基于“学本”价值追求的概念数学
我接下来讲的话题叫做基于学本价值追求的概念教学。以前我讲的就是概念教学，我这里有一段小视频，我跟很多老师讲课的时候都愿意放这一段小视频。这个事儿是与我等下要讲的内容是有关系的。我先给大家看一看，看完了以后呢呆会儿在讲这个与这个视频内容相关的时候我们再讨论。
我希望你注意到这段小视频中涉及到两个概念，第一个你还记得吗？机器，什么是机器，涉及到这是第一个概念。第二个概念是书。呆会儿我们在讨论概念教学的时候我们还要回过头来讨论这个小视频。不知道在座的老师有没有完整的看过这部电影？如果你看过的话我当然不说什么了，如果你没有看过的话强烈推荐。在我看来通篇讲的都是和教育有关的事情，非常漂亮的印度的一个影片。
我讲这么几个内容，一个是什么是概念，就是大家交流一下数学概念学习的基本方式。最后我们谈一谈小学概念教学应该注意的若干个问题。我想完整的讲完这些东西是不太可能的，到时候我就根据大家的反应有选择的讲一些。
我想先讲这个什么是概念。我想如果像刚才什么是机器，什么是书一样，给什么是概念下一个定义的话，应该大家不会太喜欢。于是我准备了一些东西请大家看。您知道我这是什么东西吗？对，是杯子。我想问的不是这个，我想问的是什么呢，就是这些东西它的形状，它的材料……都不相同，是吧？有这么多不相同，为什么都叫杯子呢？或者说是哪些特征使这些杯子成为杯子的呢？材料也不管，这个也不管，那个也不管，这些都不管的这个过程，就叫做抽象。我们只管什么呢？我们只管它的功能。这就是这么一个抽象的过程。概念他是一个抽象的过程。然后我们再用一个词来表示它，我们这个过程就叫做概括，我们这里不展开讲。你感兴趣的话你自己去查一查。这里有这么一个例子，是关于射线的教学的一个例子。我想在座的很多老师，你要么就教过直线，射线，线段和角这么一个内容，您如果没教过的话，您应该听过这方面的课。接下来这个片段就源自这一个教学，老师提问：现实生活当中你在哪里见过射线？我经常和我们老师总结，我说在小学数学课堂当中，有一些经典的问题，这就是一个。比如说还有这样的经典问题：同学们请看大屏幕，你能从中发现哪些数学信息啊？这就是我们的经典的问题。还有比如说你能提出什么数学问题啊？这也是经典的问题。然后学雷锋以后，会说同学们在现实生活当中你在哪里见到过什么。这都是经典的问题。现实生活中你在哪里见到过射线啊？有一个小孩站起来说，我见到过太阳的光线，第二个学生就说手电筒发出的光，因为是一节公开课，老师手上拿着那个，我今天手上没有，一个学生很聪明就是老师你那个就是。老师那个语言表达能力很强的，就是我这个笔，光射向浩淼的宇宙什么什么的。完了以后就还有一个孩子站起来说老师我见过，这个老师肯定得请他说，你在哪里见过啊？他站起来就回答了，老师我见过这个射线，火柴棒。您知道他要表达的意思吗？火柴棒是射线。但是您有没有这样想过，要是您教一个小孩，您教他一节课，什么是射线、线段、直线，教完了以后您问他你在哪里见到过射线，他站起来回答老师我见过火柴棒。您觉得您这节课您教好了吗？不说您教好了没有，就说他学好了没有。您叫射线，他站起来回答你火柴棒是射线，你觉得他学好了没有？显然没有。因为我们说射线的基本属性他都没有掌握。那么你有没有想过问题在哪里呢？我想这样和你说，我这里啊上面一排是三个东西，下面一排是另外三个东西。那么我们先来说说下面一排吧，第一个叫数学概念，第二个叫数学概念的现实原型，第三个叫数学概念的符号。我想把这三个东西和上面的三个东西对应起来，您觉得该如何对应？比如说太阳的光线应该对应哪个？应该对应这个对不对？现实生活的原型。等会我们再解释什么是现实生活的原型。这个东西是什么？是一个表示数学概念的符号，符号表示那些东西是吧。那么剩下的就是数学概念了。但是我们在实际教学当中，这三个东西经常被混在一起。比如说孩子为什么站起来回答我见过射线火柴棒？他为什么这么回答？就是因为我们怎么教的，我们说射线有一个端点，这样就是射线是吧？你想这不是火柴棒吗？这样老师们我现在画一条线，假设我画直了。您说我画的什么？您一定会说我画的是直线。但是我说的是，我们画一个线段吗，在这里我甚至可以量出它有多长，但是老师你一定会和我说它没有端点啊。老师您想想。您能不能画出一条没有端点的线？其实您自己想一想您下笔之处不就是第一个端点吗，您收笔的地方不就是另一个端点吗。除非您不下笔或者除非您不收笔。其实有一次我跟老师们讲课的时候我开玩笑说，端点是这么回事儿，你画与不画端点总在那里。用不着我们这样子但是为什么会有这些东西呢？就是因为我们有时候需要在这个有限的面上表现出一条无限长的线，于是我们就需要一个符号。没有符号的话，比如说射线，我现在说想各位老师您拿起笔来画射线，您画完了以后我们就下课，我想这是不可以的，因为您永远也画不完。我和老师开玩笑，人的生命是有限的，射线的长度是无限的，把有限的生命投入到无限的画射线的工作当中去，这是危险的。所以我们要发明一个符号，比如说假设我刚才讲这个，如果您同意我的观点的话这就应该表示一条线段，一点问题没有。但是我们需要表达一个问题，这条线向一个方向还可以无限延伸，于是想表达这件事儿你就要想出表达的方式。假若我们最开始想的方式是这样的，那么这就是一条射线。那直线呢？直线就是这样子的，这一点问题没有是吧？也许我还可以用其他的方式，这是一条线段，我为了表示想另一端还可以无限延伸，于是我怎么办呢，我画这个，我省略一下。如果这样可以的话，那直线就将是什么样子？所有这些都不过是人发明的，表示这几个概念的符号，而不是这些概念本身。于是我们很多时候在交流概念的时候，就把表示概念的符号当概念本身来教，于是我们就反复强调，这就是射线，这就是线段。于是你的学生就会告诉你：“老师,火柴棒就是射线”。我愿意相信，你老这么教的话，孩子还会说什么东西是线段。有这样的东西吗？我印象当中好像有这样的东西，他会告诉你那玩意儿就是线段。有一种两头都有的棉签有没有？但是这样子的话都是很糟糕，我认为是很糟糕的教学。就是说我们不能把表示数学概念的符号和数学概念本身搅在一起。还有一种东西搅在一起也很麻烦，那就是什么？把数学概念的现实原型和数学概念搅在一起。数学概念的现实原型是什么？就是赖以抽象出这个数学概念的东西。比如说我们说太阳光线是什么？就是射线的现实生活原型。你把这个东西适当的抽象就得到了这个概念。比如说：我手上这个笔，你如果愿意抽象的话你可以说是个圆柱，你再抽象一点的话你可以说他是一条线段，这都没有关系，这就看你抽象到什么程度。我这个东西就是概念的现实生活原型。你如果这么一教的话，不把它区分开来，把它混在一起的话就会有一些麻烦。您看这么一些问题，这些问题都被我称之为该死的练习册上的该死的判断题。我不知道您被这个该死的练习册上的该死的判断题，为之纠结过没有，反正我做教研员经常接到这样的电话，问这个判断题是对还是错。我每次都会讲很长一段话，跟老师把这个问题的来龙去脉讲的很清楚，讲完以后我自认为我讲的很好，但是讲完以后老师一般会补充问一个问题，张老师您这样说到底对还是不对？这些事儿麻烦在哪里呢？都麻烦在把表示概念的现实生活原型和概念混淆在一起。比如说第一个太阳的光线是射线吗？太阳的光线是射线的现实生活的原型，就不要用太阳的光线来抽象这个数学概念。我讲这么多现实生活原型你说到底是什么东西嘛。我只能这么和你说，老师数学概念，比如说射线，比如说长方形，我这里举得都是几何的概念，比如说三角形，比如说圆柱，这些东西都是现实世界当中所没有的。客观世界当中没有长方形，没有正方形，没有直线、线段、角，没有这些东西。这些东西哪里来的呢？人脑抽象的产物。那么我们人脑怎么平白无故去抽象这么一些东西呢？就是因为我看到客观世界有一些这样的东西。比如说我看到门，我看到黑板，我看到什么，看多了，我就抽象一下，得到什么？长方形。黑板，这个屏幕，这些东西就叫做现实生活的原型。
我举另外一个例子你就明白我的意思。有一次我去听课：角的初步认识。你教过吗？二年级，《角的初步认识》。教完了以后，我只描述一下，老师教的非常好。我说《角的初步认识》就是讲角的两个特征。我们说角有一个顶点，我们真正教的话语言一定不会这么苍白的，我们会说叫角有一个尖尖的顶点，两条直直的边。那个老师是这么教的，为了让学生体会交有一个尖尖的顶点两条直直的边，老师是这么做的，用纸折了一个角，然后让学生站起来，第一是用手摸一摸这个角的边，感受到有两条直直的边，然后呢让小朋友把手心朝上，老师拿角在他的掌心上轻轻扎一扎，让他体会到角有一个尖尖的顶点。我觉得教的挺好的，但是教完了以后，最后教了一个几何概念，又有一个我刚才讲过的所谓的经典一问，就是同学们在现实生活当中你在哪里见到过角啊？孩子们就站起来了，讲了很多，其中有一个孩子就站起来说老师我这个课桌上就有角，老师正要表扬他呢，有一个掌心被扎的学生就说不对，这个不是尖尖的。老师你说，能把那个课桌做那么尖尖的吗？更何况，就算你做的比较尖也是比较尖而已，真正的所谓的尖尖的顶点直直的边的角只有哪里有啊老师？只有这里（脑子）有，现实生活当中是没有的。当你问同学们你在现实生活当中哪里见到过角啊？其实你是问什么？你是问在现实生活中哪里见到过那个东西，那个东西可以通过人脑抽象得到角这个概念，你是不是问这个？但是你在小学课堂上你这么问，你是不是就太糟糕了？你不能这么问。所以我想说的是，这些问题，我就把它说是该死的练习册上的该死的判断题。他没有答案的，你要非要有答案，我就只能判错，不是一个东西。但是你要和学生去讲这个事儿，那就太麻烦了，所以我们要做的是什么呢？碰到这样的该死的练习册上的该死的判断题，不做它就是了。老师这点专业的权限是有的，不做，你删掉，没问题。
还有老师和我说，张老师你说的好，要考试，考试这个判断题1分唉。就像我原来和老师们介绍的，我家里有个小姑娘，读四年级。当她读三年级的时候，考试回来就是99.5分，其中有一题就是扣0.5分什么家伙呢，就是用倍做单位，我们说学校有15个篮球，有5个足球，篮球个数是足球个数的多少倍？她就写了15÷5＝3，这个要命的就来了，括号倍，然后就扣0.5分。我觉的这个老师扣0.5分是挺好的，就是要严格要求要规范，，挺好的。我想说的是，一个老师你只要足够的强势，再足够的坚持，你完全可以做到你们班的孩子没有一个敢用倍做单位的，同意我这个观点吗？两条，第一条叫足够的强势，第二条要足够的坚持。天天找着你，看你改不，对别的老师是可以做到的，你考试，期末考试你们班那个0.5分就不会被扣掉了。你可以在全校很牛的，你看我们班没有一个用倍做单位的。但是您这样做这个0.5分是没有被扣掉，其他地方老早就有5分或者更多的被扣掉了。这完全影响到孩子对学科的态度，原来数学就搞这个东西。其实你仔细一想，15÷5＝3，单位括号加倍这个问题也不大。所以我讲这些该死的东西我们就不理他。但是我们要明白这些该死的东西他的问题在哪里。它的问题在哪里，各位老师？就是把概念的现实原型当概念在处理。然后就编出了这么一些该死的题。
我不知道可不可以和大家讲两个，比如说这个，是很早以前，那个时候论坛还很火的时候。有个老师跟我讲他那个论坛帖子发的挺多，我发现我这段时间天天讲的话都是错的。我就觉得一个数学老师你讲一两句错话并不难，难的是你那一段时间讲的话都是错的。他就讲啊，讲什么话是错的呢？他就说我天天跟学生讲同学们请你拿出一张长方形的纸，但是我今天醒悟过来了，一张纸啊，它再怎么薄，它也有一定厚度的。无论你说的是长方形还是长方体都是什么意义上呢？都是原型意义上的对不对？那就看你需要抽象到什么程度。
这里就是抄了一些话，大家感兴趣的你看一看。亚历山大·洛夫他的一本书《数学——它的内容、方法和意义》，你如果感兴趣愿意读点书，我推荐这本书，写的不错。还有郑毓信先生的《数学教育几何学》这个书也强力推荐。哪些是原型哪些是概念，你自己心里要清楚，你心里清楚的话就少了很多纠结。郑毓信老师有篇文章，如果没记错的话叫《做大气的小学数学老师》，有读过吗？不知道是不是郑毓信先生的，我没记错的话应该是的。
数学概念的学习方式是两种方式，我想大家都知道，我就简单的在这里过一些就可以了。这个纯粹是为了这个讲座的完整性。一个叫概念的形成，一个叫概念的图画。我在这里和大家玩一个游戏。这是一个概念，这是人造的，我从心理学的书上面抄来的人造的一个概念，就是这个世界都没有的。这个我也不知道怎么读，反正也不是英文单词，词典上也查不到。但是这个不全是这样，有的是有的不是。接下来我们要做的事情就是把这个东西的关键的属性找出来，到底什么就是什么就不是。那么怎么看呢？不知道后面的老师有没有看的清楚啊，这个是的。第一个是的，第二个不是的。他就是一个概念，就像杯子一样的。只是我抄来的我就没改。你就想这个就杯子，第一个就是杯子，第二个就不是的，之后我们就知道到底什么样的东西是杯子。第一个是的第二个不是的，这个时候你的心里就会有一些想法，比如说你会认为嘴巴是尖的东西是的，背上有圆圈的就是的。完了以后这里有一个请求，您如果知道这个您就请暂且不发言，因为你要讲了就不好玩了。您现在有很多想法，完了以后我告诉你这个也是的。如果这个是的话什么东西就不成为主要特征了？尾巴的长短。也许没有这个之前你就会说长尾巴的就是，短尾巴的就不是，也许是对的。但是这个一出来就不是这样的了。也许你现在把目光集中在哪里啊？嘴巴是尖的的，还有人说眼睛是实心的，这些都有可能。完了以后这个不是的，什么特征就被取消掉了？您这个过程就是学习和概念的过程。这个是的，这个不是的，然后还有很多很多。我想说的是您如果一下子看不出来的话，这个很正常，因为很麻烦。不过呢，您看不出来我就希望您注意这么一件事儿，当您的学生再找一个您看似很简单的规律，但是半天也找不出来的话，你千万别生气。因为这个事儿对我来说也是很简单的，但是您一下子就看不出来，这是很正常的。不耽误时间了，公布答案，就是身上有横着条文的就是的。所以这些核心特征要归纳出来也不是件容易的事。
这个我们讲小学数学概念教学应该注意的事项，这是最后一个了。我讲第一个观点，就是第一个注意事项，叫什么呢？叫淡化形式，关注实质。这几个字呢一定程度上也是抄来的，就抄一个文章，如果你感兴趣你可以搜，叫《淡化形式，注重实质》。某种意义上讲这篇文章开启数学教育改革的先声，在这篇文章当中陈先生和宋先生，他们合作写的，他们的核心观点，批判当初概念教学，包括概念教学在内的，就是扣黑体字，数学的那一段定义啊，讲这些东西。
前两天我在昆明，参加一些活动，一个老师上课，上《分数的意义》，就是五年级那个，把一个整天或者一个计量单位，平均分成若干份，表示一份或者几份的这个东西叫分数。当时发了一条短信，听到一半的时候旁边公布这个发短信的号码，然后说还有奖，我发了这个短信以后，人生第一次中奖，获得一本王永生先生写的《数学计量方法》。我发的短信内容就是这样子的，我说：分数的认识也好，小数的认识也好，关键在于它的实质理解。今天上课的这位什么老师来着，不记得了，这位老师过于关注教材上关于分数的意义的这一段话的表述。好在我们在座的都是业内人士，所有人都知道这个老师要干嘛。但是我说后面摄像的这位老师，肯定不知道我们要干嘛，但是分数他是认识的。我想表示，我们要关注实质，淡化形式。这些概念，我们都知道。这是面积，底下这个是体积。我们家小姑娘读三年级的时候，拿回来一个题。我不知道大家这一段话的重要性你怎么衡量或者怎么评价这一段话的重要性。你觉得重要或者不重要，反正有很多人认为很重要。其中就包括给我女儿编练习册的那个作者。因为那个练习册上有一个题，就是把这段话扣掉两个词，让你去填空。你觉得可不可以扣掉哪两个词？大小，封闭。以下问题就这样问的，物体表面或( )的平面图形的（ ）叫（ ），就这么一题。我女儿那给我，我和她说幸好你老爸也是业内人士，要不然你这个题没有人会做。完了以后，物体所占空间的大小叫体积，老师你要说体积啊，学生多少容易懂一些，你要说物体所占空间的大小，学生反而不会了。您还记得刚吃我们看的那段视频吗？那段视频里面讨论过两个概念，第一个概念叫什么？第一个概念叫机器，第二个概念叫书。我们先从机器，在这个视频当中有两类给机器下定义的方式，第一类就是那个很帅气的男士那个，他是什么方式下定义的？他主要举了个例子，他首先是说机器的功能，减轻劳动节省时间就是机器，然后他就举了很多例子，您知道他举了哪些例子吗？拉链，我看这个电影之前我都不知道拉链也是机器。这是看这个电影涨的一个知识。电扇，笔尖这些都是机器。举例这是一种风格，但这种风格教授是不满意的。他要定义是什么，考试你这么写吗等等等等，这是一种风格。第二种风格是谁啊，就是那个男孩是吧，很学究的那种，给他讲了一长段什么什么什么。各位老师您如果事先对机器的了解不多，您听了他这么一长段的表述，您会对机器有很深刻的认识吗？难。很难，很难！为什么我可以说很难呢，就是我小时候，在学习过程当中有切身的体会，但是这种体会来源于语文的学习。不知道在座的，在座的都比我年轻，你们小时候学习比我就好一些。我小时候在农村里面上语文课，学一篇课文的第一课时，永远是词语解释。我们老师就在黑板的左上角开始，写个词，冒号，一段解释。又写个词，冒号，一段解释。我们就在底下抄。内容是很重要的，期末考试还要考的。当时我特别佩服我的语文老师，为什么他每个词都会解释呢？后来我知道了，每个老师都有的一本那个叫教学参考书，那个时候我们就特别想得到他那本书。有一次是学一篇课文，叫什么呢？叫《小抄写员》，要解释的第一个词，就是抄写。我真的懂抄写，不是今天，就是那时候，我老师给我上语文课的时候，真的我懂抄写，我天天抄写，我能不懂抄写吗？你要我用抄写说一句话，我一点困难都没有。你要我判断某一个动作，某一个现象是不是抄写我永远不会说错，我真的懂抄写。但是你抄写冒号，给我的后面写一段话，我真不会写，也就是说我不会词语解释。但是我的老师会啊，用两个字就给我解释清楚了。不过遗憾的是这两字中有一个字我不认识，我读错了，被我老师批评了。誊写啊。我本来懂得，什么叫抄写，你这么一解释，我一个字不认识。以我好学的精神我必须得问啊，，老师那誊写什么意思啊？誊写都不知道，抄写啊。你说这样一来，这个概念就不是这样学的，对不对？各位老师，不是这么学的，强调实质理解。比如说面积，它的核心是关于几何图形的某种意义上的大小。就我们说一个几何图像，比如说一个封闭的平面图形，我们说它大，我们说它小，什么意思？就这么一个东西，然后我们就在讲，比如说完全重合的两个东西，是一样大的，这是大小的意思。比如说你把这个本来是一样的大的你撕掉一个角，它就小了，大小的意思。如果你把这个角补回来，他又一样大了，哪怕你补到别的地方，它都一样大的。定义大小，是这个意思，完了以后这种大小我们给它取个名字，叫什么？叫面积。你说他大就是面积大，你说它小就是面积小，就这个意思。其实物体的表面，有没有是不重要的，物体表面的大小最终要把它转化为平面图形的大小，比如你要说球的表面是大还是小，你怎么办？你还非要用很多很多的平面去逼近那个球面，然后所有的那些逼近那个球面的平面的大小的总和是吧，其实就是这样子。
第二个叫完成抽象的过程。因为概念它本身是抽象的，那么你要教一个概念你就要领着孩子从具体到抽象的过程。各位老师这是我见过的人教社的教材的两个版本，有一点小小的不一样，就是顺序，以这个3为例，你看这里，上面是三只小鸟，中间是三这个数字，下面是三根小棒。你看这个版本，上面还是三只小鸟，中间是三根小棒，下面才是数字三。接下来您觉得哪个版本更合理？第二个对不对？因为我们说从具体到抽象，介入具体和抽象，就是三只小鸟和符合三中间的那个东西，那么我们说叫表象。我也和您的看法是一样的，但是非常遗憾，我不知道为什么，这个版本呢，就是我看到是一个绝版，从此以后就没有了。您如果现在打开您的一年级的教材，他是这个版本。这我觉得很奇怪，我也没机会问这个编教材的老师，我以后有机会我一定得问问他们。就算是这样，我觉的也没有帮助学生完成抽象的过程。何为帮助学生完成抽象的过程？英国有一个非常有名的数学家，也是哲学家，也是逻辑学家，那个人获过诺贝尔文学奖，他和他的老师一起写了一本书，叫《数学原理》。这本书有人评价是这么评价的，全世界通读过这本书的人只有两个，包不包括作者就不知道了。就是作者是这两个，通读过的也就这两个，就这么一个人，他讲了一句话，原话不一定很准，但基本意思是这样的，他说人类不知道两昼夜和两只有相同的地方，老师两昼夜和两只 有什么相同的地方？都很二，都是两个，就是数量是相同的。当你认识到两昼夜和两只有相同的地方就表示你有相当的抽象的能力。这种能力是怎么形成的呢？就是游泳是怎么学会的？游泳是在游泳当中学会的，那抽象能力是什么形成的呢？就是在抽象的过程当中形成的。何为抽象的过程，各位老师？我这里给你演示一个这个数字2的抽象的过程。这些东西都很具体，很具体就是什么？你可以说出他们的区别，他们各不相同对不对？活生生的摆在你面前，不相同。那么接下来对它进行抽象，你觉得我会抽象成什么样子？对，表象，你们说的很好。我站在这里算不算表象啊？就用两点来表示，但是这两个点来表示2还不是完全抽象的，为什么呢？她还含有很明显的两个这样的含义，换一句话来说，任何一种文明都不可能用这个符号来表示我手指的个数。我手指的个数是这么多，它是这么多，还是具体的2，我不知道我讲清楚了没有。然后就进一步抽象成什么东西啊？成这个了，那么就完全有可能存在一种文明用最后一个符号来表示我手指的个数，我想说明的是它已经是完全抽象的，已经没有任何两个这样的意思了。那么我们就要带着学生，完成这个过程，这就叫经历抽象的过程。我这是举一个极端的例子，因为小孩儿如果到一年级来他2他还不认识，那他爸妈会急死了。所以你在小学一年级教数字2大概不需要这样，我就举一个例子，何为经历一个完整的抽象的过程。这些都是帮助抽象来做的一些事儿，例举的一些问题是吧。这些东西你们都知道是二分之一，但是形状也不同，大小也不同，凭什么都用二分之一来表示呢？一个东西是相同的，就是那个红颜色的部分和那一整个东西的关系是相同的，对不对？这就是抽象，这些问题就是引导学生抽象的好的问题。我刚才举了一个例啊，如果你没有帮助学生完成这种抽象的过程，就完全可能出现这些问题，我跟大家描述一下，就是有一次教研活动当中一个老师上课，上分数整数认识，到他上完了，有一个孩子坚持认为二分之一和三分之一比大小，不能确定。他的很有理由的，他不能确定，有时候二分之一大，有时候二分之一小，有时候还相等。二分之一大就不说了，二分之一小：老师我手上的二分之一就比你手上的三分之一小多啦，老师为了演示，用很大的图啊，上面就是三分之一，学生手上就是很小的图嘛，就是很小的二分之一啊，所以这个就比那个小。这个问题出在哪里呢，当然你就会说单位一不同，但是你有没有见过孩子这样和你讨论问题的？在学1和2的时候，有没有孩子这样和你讨论的，老师1和2比大小不确定，比如说一头大象就比两只蚂蚁大多了。有没有孩子这么和你讨论问题的？没有吧？那凭什么分数上就有人这么和你讨论呢？就是说对于自然数，就是自然数这个东西他先天的就完成了这个结构，他一生出来，他一认数，他就是怎么认的？就是抽象的认的，1就是一，2就是二，没有人跟你说一头大象两只蚂蚁，没有人跟你说一头大象不是1，两只蚂蚁不是2，我不知道我表述清楚没有。分数呢？分数就是因为我们教的时候特别强调这些玩意儿，所以我们如果你不帮助你的学生完成这个抽象的过程，他就会和你说二分之一和三分之一比大小不确定。何为完成了抽象的过程？就是你的学生能不能把这些分数在这个上面找到合适的位置。能找到就OK，不能找到就没有完成这种抽象的过程。当然抽象也是一个逐步完成的过程，也不能一蹴而就，但是你总得时刻为之努力。
最后谈一个观点，关于概念教学的最后一个观点，叫尽可能丰富原型。你还记得吗？那段视频里面那个很帅气的男生为了给人家解释机器，他举例，举了一些例都是现实原型。他举了很多例，他举了什么东西啊？这个电扇，这个计算器，这个电话，笔尖，拉链等等。如果我这么举例，什么是机器呢？我告诉你啊，机器这样子的空调，电风扇，烤火的炉子这都是机器，你说我这样举例好不好？这样举例就很不好，这样举例为什么不好呢？因为你举得这些例子，都属于调节，电器是一方面了，不但是电器，而且是电器里面调节小环境的这种东西，那么大家对机器的认识就是不完善的。你有没有这样的经历？您教垂直的时候，这种垂直的判断学生不难做出判断，一般不会判错。哪个犯错啊？这种犯错，尤其是哪一种啊？尤其是这里还没有相交的这一种，尤其是这样的东西他通常不会认为它是垂直。问题是在哪里呢？问题在您在教垂直的时候举得那些原型，通俗一点讲就是我们举得那些例，通常都是一个水平的，一个竖直的，于是在他的头脑当中，就把垂直这个概念的非本质因素就当成了本质因素。他就认为这个垂直就是一个水平的一个竖直的一个十字架，这样就是垂直，不是这样就不垂直。所以，我们在教学的时候，在讲题目的时候，要怎么啊？要尽可能的丰富这种原型，于是你就要想方设法去寻找一些非水平加竖直的东西来。当然这种东西很难找，也不太好说它很难找哦，我想表达的意思是，它比一个水平一个竖直这样的东西要少一些。比如说正方形是不是这样子？这种没有问题。这种就麻烦一些。圆柱，这个不高也不矮，不胖也不瘦，这样的东西就很容易被他判断出来。你像这种，这个什么问题啊？很矮很矮，很扁的这种，这种东西他有的时候就不愿意当作是圆柱。像这种，什么东西啊？所以我们在举圆柱这个例的时候，就是讲原型的时候，你要尽量丰富，要专门找这种东西给他们来认。要不能让他把一个概念的非本质因素当作本质因素来认识。
我们来回顾一下，今天一个小时的时间是和大家交流了关于概念的教学，讲了这么几个方面，一个是所谓概念，而概念我们又下了一个定义，你感兴趣你晚一点完全可以搜到什么是概念，但是他有一个很重要的特点，他是抽象的。抽象的就是这个世界本来没有的，无中生有，学就是无中生有的学科。有时候我们印象中有人讲过这样的话。第二个我们讲了数学概念的一些特点，包括抽象的。我们特别强调不能把数学概念本身，数学概念的原型，表示这个数学概念的符号，这些东西混淆在一起。你要是搅在一起的话，要不然就是 ，要不然就是有一些该死的判断题。完了以后我们还谈到了学会这些概念的基本方式，有概念的形成，有概念的同化，因为时间关系没有展开讲。我们还谈到了小学数学概念教学应注意的若干问题，着重讲了三个，第一个是要淡化形式注重实质。第二个是我们要引导学生要完成抽象的一个能力的一个过程，抽象的能力要在过程中才能培养的。第三个问题我们讲的要尽可能的丰富学生关于概念的原型，避免把非本质因素当作本质因素来认识。
作者：张新春（湖南省长沙市小学数学教研员）
