小学数学学科学习力提升的三项关键表现
 

各位老师，大家上午好！根据大会的主题——学习力提升，结合自己现在正在研究的一个项目，谈一些感想，和大家交流。

一、问题的提出。提升“学习力”等同于培育学习素养，意义毋容置疑。就小学数学学科而言，怎样提升或培育？这是一个操作性很强，同时也涉及方方面面理论的课题。我们的课程目标要求我们落实“四基”：知识、技能、思想、活动经验。大家都耳熟能详了，同时还要求培养“四能”：发现和提出问题、分析和解决问题。另外还有十个核心词：数感、符号意识、空间观念等等也都非常重要。似乎多了一些，聚焦还不太够。去年，我写了两篇论文，基于目前核心素养课程的四个核心词加以锤炼补充了一个，构建了我自认为小学数学学科的核心素养体系。为什么要做这样一种探索？因为回顾历史，我们这门学科，100多年走来，一直是加法思维，什么重要，加什么。能否跳出这一思维定势？抛砖引玉。设想我们这门学科核心素养的架构分为两个层面：第一个层面是抽象，抽象一直没有进入我们义务教育阶段这个教学目标中，其实这是一个很大的失策；第二个层面是推理；第三个层面是模型。这三个面构成了第一层面的三个核心素养。数学抽象的主要表层就是符号，所以它也代表了符号意识、模型思想和应用意识，你中有我，我中有你。在内容层面对应我们的三大内容领域，有三个。数感其实在小学阶段主要是通过运算来培养的，关于这点，我们的研究有充分的论据，今天就不展开了。几何直观是在空间的基础上，小学主要是数行结合，那么两个层面之间的联系可以借用空间三轮台，它是一个实体，任何两个之间都有联系，就不一一画连线了。这样的一个架构，两个层面，六项素养，但还是涉及到方方面面，能不能跳出内容，换一个视角来看，我们学生学习素养的关键表现是什么？

二、关键表现的研究。静安区每五年都承担教育部的一个重点课题，上一个课题是《走向个性化：发达城区教育内涵提升的实证研究》，我们研究了个性化学习的关键表现或者敏感表现：什么叫敏感表现？举个例子：年年要评审教师申报职称的论文，工作久了以后呢，评委们就总结了一个非常敏感的面试的问题，只要论文作者能够讲清楚你这篇论文哪些东西抄了谁的，就通过，这个好像是论文最基本的东西，但是恰恰是我们现在区分这篇论文水平的非常敏感的标志。你讲得清楚这篇论文哪一段是抄了谁的，没有张冠李戴，那么剩下的就是你的了？言归正传，我们在这个研究中发现，个性化学习的关键表现有两个：一个是提出问题或者问题意识，还有一个就是个性化表达。可能老师们会问：为什么“四能”只取一个？我想上海两次参加测试数学学科一直是全球第一，说明什么？说明中国学生分析解决问题可以说是世界第一，这也是我们一贯重视“双基”，特别是“双基”走向“四基”以后，一个很好的成果显现。然而，中国学生发现、提出问题表现不佳，这也是早就有定论的，因此进一步研究表明提出问题其实是发现问题的深入与表现。因此，我正在着重研究，怎样培养学生的问题意识，使学生在学习过程中，能够不断地发现问题，提出问题。再讲个性化表达，它不是语文作文的专利。个性化表达是个性化思维的外壳，是创新意识的外显。比如老师教学“三角形按角分类”，组织学生通过操作，对老师给出的七个三角形（略图形），每个角都加以测量以后，得出了这样一个分类。为什么提供七个三角形，有待在座老师思考。

学生面对自己的操作成果，当老师让大家给这三类三角形取名字的时候，第一个同学回答说：“这一类叫做一直两锐三角形。旁边这一类叫做一钝两锐三角形。” 有没道理啊？马上有同学表示不同意说：“太啰嗦了。”还有同学指出，每个三角形都有两个锐角。于是大家都认为，两个锐角可以不提，那么第一个发现的同学他也在思考，大家都反对他这种命名，他自己最后给自己找了个理由，他说大家都觉得最大的角取名字。这里好像是一个命名的问题，其实说明孩子对按角分有了进一步的理解，更准确的说是按三个角中最大的那个角来分类。所以像这种个性化的表达，说明孩子的学习是一种个性化的思维。

我们还进一步深度研究了《促进“深度学习”的实践研究》中发现深度学习的关键性表现不是“超标”学习，也不是“超前”学习，更不是所谓的解决“难题”，那么它是什么呢？我们发现基于标准的深度学习，主攻方向：多角度的深入理解；多领域的灵活应用。这两点可以概括为一点就是建立联系：自身内部的练习；自身和外部的联系。基于以上两项研究，我们认为提升学习力的关键表现为：1、提出问题（问题意识）；2、建立联系； 3、个性表达。这三点不管哪一课，内容什么样，都应该有。它们对于学习力的提升，确实是比较敏感的反映指标。上海市教科院有这样的一个课题，他们构建了学习能力的一个新型模型，其中三个核心表现也就是这三个。老师们感到最没有把握的就是我们的学生很难提出问题，提出数学研究的问题其实是难度很大。希尔伯特时代已经成为历史了，他是德国数学家，他在1900世界数学家大会上，总结大家的研究，一口气提出了23个问题，引领了全世界数学家100年的研究。到了本世纪初00年的时候，人们指望在新世纪有没有数学家能够提这么一系列的问题？后面美国有家单位凑了半天只凑了7个问题，我们所说的提出问题到底是什么？现在教材上很多的有条件提出问题，我们认为这大都是理解与推理，真正的所谓的提出问题，主要是学习过程中的质疑。实践表明，小学生的问题域不容低估，我们不妨来看两个实例：

（一）元、角、分的认识

支教老师在上课前，请每位同学回家就明天要学的“元、角、分”提问题，用家长的手机发微信给老师，每个学生一共四十几个问题中，我们删选了十几个：

1.钱是怎么印的？

2.人民币是谁发明的？

3.纸币背面的右上角是些什么文字？

4.为什么硬币是圆的，纸币是方的？

5.为什么人民币后面还有一条一条银色的东西？

6.为什么美元比人民币贵？

7.人民币和美元是怎么兑换的呀？

8.其他国家的钱与我们的人民币一样吗？

9.为什么人民币没有30、40、60的票面？

10.为什么人民币是1、2、5、1、2、5上去的？

……

后面两个问题其实是完全可以在数学课中展开讨论，时间关系我不展开了。再看一个例子，如果说上面的例子偏向于常识，下面的例子告诉我们学生完全从数学的角度提出问题也是可以的。

（二）角的度量的认识

1.1度是谁定的？

2.量角器是谁发明的？（这是小孩子最喜欢问的问题，可惜我们无从考证。）

3.为什么1度是圆的1/360？

4.量角器只有一圏刻度可以吗？（答：市面上已经有这样的量角器了）

5.平角和直线有什么区别？

6.周角和射线有什么区别？

7.0度角和周角有什么区别？

8.有没有大于360度的角？

9.大于180度小于360度的叫什么角？

10.一个角外面的那个角叫什么角？

……

应该说不管哪个班级，在这节课中都会有学生产生这样的疑问：锐角、直角、钝角、平角，然后一下跳到周角了，那180度和360度之间叫什么角呢？老师你怎么不讲了呢？这是一定会有学生提的问题，这些问题都可以引出一些新的知识：比如0度角和周角有什么区别。我们可以让学生自己做实验，比如起立，甚至是原地不动是几度？0度。向后转，再向后转，两次向后转以后，手臂又回到原来的位置了，有区别吗？也可以通过课间展示，这是0度角，旋转了一圈以后变成了周角。

以上两个案例告诉我们，不是学生提不出问题，而是我们没有给学生足够的时空与适当引导。曾经，课始、课末是让学生提问的“常规时段”，但是现在这道风景线已经非常少见了，现在当提出这样一个主攻方向之后，我们发现一旦老师重视了开动脑筋以后，课前、课中、课后都存在提出问题的时机。

三、怎样生成关键表现。1.营造宽松和谐、民主开放的环境。除了鼓励学生自由思考、自主发现，大胆表达，争辩，不吝啬表扬等措施之外，还有必要提倡和激励两个挑战：（1）挑战教师；（2）挑战课本。2.提供促发思维、激活潜能的刺激；3.留出独立思考、质疑问题的时空；4.提高驾驭内容、启发提问的水平。

……

四、平行四边行。好像很简单，学生能提出多少问题，能建立多少联系，能有个性化的表达吗？我们首先让学生自学课本，应该说这个内容绝大多学生都是能够看懂的，无需老师教，自学了以后交流，找到密集攻势的思路、方法，其中重要的是怎么剪？学生说用剪刀剪，剪出一个直角三角形。那么还能怎样剪拼啊？我们可以让学生自己提问，老师引导。一般来说，学生都想得到，除了剪下一个直角三角形，还可以剪下一个直角梯形。如果这个班没有学生悟出，那么我们只要问：“高是不是一定要向平行四边形的一个顶点向对边画，其它地方可以画吗？”学生马上就会发现，其它地方画高，剪剪拼拼看，那么自然地就会产生这样的疑问：不同位置的剪拼有联系吗？教材是剪下一个直角三角形，剪下直角梯形呢？其实平移以后，还是一个长方形，不同位置的剪拼，只是这个长方形在移来移去。刚才演示的是向右移，向左平移呢？移到这个位置行不行？同样可以，剪下两个小的直角三角形，分别平移，于是就会很自然地产生第三个问题：所有这些无数种不同的剪刀位置，共同点都是沿着高剪，为什么一定要沿着高剪？我想这个问题，学生也是能够回答的。我这里的这些问题都是在各种不同场合的教学中，发现有学生可以想到的，特别是当我们剪下一个直角梯形的时候，学生发现这一剪其实马上就得到了四个直角。我们要把平行四边形转化为密集构思已知的长方形，主要的难点就在于生成四个直角，那么这一剪刀下去，四个直角都来了，那么剪出的直角三角形呢？剪出了三个直角，还有一个是拼出来的。那么，进一步的问题：为什么不拉成平行四边形呢？你不是转换成长方形吗？那么，也同样可以通过操作让学生看到，拉成长方形的话，面积增加了这部分。那么在拉动的过程中，什么时候面积最大？什么时候面积最小？要让每个学生都能解决这个问题，其实也很简单。我们可以利用几何画板，做一个课件（在电脑上画一个平行四边行），通过拉动平行四边形，此时邻边不变，平行四边形的面积最大，当高和邻边重合，低乘以高相当于长乘以宽，这个时候面积最大。继续拉，图形面积越来越小了，当拉成一条直线的时候，那么面积为0了。

拉动平行四边形，面积变了，什么不变呢？我想学生也是很容易回答的，边长不变因此周长不变。

换一组底，你能剪拼吗？画上高，学生发现也是可以的。为什么要讨论另一组底的剪拼？原来我们教材中有一到这样的题，每个教材都有的，给出两组底和高，要学生找出相适应的底和高，算面积。可是我们过去教学推导的时候，只剪了一组高，凭什么说这两组底和高得到的结果是相等的呢？是不是编教材的人凑好了数据？所以这个是很有必要的。

换一组底和高来解，经常会出现如果高不在平行四边形内，跑到外面去了，怎么办？比如说，这个平行四边形（电脑画图），注意它的尺寸，底是10，高是4，高旁边这一段正好是三个长度单位，因此，这条邻边是5，那么，恐怕10以内，这是一组最好的数据，为什么？当我们换一组底发现，现在底是5了，那么高呢？跑到底的延长线上了，这个高是多少？4×10÷5=8，都是整数。然而，这就是学生遇到的新的问题了，怎么补？怎么剪拼？当学生把这张平行四边形的纸片放在方格子以后，我们发现学生可以想出很多很多剪拼方法，其中最简便的，有同学说：“割开来。”不妨称它为分段隔补，那么对于这个只要分两段就可以了。同样，可以各补成等底同高的长方形。“平行四边形”这节课，我们看到10个问题。当然我们不指望一节课就把问题全覆盖，也就是说，当老师对这个内容有这么深入的研究发现和这一些不同角度深入理解的生长点之后，那么这节课是胸有成竹的，我们可以不失时机地诱导孩子提出问题，让他们循着自己的疑问，去研究，去深入理解这个知识。因此，我们发现、提出问题，培养学生的提问意识，是可操作的，可实现的。在这个过程中，可以建立知识之间相当广泛的联系，当然这个联系主要是知识内部的联系。在这个过程中，也必然会生成不同学生的、用自己话语表达自己思想的个性化表达。所以说，以上讲的这三个关键性表现都是可以实现的，当然如果学生基础好，我们还可以进一步让学生讨论：计算平行四边形面积，可以邻边相乘吗？感兴趣的同学可以自己再学，课后去寻找资料。任何一本中学教科书里面都可以翻得到的，只要知道两条邻边的夹角就行。尽管这个三角函数（h÷b=sina），小学生不懂，但是这个比例关系，学生还是能够理解的，如果我们用两条邻边相乘的话，只要乘上夹角之间的正弦函数值。

五、生成关键表现的障碍何在？从老师的角度来讲，我们发现各种障碍当中，有一个障碍一直没有人提，我把它叫做“公开课综合症”。我们举个例子，以三角形面积公式教学为例，现在所有的老师都会认为，给学生两张完全一样的三角形纸片，让他们去拼，甚至还会给剪刀，除了拼还可以剪。有一次，我培训所有五年级教过这个内容的老师时，提出这样的一个问题：两个全等的三角形，拼成平行四边形最多有几种拼法？没有一个老师能立即回答，我说你们让学生操作了没有？操作啦。学生操作的过程中，有没有去巡视啊？巡视啦。巡视的怎么会没发现呢？有的老师马上说三种。这是常规的三种（电脑图形演示）。我发现还有学生拼成这样的，这是什么图形啊？筝型。学生在拼的时候往往没有办法运动变化，把它变成平行四边形，因为他想不到翻转。说明什么？我们老师在巡视的时候，你所看到的，给你大脑刺激的都是你需要的，不需要的就过滤掉了，视而不见，有没有这种现象？这是我对静安区几十位老师测试的结果，没有一个讲出六种，都说三种。那么老师接下去的问题就是，有没有必要把这六种都交流呢？如果学生听成这样的话，或者说被你发现的话，有没有必要交流？是不是浪费时间？不是，我们探究三角形面积公式，主攻方向是什么？把面积公式未知的三角形转化为面积公式已知的图形，并转化为平行四边形。那么你出现这三种不符合要求的拼法，实际上就可以对比，突显你的思路，转化的目标，下面三个都是转化为四边形，但是不是平行四边形（电脑图形演示），不是面积公式已知的图形，反而更复杂了，所以到了公开课，综合症还有其它的表现。谢谢！

 

作者：曹培英（上海市静安区教育学院，特级教师）