好处在哪里，因为我们的数是近位数的，以后的小数点、幂指数、指数幂都跟十相关。这堂课并不难，因为它只是为后面两位数的除法作一个铺垫作用。既然难度不难，我们怎么样才能把这堂课的味道讲出来，就是数学的味道。这就是涉及空间了，要把这空间拓展得大一点，看看从哪个角度切入，最后我们可以达到哪个位置，做到哪个程度。老师们有兴趣可以尝试。那刚才拓展空间以后呢？还有一个理论叫变与不变的四种范式。这件事情今天就不讲了。第一，我觉得它在理论上很有价值，在操作过程中并不是很容易，它提出来的没有纬度上变化了以后，有四种范式分别是对比、分离、类化、融合。这种范式的变化有点复杂、有点高层次的，能做就做，不能也没有关系。个人觉得只要把学习空间的那几个关键属性以及每个属性上每个点掌握清楚就行了。
为什么今天我们要讨论这些事情？为什么要进行变式教学？我们传统上讨论很多了，为什么要讲变异理论呢？今天我们为什么要拓展这样的学习空间呢？今天的变式教学通过构建学生的学习空间和关键属性上的变化来达到学生的一种教学目的。我简单找几点依据：第一，变式教学是中国教学的传统特色，我觉得我们有责任把这种教学模式进一步改进，让它发挥更大的效果。记得有一次到韩国，参加他们的数学教育研究会。当时我讲的就是变式教学，结果韩国好几位教授说这种变式的教学方法也是韩国的传统教学方法。第二，变式教学最基本的目的是为了帮助学生形成良好的认知结构。老师们都知道上海的披萨，上海的披萨出来以后让全世界都比较震惊，当时有几个美国朋友，其中一位朋友希望在披萨方面做个录像带，在披萨基础上研究为什么我们学生披萨成绩这么好的背后的教学原因。后来这个项目没有做成，但他讲了几个假设，其中一个假设是中国学生最大的优点可能就是有良好的认知结构，有了这种结构知识以后，哪怕面对陌生的情况，这个结构都能发挥作用。他说西方美国学生知识蛮多，但是一盘散沙，所以情节稍微变一变，这知识就用不起来了。变式教学在构建学生认知结构上起着重要的作用，个人觉得是一种很有价值的方法；第三，现在对这个人聪明不聪明有新的看法。我们希望通过变式教学让学生变得更聪明一点，但脑科学里有个观点表明一个人聪明不聪明关键在于你的潜能有没有开发出来，也就是说每个人都有很大的潜能，只要潜能被激发，那脑袋就会越来越灵活。那么怎么去开发潜能呢？有好多种办法，其中之一就是在一个大的认知单元上讨论问题、想问题、说问题、思考问题、解决问题。这样的话大脑的效率就会提高。那怎么可以帮助这个呢？我们构建一堂课的认知结构，这个结构可能在大脑中产生影响，通过学习空间把散的知识形成一个完整化的知识；第四，我们构建每堂课的学习空间，形成一个知识的主干。找到知识的主干在哪里，把这个主干的知识学得更扎实一点，让主干知识更结实一点、更粗壮一点。但是主干这种方法会影响到以后的学习，这件事情怎么样通过变式教学把它理得更清楚一点；第五，我们希望通过这种学习空间的分析，让我们的教学聚焦本源性的问题，跟数学特征、跟数学本质相关的问题。这种学习空间一画出来就很清楚有些地方是无关紧要，而有些地方是非常重要的。我们就要讨论那些重要地方的问题；最后，我们希望通过变式教学能够做到举一反三和一以贯之。通过这种变与不变的一种行为、变与不变的一种过程，让学生在适应变化的同时学会举一反三和一以贯之，个人觉得这两点在学习数学上是最重要的。换个角度，数学就是在研究某种变化底下的不变性，几乎所有的数学问题不管是几何、代数、组合都是在研究某种变化底下的不变性。所以这是数学的一种基本的思路，要学会一以贯之的那种想法。就这几点，我们都尝试找到了一些案例，以后有机会再来交流。为什么这六点是有效的？老师怎么做的？希望以后一起讨论并能找到相关的案例。
作者：鲍建生（华东师范大学数学系教授，博士生导师）
