数学核心思想在小学教学中的有效落实
 

各位老师，大家好。很高兴大家能坚持到现在，现在很了不起啊，听课可能比上课还累。我的主题是：小学阶段数学核心思想在教学中的有效渗透。我都没太敢叫应用或落实。我想这些数学核心思想更多的是在教学过程中润物细无声的渗透。那么主要跟大家交流几个方面：

一、学生发展核心素养与学科素养

我们现在都在强调核心素养，核心素养与学生发展核心素养与学科素养到底什么关系？是密切相关的，还是两件事？个人觉得还是密切相关的。作为学科老师，可能原来太过于知识本位，尤其在小学阶段，那你过于学科本位、知识本位之后，容易导致学生情感方面的、人格方面的一些基本素养的培养。后来教育部就提出来了发展学生核心素养的这个很大的话题。

学生发展核心素养：关键能力与必备品格

1.学生发展核心素养：9大领域25条核心素养

我也细看了，也是我的老师在领着做的，那么这些核心素养我觉得跟我们数学核心素养是密切相关的，一点都不违背。我们只要在日常的教学中有这个意识，有这个理念，别过于数学学科本位、过于纠缠那点知识概念就可以了。我为什么要这么说呢？比如说：我在上个学期听过一节课，就是一年级的一上的一节课，讲十加几等于十几。老师花了差不多十几分钟的时间去纠缠为什么。我们在日常教学中特别容易纠缠，比如九加六为什么等于十五。甚至得多样化的方法问为什么，我个人觉得有点纠葛有点过分了。三加二为什么等于五？要回答为什么。这道为什么的知识是原理性的，在小学阶段这种学科的为什么真的不能过于纠缠。我一定要加上“过于”。一旦过于纠缠了，就把很多有用的东西给淡化了。这是我想国家教育部提出的和我们数学学科素养不违背的第一个关键。

2.不同阶段有不同侧重点的核心素养（幼儿养性、童蒙养正、少年养志、成人养德）

我个人觉得第二点的素养太多了，我想不同阶段还是要有不同侧重点。就是所谓的幼儿养性、童蒙养正、少年养志、成人养德。我不知道大家同不同意。我觉得还是对的。童蒙养正正好是我们小学阶段啊。当然少年养志也有一点小学阶段的，这些也是一些非常重要的素养。

3.小学阶段“人”的成长更重要

首先是健康安全、兴趣、习惯、好奇心、与人交往等等，而这些在我们学科课堂上都是有渗透的。

4.学科核心素养和学生发展核心素养一致性

二、学科核心素养

其实现在在做这方面研究的人也是特别多的，比如说高中阶段，因为高中课标马上就修订，两会之后就要出课程标准，好像到现在也没有正式的出。不管怎么说也是明确地提出来了高中阶段6个方面的核心素养：抽象、推理、模型、运算、直观想象、数据分析观念。但是义务教育阶段，哪些是学科的核心素养？并没有人说，我们现在的课标也并没有人提出来。那小学阶段又有哪些呢？也没有明确地提出来。但义务教育阶段，像马云鹏教授就谈过他的观点。他说我们课标中十个核心概念可以作为十个核心素养。当然也有人批判。我个人觉得，对于我们小学老师来说，不要去纠缠这些概念，在小学阶段，每一个内容，在我们眼里、心里有学生都值得培养。在小学阶段。这是一个大前提。

不管怎么说，这些研究也是引发了我的思考。我个人觉得数学的思想方法是核心素养。其实话又说回来，数学的核心素养的这些基本思想方法又太多了。我们一谈到数学核心素养的一些方法，大家脑海中能出现多少。一下子不下十个八个甚至一百个。太多了，但是确实需要捋清楚是基本的数学思想。那么在小学阶段又应该有哪些？在小学数学教学中应该如何渗透？在数学核心思想为本位的一个教学改革的大前提下，对老师来说，最重要的就是去思考。我们的哪些行为、哪些做法有助于学生全面的发展，引发了很多的思考。

三、不同学者关于“基本数学思想”的观点

那么基本的数学思想有哪些呢？课程标准中也没有明确的写出来。有很多研究者都在谈。我就列举几个对我们小学老师影响比较大的几位研究者。

一个就是史宁中教授提出来的，基本数学思想就有三个：抽象、推理、模型。我个人比较喜欢他的这本书《数学思想方法概论》，正好第一辑里提到了这个，尤其第四辑是最好看的。现在已经出了1-5辑。他在这本书里，对抽象、推理、模型做了比较系统的阐述。这是一家之说。

南开大学顾沛教授，可能咱们小学老师听他的讲座不太多。他也提了他的观点，就是在史宁中教授的基础上又加上了一个审美。其实大家能感觉出来，这时候叫数学思想不太合适了，叫素养更合适些。加了个审美，可能就跟我们传统的思想就不太一样。我觉得更多的可能是素养的东西。如果想进一步去看他的观点大家可以看一下《数学教育学报》，这是咱们数学教育界级别最高的一个期刊，2012年的第一期，他专门谈了数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”，他在里面谈到了基本思想的问题。

人民教育出版社王永春老师也有书，他主要做小学数学的教材，也谈到了小学阶段数学方法主要有十四种。那么通过刚才的对比，大家可以发现，前面谈到更多的是基本数学思想，有基本两字，那么王老师谈的更多的是方法。

我在去年的课程教材教法中，我认为最重要的基本数学思想也做了一个梳理。我把它分成三大类。一个是从数学学科实质的角度去看，那么抽象、推理、模型这三个肯定没问题是数学思想。我为什么又提了第二类呢？我个人觉得因为咱们的对象毕竟是小学生。所以眼里一定要有学生，不能只有学科。所以我又提了第二类，就是从人发展的角度、人认识世界的角度，从这个角度来看人是怎么认识世界的，从认识世界的这个角度就有重要的数学基本思想。我提出来的是三个分类的思想、结构化思想、一一对应思想。一会我重点说下第二类。那么之前说的分类、推理等有很多人在阐述。我一会也结合例子说一个。但是重点可能说下分类，尤其是结构化。第三类从问题解决策略角度有数形结合、化归，但不管是策略还是思想，我们不过于纠缠。我个人觉得这八种应该是我们小学阶段最重要的。既然我提到了这八种最重要，那么以下的教学思想在教学中怎么渗透？

四、小学阶段数学核心思想及教学渗透

之前说过的小学数学核心思想到底是什么？知道它是什么了，然后再考虑怎么渗透，所谓的认识事物，就要了解是什么，再去了解怎么样，最后再去追问为什么。追问为什么是很难的，不知道大家有没有这种感觉。在小学阶段，甚至是对我们人来说，追问为什么都是很困难的。所以我们可能要了解是什么，怎么做，沉淀一下再去追问。

这些数学思想我还是同意史宁中教授的观点：数学思想不是知识，不能靠传授、而要靠在学习知识和技能的过程中体验、感悟。学习思考、学会做事是一种经验的积累。

比如刚说过的这些思想，我们看教材，生活中的数（10以内的数）表示“个数”：抽象表示不同物体的数量“1”能表示什么？表示1个整体。大家想想，我们已经模糊了吧。个数是怎么抽象出来的？其实是一一对应数出来的，慢慢的经历这个过程，这样的过程又是什么呢？比如说先学1，1能表示很多东西。它的数目都是1，或者是5，那么我们教材中是怎么抽象的呢？是不是都靠一一对应？把同样数目的小棍或者是小圈都能建立一一对应关系。有了这个一一对应，它的个数是相等的，抽象出个数。说到这，其实就又退回到研究学生。其实孩子学习个数数目，对我们来说应该没有难点，其实有的时候还是有的。第一个就是抽象的过程数的过程。有的孩子就有难点，如果是散乱的东西，它能不能有序的、没有遗落的数出来？不一定了吧，尤其是数目多一点的时候，所以经历抽象的过程，对孩子来说意义就特别大。所以我们教材中就设计了很多“数一数”、“画一画”“圈一圈”的活动，我想这个大家都是非常熟悉的，包括到了计算。比如说这里也有一个抽象的过程。同时到了计算也有了模型的思想。任何一个算式，我们也可以看成一个模型。比如教材中就有这样的例子：1+4=5就要出这么多的故事。其实任何一个模型对应着很多故事。模型是对现实生活情境的概括和提炼。这个看起来很抽象，给大家看一个故事：

教学案例1：减法的初步认识片断

活动1：老师利用电脑动画设计停车场的情境，学生很快发现了信息并提出问题：停车场原来有5辆小汽车，开走了2辆，问停车场还剩几辆小汽车？像这样一个现实问题，怎么去抽象成一个数学问题？换句话说，是经历一个建模的过程，让孩子意识到一个算式可以经历很多现实问题。怎么经历这个过程？这个老师的第一个活动没有纠缠也没有去讲很多东西。重现情境，孩子会列式会知道答案就可以了。

活动2：经过操作进一步感知减法的意义，老师请同学们利用手中的教具，自己动手创作一个用减法解决的问题并列式解决。让孩子列出很多都可以用减法解决的问题，好让他为接下去的抽象做准备。这个环节的意图是让每个孩子都亲历减法意义的感知过程，并板书出学生所出现的各种不同的减法算式，为后续观察、比较、总结减法意义做素材准备。

活动3：汇报交流

老师的意图是孩子举了不同的算式，汇报完了让孩子整体去抽象，都是从整体中去掉一部分求剩下的一部分。这是老师原来的意图。但是汇报的时候却变成这样的一个情况——一个小女孩到实物展台前一边演示小水果学具一边介绍自己刚才的操作过程：“我本来有5个小水果，送给同桌2个，问我还剩几个水果？我列的算式是5-2=3。”结果汇报完了之后，另一个男孩说：“怎么还是5-2=3啊？重复了，不能写到黑板上。”“我没重复，这次不是汽车，是水果。”展台前的女孩不服气地为自己辩解，坐在下面的男孩站起来反驳说：“反正你的算式是5-2=3，还说不重复。”女孩一脸疑惑地看着老师。大家都知道这是一个课堂教学的生成，那你是按照老师原来的预设走呢还是把这个故事用好？其实都可以，就看老师怎么价值判断，怎么取舍。因为这个老师抓孩子的生成抓的很好，相当于没有走自己的课堂预设，是按照孩子的思维去进行的。男孩说：“怎么还是5-2=3啊？重复了，不能写到黑板上。”“我没重复，这次不是汽车，是水果。”是否重复？大家知道例1是汽车开走了两辆，还剩几辆？所以小女孩说我没重，然后小男孩说你的算式都是5-2=3，还说不重复，当时就争吵起来了。在这个过程中经历建模，有经历有思考，这是建模的前提，老师当时也一下子不知道怎么办了，就让同桌两人商量下，大部分学生还说同意男孩的看法，但也有觉得女孩说的有道理的，辩论不出结果，这时候老师又问：“你还能想一个事情，也用5-2=3来表示吗？”大家想想，这就是先有式子再举故事。这是不是也是建模啊？这个建模的过程一定要单向的吗？故事到算式吗？是不是也不一定啊？有了算式再去讲故事不也就是建模吗？我觉得这个建模的程度有可能还高一些。所以老师一旦有了这个问题之后，孩子思维就特别活跃，举出很多例子，举完之后，很多孩子就有感觉了，对于小学生来说，这个建模的过程真的不容易。有一个刚发言的同学不肯坐下：“我还能说这样的好多事儿呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本领真大呀。”大家想想是不是有点感觉了。因为他讲了大量的故事。有时候孩子不能真正完全的建模了，所以需要老师的帮助。大家能感觉出来，我们的课堂教学难度更高了。你什么时候放手，什么时候退后，这个是需要艺术的。所以老师就帮助了学生，说的事都不一样，为什么可以用一个式子来表示呢？画一个图表示5-2=3。大家想想是不是老师的作用特别大？老师他很清楚他要帮助孩子建模，那建模又是怎么样的呢？他心里是有数的，所以就有了一些这样的活动，然后通过一些画图，那画出来的这个直观图算模型，所以你看小学阶段的建模我个人觉得更朴素，对孩子来说我个人觉得更重要。通过这个例子大家能看出来建模抽象是不是都有啊。

我们再进一步的思考这三者之间的有来有回的活动，就是现实问题到直观模型到抽象算式。当然这个例子比较简单：减法的初步认识。直观模型是示意图，那我们实际上也可以画成线段图，把现实问题画成一个线段图，一个直观模型，那么经历一个过程算不算建模，应该都算吧。所以建模非常重要。那么由直观模型到抽象算式是不是也是建模的过程。从这个小例子大家就能看出来，实际上我们在小学阶段，这个模型思想多不多。可以说无处不在。你要有建模的这个过程就离不开抽象。所以这些最基本的思想在我们的日常教学中就可以说是无处不在的。第二个想说的是我们了解这个之后，我们也意识到一节课承载不了太多的东西，所以现在我带着我的名师做课堂研究的时候，我们已经做大单元课堂研究，按单元甚至更大的单元研究，自然数就是一个大单元，数概念这个单元就更大了。所以我们要有整体把握单元的这个思想。就不会过于纠缠某节课我落实什么课堂目标。尤其是小学阶段，我们的承载的课堂价值更多了，不可能面面俱到，就像刚才折线统计图似的，收集整理数据分析的这个过程，画图识图可能就不够，你要是没有这个过程，我可能把画图识图作为重点，有的老师可能会说怎么没有收集整理的过程啊，大家是不是都有这样的一个心理矛盾啊，我就需要做大的单元的设计和思考。某个课时侧重什么，而不会每节课面面俱到什么都想做，那几乎不可能。

所以我们就应该意识到建模有不同层次。某一节课到底是从哪个模型到哪个模型真的要看学生。比如说像刚才的这个老师，他显然是从现实问题到直观模型，他想这么设计，但是没想到在实际的教学过程中抽象的算式到了现实的问题。从现实问题又到了直观的模型，所以说这个过程都是不一样的。所以在教学过程中要有一个把握就可以了。

这是关于建模我就简单说一些。其实建模的思想模型的思想我们所有的思想都有这个意思想方程字母表示数等都有这个思想。在理解和认识的过程中都有建模的过程。这是一个例子，比如我们说分类，在史校长的那本书里第四辑中我觉得对我影响很大，我们知道分类在我们小学阶段很重要。其实不管在小学数学中重要，人活着也要分类。它对人的发展太重要了。比如你一出生，降生在你们家，你怎么不出生在我家？是不是你已经被分类了啊？你决定不了，所以这叫命。你已经被分类了，这就是一个大前提。命你决定不了，运你可以决定。所以命运是两件事，所以都有分类。再看史校长的观点对我影响很大，形式分类和实质分类。举一个例子，比如三角形的分类，按角分，按边分。大家觉得哪一个是形式分类，哪一个是实质分类？为什么按角就是实质分类，它更深层次的。比如我画图大家就能看出来。你看以它为直径的一个点，那么C1在这，C在圆上，C1在圆外对称。大家是不是看出就有结构化了。钝角直角锐角和这个平面，圆内圆上一一对应起来。当然这只是直观的角度，更深层次的是余弦定理：90度时就说直角，勾股定理；小于90度时，它就是锐角三角形；大于90度时，就是钝角三角形。所以实质的东西影响更长远。这些观点进一步促进我们去思考去把握这些最本质的东西最有价值的东西。

再举一个例子，板书背后的结构化。其实刚刚已经有结构了吧。分类跟结构化一一对应密切相关，只不过有的说的是过程有的说的是结果，它都是最基本最重要的。当时老师上《100以内数的认识》，有一个活动说任意写出一个两位数，还能写出哪些与它个位相同的数？比如说我写一个56，还能不能写出56相同个位数的数？能写的出来。那么写出来这些数，老师怎么板书？有一位老师是这么板书的：16 26 36 46 56 66 76 86 96 他就板书出来第一行，当然这个老师还有一个问题，他说：“有一个数很特别，像66这种数，还有哪些你能不能写出来”所以孩子边说老师就边板书：99 88 77 66 55 44 33 22 11大家能看出来老师这么写有序了，这个结构好不好？到底应该怎么写？是不是就有结构了？这个老师第一次就不太好，第二次我们调整一下，是不是就好了啊？就出结构了，大家想想百数表就是一个结构化的东西。在我们小学阶段，类似这样结构化的东西很多的。自然数的十进位值制记数法尤其是位值制决定了平面空间的结构。比如说：用小珠子摆数，有个位表十位表，比如给你四个小珠子能摆出多少个数？那我们到了二年级，到底能摆出多少数和百数表建立联系。这个百数表就是有结构的，大家能看出来这个百数表跟教材中的不一样。因为我是从0开始的。怎么说？是不是也有结构？对，都是有结构的，只不过咱们的教材是从1开始的，然后到100。我倒觉得还不如这个百数表好。因为都是两位数。教材中的百数表有一位数、两位数还有三位数。其实有时候破坏了结构。那么这个百数表和刚才的活动建立联系，我们就设计出特别好有意思的活动。比如说一个珠子能摆出几个数？就两个数吧。能摆出1和10，是不是在这个表中就这么看出来了。两个珠子能摆出三个，那九个珠子能摆出几个数？十个数吧。那我们就可以猜想，然后去验证，是不是都可以啊？甚至还可以进一步的猜想，十个珠子能不能摆出是十一个数，它主要都是两位的，我不说三位，十个珠子能不能摆出是十一个数？你看小孩是不是可以进一步的猜想。其实这个猜想在小学阶段是不容易的。很多猜想也都说正确的，十个珠子能否摆出十一个两位数？按刚才的规律应该是十一个，但实际上是十一个吗？按你这个百数表，你应该摆出几个？是不是九个啊？那甚至我给你十八个珠子只能摆一个两位数。可不可以，大家要体会我举这个例子的目的。结构化的东西对我们数学学习体系的影响等等。

包括到了五年级构造正方形分数表。到了五年级下册才有，就是真分数涂上颜色，假分数涂上颜色，等于一的涂上颜色。如果是单一的涂颜色的东西，那么结构的东西没有很好的用起来。太可惜了。那我就把它重新构造。比如说，大家看出来我怎么构造的了吧。第一行都是单位分数，第二行依次是分子是二，分子是三，然后继续，大家看一下这样构造的分数表行不行？是不是一个结构化的东西？到了五年级我们能不能研究分数结构表，能不能发现很多有意思的东西，有价值的猜想，可不可以？我觉得都是可以的。再举几个例子：比如说第一行都是单位，对角线上都是1，没问题吧，这个上就是自然数，有一个5/3就有一个5/3，是不是真分数假分数啊。很多小孩老觉得假分数有那么多，真分数只有0-1之间吧，那谁的个数多？大家注意，“谁的个数多”是一个特别好的问题，一个数学家都给闹疯了的问题，其实根里是一样多的，一一对应的。大家去体会结构化一一对应。是不是对我们整个小学的影响特别大？特别大。所以在我们整个小学的学习中，抽象、推理、模型还有分类、结构化、一一对应它的作用不比数形结合要转化作用来的小。因为它是渗透在所有的教学内容中的。

我想时间关系，后面还有几个例子，比如说包括我们的除法列竖式，除法竖式有没有结构化，我就举一个例子：80/20=4，孩子明白就是4个20是80。4商在哪？我们会说商在个位上吧。商在十位上就说错？凭什么说是错？人家知道是4个20啊。但是它一商在十位上我们就说是错的，大家注意，这里根里的原因就是因为商的位置系统和被除数的位置系统是一致的。换句话说，他们的结构是一样的。原因就出在这了。因为这是我们约定的。也正是由于这个原因，除数是小数的除法是咱们小学阶段最爱出错的内容。因为那个被除数的小数点老动，一动就导致商的位置系统就变。跟着变小孩就容易糊涂。尤其是0占位，中间末尾有0就一概全乱了，其实背后就是因为商的结构和被除数的结构是一致的。它们的结构随着被除数的变化而变化。所以老师们在教尤其是小数的除法的时候，套上那个位置系统，刚开始学的时候。先把被除数的位置系统固定，比如个位十位百位，有些还有小数点，十分位，百分位，给它固定，那么它的商一定要跟着它变化而变化，一定要随着被除数的位置系统，这样可能在教学过程中的出错率是否会降低点。当然这个降低是计算的出错率可不仅仅是因为这个原因。很重要的就是练得不够。因为练的太少了根本就没有形成技能。那我又不敢说是不是要大量的练，一说大量的练找批呢。但是不练也不行，这是最基本的，所以咱们小学阶段的教育大家是否忧愁啊，左右为难，当然过个十年八年，都会好。我觉得前景还是非常光明的。现在都强调素养，那么该学的知识那么多教材越来越厚，哪个内容都舍不得删，不仅仅内容多要求还高，教材内的都处理不完，教材外的还怎么实践，怎么去综合，这都是问题，那我们就给她们提问题，比如把教材删掉三分之一。我说了不算，反正边研究边思考。你在核心素养这样的一个大背景下，你说不要知识本位可是你要学的还那么多，那怎么办，所以这肯定是必然趋势。咱们共同努力。谢谢各位老师！

作者：刘加霞（北京教育学院教授）