小学数学思维训练与意识培养
 

这个机会呢，跟大家来再交流一下数学学习的思想。因为，我接到这个任务以后，其实我当时就说小学老师，我跟你们讲些什么东西？心里很忐忑，不知道，因为小学离我还是比较远，所以不知道聊些什么。但还是要叫我来讲一讲，所以我取了这个题目。那我想大家其实刚才大家跟俞老师聊天的时候，其实看了大家的课程安排，很紧张啊。白天已经上了一天的课，然后晚上我想也是这样的大家也反感的，所以，今天晚上我们以聊天为主，聊聊这个有关数学学习和教学方面的事情。

小学，对一个学生来讲，或者说对一个小孩子的成长来讲，其实有很多情况下面，其实大家都不一定很在乎。因为有很多人认为，小学这点知识的话没有多少内容知识，说最好让他玩，是不是？但是我们的小学其实情况不是这样，有很多小学生家长已经深刻地体会到晚上回去陪着孩子做作业的那种艰辛和那种纠结的心情，要做很长时间才能睡觉，小孩子子很辛苦。然后随着我们现在这个所谓的素质教育，大家有很大一部分，家长也好、领导也好，都觉得小学要改革，教育都要改革，素质教育不要应试教育。然后就希望国外的小学怎么样？国外的小学生书民都没有的，课本都没有的，就是领着大家在玩，玩游戏，玩什么。然后走向另一个极端。然后我们有些领导呢，觉得素质教育很重要。怎么素质教育呢？…领导包括在重要岗位上的教育厅的领导，这些，是不是？觉得素质教育不管是小学、初中、高中、大学，素质教育就把课程内容减少，然后你去玩去。这是素质教育。这个呢，我觉得，特别是把数学内容减少，这个完全是背道而驰。所以我们经常在一些开会的场合，经常会跟领导说，你这个不懂，不懂数学，数学怎么好减少？数学这个培养怎么好这样下去减少内容就行的？但是这个领导很难听进去。后来我们聊多了也不讲了，为什么呢？我们觉得这个领导，一般的领导他不重视数学的，或者他讨厌数学的，有这些领导。基本上是哪些呢？基本上是他的小孩子数学学得很差的，他自己数学也学不好的。这些领导呢，往往就是说数学不要了，数学随便搞搞就好了，加减乘除会做嘛，菜场里会买菜就行了。这就是不懂数学的结果。所以我今天要讲的就是这个。

我们说，第一个，我就要跟大家聊聊数学的特殊地位。我记住柏拉图的一句话，他说每门科学只有当它含有数学时才称其为科学。当然这句话从某种程度上来讲可能会有点过，但是这样有点过的话，不光是柏拉图讲过，马克思也讲过。马克思怎么讲的，他说你一门科学是否成熟了就要看你跟数学的联系到什么程度。就你这门科学如果跟数学的应用密切联系了，你这个科学才是成熟的，才是一门科学。这跟柏拉图的话相差是殊途同归的。高尔斯也讲过类似的，康托尔也讲过，等等，很多哲学家都讲过类似的话。那么这个就说明我们数学在人类文明的发展过程中间，这是讲大了啊，或者在科学的发展中间，或者在我们经济或者我们国家的整个，每个国家的科技的发展中间，起的作用是其他学科不能比的。其实数学不光是一个自身内容的学习，而且是一个人的素养的培养，一种精神的培养。所以我说数学不仅是一种工具，她是一种思维模式。就是学数学的时候，数学的训练，我们经常说数学是思维的体操，那么就是说数学是人类的一种思维模式的形成的一种锻炼，一种培养，或者一种训练。经过数学的训练他会有条理性、逻辑性。另外呢，我们说数学不仅是一种知识，她是一种素养。这种素养是什么？就是说你数学，学了以后对你整个人的科学素养思维提高了，不光是知识强了，你有很多科学，比如说严谨的思维模式，清晰地逻辑推理能力，等等，都是不可或缺的。第三个，数学不仅是一种科学，她还是一种文化。数学是有文化的，我们浙大每年都会有数学科技文化节，是不是？数学的宣传和传播都是有文化的。我们大家都知道，数学有一个奥林匹克竞赛，这个竞赛，既爱又恨，对有的家长来说，对有的老师来说都这样，有的说这个很好，有的说这个不行。但是，这个数学奥林匹克竞赛到现在为止还在如火如荼地在展开，证明它是有它存在的原因的。实际上它就是一种数学文化，它传播了数学的知识，也传播了数学的精神。所以说这个奥林匹克竞赛我们其实是要有选择性地参加，就是说一个学生有兴趣，一个方面它也对学生的运算能力、解题能力、推理能力其实有很大的提高；但是你要硬逼着一个学生去做，那么他会适得其反。这里，我们能看到数学是有文化的。所以我就在前面说的这个目的是什么？就是说我们数学的学习，它的重要性是远远超过其他学科的。你说大学里的物理、化学也好，其他也好，我觉得跟数学相比是不一样的，数学的重要性也不一样。当然，现在这里也没有物理、化学老师，也不怕得罪他们，是吧？我们这里都是数学老师。所以我觉得，我们数学老师第一个要感到自豪，因为你是教数学的；第二个，责任重大。既然数学这么重要，那么你刚才说了小学的数学怎么教呢？小学的数学同学怎么学呢？这其实是非常关键的东西。虽然我刚才说小学里是真的有说玩玩，有的玩是玩不出名堂来，有些同学玩是肯定就能玩出名堂来，而且有的玩，可能比认真学得还要好，这都有发生。我们求是小学，浙大一个求是小学，里面的学生大多数是我们浙大教工的子女，所以求是小学人家说质量都很好，这就是说学生也很聪明，都学得非常好。其实我跟他们说求是学生学得非常好，一半可能是这学校还不错，可能一半还不到，大部分的原因是因为他们的父母好，因为他们的父母亲都是大学的老师，他家里的这个学习习惯会影响他，这个其实是很重要。我们当时有个教授，他们的小孩是在求是小学读书的，求是小学平时有很多作业，老师布置回来的。我们那个教授就给校长写信，他说你布置作业给人家布置好了，我儿子不要你布置作业。你放学以后有的留下来还要上补习班一样的，他说我儿子你放了他，放了就要他回来，也不要布置作业。这个校长说，这个不行的，你不能搞特殊化的，那不行。教授说你说不行，我天天给你写信，我要来找你谈话。那个校长最后没办法了，把他儿子放了，就每天人家都还在学习，他儿子背个书包就回家了。但是他的儿子，可以说是求是小学里面成绩最好的，最后进了我们数学的求是的叫科学班，最好的一个班，现在快毕业了，成绩非常好，他非常厉害，数学。为什么？这就是我们目前小学数学也好，其他学科也好，教学里边其实是存在一定的问题。今天我主要跟大家，想来谈谈就我自己所了解一点点体会。

我跟高中老师也聊过，跟初中老师也讲过，跟小学老师也讲过。跟高中老师在聊的时候，我就开始骂他们，我说我们的学生都给你们教坏了，我们中国的小孩子都很聪明的，到了高中以后被你们教的不会读书了，因为什么呢？我跟他们讲了一个情况，什么情况？就是我们浙大，招新生进来，我给他们讲课，上课的时候我明显的感觉到我们的学生数学学习的能力方面，一代不如一代，越来越差。10年前，我一上门课，一个班里比如说有，有的班比较大，都100多人，比如说有150个人一班的话，至少有3、40人，甚至50个人，1/3的同学，10年前就可以很好的跟我交流，跟我讨论问题，就是他们数学学得还是比较深入的，会去思考问题，会提出问题，1/3的比例，我觉得都学得很不错；到了5年前，这样的同学只剩下10几个人了，150个人只剩下10几个人了；现在几乎没有了，一个班里有1、2个同学能够跟我好好讨论问题，我已经很感激了，还有这样的同学存在！那说明什么东西？说明我们现在的数学教育的改革是存在很大问题的，我们的高中、初中，甚至小学的数学教育是存在问题的。所以见到高中老师，我有的时候就会骂他们，有的老师说，你不能怪我们的，我们要高考啊，要高考要升学率我们没办法只能这么教…死记硬背、照搬照套，只能这么教，只能这么训练。好，跟高中老师我是不指望了。然后跟初中老师聊的时候，我就跟他们说，高中老师我觉得他们没希望，不跟他们聊了。我跟你们初中老师讲讲，是不是请你们好好教学生？他说，老师你不能跟我们讲，我们要中考的。他们有高考，我们有中考的，我们中考压力也很大，我们也必须要训练要考到重点中学去，我们家长对我们压力也很大。好，初中老师我也不指望了，我就指望小学老师了。你们在座的就是小学老师。上次有一次省党校里面有200个小学老师，叫我去给他们讲座，也是这样，我跟他们聊。然后小学老师好像，对我的感觉那个时候聊下来好像也指望不上，因为他们也有他们的一些约束。但是呢，我觉得小学老师还是什么？还是自由度大一点，你能发挥的空间应该会多一点，就能够培养小孩子的那些学习数学的一些能力或者基本的一些素养和意识。所以我觉得今天跟大家聊，就是我觉得是很高兴有这个机会，我可以继续和大家交流，如果有讲得不当的地方，欢迎大家批评指正，我肯定是想到什么说什么。

那么，第二个讲什么，数学我们到底学什么东西？对于一个数学来讲，虽然小学数学总的来说比较简单是吧，但是对于学生来讲，它是一种意识的一种培养，一种学习方法的一种思维培养。所以，其实我们中国人模式的形成往往比较快，经过训练以后往往会形成一种固定模式，所以我觉得小学里面尽量不要让小学生套到一个模式里面去，让他有一个自由发挥的空间，但是要培养他的一些意识。对于数学学习的话，我想一个当然是知识内容，小学里面应该学到什么？能够学到什么程度？这个是我们要考虑的。内容里面，那当然我们教育部都有一些大纲，是不是？都有一些课程指导委员都会制定一些课程的标准，小学里面讲什么东西，讲哪些内容，怎么去讲，甚至。知识内容是一个。第二个是什么呢？我说意识，思想、方法。那么怎么培养他的意识？因为思想方法我们从小学开始，可能你们在教学中，虽然是小孩子，也会去提，也会去跟学生讲，数学啊要好好理解，不要死记硬背；或者说要注意掌握思想和方法，特别是初中和高中里面可能讲得更多，小学嘛，因为孩子还小，你跟他讲可能还不理解，但是也会关注这些东西。这些东西当然是对的，但是，大家在座的都是老师，老师的话你要想一想，什么叫数学思想？如果一个学生万一问你，老师什么叫数学思想？你怎么回答？其实这个问题，是任何人不能用一两句话回答出来的，是没法回答的。因为数学思想是什么？数学思想是隐含在数学的内容中间的，在学习中间，甚至在一个习题里面，都隐含着一些数学思想。那么这些思想这些方法，对于小学来讲，你怎么去启发这些学生？这是至关重要的。重要性表现在什么地方？表现在我们的同学、学生，能不能自己去思考问题。昨天，还是前天？浙江日报的一个记者突然打电话到我办公室里面来，我也不知道他哪里找来的电话。因为马上要开会了，所以跟他草草地聊了几句。他说，我请教几个问题，请电话里回答一下。他说，听说前一段新加坡有一个题，有一个数学题，大家可能网上也看到过啊，他说他们的学生做了很难的题，做也做不出来，做半天做不出来，但是作为我们中国的学生，觉得很简单的题，我们平时训练得多了，小学五、六年级就全都会解题了。他问我一个问题，是不是觉得我们中国的学生比外国的学生这个教学要先进的多，好得多，质量要高得多？我跟他说，我最怕你去这样想，我们就是陶醉在里面，把我们的教学搞坏了。这只是我们中国的学生对一些竞赛什么，对一些某些方面训练得多了，刚好这种题型、这种内容训练过了当然会了，但是我们这种能够真正思考问题的这种意识、能力其实有的时候远远不如外国学生。我们现在大学也这样讲，美国的大学生很差的，我们中国的学生考试都比他们好。对，中国的学生考试是比他们好，中国好是考试成绩比他们好，这种创造性，这种思维能力，差远了。特别是国外好的学生，像国外的哈佛大学、斯坦福大学，这个本科生的课程，我们的研究生、博士生去读，都很难的，读不过他们。国外是有差的，很差的有的，大学里面教分数运算，我都看到过。大学里面的数学课还在教分数呢，-1/2+1/3等于多少他们还算不清楚，还有这样的大学的。但是他们好的非常好，因为什么呢，他有各个层次的学校，有各种层次的人，他是分层次教育，做得非常好的，其实。那么我们的学生能不能思考问题呢？小学，就从小学讲，我们有很多东西是教学生背公式的，是背下来就行的。我记得，我自己的儿子读四年级的时候，就有一个晚上拿回来很多的公式，1+2+3+…一直加到n等于多少…还有1的平方加2的平方，这个也有的。10几个公式要背，他愁眉苦脸地说，我要背下来，今天晚上，明天老师说要考，就是要考这个东西。然后我那天看到就说，我跟你讲一讲，这些公式怎么来的，你就不用背了。他说不行，来不及了，我要背了。那这个时候我很想讲了，因为我自己教数学，知道的一定要告诉他，跟你讲，跟你讲，他也很犟，说真的不要讲，我就背下来就行。然后我就有一点火了，我说你坐着，我就要跟你讲。我说你老师是小学老师，我是大学老师，你老爸是大学老师，你听谁的？他说我还是听我们老师的….后来，我跟他讲，他也没办法，我跟他讲了两个。讲了两个以后他就有了一点兴趣了，听我讲下去，讲完了。都讲完了以后，他很开心。为什么呢？因为他所有的公式基本上都知道了，他不用背了，因为有的公式是重复的，一样的公式其实是，无非是字母不一样换一换，稍微形式变一变，你把它归纳一下，几个公式都会知道了。当然它还有什么1的3次方+2的3次方，这个我说你把它背下来算了，下次再说，是不是？因为有的东西是理解不了的。那么这个就是说明，我们怎么去引导学去怎么去思考，就是学生会不会提为什么？这个是很重要的。一个学生在学习中间，你老是教给他东西，我们中国的学生大多数是什么就接受，老师教过什么，反正老师说的…我们就是在大学入学的时候，有的选拔面试的时候，比方问他为什么根和是不是无理数啊？他说是的，为什么？他说，啊，还要证明的？这个老师告诉我们…他只会被动地接受，不会思考方法。但是有的时候你会期望，就是刚才我提到的那个背着书包回家不用做作业的学生。有一次我们几个老师在喝茶，在聚的时候，我们在讨论一些试题的时候，他的儿子跟来了，跟来的时候他就跑过来，他就问他的爸爸，我们都在旁边因为在喝茶，他说，爸爸，我提一个问题哦，那个时候他才小学刚开始。他说，2*9=18、1+8=9、3*9=27、2+7也等于9、4*9=36、3+6也等于9、5*9=45、4+5也等于9、6*9=54、5+4还是9。为什么这些数乘9，加起来以后还是9呢？这个就让我们体会到什么，他的儿子是会思考问题的。他在这个数学学习中间，他自己会发现一些问题，他来提问在思考这是为什么。所以那次我曾经问过那些老师，比如说大家知不知道一个整数怎么判断被3整除啊？大家是不是知道，就是各个数加起来是否被3整除啊？为什么？能证明吗？谁能回答我这个问题吗？为什么加起来除以3这个数就可以被整除？我问过不少的大学生，都知道这样做，但是都不知道为什么。这就是问题。一个，为什么我们的教学中间没有学生提这样的问题呢？因为提这样的问题我们老师必须去回答他的，那么我们老师教的时候有没有教他为什么呢？可能也没有，因为大家都这样说的，都这样教他的，你就会做就行了，如果你会做这样的题，那么我问你，你怎样判断一个数能不能被7整除啊？我们有的人就说，我们不判断，被7整除你去数数看嘛。那么什么数都去数数看好了，是吧？所以这就是我觉得，其实很简单，一个数为什么被3整除。加起来就行了？因为我们说10除以3，它的余数是不是1啊？100除以3，余数是不是也是1？1000除以3余数还是1？所有的10的N次方除以3余数都是1。那么什么叫除尽呢？余数是0就是除尽了。对不对？比方说，526，那这个数就是5乘以一百，加上2乘以十，再加上6嘛。那就是说5个100加上2个10再加上1个6嘛，所以5个100除下来的余数是不是就是5啦？因为1个一百除下来的余数是1嘛，所以它各个数加起来其实是余数加起来，那这个余数加起来能整除的话就是没有余数嘛，其实很简单一个道理，就是余数的问题。所以像这种问题呢，其实是看上去很普通的，但是如果在我们小学教学里面刚开始认识数的时候，他有这种意识的话，能够勇敢地给老师提为什么的话，这个学生的以后的学习可能就是另外一番天地。现在我们被接受动太多，这方面我们一定要，这是第一个，就是要能够思考问题。第二个是什么呢，是要让学生能够看清数学的本质的东西。本质的东西是什么？什么是本质的东西？就是不要用形式上的东西淹没了它本质的东西。上次也是求是小学的一个学生，也是他回家跟他老爸说一个题，什么题呢？这样的题可能大家平时教学生也教的。他说，一杯纯牛奶，一个人喝了一半，１/2，再把水倒满，再喝1/3，再把水倒满，喝1/6，再把水倒满，然后全都喝掉。问你，这个人喝了一共喝了多少牛奶多少水？其实很简单，因为你加的都是水，牛奶没有加过，所以牛奶肯定是一杯。水是多少呢？水是你加了1/2，加了1/3，加了1/6，加起来刚好是1，是不是？那么就是一杯牛奶一杯水，这是不是很很清楚的事情，是不是。你这样教学生算，就很清楚。结果那天，那个老师宣布标准答案解答的时候，是这样跟学生讲的：我喝了一半牛奶然后1/2水倒进去了，假设这个牛奶浮在上面，水沉在下面；然后我再喝1/3再倒下去，牛奶又浮起来了。就是我喝的前面喝的都是纯牛奶，我没喝到水；到最后1/6加下去喝下去，喝以后就前面牛奶喝光了，下面一杯喝的是纯净水是不是？他觉得很好，这样呢就是一杯牛奶一杯纯净水。然后有个学生胆子比较大，他举手了。他说老师我家里的牛奶水加下去牛奶不会浮起来的。然后这个老师粉笔头扔他，他说，笨蛋，不浮起来怎么算得清楚啊？你看看，你这样的教学让学生情何以堪？你为什么要它浮起来呢？你加进去，加了多少水就行了嘛。事实上牛奶是不会浮起来的。你让学生去理解，当然，你这种理解也未尝不可，有的时候也需要。比方说，有的时候鸡兔同笼的时，鸡和兔抬起一条腿，然后这样…你说鸡和兔抬起一条腿，怎么可能啦？你说又不是做体操，不可能的。但是你这种理解方法有的时候是可以，但是你像这种东西，真正的数学本质的东西你把它搞清楚，这个是最重要的，你不要让学生产生一种误导，因为小孩子很天真，那些东西真正的道理要把它讲清楚。

第三个，是我们小学里面我们说一些数的东西，其实是很重要的。他怎么样认识我们的数。因为小学里面对数的认识是最直接的，因为是先入为主嘛。所以我们小学对数的了解非常重要，我们从自然数，现在0也算自然数了，123456；到整数，有负数了怎么去理解；然后再到分数，就是我们说的有理数是分数表示的；然后再到实数。加上无理数到实数。那么当然，在小学里面你要把有理数、实数搞得非常清楚，这个也是不现实的，因为你不可能给他讲这个无理数的可攻度、不可攻度，这个东西也非常难，这个到高中里面给他讲还好一点。但是有一些概念还是要让他清楚。比方说我们小学的乘法，因为我以前自己上小学也忘掉了，当时我们的老师怎么教我们的，也不知道，当时我们在农村里我读小学的时候，条件很差，住在一个庙里面，我们的前面就是一个菩萨，我们就坐在菩萨前面读书的，可能那个时候菩萨还保佑我们啊…条件很差的时候，乡下的一个带课老师就是那个村里的，自己村里的老师大家都熟悉也不听他的话，我还是比较乖的，不会去说，有的同学皮得不得了，这个老师有绰号的，跟他叫出来，乱七八糟，跟老师吵架多得很，但是在里面学的时候还比较自由，老师也不管我们。但是呢，真正怎么去认识这些东西？我觉得现在条件很好了，但是你怎么样去认识这些东西，我觉得还是很重要。比方说乘法，当时老师怎么教，我现在也忘掉了。但是现在有的老师在教的时候，3*5、5*3，我们知道3*5、5*3相等啊，但是有一次我记得小学生在写作业的时候，好像你们教的时候是有差别的。比方说我去买苹果，1斤苹果是3块钱1斤，我买5斤苹果，是不是要写成5*3，还是3*5？应该是有规范一样的。比方说，你1斤苹果是3块钱，我买5斤苹果，那应该是5斤苹果*3，每斤苹果3块钱，就是15块钱。还是可以写成3*5呢，好像是不行的，我记得，我不知道现在怎么样了。现在怎么样？现在可以了是吧！以前我记得是不行的，就是你一定要写成5*3，不能写成3*5。像这种例子其实对小学生来讲，他是很迷茫的，因为如果你告诉他这个行还是不行，其实都要给他讲道理。说浅很浅，说深很深，说浅的话你就告诉他5*3和3*5是相等的；如果要是初步地认识相等，就要知道5*3是什么意思呢？就是3个5相加，那是5*3；3*5是什么意思呢？是5个3相加，那是3*5。这两个数是相等的，这两个数相等这样初等地认识了以后，让他数出来以后，你要告诉他推出最后一个结论，乘法是有交换率的。你看5个3，3个5是一样的，所以我们以后就知道有交换率的，交换率这个事情就可以接触代数里面的一些知识是吧，小学生不可能讲这个，但是你要告诉他是有交换率的，所以他才会知道是这样。这样有了交换率以后，那才会听到什么，比方3.5*0.12是等于0.12*3.5的，因为你3.5*0.12你就很难用5个3或者3个5去解释了是不是？小数的时候你就不好解释了，没那么容易解释。所以整数的运算、分数的运算、小数的运算的时候，你这个道理讲给他有交换率的，他就放心了，就是以后的乘法写成什么样都不要紧，这些东西认识了，是很用的。再加上，比如说小数表示，我们的小数表示，比如说0.13，当然小数表示，小数就是分数，分数就是小数，可以互相转换是不是，但是有理数才能转换，无理数是不能转换的。当然这个可能对小学生来讲可能会难一点，但是小学老师不知道会不会告诉他，无理数就是无限不循环小数，这个会讲到吗？小学里？这个不会讲，不会讲肯定太难了。但是如果讲到这个小数分数表示的时候，其实也要让他知道这个小数表示其实有缺陷的，分数表示没问题，1/3没问题，小数表示0.3333333…这个其实是有缺陷的，一个你当然写不完，是写不到头的，无穷的，无穷就会出现很多问题，就相当1是等于0.9999999…所有无穷多个9，它就等于1。我们可以证明。但是这两个表示完全不一样，有的时候也可以表示，然后让小学生去想想，这是为什么？要指出这个表示是有问题的，小数表示其实是不唯一的，形式上。有的意识，有的东西，就可能从小让他有一个概念，你不一定讲，你要讲很难讲清楚，但是你要把它这个证明0.9999等于1，你小学生也可以证明，到小学5、6年级是可以证明的。然后还有一个，你可以这样说。比如说两个实数，它的关系不外乎三种，就三种关系。要比两个数，要么A大于B，要么A等于B，要么A小于B，不会有第四种形式是吧？好，你去给他讲，0.99999..如果不等于1的话，那么你想想看，0.99999..指定是小于1，不可能大于1吧，如果0.99999..小于1的话，那么比它小的话，那么中间有两个数要比0.99999..要大，比1要小，对不对？你这样的数找的出来吗？你是找不出这样的数的。所以那么指定相等了，因为它是肯定错了，你找不到中间一个数啊。反正有的东西你要跟他讲清楚，让他有个概念，等等这些。数的运算、数的实际有理表示刚才讲了。数的坐标表示也是一样，比方说我们的1/2在坐标上面在哪个地方？我们的1/3在哪个地方？我们的4/5在哪个地方，其实这里面，小学里面完全可以讲清楚的。当然，无理数你肯定表不出来，是不是啊，有理数的分数里面让他有个概念，这个数座跟数字怎么对应的？这种几何上概念也是非常重要的。因为时间关系，有的东西我就不多讲了。所以这第二个，举个例子，数的认识上面，在小学里面，让他对数、不同的数、自然数，整数、分数甚至实数有一个正确的认识，有一个概念。然后他会产生很多问题，小数有很多问题，而且那些问题有可能你的解答他也理解不了，但是他能产生问题问你，让你给他讲一讲。这对他来说，带着问题进入中学也是有好处的。那你就告诉他，这些问题到中学里你慢慢就清楚了，但是现在这个时候告诉他结论是没有大问题的，因为他是带着问题进入中学，就会更好。

第四个，我想讲，学数学一定要克服“想当然”。有很多时候，你不能说我猜猜就是这样…数学是严谨的学科，一定是有道理，一定是要想清楚的。我们说有一个叫马斯特·马赫错觉，这个大家肯定小学老师、中学老师也好，可能都学过心理学的东西，都会碰到这个东西。比如说我们看到这两个图像，我们说这两条直线，大家看着哪条长？你们觉得谁长？马上看到，大家看到是一样长的，看着这个长是吧，你说这个短，你们会说一样长的。所以我说，千万不要想当然，其实就是左边的长。本来就是想画成一样长的，让大家看看左边的长，右边的短，是不是啊。确实我画得一样长的时候，也是左边的长看着，右边看着的短。然后有一个老师跟我说，你就是把左边的画得长一点，他们还是会说一样长，为什么呢？他们往往也是想当然。今天真的有老师说一样长，这个时候我觉得，我不是恶意的，不经意的犯了想当然。因为你这样给我看，肯定是一样长的，是不是这样想的？当然我这里要退出去才能比较。其实这个真的画得比这个要长一点，我现在告诉大家，我不去比较。那么，这个意思就是说，有的东西就是说，我最终还是要说明，就是一样长。比如说这两个圆哪个大？这中间两个圆哪个大？右边的大是不是？所以我们老师学是很厉害的，我还以为你们还会说就是右边的大，还是一样大。所以呢，你这又上当了，这两个圆真的是一样大。这两个东西，你又会这样想，你刚才这样画，我这个是不是也这样画？我这个没多画，这两个真的是一样大，但是看着真是右边那个大，我看着也是右边那个大。所以这是错觉，就这种心理学的这些东西，我们有很多例子的，比方说这两条直线，看着延长出来是交不到这一点的是吧，其实这个直线延长出来刚好是交到这个点的，但是你一看到是错开的，等等。这个真的是交到这个点的啊，第一个左边的直线我是真的画长了，后面两个是没有把它故意画大。但是大家有的时候还是会自然地去想这样。这个是想让大家轻松一下。但是我讲的这个目的，在数学里面一定要让学生去实事求是的，你要说它他对就要去证明，你要说它错你要去反例，要去验证一下，人家说耳听为真，眼见为实。但数学不是这样的，数学眼见都不一定为实，一定要手到为实，你手真正经历过、训练过，你写过了，才会为实。其实学数学中间有很多都是这样的，你可以跟同学讲，你老师在黑板上讲可能懂得，所有的演示都懂的，但是要让他去黑板上重新写一遍，不一定能写出来。有很多学生写不出来的，你看看得懂的，书也看得懂，老师讲得也听得懂，但是他自己写作业就不会了，为什么？因为手没有到过。数学一定要手到、手到，所以数学一定要做习题，要多做题、做难题，所以奥林匹克竞赛有什么好做？他做难题，他这方面能力就是强，另外的弊端我们不去讲了。我最讨厌就是说，素质教育怎么可以少做一点？不是，作业还是要多做，但这个多做作业不是说像我们现在的皮孩子一样被你训练得像训练机器一样，不是的，你要举一反三地、步步深入地这种题目要多做，不是说你范范地你拼命把学生训练成那个样子，这是两回事情。比方说，我们的平均数的问题，也有这样的想当然的东西，我问过不少人，都会上当。比如说，假设杭州和宁波相距200公里，某人驾车以60公里/小时从杭州到宁波，再以30公里/小时从宁波返回杭州，问他的平均速度是多少？是不是说，这个平均数就是60+30/2=45嘛，因为大家都是从宁波到杭州，杭州到宁波，一个是60公里，一个是30公里，那么平均数就是45公里。平均数都是要除以时间的，你这两个时间不一样嘛。所以不会的，我们算一算，因为驾车时间200/60，200/30，1公里是10小时，10小时一公里走了400公里，400/10=40公里，所以平均速度是40公里，不是45公里。所以不能随便地60+30/2，不是的。时间不一样的，是吧！你假如时间一样的话，那平均速度可以这样做。所以呢，这种也是想当然，有的很容易犯错误。但是呢，数学必须从实际出发。很容易上当，有很多想当然的东西，对数学来讲是不可取的。

第五个我要讲，就是要想清问题，创新方法。数学有很多同学，包括我们现在大学生一样，因为考到浙大的学生是很优秀的，所以我们给他们上课的时候，很多学校觉得我们浙大的老师很幸福，为什么呢？学生好啊，学生好的话你上起来轻松啊。其实对我来讲的话，我的感觉可能要求比较高，期望比较高啊，我觉得现在的学生都不行，让我觉得好的学生很少。这是什么原因呢？这是我们平时锻炼得学生想不清问题。我说数学大家都觉得难，我们学数学大家都觉得难，我们数学的不及格率很高啊，浙大。文科生特别是，上学期文科生考下来不及格率40%以上，哇哇叫苦啊，都觉得不喜欢我们数学老师了。为什么？有很多同学不会学数学，想不清问题，对数学的理解不到位的话，是真的学得很痛苦。所以我觉得，学数学的要想清问题，把问题的关键能抓住，那个就很重要。上次我们几个老师碰到一个问题，也是一个小学的四年级的家长，他说晚上孩子回来要家长辅导，作业里有个应用题做不出，很纠结。什么题呢？他说这个题目是这样的：甲乙丙三个人去钓鱼，甲钓了6条鱼（假设我们的鱼是一模一样），乙钓了4条鱼，丙没钓到鱼，三个人总共钓了10条鱼。然后这10条鱼假如一模一样，然后呢三个人就把这10条鱼炖了，把它们吃了，假设三个人吃得一样多。那么丙没有钓到鱼，另外两个人就不干了，你没钓到鱼白吃不行，要掏钱。丙就掏出10块钱。问：甲乙两个人10块钱怎么分才合理呢？甲应该得到几块钱，乙应该得到几块钱？怎么算吗？我也问过一些人，我说这个题目挺有意思的，我们算当然很简单但很有意思。有的人就说一个人6块，一个人4块，我说你还不如不回答。他说三个人吃得一样多，肯定不会一个人6块一个人4块。怎么想呢？这个问题想清楚，当然你会用分数都可以计算，什么几分之几啊都可以算出来。如果想清楚非常简单，为什么呢？一个人掏出10块钱，丙，证明他吃了10块钱，3个人吃得一样多，那么总共是30块钱，30块钱10条鱼，1条鱼值3块钱。甲钓了6条鱼，他得18块钱，他自己吃掉10块钱，应该得8块钱；乙钓了4条鱼，值12块钱，他吃了10块钱，应该得2块钱。甲8块，乙2块。所以呢，一个数学，如果你想清楚了，这个问题的关键在哪里？鱼的价值。这个鱼值多少钱，我才知道得多少钱。所以，鱼的价值出来以后就非常简单了。所以这个例子说明什么呢，我们学数学必须让学生抓住数学本质的东西，把它问题想清楚，很简单。数学就是把复杂问题简单化的一门学科是不是？所以学数学的人，应该是脑子非常清楚，把复杂问题简单化，可以解决，这才是学好数学的根本。这里呢，因为时间关系，我也不多讲了。比方说，求和问题。平方怎么求？

因为时间差不多了，本来想讲讲悖论的东西。数学里有很多悖论，悖论其实是逻辑关系的存在的一些问题。为什么会产生悖论呢？因为我们的逻辑思维和数学的一些定义它有很大局限性的，相当于集合的定义。是很奇怪的东西。但是集合我们大家都知道，就是集合论，康托尔提出的集合论。但集合里面就是会有悖论，为什么呢？大家想想看，如果世界上所有的集合，以所有的集合为元素的一个集合是什么样一个集合你就很难想清楚。为什么呢？这个集合它的元素是世界上所有集合，那么你本身就是一个集合，是不是应该在所有的集合里面？你本身在你本身里面，而且你还有其他集合，你就非常地难想清楚。悖论有的时候就是这样产生的。就是我们定义的概念，它里面不能包含它自身的东西，自身的整体不能包含进去，这是数学里面产生危机的一个原因，集合论里面就体现了这个。那么有的悖论也是有好处的，都见识一下悖论呢也是有好处的，为什么呢？使得我们的思维能够更活跃一点，发散性思维更多一点，小学生更能考虑问题，思维锻炼更多一点，是有可能的。所以这个我不多讲了，什么叫悖论。对悖论有一些定义，赫兹贝格说，这个悖论之所以具有重大意义，是因为它能使我们看到对于某些根本概念的理解存在很大局限性，事实证明它是产生逻辑和语言新概念的重要源泉。所以悖论是一个客观存在的东西，因为我们在数学上的一些概念的定义不可能这么完备，因为自身有一些矛盾在里，会产生一些矛盾。但是这个悖论我们见识一下，或者跟学生聊一聊这个东西，也是有好处的。因为它让他的思维，能够特别让他…因为悖论这个其实是很强的，你要把它想清楚的，很强的。我们花一两分钟来看一下，撒谎者的悖论“我现在所说的这句话是假话”。你这句话怎么理解？如果他真的是假话，那么这句话就变真话了；如果他说真话了，那么这个就是假话啊。所以你不知道这个是真话还是假话，没办法明白他真话也不对，假话也不对。还有一个理发师悖论“我只给不给自己刮脸的人刮脸”。那问他，他要不要给自己刮脸？他如果给自己刮脸了，那么他不应该给自己刮脸，因为他说不给自己刮脸的人刮脸的；如果他不给自己刮脸，那么他又应该给自己刮脸了。所以他说刮也好，不刮也好，都不对的。是吧！他说不给自己刮脸的人刮脸，所以他自己要不要刮呢？你想想。对别人都可以，你这个人你自己刮不刮脸，你刮我就不给你刮；你不刮我就给你刮。这不会有矛盾的，对自己就有矛盾的。他不给自己刮脸，你要刮的；他给自己刮脸，那你不要给自己刮。因为你给自己刮脸了，那你不要刮啊。所以他刮也好不刮也好，都有矛盾，怎么样都不对的。还有一个唐吉诃德悖论：小说《唐吉诃德》里有一位残酷的国王，定了一条法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里干什么？”如果回答对了便罢，若回答错了，立刻被绞死。有一位旅游的人回答得非常妙“我是来这里绞死的”。你来这里干什么？他说我是来这里绞死的。好，如果你回答对了，他不应该绞死；如果他回答错了，应该绞死。绞死他就对了嘛。如果你绞死他他这句话是对的嘛，那又不应该绞死，因为他错的嘛。国王就搞不清楚他是绞死还是不绞死，因为绞死也不对不绞死也不对，只有把他放了。这个就是稍微利用了悖论的东西，你怎么样，你不这样回答，没有这样的逻辑，他是肯定要被绞死的，他随便找个理由把你绞死。悖论就是这样，产生这样的逻辑思维是很奇妙的东西。

我们最后见识一下问题，大家想想看：一位游客迷路闯入了一个神秘部落，酋长叫来两个壮汉，一个说真话，一个说假话，手里分别拿了“生”、“死”两张牌。酋长只允许游客对其中一个壮汉问一个问题，然后正确指出“生”字牌在谁的手里，否则游客半被处死。请问这位游客应该问怎样的问题呢？跟刚才那个有一点相像，但是不一样的。这个问题我不公布答案，没有看到过的大家回去今天晚上想想，不要想到睡不着就行了啊。好好想想，他应该回答一个怎样的答案，使得他肯定不死，肯定就是知道“生”牌在谁的手里。这个问题也是要用悖论的东西要去想一想，我现在不公布答案。

好，时间已经超出一点了，我今天就是随便想到哪里讲到哪里，跟大家聊一聊。希望如果大家还有机会，欢迎你们再来浙江大学，有机会再来讨论一些问题。希望大家也在小学中间，也是关注一些，怎样跟学生培养一些学生的思维能力，我主要是这个目的。这样的话对我们以后的人才培养我觉得会起到很大作用的。

作者：卢兴江（浙江大学数学系教授，理学博士）