研讨学本课堂的涵义需要拓宽视野（二）
 

下面我们来看看什么是数学化，非常简单，从现实世界到数学问题的数学化，叫数学化的第一层次或者叫水平数学化或者叫横向数学化，比如说第一小学种7棵树，第二小学种8棵树，不是说种树嘛，也没数学的事，这叫现实世界，那么这个事件有没有数学？有，有哪些数学问题？7+8，7和8合在一起等于几，那如果已经好了，这个就是所谓的文字题，不去算就好了，凑十，你去猜大啊，你去猜小，你还数手指头，方法很多，没学过加法，7+8是什么，不知道，那这个数学问题就有意义，由7个数和8个数都象征7和8，然后这7和8合在一起，这就是从7和8合在一起变成数学问题再往上发展就发展成加法，加法作为一种运算方法是抽象的，是存在数学世界里面的一个数学方法，第二个层次的数学化因为是竖着画的就叫垂直数学化，也有叫第二个层次的数学化，实际就是把现实问题抽象成数学问题。这个就是数学化，说起来不难，就是从现实问题到数学问题，从数学问题到数学方法、数学概念、数学理论，这个就叫数学化，也就是我们探究式教学就是要用这个锥，讲授，教师是主宰，启发，教师是主角。在这里谁是主角呢？这个数学化谁画的？学生画的，学生是主体，换句话说只有这种情况下学生才能成为学习的主体，数学化是绕不过去。我们刚才说的是探究式教学比较弱，我们作为教师投身教学改革就是要弥补弱项，弥补弱项就是要在我们教师里推进探究式教学，探究式教学有语文也参与过，外语也参与过，自然科学也参与过，所有学科都参与过，数学的探究式教学是什么样子呢？数学化就是数学探究式教学的具体形式，探究式教学就是数学化。所有上面的算式都是学生做的，就刚才我们举的教材上的例子是60除以3，现在是6394除以12，除数是两位数，这个我刚才数学化的定义，这个叫什么数学化？是一还是二，二，对吧。因为6394除以12已经是一个数学问题，如果你会除数是两位数的除法你就去算，就变成一道练习题。什么时候有探究式教学呢？什么时候除数是两位数，甚至是一位数这个时候，这个时候就可以开始，探究啊。二是什么数学化？垂直数学化，垂直数学化是谁画的？刚才我们讲了，不是咱们画，是学生画，这个就牵扯到学生能不能画，哪怕孩子很小，哪怕是儿童也已经具备了教师和研究人员的研究特征，这是真的吗？这是真的。你看这儿是怎么算的？这跟刚才60除以20书上说的那个算法是一样的，60除以3实际就是把60分成3份，每一份是20,20+20+20，这实际已经告诉你一个道理，除法的算理是什么呢？是数，合并也是数，7+8就是从7开始往前数，该是谁就是谁，都是数，但是你光数，你要是6354加12500你咋数，所以只有这个数还不行，还得有其他算理，比如十进制，7+8一个一个地数，7000+8000你就可以一千一千地数，一千一千地数不就是一个1乘以1000嘛，1可以乘以10，可以乘以100，可以乘以1000，只要是乘以10的若干次方都归为十进制，所以十进制是算理。我们课程标准里面对运算能力的刻画就叫做是指学生能依据算理正确地进行运算的，瞎找不行，得有依据，这个依据是什么？是算理，在这里头学生没有瞎找，学生的探究确有成人数学家的特征，你看，本来除法根据算理6394除以12就是把6394减12减12减减减减到不够减为止，学生很自然地就利用了算理乘以10，而且没乘10，乘以100，这个就比减12好在哪呢？简洁了是不是？因为减12肯定也是对的，你要减100竖的12你看这个竖式得写上去，所以我们课程标准讲运算能力的时候还有一句话就是运算能力实际是一块供学生探索发现的土壤，就是说学生依据算理正确地进行运算并且能够寻找合理简介的运算途径，以前我们说算法多样化，小华是这么算的，小刚是这么算的，小方是这么算的，都算的对，所以我们老师质疑多样化有没有优化？我们要不要把它规范成一种最有效的一种方式，这个专家说可以，那个专家说不合适，就争论很多，现在课程标准讲的非常好，非常科学，非常智慧，什么样的叫好，合理的叫好，简洁的叫好，那么这个合理简洁的判定标准是什么呢？是在学成探索的过程中比较的结果，在这里体现得非常明显，所以这个100倍的12这么减1200已经非常简洁，10的12减减减，到时10倍都不够减，那就在34里面看有两个12再减去24，到这问题就完了，532余10问题解决。这个算法对不对？肯定对，对了为什么还要进一步地探究呢？因为它不简，但是这里也要提一句，不简洁是不简洁，但是学生发现一个特别重要的问题，算法，这个算法是什么？减法，学生已经学会竖式了，所以他用减法就很自然地出现一个竖式，竖式是算法，竖式是数学模型，是非常重要的一个数学模型，这个老师教当然可以教会学生，但是在这里只要是按照算，按照减法去做，竖式就跑不了，所以学生既发现了解决问题的途径，又把这个途径和竖式联系在一起，我反复强调这点不是我老师做的，是学生做的，但是它不够合理简洁，这个怎么样？足够简洁，就是学生做的时候是这么一个过程，200倍200倍地减，这个和这个比长度短这么一大块，这个比这个合理简洁，但是还有没有更合理更简洁呀？你减去2个200倍的和1个100倍的其实不就是一下减去500倍的12，所以这个比这个更简洁，那这个还可不可以更简洁？我们看这个，我们讲的竖式不就是这个嘛，我们积与位值质的式商不就是这个意思嘛，这个不是你告诉他的，这个是学生自己发现的。这个老师要讲什么呢？学生做出竖式来已经非常好了，但是可能小华的竖式和小方的竖式不一样，商的位置可能都不协调，我们老师要统一规范一下，规范的写法就是这样，左边是除数，右边是商，积的位值质除法和竖式，所谓式商就是这种。

数学化的大体步骤是什么样子的呢？第一步要把某种关系用一个数学模型表示出来，要把连减的这种关系用一个数学模型表示出来，这个模型表示地清清楚楚，这叫竖式，竖式表示关系，把竖式两字摁住，我不是讲除法，我讲乘法，我讲加法，可能也是竖式，我这是讲百分数，我这是讲平均数，那个时候也要用一个什么样的模型去表示一堆数据的整体水平。竖式这个词脱离了这个问题一般我们把这两个字用模型替代，你去百分数就是百分数，你去平均数就是平均数，你去可能性就是可能性，这些的东西都叫数学模型，这里的模型就是竖式，用模型表示关系，那这一步和这一步的区别就是表示完了就拉倒了吗？数学化没做完，你要对得到的模型竖式进行调整再加工，这个是调整的加数，那这个调整加数也不完善，那第三部分就一定要争取形成功能更强的竖式，功能更强的模型，这个没有比它更强了。第四步就是这个数学化的过程一定要跟科学的数学语言整合在一起，就是用数学的语言精确地表述得到新概念和新算法。我们不是这样的问题也得需要让学生探究问题，你要让探究式教学让学生自己去发现，就是要学生自己去实现数学化，解决问题。数学化如何实现呢？就是这么实现的。这就是学生做的基于算理的减法的竖式计算，经过老师加工以后这个就是基于位值质与式商为基础的，这个是学生自己探索的结果，这个是科学的结果，是老师应该教给学生的结果，而这个结果学生分析。这个分析说的是如果我们给学生留出比较充分的探究空间，而且教师能在理解算理、发现合理简洁的算法方面多一些引导，那么运算就会成为一块孕育发现能力的富饶土壤。我们小学运算说是有统计，但是运算还是大头，如果运算不能给学生插上发现的翅膀，培养学生创新意识的实现能力可能就是一句空话。现在标准从运算能力的提法方面已经把空间拓展开来，我们作为老师怎么能够把运算处理成一块可供学生发现的一块土壤呢？数学化，几乎没有别的选择。数学化的意义第一个是改变了被动接受的学习方式，实现了从灌输到再发现的状况，学本课堂如果没有数学化就要打折扣了；第二个就是实现了数学教学的学以致用，我们总说数学不是用来考试的，但是实际上家长孩子包括我们老师自己就是把数学当成一个考试的利器，这个东西明明有问题，考试教育肯定是有问题的，我们怎么去调整，没有别的办法，这样数学就不仅是考试的利器，还是数学和职业的利器，就是实现了灌输向再发现的转变，因为数学化大家想一想我们刚才那个题是6394除以12，一开始就是应用，不会算你也要算，所以应用是起点，一开始100倍100倍地减，然后是200倍200倍地减，然后发展成500倍地减，所以不断地进步，应用是过程，应用是目标。最后我自己发现了除数是两位数的除法怎么做，实现了除法竖式的证明。和我们传统的教学方式区别，我们通常是把所有的武器装备好然后再去应用，因此我们的练习题里有一定的应用题，现在是数学化是你不会加法你也要去探究积加法，所以应用是起点，应用是过程，应用是目标，学本课堂应该是这样，应用从学习的开始阶段。这个地方就是一个比较，为什么要声嘶力竭地在这讲数学化这么重要，传统的教学方式只关注数字的计算，全是算数，对知识的应用关注比较少，我们小学数学里应用题跟应用没有什么关系，很多应用题实际是题型，题型的意思就是你知道这个题型你就会解决这个问题，你不知道这个题型你就会一筹莫展，教学被简化为讲授，就是老师讲。一切都分解成类型和层次，学习方式主要是按部就班地模仿，所以从学生出发在这传统的教学方式下基本是一句空话。

数学化要通过学生的自主活动，要从现实问题开始，要有水平数学化一层，垂直数学化第二层，要有层次性的数学化，然后学生要互动，老师要引导学生数学化，这个从学生出发才能成为可能。数学化的效果怎么样？我给大家举一个例子，这个说的荷兰这个国家以前数学化的教材80年代就这么点，到了2004年所有教材都是数学化，我们现在还没有数学化。以考试为例，大家都关注考试，你说的那个东西好，到时候学生不会算考试怎么办？TIMSS大家知道吗？就是你这个国家数学教的好坏，国际上有两个，一个PISA，一个TIMSS, TIMSS是联合国教科文组织领导的，PISA是G20发达国家组织领导的，弗兰登塔尔在荷兰PISA始终得第一，但是他没有接触过前十，60多个国家参加没有一个得前十。这个问题实际是分数的除法，在我们这小学就学了，但是在国外是初二，八年后才学，这个是学生怎么做的，题目是每次用勺子可取1/5千克的面粉，想要王口袋里装6千克的面粉，需要多少勺子？如果学过分数的除法，6除以1/5完了，但是荷兰的孩子是七年级的孩子，就是八年级的考题让七年级去考，所以他的孩子没有学过分数的除法，我们要是没有学个这个办法，基本就是抓瞎，但是这个题国际平均成绩是38%得到满分，荷兰学生没有学过这个居然有74%得到满分。他们是怎么做的呢？就是数学化的好处体现出来了，他们在考试的现场就开始数学化，就是日常使用的非正式的，基于情景的策略在课堂上就转化成正式规范的教学策略，这些就是他们的算法。比如有一个学生画一个表，一勺是1/5，所以取1千克就是5个1/5，那么6千克是多少勺？五六三十勺，一勺是1/5千克，一共需要用几勺，他们不会算6除以1/5，但是用他们自己的非正式的基于情景的策略实际他们在现场就学会了6除以1/5实际是30。我举这个例子就是说数学化实际不影响考试，关键你考试题怎么做，可能你一分钟让他做多少多少道题，他并不能，他只能xx。因此这个图希望大家有一点印象，所谓的数学化关系是这么一个关系，这个纵坐标是挑战性，横坐标是知识技能，随着小孩的年龄增长，数学知识堆积的越来越多，随着小孩的年龄增长，数学越来越有挑战性，知识技能基于挑战性的增加的结果对于学生来说就是内容越多越枯燥无味，挑战性越强越有挫败感，很多孩子就不跟你玩。所以数学化来了的话有一个好处，因为知识技能越来越多，然后是越来越枯燥使得学生发展会越来越接近横轴，跟横轴持平了他就不跟你玩了。如果我们能够运用一些数学化的话，在枯燥无味和挫败感之间实际是求得某种平衡，如果我们坚持在教学方式里面有探究，学生就会沿着这个规则走下去。

下面还有一个例子就是百分数。怎么在解决问题的过程中了解百分数的应用？怎么在解决问题的过程中用百分数去分析问题解决问题？这些在大家材料里都有我就不说了。结论：第一数学化是探究教学的基本形式，没有数学化就没有基本思想，没有数学化就没有发现问题和提出问题的能力，分析问题和解决问题的能力。第二数学化不复杂，是能实现常态化，重要的是探究式教学要给每位教师增加一份责任，如果把这份责任转化成实实在在的教学行为，其实每一节课都可以赋予探究的风格。当然仅仅是我们去改变自己的教学风格还不行，变革教学管理体系，使教学具有适度的弹性也很重要。另外我们现在是说改革要弥补弱项，弱就是探究式教学弱，所以也需要适度的刚性，这个不是我说了算，但是我可以给出一些建议。就是把我们一开始的教学三角形一倒，探究要从20%，不能比这个再少，达到45%比较理想；启发就占35%就够了，我们教师纯粹的讲，就像我们今天这个样子把它压缩，就是从45%压缩把它压缩到20%，如果是这样的话20%，35%，45%，我在这里多说一句多少有点不负责任的话，教学改革成功我们教师就是为建设创新型教育交了一份令人满意的答卷。

作者：孙晓天（中央民族大学教授，博士生导师）